2024年高考数学二轮复习 圆锥曲线中非对称韦达定理问题的处理（江苏专用）

圆锥曲线中非对称韦达定理问题的处理

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___^二工r1a.।h..L.rnr""r.J.,/Jr«

研考题•聚焦关键词

解析几何问题中的一些定值、定点、定线，经常出现需要证明类似伊瑞（A为常

数），为定值的情形，通过直线'=履+6代换可得:

(%-A)%i_(kx+b-A)x_kxx+bx-Ax

2x2xxx，，但此时的式子并不能完全整理为韦达定

(Vi+A)/(fcvj+b+A)x2kx1x2+bx2+Ax2

理的形式，这种式子一般称为“非对称韦达定理”

题型一定直线

例1

[2023年新高考2卷21】

1.已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为卜26,0）,离心率为正.

⑴求C的方程；

（2）记C的左、右顶点分别为4，4,过点（T,o）的直线与c的左支交于M,N两点,

M在第二象限，直线与N4交于点P.证明:点尸在定直线上.

变式

22

2.己知点A、8分别是椭圆C：=+27=1（4>>>0）的上、下顶点，耳、工是椭圆的

ab

左、右焦点，|/阎+|A用=4,|AB|=2A/3.

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵过点加（（M）的直线与椭圆C交于不同两点尸、Q（尸、。与椭圆上、下顶点均不重

合），证明：直线AP、8。的交点在一条定直线上.

题型二定点

例2

（安徽省六校教育研究会2023-2024学年高三下学期下学期第二次素养测试（2月）数

学试题）

3.已知点耳（-2,0）,鸟（2,0）,知是圆O:，+y2=i上任意一点，点《关于点加的对称点

为N,线段KN的中垂线与直线&N相交于点T,记点T的轨迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程；

⑵若点A（LO）,"（1』），直线/：x=2,过点H的直线4与C交于E两点，直线AD、AE

与直线/分别交于点P、Q.证明：PQ的中点为定点.

变式

【江苏省扬州市高邮中学2023届高考前热身训练(二)】

2

4.设直线x=m与双曲线C：/_]_=加相>0)的两条渐近线分别交于人，3两点，且

三角形。记的面积为由.

(1)求机的值；

(2)已知直线/与x轴不垂直且斜率不为0,/与C交于两个不同的点M,N,M关于x轴

的对称点为AT,尸为C的右焦点，若M',F,N三点共线，证明：直线/经过x轴上

的一个定点.

题型三定值

例3

(湖南省2024届高三数学新改革提高训练一)

5.已知圆的方程x2+y2=16,A(-2,0),8(2,0),抛物线过4,8两点，且以圆的切线为准

线.

(1)求抛物线焦点的轨迹C的方程；

⑵已知尸(4,0),设x轴上一定点T(r,0)(T</<4),过T的直线交轨迹C于两

点(直线与x轴不重合)，求证：为定值.

变式

【江苏省扬州中学2023届高三下学期模拟检测六】

22

6.已知双曲线C：/-方=1(">0乃>0)的左、右焦点分别为片，鸟，斜率为-3的直线/与

双曲线C交于48两点，点M(4,-2后)在双曲线C上，且|摩耳峥|=24.

(1)求△町耳的面积；

(2)若QB+OB=0(O为坐标原点)，点N(3,l),记直线ML,NB'的斜率分别为附右，问：

K•右是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

巩固能力•突破高分

(广东省潮州市2022届高三上学期期末数学试题)

7.已知椭圆C:=+4=l(a>6>0)的离心率为亚，以原点O为圆心，椭圆C的长半

a~b~3

轴长为半径的圆与直线2尤-应y+6=0相切.

(1)求椭圆C的标准方程;

试卷第2页，共4页

(2)已知点A,8为动直线产网尤-2)(^0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定

点、E,使得ET+EA.AB为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说

明理由.

22

8.已知双曲线C:宏-营=l(0<a〈10,b〉0)的右顶点为A,左焦点尸(—GO)到其渐近线

法+©=0的距离为2,斜率为;的直线4交双曲线C于A,8两点，且k邳=手.

(1)求双曲线C的方程；

⑵过点7(6,0)的直线'与双曲线C交于尸，Q两点，直线AP,AQ分别与直线》=6相

交于〃，N两点，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐

标；若不过定点，请说明理由.

9.在平面直角坐标系无0y中，已知点£卜而',0)、鸟(、/万,0),|咋|一|M周=2,点M

的轨迹为C.

(1)求c的方程；

(2)设点T在直线了=:上，过T的两条直线分别交C于A、3两点和P,。两点，且

|7X|-\TB\=\TP\-\TQ\,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

(江苏省徐州市第七中学2023届高三上学期一检)

22

10.已知双曲线C:5-斗=l(a,b>0)的实轴长为4,左、右顶点分别为A，4,经过点

ab

以4,0)的直线I与C的右支分别交于M,N两点，其中点/在x轴上方.当/，x轴时，

\MN\=276

(1)设直线MA，八巴的斜率分别为勺，%,求?的值；

(2)若NB%N=2ZBA.M,求,A、MN的面积.

11.已知3(-2,0),C(2,0)为ABC的两个顶点，尸为，ABC的重心，边AC,AB上的两

条中线长度之和为3萌.

⑴求点P的轨迹「的方程；

⑵过C作不平行于坐标轴的直线交r于。，E两点，若。轴于点M,ENLx轴于

点、N,直线。N与EM交于点。.

①求证：点Q在一条定直线上，并求此定直线；

②求3EQ面积的最大值.

试卷第4页，共4页

参考答案:

2

1dy

1.⑴丁一记一1

(2)证明见解析.

【分析】

(1)由题意求得的值即可确定双曲线方程;

(2)设出直线方程,与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线以&与的方程,

联立直线方程，消去结合韦达定理计算可得9x+=2-：1，即交点的横坐标为定值，据此

x-23

可证得点P在定直线x=-l上.

【详解】(1)

22

设双曲线方程为1r-3=1(。〉0涉〉0),由焦点坐标可知c=26，

贝!］由6=工=«可得〃=2,匕=五2_/=4,

a

22

双曲线方程为土-工=1.

416

(2)

由⑴可得A(-2,0),4(2,0),设(程％)，

显然直线的斜率不为0,所以设直线MN的方程为了=⑺-4,且一：(机＜；,

与22

^-=1联立可得(4"-1)丁2-32纱+48=0,且A=64(4m2+3)>0,

16

直线N%的方程为y=上；(尤-2),

X?—L

联立直线MAt与直线N%的方程可得:

答案第1页，共20页

元+2=%（玉+2）=夕-2）=/孙％-2（%+%）+2%

x-2%（%-2）%（加%-6）myiy2-6yl

48。32mc-16m。

m5------25——+2乂——不——+2y1

=4病一144—1"=4"].=_1

由r=+=2一1上可得x=_l,即Xp=T,

x-23

据此可得点尸在定直线x=-l上运动.

【点睛】

关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用

能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题

的关键.

2.O1

(2)答案见解析.

【分析】(1)根据体积确定椭圆中。、6的值，得出椭圆的标准方程.

(2)先设出直线方程，与椭圆方程联立，消去，，利用一元二次方程根与系数的关系，写

出七+%,占马，再表示出直线AP、BQ,确定其交点，并判断它们的交点在一条定直线上.

【详解】(1)由|裕|+|9|=4na=2,|AB|=273=73,

22

所以所求椭圆的标准方程为：上+匕=1.

43

(2)如图：过M点的直线与椭圆相交于月、。两点，因为尸、。不与A、3重合，故直线

的斜率一定存在.

y=kx+l

2

设直线方程为：、=履+1,联立方程组：X/，消去y得：(3+4左2卜?+8履-8=0.

[43

答案第2页，共20页

士fV-v3x/—y.—y/3

直线AP：-----t==—y73=-----x

必一\/3%玉

%+

直线5Q：y+6=x.

%一

y-也

所以:

Xy+X+xX1+（2一⑹

22=2-5/3.

+(1+⑹玉(2+司

xi+x2X]+x2

所以：y-ny=3.即直线AP与2。的交点在定直线y=3上.

【点睛】方法点睛：求证点在定直线上的问题，一般可以采用以下方法：

（1）求出点的坐标，根据横纵坐标的关系，写出直线方程，得到点在定直线上；

（2）大胆猜测定直线的性质，如该题就大胆猜测两直线的交点所在的直线与x轴平行，所

以直接消去无，得到y的值，从而确定交点在定直线上.

3.⑴尤2-21=1

3

⑵证明见解析

【分析】（1）由双曲线定义得到点7的轨迹是以与工为焦点的双曲线，求出答案；

（2）设。E:y=Z（xT）+l,£）a，x）,E（X2，%），联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积,

得到直线AO：〉=』7（X-1）,求出P的坐标，同理得到。的坐标，得到尸Q的中点坐标.

【详解】（1）由题意可得10M=1,且M为NK的中点，

答案第3页，共20页

又。为£8的中点,

所以OM〃N6,S.\NF2\=2\OM\=2.

因为点转关于点M的对称点为N,线段的中垂线与直线与N相交于点T,

由垂直平分线的性质可得|川|=|有|,

所以||明卜|同=|1叫-网|=加闾=2<|耳工|=4,

所以由双曲线的定义可得，点T的轨迹是以用工为焦点的双曲线.

2—2

a=\,c=^\FxF^=1,b=Vcfl=A/3,

2

故曲线C的方程为f一匕=1；

3

(2)由题意可知：直线的斜率存在，设。石:丁=左(1-1)+1,。(%,%),石(%2，，2)，

y=左+l

联立方程2/_,消去y得：(3—%2卜2_24(1—4)]—(1—幻2_3=0,

I3

[3-左2/0

则‘A=4%2(1T)2+4(3_%2)[(I_4+3]=24(2_Q>0，

解得k<2,且左W±y/3

X_2k(l-k)_-(1-^)2-3①

多十人2—3_%2，4M2_2-k2，山

由4(1,0),得直线4。：丫=冏("1),

令》=2,解得>=号，gpp|2,^-1

%TIX.-1J

答案第4页，共20页

贝I]%+%=%(无「1)+1+/2T)+1

%]—1%—1%]—1々-1

[2+。左)](/-1)+[区2+0k)](%—I)

(hT)(%T)

2kxix2+(1—24)(玉+%2)-2(1-2)

七马一（再+兀2）+1

一(1一%)2—3+(1-2小孚/-2(1-4)

2b

3—左2

_(1_^_32k(l-k)

3-k-3-k2

所以尸。的中点为定点（2,3）.

【点睛】求轨迹方程常用的方法：直接法，相关点法，交轨法，定义法，特别重视圆锥曲线

的定义在求轨迹方程中的应用，只要动点满足已知曲线的定义，就可直接得到所求轨迹方程,

求解过程中要注意一些轨迹问题中包含隐含条件，也就是曲线上的点的坐标的取值范围，有

时还要补充特殊点的坐标.

4.（l）m=l

（2）证明见解析

【分析】（1）求出双曲线的渐近线方程，从而得到A3两点的坐标，得到三角形的面

答案第5页，共20页

积为G苏，列出方程，求出机的值;

（2）设出直线方程y=Mx-p）（%HO）,联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，根据

三点共线，得到斜率相等，列出方程，代入后求解出P=g,求出直线所过的定点.

【详解】（1）双曲线C：/-；=相（m*0）的渐近线方程为〉=土瓜，

不妨设A（租,6nq,

因为三角形Q4B的面积为々，所以g|A外相=6〃2,

所以Wm。=A/3,又m>0,所以m=1.

2

（2）双曲线C的方程为C：尤2-事=1，所以右焦点尸的坐标为（2,0）,

依题意，设直线/与x轴交于点（，0）,直线/的方程为〉=左（%-0（左/0）,

设”（外,%）,N（x2,y2）,则

丫=左（无一

联立f上=1得（3-尢2）/+2请了-（片/+3）=0,

3

3-/片0且公=（2汰2）2+4（3-左2）,,2+3）>0,

化简得上2/3且（°2-1）/+3>0,

所以西+々=_咨_

Kr&23-k2

因为直线MN的斜率存在，所以直线的斜率也存在,

因为AT,F,N三点共线，所以％MF=%V，

即二='，即一%（々_2）=%（%—2）,

所以一%（&-p）（%2—2）=左（与一p）（%-2）,

因为**0,所以（％—。）仁一2）+（马一（西一2）=。,

所以2石马-（0+2）（否+x2）+4/?=0,

公p?+3

所以2•-一（0+2+4/7=0,

3-a.2

答案第6页，共20页

【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是设直线/的方程为y=小中0),

"(%,%)，则加'(/-％),再将其与双曲线方程联立，从而得到韦达定理式，根据三点共

线，则有左M»=%V，整理代入韦达定理式化简求出〃值即可.

§・呜+4；

(2)证明见解析.

【分析】(1)/是圆。的切线，分别过4反。作直线/的垂直，垂足分别为及”,G,由

|A目+怛〃|=2/G|=8,利用椭圆定义可得轨迹方程；

(2)设直线MN的方程为x=+f,设M(X[,%),N(X2，%)，直线方程代入椭圆方程后应用

韦达定理得%+%，%%，然后计算原M%v，代入化简可得.

【详解】(1)如图，/是圆。的切线，分别过AB,。作直线/的垂直，垂足分别为E,H,G,

又。是A8中点，则0G是直角梯形AEHB的中位线，|AE|+忸M=2|OG|=8,

设产是以/为准线的抛物线的焦点，则|AF|=|AE|,\BF\^\BH\,

所以|AF|+|BF卜210G=8>4=|,

所以P点轨迹是以A,8为焦点的椭圆，椭圆长轴长为8,

2。=8,2c=4,则。=4,c=2,因此6=7^^^=24，

22

所以抛物线的焦点轨迹方程为上+匕=1;

1612

答案第7页，共20页

（2）由题意设直线肱V的方程为％=呐+乙设Ma，y）,N（%2，%），

----1-----=1cc

由＜1612得(3冽n+4)V+6加9+3/—48=0,

x=my+1

6mt3t2-48

心

kpMkpN=%

xx—4x2-4(m^+/-4)(m^2+^-4)根+加«-4)(必+%)+«-4)2，

6mt3?-48

代入,得

Vj+y2=-3/n2+4'."为3m2+4

3f2-48

3〃5+43/一48

-22222

23r-486疗r«-4)।(_2m(3r-48)-6mt(t-4)+(3//i+4)(?-4)

3m2+43m2+4

3f+12

为常数.

4/-16

【点睛】方法点睛：本题考查椭圆中定值问题，解题方法是设交点坐标（%，%），（%，%）.设

直线方程，直线方程与椭圆方程联立方程组后消元应用韦达定理得占+々,占马（或

%+丫2，%%），利用交点坐标计算出要证明常数的量，然后代入韦达定理的结果化简变形即

可得.

6.(1)872

（2）勺•优为定值-1」

答案第8页，共20页

【分析】（1）设片（-c，O），B（c，O）,根据两点间长度得出1〃周与I此I，即可根据已知列式解

出C,即可得出答案；

（2）根据第一问得出双曲线的方程，设A（不必）,35,％）,直线/的方程为y=-3x+凡

根据韦达定理得出占+9，占9,即可根据直线方程得出与%-%,则根基两点斜率公式

得出勺•£，化简代入即可得出答案.

【详解】⑴依题意可知,片（-c,O）,（（c,O）,

贝|%|二J（4+c）2+（-20-0）2=7（4+c）2+8,

222

\MF2\=7（4-C）+（-2A/2-0）=7（4-C）+8，

又讣|摩|=24,所以J（4+c>+8-J（4一c>+8=24,

解得o2=16（C2=0舍去）,

又c>0,所以c=4,

则国闾=8,

所以△町B的面积S=）x8x2忘=8夜.

（2）由（1）可/一瓦=,解得°2=/=8,

a2+b2=16

所以双曲线C的方程为片-q=1,

88

设则3'（-彳2，-%），则勺h=-2；,

设直线/的方程为y=-3x+机，与双曲线C的方程联立，消去y得：8尤2-6必+/+8=0,

由A=（-6根）2-32（加+8）>0,得网>8,

由一元二次方程根与系数的关系得再+%=网，再％=生*，

48

、m2

2

所以M%=（一3%+m）（—3X2+m）=9x1x2-3冽（项+x2）+m=---+9,

%一%=-3（玉-x2），

答案第9页，共20页

贝IjK.&-21二L*二1=二Azt=

%―3_3%々+3玉-3X2-9

故占•左2为定值-1••

7•⑴：+/】

⑵存在定点£（g,。｝使得石A?+EA.A3为定值-"5I

9

【分析】（1）求得圆。得方程，由直线与圆相切得条件，=>可得”的值，再由离心率可

求得。，从而可得〃，即可得出答案；

（2）EA：+EA-AB=EA[EA+AB）=EA-EB,假设存在，设研机0）,4（占,%）]优,方）,

联立62，消九利用韦达定理求得玉+%，占/，分析计算从而可得出结论.

y=k^x—2）

【详解】（1）解：由离心率为亚，得£="，及c=^a,

3a33

又以原点。为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为无?+/=",

且与直线2x-y/2y+6=0相切,

所以"7^=布，

14+2

所以c=2,b2=a2—c2=2,

22

所以椭圆c的标准方程为土+匕=1；

62

（2）解:假设存在，设E（私0）,

联立，62,消，整理得(1+3二)/一12左2%+12左2-6=0,

y=k^x-i)

△=144/-40+3M)(12左2-6)=6犬+6>0,

设3(%,%)，

12k212k2-6

则芯+/=1+3左2'%々-1+3产

答案第10页，共20页

由"+EA.A3;EA.（胡+AB）=EA.皿

则以臣=（玉-引乂）（兀2-%%）

=（xl-m）（x2-m）-hy1y2

2

=（%-m）（%2-m）+^（jq-2）（x2-2）

22

=（左2+1居w—（2左之+帆）（%]+x2）+4k+m

212621222

=（^+1）^-2-（2^+m）^2+4A;+m

1+3k1+3k

（3m2-12m+10）A:2+（苏—6）

―1+3/'

要使上式为定值，即与女无关，

则应3机2—12机+10=3（根2—6）,即加=（,

此时胡・£»=疗-6=-|为定值，

所以在x轴上存在定点E[，°），使得EA^+EA-AB为定值.

【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，考查了满足条件的定点是否存在的判断与方法，考查

了定值定点问题，考查了学生的计算能力和数据分析能力，计算量较大.

r2v2

8.⑴L-匕=1

94

⑵以线段MN为直径的圆过定点（6-260）和（6+260）.

【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可求解6=2,进而联立直线与双曲线方程，根据

弦长公式即可求解。=3,

（2）联立直线与曲线的方程得韦达定理，根据圆的对称性可判断若有定点则在x轴上，进

而根据垂直关系得向量的坐标运算，即可求解.

【详解】（1）.••双曲线C的左焦点尸（-c,。）到双曲线C的一条渐近线版+©=。的距离为

d=-=b,而d=2,•*.b=2.

y/a2+b2

22

双曲线C的方程为会-q=l（0<a<10）.

答案第11页，共20页

依题意直线4的方程为>=尤-a）.

241，

由《a-4消去y整理得：（36-4）/+2/了一储（储+36）=0,

>=§（尤-a），

依题意：36-4230,A>0,点A,B的横坐标分别为乙,乙，

(a~+36)

则xAxB=

«2-36

a^a2+36)

•xA=a,••XR=

a2-36

Ef|=半瓦―工/=

：.\AB\=•••|4-乙|=8.

a（a2+36）

即〃---2~~^7~=8,解得a=3或a=12（舍去），且a=3时，A>0,

a-36

22

双曲线c的方程为土-工=1.

94

（2）依题意直线4的斜率不等于。，设直线4的方程为x=my+6.

x=my+6,

由y2消去x整理得：(4根2-9)/+48〃少+1°8=°，

--------=1,

194

W-9^0,Aj>0.

设则乂+%1,0，<20.

4m—94m—y

直线"的方程为y=?、(x-3),令x=6得：y=E，6.

同理可得N由对称性可知，若以线段MN为直径的圆过定点，则该定点一定在无

轴上,

设该定点为R（r,0）,则RM=

故RM.RN=(6-t7।9%%

a-3)(x?-3)

答案第12页，共20页

=(6-厅+9yly2

{myx+3)(my2+3)

=（6-『+______93V2______

2

my1y2+3m(y1+y2)+9

9x?

4加2—9

+

1083mx48m_

m2x-----------------------+9

4m2-94m25-9

=(6-?)2-12=0.

解得f=6-2g或r=6+2右.

故以线段MN为直径的圆过定点（6-230）和（6+230）.

【点睛】关键点睛：本题解题的关键是根据圆的对称性可判断定点在坐标轴上，结合向量垂

直的坐标运算化简求解就可，对计算能力要求较高.

2

9.（1）x2-^--l（x>l）；（2）0.

【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹C是以点片、工为左、右焦点双曲线的右支，求出

。、b的值，即可得出轨迹C的方程；

（2）方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C的方程，结合韦达定理求得

直线的斜率，最后化简计算可得及+e的值.

【详解】⑴因为|岬卜|摩卜2〈闺叫=2如,

所以，轨迹C是以点片、F?为左、右焦点的双曲线的右支，

22_________

设轨迹。的方程为一^―^~=1（〃>0/〉0）,贝!）2a=2,可得a=l,b=117—a2=4，

cib

2

所以，轨迹C的方程为丁-乙=1«21）.

1617

（2）［方法一］【最优解】：直线方程与双曲线方程联立

如图所示，设

设直线A3的方程为y--=匕（x-；）,A（尤1,%）,8（无2,%）.

答案第13页，共20页

22

化简得(16-^)x+(k；-2k㈤x-：k；-w?+ktn-16=0.

k；-2k、n%；+»-3+16

则

xt+x2=将一16'芯％=^16

(r+12)(1+")

4-16

设PQ的方程为y-n=k{x-^-),同理I"I-17。1=94)，邙).

22公-16

因为网明=1用照，所以浮=当功,

।17।17

化简得1+户=1+尹,

所以片-16=片-16,即将=心.

因为尤N网，所以尤+A2=0.

［方法二］:参数方程法

设T(g,m).设直线A3的倾斜角为4，

1C

…’,,、一,x=—+tcosa

则其参数方程为21,

y=m+tsin0i

联立直线方程与曲线C的方程16/一/一16=0(x21),

答案第14页，共20页

222

可得16(：+产cos?q+rcos01)-(/?!+tsin+2//!?sin6>1)-16=0,

整理得(16cos2q-sin。q)产+(16cos，-2机sinejr-Qw?+12)=0.

一（加+⑵痴+12

由根与系数的关系得19川肥1=44=

222

16cos0x-sin01l-17cos

设直线PQ的倾斜角为%,TPfTQf,

m2+12

同理可得旧"物”乙二口7际

2

由|m|.|7B|=|TP|.|TQ|,得cos2a=COS6»2.

因为4片2，所以cosq=-COSq.

由题意分析知4+2=%.所以tanq+tang=。，

故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.

［方法三］:利用圆塞定理

因为|力H羽=|3卡0,由圆塞定理知A,B,P,Q四点共圆.

设T（；J），直线AB的方程为yT=《（x-；）,

直线尸Q的方程为y-=右。一），

则二次曲线（幻-丫-知）（3->-与+f）=0.

2

又由尤2-言=1,得过A,B,P,。四点的二次曲线系方程为:

2

-y--^+t）（k2x-y--^-+t）+ju（x-^--1）=0（2wO）,

整理可得：

“k+k

(X左++(4---))2一丸(匕+kjxy+上(4]+左2)—k+(-*------2，)丸y+根=0,

其中〜卜+空:小的〃.2

由于A,B,P,。四点共圆，则孙项的系数为0,即左+右=0.

【整体点评】（2）方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问

答案第15页，共20页

题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解；

方法二:参数方程的使用充分利用了参数的几何意义,要求解题过程中对参数有深刻的理解,

并能够灵活的应用到题目中.

方法三：圆幕定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.

10.（1）-3；

⑵竽,

【分析】（1）法一：根据实轴长，求得。值，根据题意，求得仁2舟，可得b值，即

可得曲线C方程，设直线方程为x=9+4,与双曲线联立，根据韦达定理，可得%+

表达式，代入与，化简整理，即可得答案.

法二：由题意，求得a,b的值，即可得曲线C方程，设方程为》=殁+4,与双曲线联

立，根据韦达定理，可得%+%，%%表达式，代入，，化简整理，即可得答案.

（2）法一：因为=根据二倍角的正切公式，结合

k、=NBA1M,k?=-tanNB&N及k?=-3k、,化简计算，可得k,进而可得方程，与

曲线C联立，可得M点坐标，即可得直线的方程，根据面积公式，即可得答案.

法二：设/BAM=9,:./B8N=2e,由与=-3,结合二倍角正切公式，可得tan。的值，

进而可得直线A"方程，与曲线C联立，可得为,同理可得石，代入面积公式，即可得答

案.

【详解】（1）法一：

因为2。=4,所以。=2,令％=4得y2=3/,

所以|跖V|=2屉=26，解得6=0,

22

所以C的方程为工-匕=1

42

显然直线与y轴不垂直，设其方程为x=9+4,

x=ty+4

联立直线跖V与C的方程fy2,消去X得,2—2）丁+跖+12=0,

142

当产工2时，A=16r+96>0,

答案第16页，共20页

8/12

设”(石，M)，N(/，%)，则%+%=-^―

I——Zt——Z

因为勺=会&=)21x2+2

X]—22,-

所以与=a+2乂々+2)=的+6乂4+6)

区2yly22yly?

⑵248产

一产%%+6(%+%)+36_/_2一/_2+

2%%~24

产-2

法二：

22

・••双曲线C的方程为工-匕=1.

42

设MN方程为xusy+aMa,XbNazs)AQzoldQ,。)，

x=my+4

联立可得(机2_2),2+^my+]2=0,相2w2,

x2-2y2=4

8m12

△=64加?_4(m2—2)xl2=m2+6>0,%+%=一一—二心

k2=%X]+2=明+6)="%%+6%

KX2-2%(my2+2)yl殁通+2(%+必)—2%

12,12m/

m-八+6%

22kF2——=-3.

12—16m.-4m。

—；——+--------2y2

m2—2m2—2m-2

⑵法一:

因为NA42N=2/BAA/,

所以由叱明「最/%八二：；?黑，

又因为匕=tan/BAM,左2=Tan/54N,

72匕72kl

所以一心=匚方，即&=U，(※)

答案第17页，共20页

22kl

将左2=~~3k\代入（X）得~~3k\=——-,

因为M在X轴上方，所以勺=弓，所以直线加4方程为y=

尤+2),

y=+2)

联立c与直线加4方程,,消去y得，x2-8x-20=0,