备战2024年高考数学一轮复习74、导数的应用

函数的杀手—导数的应用知识点归纳：1、利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤（1）求（x）（2）确定（x）在（a，b）内符号（3）若（x）>0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数；若（x）<0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数2、用导数求多项式函数单调区间的一般步骤（1）求（x）（2）（x）>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（x）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间3、极大值：一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有＜，就说是函数的一个极大值，记作y极大值=，是极大值点4、极小值：一般地，设函数在附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有＜就说是函数的一个极小值，记作y极小值=，是极小值点5、极大值与极小值统称为极值（ⅰ）极值是一个局部概念，由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。（ⅱ）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值。（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。6、判别f(x0)是极大、极小值的方法若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值7、求函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)(2)求方程f′(x)=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值8、函数的最大值和最小值:（1）在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值。（2）在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．（3）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的（4）函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件（5）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个9、利用导数求函数的最值步骤⑴求在内的极值；⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值。典型例题讲解：一、利用导函数图像确定原函数图象-22O1-1-11例1、已知函数的图象如右图所示(其中是函数的导函数)，下面四个图象中的图象大致是-22O1-1-11OO-221-1-212O-2-221-112O-241-1-212O-22-124ABCD例2、设是函数f(x)的导函数，y=的图象如图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是二、利用导数求单调区间例3、函数的单调区间是A、和B、和C、和D、和例4、已知，函数在上是单调减函数，则的最大值为A、1B、2C、3D、三、利用导数求极值例5、求列函数的极值：（1）；（2）例6、已知函数在处取得极值（1）讨论和是函数的极大值还是极小值；（2）过点作曲线的切线，求此切线方程四、利用导数求最值例7、若函数，则A、最大值为4，最小值为B、最大值为4，无最小值C、最小值为，无最大值D、既无最大值，也无最小值例8、设曲线≥0）在点M（t,c--1）处的切线与x轴y轴所围成的三角表面积为S（t）（Ⅰ）求切线的方程；（Ⅱ）求S（t）的最大值五、导函数的综合应用例9、设函数．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围．例10、设函数（=1\*ROMANI）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；（=2\*ROMANII）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．例11、设函数（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）求在区间的最大值和最小值．练习：1．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为A．B．C．D．2．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）0，则必有（C）f（0）＋f（2）2f（1）B.f（0）＋f（2）2f（1）C.f（0）＋f（2）2f（1）D.f（0）＋f（2）2f（1）3．过点（－1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为（A）（B）（C）（D）4．曲线在点处的切线方程是（A）（B）（C）（D）5.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个6.在区间上的最大值是(A)-2(B)0(C)2(D)47.已知直线与抛物线相切，则8.曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是.9．设函数，已知是奇函数。（Ⅰ）求、的值。（Ⅱ）求的单调区间与极值。10．已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12。 （I）求的解析式； （II）是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。11.已知函数f(x)=－x+8x,g(x)=6lnx+m（Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);（Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。12．（江西卷）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值求a、b的值与函数f（x）的单调区间若对xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）<c2恒成立，求c的取值范围。13．已知函数。（Ⅰ）设，讨论的单调性；（Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围。14．设函数f(x)=(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)讨论f(x)的极值.

例题答案：例1、答案：C例2、答案：C例3、答案：A例4、答案：C例5、解：（1）令，得驻点12+0-0+0+↗极大↘极小↗↗是函数的极大值；是函数的极小值（2）令，得驻点-11-0+0-↘极大↗极小↘当时，极小=-3；当时，极大=-1值例6、解：（1），依题意，，即解得∴令，得若，则，故在上是增函数，在上是增函数若，则，故在上是减函数所以，是极大值；是极小值（2）曲线方程为，点不在曲线上设切点为，则点M的坐标满足因，故切线的方程为注意到点A（0，16）在切线上，有化简得，解得所以，切点为，切线方程为例7、答案：B例8、解：（Ⅰ）因为所以切线的斜率为故切线的方程为即（Ⅱ）令y=0得x=t+1,又令x=0得所以S（t）==从而∵当（0，1）时，>0,当（1,+∞）时,<0,所以S(t)的最大值为S(1)=例9、解：（Ⅰ），当时，取最小值，即．（Ⅱ）令，由得，（不合题意，舍去）．当变化时，的变化情况如下表：递增极大值递减在内有最大值．在内恒成立等价于在内恒成立，即等价于，所以的取值范围为．例10、解：（Ⅰ），依题意有，故．从而．的定义域为，当时，；当时，；当时，．从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少．（Ⅱ）的定义域为，．方程的判别式．（ⅰ）若，即，在的定义域内，故的极值．（ⅱ）若，则或．若，，．当时，，当时，，所以无极值．若，，，也无极值．（ⅲ）若，即或，则有两个不同的实根，．当时，，从而有的定义域内没有零点，故无极值．当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在取得极值．综上，存在极值时，的取值范围为．的极值之和为．例11、解：的定义域为．（Ⅰ）．当时，；当时，；当时，．从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少．（Ⅱ）由（Ⅰ）知在区间的最小值为．又．所以在区间的最大值为．练习答案：1．解：与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，故选A2．解：依题意，当x1时，f（x）0，函数f（x）在（1，＋）上是增函数；当x1时，f（x）0，f（x）在（－，1）上是减函数，故f（x）当x＝1时取得最小值，即有f（0）f（1），f（2）f（1），故选C3．解：，设切点坐标为，则切线的斜率为2，且于是切线方程为，因为点（－1，0）在切线上，可解得＝0或－4，代入可验正D正确。选D4．解：曲线，导数，在点处的切线的斜率为，所以切线方程是，选D.5.解析：函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，函数在开区间内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A.6．解：，令可得x＝0或2（2舍去），当－1x0时，0，当0x1时，0，所以当x＝0时，f（x）取得最大值为2。选C7．解析：直线与抛物线相切，将y=x－1代入抛物线方程得，∴，a=。8.解析：曲线和在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x－1，它们与轴所围成的三角形的面积是.9．解析：（Ⅰ）∵，∴。从而＝是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而，由此可知，和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。10．解：（I） 当即时，在上单调递增， 当即时， 当时，在上单调递减， 综上， （II）函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数 的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。 当时，是增函数； 当时，是减函数； 当时，是增函数； 当或时， 当充分接近0时，当充分大时， 要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须 即 所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为11．解：（I）是二次函数，且的解集是可设在区间上的最大值是由已知，得（II）方程等价于方程设则当时，是减函数；当时，是增函数。方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间内没有实数根，所以存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根。12．解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b由f（）＝，f（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝，b＝－2f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：x（－，－）－（－，1）1（1，＋）f（x）＋0－0＋f（x）极大值极小值所以函数f（x）的递增区间是（－，－）与（1，＋），递减区间是（－，1）（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，x〔－1，2〕，当x＝－时，f（x）＝＋c为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒成立，只需c2f（2）＝2＋c，解得c－1或c213．解(Ⅰ)f(x)的定义域为(－∞,1)∪(1,+∞).对f(x)求导数得f'(x)=eq\f(ax2+2－a,(1－x)2)e－ax.(ⅰ)当a=2时,f'(x)=eq\f(2x2,(1－x)2)e－2x,f'(x)在(－∞,0),(0,1)和(1,+∞)均大于0,所以f(x)在(－∞,1),(1,+∞).为增函数.(ⅱ)当0<a<2时,f'(x)>0,f(x)在(－∞,1),(1,+∞)为增函数.(ⅲ)当a>2时,0<eq\f(a－2,a)<1,令f'(x)=0,解得x1=－eq\r(\f(a－2,a)),x2=eq\r(\f(a－2,a)).当x变化时,f'(x)和f(x)的变化情况如下表:x(－∞,－eq\r(\f(a－2,a)))(－eq\r(\f(a－2,a)),eq\r(\f(a－2,a)))(eq\r(\f(a－2,a)),1)(1,+∞)f'(x)＋－＋＋f(x)↗↘↗↗f(x)在(－∞,－eq\r(\f(a－2,a))),(eq\r(\f(a－2,a)),1),(1,+∞)为增函数,f(x)在(－eq\r(\f(a－2,a)),eq\r(\f(a－2,a)))为减函数.(Ⅱ)(ⅰ)当0<a≤2时,由(Ⅰ)知:对任意x∈(0,1)恒有f(x)>f(0)=1.(ⅱ)当a>2时,取x0=eq\f(1,2)eq\r(\f(a－2,a))∈(0,1),则由(Ⅰ)知f(x0)<f(0)=1(ⅲ)当a≤0时