1.4.1充分条件与必要条件(1)课件高一上学期数学人教A版

第一章集合与常用逻辑用语1.4充分条件与必要条件1.4.1充分条件与必要条件(1)内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．2.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．活动方案一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”“如果p，那么q”等形式．其中p称为命题的条件，

q称为命题的结论．下面我们将进一步考察“若p，则q”形式的命题中p和q的关系，学习数学中的三个常用的逻辑用语——充分条件、必要条件和充要条件．活动一理解充分条件、必要条件的概念思考1►►►下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？(1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；(2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；(3)若x2－4x＋3＝0，则x＝1；(4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b.思考2►►►在思考1中，哪些命题中的p是q的充分条件？

思考3►►►在思考1中，哪些命题中的q是p的必要条件？【解析】(1)(4)中q是p的必要条件，(2)(3)中q不是p的必要条件．1.p⇒q的含义(1)“若p，则q”形式的命题为真命题．(2)由条件p可以得到结论q.(3)p是q的充分条件或q的充分条件是p；q是p的必要条件或p的必要条件是q.(4)只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的，q对于p的成立是必要的．(5)为得到结论q，具备条件p就可以推出．显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同而已．2.对充分条件概念的理解“若p，则q”为假命题时，p推不出q，q不是p的必要条件，p也不是q的充分条件．3.对充分条件的理解(1)所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．(2)充分条件不是唯一的，如x>2，x>3等都是x>0的充分条件．必要条件不是唯一的，如x>0，x>5等都是

x>9的必要条件．例

1下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？(1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；【解析】

这是一条平行四边形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件．(2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；【解析】

这是一条相似三角形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件．(3)若四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；【解析】

这是一条菱形的性质定理，p⇒q，所以p是q的充分条件．(4)若x2＝1，则x＝1；

(5)若a＝b，则ac＝bc；【解析】

由等式的性质知，p⇒q，所以p是q的充分条件．(6)若x，y为无理数，则xy为无理数．思考4►►►例1中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”．这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗？【解析】

不唯一，两组对边分别平行，两组对边分别相等，一组对边平行且相等．下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有哪些？(1)p：x＝2，q：x2－x－2＝0；【解析】

因为p⇒q，所以p是q的充分条件．(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是正方形；

(3)p：同位角相等，q：两条直线平行；【解析】

因为p⇒q，所以p是q的充分条件．(4)p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分．【解析】

因为p⇒q，所以p是q的充分条件．例

2下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？(1)若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；【解析】

这是平行四边形的一条性质定理，p⇒q，所以q是p的必要条件．(2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；【解析】

这是三角形相似的一条性质定理，p⇒q，所以q是p的必要条件．(3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；

(4)若x＝1，则x2＝1；【解析】

p⇒q，所以q是p的必要条件．(5)若ac＝bc，则a＝b；

(6)若xy为无理数，则x，y为无理数．思考5►►►例2中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“这个四边形的两组对角分别相等”.这样的必要条件唯一吗？如果不唯一，那么你能给出“四边形是平行四边形”的几个其他必要条件吗？【解析】

不唯一，两组对边分别平行，两组对边分别相等，一组对边平行且相等．下列所给的各组p，q中，p是q的必要条件的有哪些？(1)p：|x|＝1，q：x＝1；【解析】

因为q⇒p，所以p是q的必要条件．(2)p：两个直角三角形全等，q：两个直角三角形的斜边相等；

(3)p：同位角相等，q：两条直线平行；【解析】

因为q⇒p，所以p是q的必要条件．(4)p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分．【解析】

因为q⇒p，所以p是q的必要条件．思考6►►►下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac＜0；(4)若A∪B＝∅，则A与B均是空集．活动二理解充要条件的概念【解析】

命题(1)(4)和其逆命题都是真命题．命题(2)是真命题，它的逆命题是假命题．命题(3)是假命题，它的逆命题是真命题．充分条件与必要条件：如果“p⇒q”，那么称p是q的充分条件，也称q是p的必要条件．思考7►►►什么情形下称p是q的充分必要条件？即称p是q的充要条件．【解析】

如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为p是q的充要条件．例

3下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；

(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；【解析】

因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，所以p是q的充要条件．(3)p：xy＞0，q：x＞0，y＞0；

(4)p：x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，q：a＋b＋c＝0(a≠0)．【解析】

因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即p⇔q，所以p是q的充要条件．思考8►►►通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？【解析】

“四边形的两组对角分别相等”“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”和“四边形的对角线互相平分”既是“四边形是平行四边形”的充分条件，又是必要条件，所以它们都是“四边形是平行四边形”的充要条件．思考9►►►什么情形下称p是q的充分不必要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件？

如果p是q的充要条件，就记作p⇔q，称为“p与q等价”或“p等价于q”．“⇒”和“⇔”都具有传递性，即如果p⇒q，q⇒s，那么p⇒s；如果p⇔q，q⇔s，那么p⇔s.例

4指出下列命题中，p是q的什么条件：(1)p：两个三角形全等，q：两个三角形的对应角相等；活动三掌握充分条件、必要条件的判断

(2)p：三角形的三边相等，q：三角形是等边三角形；【解析】

根据等边三角形的定义，可知三边相等的三角形是等边三角形，所以p⇒q.反过来，根据等边三角形的定义，可知等边三角形的三边相等，所以q⇒p.因此，p⇔q，即p是q的充要条件．(3)p：a2＝b2，q：a＝b；

(4)p：x＞y，q：x2＞y2.

性质定理是指某类对象具有的具体特征．例如，性质定理“平行四边形的对角线互相平分”表明：“平行四边形”具有“对角线互相平分”的特征，当然还有其他的特征，如“对角相等”“对边相等”“对边平行”等．性质定理具有“必要性”，

“对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的必要条件．下图中条件1,2,3,4……都是“四边形是平行四边形”的必要条件．判定定理是指对象只要具有某具体特征，就一定有该对象的所有特征．例如，判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”表明，只要四边形具有“对角线互相平分”这个特征，就一定具有“平行四边形”所有特征1,2,3,4……判定定理具有“充分性”，“四边形对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的充分条件．下图中条件1,2,3,4……都是“四边形是平行四边形”的充分条件．我们发现，“四边形对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的充要条件，即“四边形对角线互相平分”与“四边形是平行四边形”等价，这与平行四边形的定义“两组对边分别平行的四边形”也等价．因此“对角线互相平分的四边形”也可以作为“平行四边形”的定义．同样的，下列三个命题：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中的任何一个命题都可以作为平行四边形的定义．指出下列命题中，p是q的什么条件．(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中选出一种)(1)p：x2＝1，q：x＝1；【解析】

p是q的必要不充分条件．(2)p：a≠0，q：|a|＞0；【解析】

p是q的充要条件．【解析】

p是q的充分不必要条件．(4)p：三角形的三边互不相等，q：三角形是锐角三角形．【解析】

p是q的既不充分也不必要条件．检测反馈245131.(2023·上海闵行区高一期末)已知集合A＝{x}，B＝{x2}，则“x＝1”是“A＝B”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】

由A＝B，得x＝x2，解得x＝0或x＝1，所以“x＝1”是“A＝B”的充分不必要条件．【答案】A245132.(2022·上海松江区一模)下面四个条件中，使a>b成立的充要条件是(

)A.a2>b2