2024届安徽高三期末测试数学试题（含答案）

2024届高三名校期末测试

数学

考生注意：

L试卷分值：150分，考试时间：120分钟.

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应

题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域

内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

3.所有答案均要答在答题卡上，否则无效.考试结束后只交答题卡.

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选

项是符合题目要求的.）

1.已知集合。={1,2,3,4,5},4={2,3},5={%|%=24,左€2},则3c3bA=（）

A.{4}B.{2,4}C.{1,2}D.{1,3,5}

2.复数[i—1的虚部为（）

A.8B.-8C.8iD.-8i

3.已知向量a=（0,—2）力=（1,。，若向量Z，在向量a上的投影向量为一；。，则。力=（）

511

A.2B.——C.-2D.—

22

兀

4在.ABC中，“C=—”是“sin2A+sin2B=1”的（）

2

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.过点（0,—2）与圆炉+/一以―1=0相切的两条直线的夹角为a,贝ijcosa=（）

A而B--C岳

4444

6.AB,。,五人站成一排，如果A,8必须相邻，那么排法种数为（）

A.24B.120C.48D.60

7.若系列椭圆。“：4/2+,2=]（0<々“<],“6河'）的离心率.=[3],则4=（）

'I

8.已知等差数列｛%｝（公差不为0）和等差数列｛耙｝的前九项和分别为S“、。，如果关于x的实系数方程

1003炉—5]003%+（003=。有实数解，那么以下1003个方程平+2=0«=1,2,,1003）中，有实数解

的方程至少有（）个

A.499B.500C.501D.502

二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求，全部选对得6分，部分选对得部分，有选错的得0分）

9.已知一组数据：12,31,24,33,22,35,45,25,16,若去掉12和45,则剩下的数据与原数据相比，下列结论

正确的是（）

A.中位数不变B.平均数不变

C.方差不变D.第40百分位数不变

22

10.双曲线C:=—与=1（。〉0/〉0）,左、右顶点分别为A8,。为坐标原点，如图，已知动直线/与双曲

a~b~

线C左、右两支分别交于P,Q两点，与其两条渐近线分别交于氏S两点，则下列命题正确的是（）

A.存在直线I,使得AP〃OR

B./在运动的过程中，始终有4=日。|

C.若直线/的方程为丁=丘+2,存在左，使得S,ORB取到最大值

D.若直线/的方程为y=4（x—a）,RS=2SB,则双曲线C的离心率为四

11.如图所示，有一个棱长为4的正四面体尸-ABC容器，。是的中点，£是。上的动点，则下列说

法正确的是（）

IT

A.直线与依所成的角为一

2

B.—ABE的周长最小值为4+A/34

c.如果在这个容器中放入i个小球（全部进入），则小球半径的最大值为逅

3

D.如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为2瓜”

5

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12.小于300的所有末尾是1的三位数的和等于.

13.已知函数/'（xhlnG+l）—旦，若/（%）..0恒成立，贝.

14.已知抛物线C:F=2内（°〉0）,点尸为抛物线上的动点，点A[4",o]与点尸的距离|AP|的最小值

为2,则夕=.

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（13分）在ABC中，的对边分别为a,b,c,已知6=后,c=4,acosC+6=0.

（1）求。；

3兀

（2）已知点。在线段5c上，且/A£>3=一,求长.

4

16.（15分）甲、乙两人进行射击比赛，每次比赛中，甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少射中8环.根据统计资

料可知，甲击中8环、9环、10环的概率分别为0.7,0.2,0.1,乙击中8环、9环、10环的概率分别为

0.6,02,0.2,且甲、乙两人射击相互独立.

（1）在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率；

（2）若独立进行三场比赛，其中X场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求X的分布列与数学期望.

17.（15分）如图，圆台OjQ的轴截面为等腰梯形AACCi.ACuZAAnZAGud,3为底面圆周上异于

AC的点.

（1）在平面3CC1内，过G作一条直线与平面AA3平行，并说明理由.

（2）设平面443仆平面6。8=/,。€/,5。1与平面。4。所成角为。，当四棱锥8—AACG的体积最大

时，求sin。的取值范围.

18.(17分)已知函数/(x)=lnx—ox(x-l).

(1)当。<0时，探究/'(%)零点的个数;

/\2+〃3

rx

(2)当〃>0时，证明：f\)^I.................-.

7a+8〃-a/

19.(17分)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿

MQ

波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M与两定点Q,p的距离之比U\-4\=2(2>0,2^1),2是

\MP\

一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线尸。上.已知动点〃的轨迹是阿波罗尼斯圆,

其方程为d+/=4,定点分别为椭圆C：「+4=l(a〉6〉0)的右焦点/与右顶点A,且椭圆C的离

心率为e=—.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)如图，过右焦点下斜率为左(左>0)的直线/与椭圆C相交于昆。(点8在x轴上方)，点S,T是椭圆

。上异于瓦。的两点，SF平分NBSD,TF平分NBTD.

\BS\

①求舄的取值范围;

8］兀

②将点S、尸、T看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若S"外接圆的面积为一，求直线/的方程.

8

2024届高三名校期末测试•数学

参考答案、提示及评分细则

题号1234567891011

答案ABCABCADADBDACD

1.【答案】A

【解析】。={1,2,3,4,5},4={2,3},r.用4={1,4,5},又5={>x=2□左eZ}

.,.5cgA={4}.故选：A.

2.【答案】B

(i+i)3=_8i.故选:B.

3.【答案】C

a-b\a1z、

【解析】由题匕在G上的投影向量为网4056x3=-—=(0/),又一5a=(0,1),.二1二1,即

11间

b=(1,1),.*.a-b=0x1+(-2)xl=—2.故选:C.

4.【答案】A

【解析】在「ABC中，A+5+C=TI,则5=兀一C—A,

jrJT1-AJ=cosA,

充分性：当。=—时，B=——A,sinB=sin

22

兀

sin2A+sin2jB=sin2A+cos2A=1，所以"C=7"是"sin2A+sin2B=1”的充分条件;

2

JTJTTTTT

必要性：当sin2A+sin2B=1时，取人=二,5=二+7=4+7，

121222

此时满足sin2A+sin2B=sin2—+cos2—=1,但C='

121232

TT

所以“c=—”是“sin2A+sin2§=1"的不必要条件.

2

TT

综上所述，“c=—”是1足24+5也25=1”的充分不必要条件.故选：A.

2

5.【答案】B

【解析】圆好+/一©—1=0圆心。(2,0),半径为厂=百；

.aBC75

设P（0,—2）,切线为PA、PB,则PC=d*+》=2后2PBC中，sin—==一产,所以

2PC272

cos^z—1—2sin2———.故选：B.

24

w

6.【答案】C

【解析】将A8看成一体，A,8的排列方法有A；种方法，然后将A和3当成一个整体与其他三个人一共4

个元素进行全排列，即不同的排列方式有A：,根据分步计数原理可知排法种数为A；A：=48,故选：C.

7.【答案】A

22

•二+匕=1

【解析】椭圆G可化为,1.

因为所以离心率，=—=——=—,解得：.故选：A.

8.【答案】D

【解析】由题意得：^-4x1003^.0,其—

几03==1003402，代入上式得：。；02-4402-0，

要方程12—平+2=()(/•=1,2,3,,1003)无实数解，则尺一42<0,显然第502个方程有解.设方程

d—qx+A=0与方程X?—。1003%+伪003=0的判别式分别为Al，A1003，

则Ai+△]333)=/+/003—&QQ3)..,

0G=(q-4Z?J+(01Go-440G4(.+

3+”―4X2媪=号』-叫2=2(溢2-他。2)..。，

等号成立的条件是％=6003，所以A<0,41003<0至多一个成立，

同理可证：&<°，41002<0至多一个成立，Aoi<O，A5O3<O至多一个成立，且Aoz-O,综上，在所给

的1003个方程中，无实数根的方程最多501个，故有实数解的方程至少有502个.故选：D.

二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）

9.【答案】AD

【解析】将原数据按从小到大的顺序排列为12,16,22,24,25,31,33,35,45,

其中位数为25,平均数是(12+16+22+24+25+31+33+35+45)+9=27,

方差是1x[(-15)2+(-11)2+(-5)2+(-3)2+(—2)2+42+62+82+182]=^,

由40%x9=3.6,得原数据的第40百分位数是第4个数24.

将原数据去掉12和45，得16,22,24,25,31,33,35,

其中位数为25,平均数是(16+22+24+25+31+33+35)+7=整，

1916

方差是

由40%x7=2.8，得新数据的第40百分位数是第3个数24,

故中位数和第40百分位数不变，平均数与方差改变，故A,。正确，B,C错误.

故选：AD.

10.【答案】BD

【分析】根据与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点可对A项判断；设直线，：y=米+/分别与双

曲线联立，渐近线联立，分别求出RQ和R,S坐标，从而可对B、C项判断；根据RS=2SB，求出

b=^a，从而可对。项判断.

【解析】对于A项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A项错误;

y=kx+t

对于B项：设直线/：y二履+乙与双曲线联立J/y2,得：

第一铲=1

设尸（斗X）,°（々，%），由根与系数关系得：X+”广工5一呼十艺

b-akb-ak

所以线段。中一_a*，b2—a^2+［，

将直线/：y=履+人与渐近线y=联立得点S坐标为s］产7,丁丝

a\b—akb—ak）

h-atbt

将直线/：丁二丘+£与渐近线丁=——九联立得点H坐标为尺

ab+ak'b+akJ"

'a2kta2k2t,

所以线段HS中点M/42—

所以线段PQ与线段RS的中点重合，所以|PR|」PQ：』M=|SQ|,故B项正确;

—2a2b12b

=^\OB\x\yR\=^\OB\，因为。目为定值,

对于C项：由2项可得R，uORBI

b+ak'b+ak2b+ak

bb2b

当k越来越接近渐近线y=-—x的斜率-一时,趋向于无穷,

aab+ak

所以S°M会趋向于无穷，不可能有最大值，故。项错误;

bab、

对于。项：联立直线/与渐近线y=—%,解得S

ay/lb+a^

/

ba2ab、

联立直线/与渐近线丁=——%,解得区由题可知，RS=2SB-

a、-A/ZZ?+ayf2b-a,

所以为一力=2（为一Vs）即3ys=〉R+2〉B，

3abab

,解得Z>=J^a，所以e=J^，故。项正确.

41b+ay[lb-a

故选：BD.

11.【答案】ACD

【解析】A选项，连接A。，由于。为的中点,

所以PBJ,CZ）,PB_LA。，又8八4。=。,4£>,。。（=平面4。。,

所以直线平面ACD，又AEu平面ACD，所以PBLAE，故A正确;

B选项，把ACD沿着CD展开与平面3DC在同一个平面内，连接A3交CD于点E，则AE+8E的最

小值即为AB的长，由于AD=CD=2J5,AC=4,

C£>2+Ap2-Ac2(2后+(2逝)2—42_i

cos/ADC=

2CDAD2X2A/3X2A/3-3

cos/ADB=cos|+/ADC=-sin^ADC=-272

亍

2万=16+哽故

所以A3?=BD2+AD2-2BD-ADcosZADB=22+(2>/3)2-2x2x20x

43=/16+子=4，1+*,-45£的周长最小值为4+4，1+巧，8错误;

C选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球,

设球心为。，取AC的中点M，连接过点P作尸尸垂直于5%■于点尸，

则厂为，A5C的中心，点。在PF上，过点。作ONLPM于点N,

因为AM=2,AB=4,所以JAB'—AM?=2#>,同理PM=2j§,

则上/=工3〃=冬8,故PF=4^2-MF2=^-,设OF=ON=R,故

333

4x/6

0P=PF-OF=--一R，

3

4A/6_R

因为一PNO^PFM,所以竺=丝，即$=3,解得R=巫,c正确;

FMPM2V32V33

r

D选项，4个小球分两层（1个，3个）放进去，要使小球半径要最大，则4个小球外切，且小球与三个平面

相切，设小球半径为广，四个小球球心连线是棱长为2r的正四面体Q-VKG,由C选项可知，其高为

巫r,由C选项可知，PF是正四面体P—A3C的高，PF过点。且与平面VKG交于S,与平面H/J

3

交于Z，则QS=芈r,SR=r，由C选项可知，正四面体内切球的半径是高的;，如图正四面体

P—HIJ中,QZ=r,QP=3r,正四面体尸―ABC高为分+亚厂+厂

3

=逅义4,解得厂=拽二2,D正确.

35

故选：ACD.

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

12.【答案】3920

【解析】小于300的所有末尾是1的三位数是101,111,121,.,291,

是以101为首项，以10为公差的等差数列，所以小于300的所有末尾是1的三位数的和为

S2Q=2°*吗+沏)=3920,故答案为:3920.

13.【答案】1

、1ci%一一1)

【解析】由题意得/'(x)=-----涓=,二J，

X+1(X+1)(X+1)

①当④。时，r(x)>o,所以/(力在(—1,+“)上单调递增，

所以当1,0)时，/(%)</(0)=0,与/(尤)..0矛盾；

②当a>0时，当—时，/'(%)<0,/(x)单调递减，

当％e(a—l,+8)时，/'(x)>0"(x)单调递增，所以/(x)而门=/(。-1)=1加一(。一1),

因为/(x)..O恒成立，所以Ina—(a—

记g(a)=lna-(a_l),g'(a)=工—1=^-

当ae(O,l)时,g'(a)>0,g(a)单调递增，

当a«L+8)时g'(a)<0,g(a)单调递减，

所以=g(l)=0，所以lna_(a_l),,0,

又Ina—(a—1)..0,所以Ina—(a—1)=0,所以a=l.

14.【答案】2-72,4,12

【解析】设

P（x,y）,lAP『=X-14—+>2=X2_214—_|,+[4—5+2内=x?—（8—3"）x+'—幻

=—+8p—2.2

⑴当4—m-0，即0<P，，g时，|AP|2有最小值8°—2",即|AP|有最小值J8P—2"=2，解得

O

p=2±yf2J由于2+V5〉§,故p=2_.

（ii）当4—当<0,即p〉|时，|AP『有最小值14—9，即|物有最小值4/=2,解得p=4或

12.

综上，夕的值为2—四,4,12.

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15.【答案】（1）”回（2）半

〃2**_2

【解析】(1)acosC+b=0,由余弦定理得〃・巴士——+b=0,

2ab

即。2+3〃一02=0,"=&,c=4,则可得a=JI5；

P-HCJim万b~+ci^—c~2+10-16y/5

(2A)由余A弦定理cosC=--------------=------7=——=--

lab2xaxa05

sinC=Jl—cos2c=壁,NADB=ZADC=-，

544

AD_AC

则在AOC中，由正弦定理可得

sinCsin/ADC

历2小

ACsinC◊*4J君

.-.AD=

sin/ADC变5

2

16.【答案】（1）0.2（2）分布列见解析期望为0.6

【解析】（1）设乙击中的环数少于甲击中的环数为事件3，

则事件8包括：甲击中9环乙击中8环，甲击中10环乙击中8环，甲击中10环乙击中9环，则

P(B)=0.2x0.6+0.1x0.6+0.1x0.2=0.2.

(2)由题可知X的所有可能取值为0,L2,3,

由(1)可知，在一场比赛中，甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为0.2,

则X〜5(3,0.2),

所以P(X=0)=C;x0.2°x(l—0.2)3=0.512,P(X=l)=C；xO.2x(l—0.2)2=0.384,

p(X=2)=C；x0.22x(1-0.2)=0.096,P(X=3)=C；x0.23x(1-0.2)°=0.008,

故X的分布列为

X0123

P0.5120.3840.0960.008

所以E(X)=3x0.2=0.6.

17.【解析】(1)取5c中点尸，作直线GP，直线GP即为所求，取A3中点H，连接4〃,尸"，则有

PH//AC,PH=^AC,如图，在等腰梯形中，\CX=|AC.

HP//4G，HP=4G，，四边形AGP”为平行四边形.

QP//,又A〃U平面AA3，GP<Z平面AA8,

••・GP〃平面AA8；

(2)由题意作30'，平面AACG，即3。为四棱锥3—AACG的高，

十.n=./4„„nzvBA*BCBA?+BC?14"

在Rt.ABC中，ABC=90,BO=----------„--------------=—AC,当且仅当5A=3C时取等号，此时

AC2AC2

点O'为。2重合，

梯形A,ACC,的面积S为定值，％.AACG=gS•8。'，

.・・当3。最大，即点O'与。2重合时四棱椎3—4ACG的体积最大，又3O2，AC,3Q=2,以。2为原

点，射线QAQBQ。分别为x，，z轴建立空间直角坐标系，在等腰梯形AACC中,

AC=2441=24G=4,此梯形的高/1=追，显然AG为,Q4c的中位线，

.­.0(0,0,273),4(2,0,0),5(0,2,0),^(-1,0,73),^=(-l,-2,73),AB=(-2,2,0),

BC>=(0,-2,2A/3),O2A=(2,0,0),

设3Q=ABO,2eR,则A。=AB+8。=AB+ABO=(-2,2-22,2后)，

n•O2A=2X=0

设平面QAC的一个法向量n=(x,y,z),贝卜

n-AQ=—2x+(2—22)y+2gxz=0

n-BC]A/3|2+1|

取九=(0,^32,2sina=

\n\BQ2V2XV422-22+1

令1=2+1,贝ijsina=当，=0时，sinor=0,

2行xj4y—10/+7

A/14

0<sina

当时,2叵xJ—；+4272x5

72/i-4

当且仅当^=—,即2=一时取等号，综上魔afcinax止.

554

18.【解析】（1）f'（x）=--2ax+a=-2ax^+ax+i,定义域为（0,+。）.

XX

二次函数-2ax2+ax+l的判别式为a2+Sa>对称轴为x=1.

当。<0时，二次函数—2。%2+以+1的图象开口向上，

①4+84<0，即—8<a<0时，/'（%）在（0,+8）上无零点；

②〃+8。=0，即a=—8时，/'（%）在（0,+"）上有1个零点;；

③6+8。>0，即a<—8时，/'（%）在（0,+8）有2个不同的零点;

综上，当—8<a<0时，/'（%）在（0,+"）上无零点；

当a=—8时，/'（九）在（0,+。）上有1个零点；

当a<—8时，/'（%）在（0,+。）有2个不同的零点；

（2）由⑴分析知，当时，r（力在（o,+。）上有1个零点，设零点为%,

则.宝，解得

进一步，当O<x<Xo时，/,(%)>0,当X>/时，/,(x)<0,

所以/(x)„/(x0)=lnx0-ax0(x0-1)=lnx0-axg+ax0

.ax+1.ax-1x

=1叫)一一0丁+结=1叫)+」0丁仔Zvz)

易证hu;,%-1,所以

a+Ja2+8a

(2+〃)

ax-l_(2+«)x33_2+a3.

俘）,，（九。-1）+Q04。

222221a2+8〃一a2

⑴⑵①加②尸条一乎

19.【答案】

/、|。一2|c+2

【解析】⑴方法①特殊值法，令M（±2，°），E=R'且a=2c,解得,=2.

22

2

.-.a=8,/="—。2=6,椭圆。的方程为L+2L=i,

86

MF_7(x-c)2+y2

方法②设M（x,y）,由题意=2（常数），整理得:

MA

d(X-a)2+y2

2c—2a彳？