浙江省五校联盟2024届高三年级下册3月联考数学试题（含答案解析）

浙江省五校联盟2024届高三下学期3月联考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若全集U,集合48及其关系用韦恩图表示如图，则图中阴影表示为()

U

A.,(/cB)B.C.D./口⑥为

【答案】C

【分析】

图中阴影表示的集合的元素属于集合8,但是不属于集合4即可得出.

【详解】图中阴影表示的集合的元素属于集合3,但是不属于集合力,即为(dZ)cB.

故选：C

2.已知向量3=(1,2),向量B满足由=2,^alb，则向量％_力与"的夹角的余弦值为

()

【答案】C

【分析】

由数量积运算律、模的坐标公式得(5-^)-5=5,|5|=V5,进一步求得|/|=而K

的值，结合向量夹角公式即可求解.

【详解】由题意，得向=盯,S.(a-b)-a=a2-a-b=5-0=5,

\a-b\=yj(a-Z?)2=yla-2a-b+b=<5-0+4=3>

设向量a—6与Q的夹角为。，则cose=y4--=-5=*.

\a-b\-\a\3x<53

故选：C.

3.设b,c表示两条直线，表示两个平面，则下列说法中正确的是()

A.若bIla,cua,则Z?//cB.若b〃c,bua,则c//a

C.若a工B,cI/a,则c_L/?D.若c//a,c_L夕，则。_1£

试卷第1页，共20页

【答案】D

【分析】

利用平行，垂直的相关性质定理逐♦判断即可.

【详解】对于A：若b〃a,cua,除非说明反c共面，否则不能推出b//c,A错误，

对于B：若bUc,bua,没有说明不能推出c//tz,B错误；

对于C：若C£,c//a,则cuQ,clip,c,6都有可能，C错误；

对于D：如图，过直线c作一个平面与&交于直线6,由线面平行的性质定理可得c//6,

又c，。，所以又6ua,得a，/7,D正确.

4.已知角a的终边过点尸(T2cosa),贝ijcosa=()

A.—B.--C.+近D.--

22-22

【答案】B

【分析】

由已知可得出cosa＜0,利用三角函数的定义可得出关于cosa的方程，解之即可.

【详解】

由三角函数的定义可得cosc=/_3＜。

V9+4cosa

整理可得(4cos，a+9卜os~a=9,BP4cos4a+9cos2a-9=0,

即(4(：0$%-3乂＜:(«%+3)=0,可得cos%],故cose=-等.

故选：B.

5.设等比数列｛叫的公比为/前"项和为A,,贝!|“q=2”是“阻+%｝为等比数歹广的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】

应用等比中项的性质，由｛邑+%｝为等比数列，解出乡值，即可判断.

试卷第2页，共20页

【详解】依题，“｛，+%｝为等比数列”，所以(邑+%『=9+%).(邑+%),

2

得(2%+a2)=2a「(2%+02+%)，化简得(2+«)2=2(2+q+q2),

解得q=2,则“q=2”是“｛S“+4｝为等比数列”的充要条件.

故选：C

6.已知实数x,y满足x>3,且孙+2尤-3了=12,则工+了的最小值为()

A.1+2A/6B.8C.672D.1+28

【答案】A

【分析】

4口力*，,12-2%6,一十一…/八6,，+人行-日

由就思得了=---丁=-2d-------,进一■步表示出x+y=(x-3)H------+1,结合基本不等

x-3x-3x-5

式即可求解.

【详解】因为x>3,且v+2x-3y=12,所以了==-2+工，

x-3x—3

从而x+y=x—2H------=(x-3)H----------\-1>2^/6+1,等号成立当且仅当

x-3x-3

x=V6+3j=V6—2,

所以x+>的最小值为1+276.

故选：A.

22

7.已知双曲线C：。—鼻=1(。〉0,6>0)的左右焦点分别为耳、鸟、4为双曲线

ab

万

的左顶点，以公耳为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P、0两点，且乙以0=年2，

【答案】C

【分析】先由题意，得到以月耳为直径的圆的方程为1+r=’2,不妨设双曲线的渐近

试卷第3页，共20页

线为>=，x,设9伍,九)，则。求出点P,0的坐标，得出|“尸|,|40|,

根据=告27r，再利用余弦定理求出“，。之间的关系，即可得出双曲线的离心率.

【详解】由题意，以《心为直径的圆的方程为，+j?=c2,不妨设双曲线的渐近线为

b

y=­x.

a

设尸(演，九)，则。(—/，—%)，

b「(

y=—x\x=a\x=-a

由.。，解得人或「

f2=c2〔k。3二-6

P(a,b),Q[-a,-b).

又A为双曲线的左顶点，则

\AP\=^a+ay+b2,J[一a-(-a)T+/=6,|尸°|=+。)?+仅+6)2=2c，

在△P/。中，ZPAQ=^~,由余弦定理得忸0「=|/呼+|/。2-2|/用/或05：万，

222

BP4c=(Q+Q)2+b+b+&+a)2+〃乃,

BP4c2=4/+2〃+J4〃2+〃山,

则26="/+〃，所以4/=(4/+〃)，贝IJ3〃=4“2，

即3卜2_Q2)=4Q2,所以

,cV21

••e=-二---•

a3

故选：c.

【点睛】方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离

心率有以下几种情况：①直接求出a,c,从而求出e；②构造a,C的齐次式，求出e；③

采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解.

8.在等边三角形/8C的三边上各取一点。，E,F,满足OE=3,DF=2应,

ZDEF=90°,则三角形/8C的面积的最大值是()

A.7>/3B.13乖)C.y7V3D.—13V3

【答案】A

【分析】

首先求出E7"设NBED=9,在△8DE、4CE尸分别利用正弦定理表示出

试卷第4页，共20页

BE、CE,从而得到8c=3£+C£,利用三角恒等变换公式及辅助角公式求出BC的最

大值，即可求出三角形面积最大值.

【详解】因为DE=3,DF=2也,ZDEF=90°,所以EF7DF?-DE?，

设NBED=9,江。仁，

NC1710="

BE2=2百

BEDE

在△友）£中由正弦定理'即sin

sinZBDEsin8

32

所以8E=2百sin-2兀-e\,

3

CE且-2

CEEF

在ACEF中由正弦定理,即sm伍兀+e

sinZCFEsinC

62

所以CE=2sin巳+6,

所以8c=BE+CE=2氐in~，~~夕］+2sine

竺

cos<9-cosin<9|+2|sin—兀coscZJ/+cos-兀si.n8A

3JI66

=2A/3sin9+4cos6=2"sin（9+cp）（其中tan/=）

所以8.x=2将，

则S:=3BC2sin：=^-BC2<与（2后\=76

即三角形/3C的面积的最大值是7AA.

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题关键是用含。的式子表示出BE、CE,再利用三角恒等变换

公式及辅助角公式求出8cB1ax.

二、多选题

9.在学校组织的《青春如火，初心如炬》主题演讲比赛中，有8位评委对每位选手进

行评分（评分互不相同），将选手的得分去掉一个最低评分和一个最高评分，则下列说

试卷第5页，共20页

法中正确的是()

A.剩下评分的平均值变大B.剩下评分的极差变小

C.剩下评分的方差变小D.剩下评分的中位数变大

【答案】BC

【分析】去掉一个最低评分和一个最高评分平均分变换未知，根据极差概念知极差变小,

根据方差意义知方差也变小，根据中位数概念知中位数未变.

【详解】去掉一个最低评分和一个最高分后剩下评分的平均值有可能变小、不变或变大,

A错误；

剩下评分的极差一定会变小，B正确；

剩下评分的波动性变小，则方差变小，C正确；

剩下评分的中位数不变，D错误.

故选：BC

10.在三棱锥/-BCD中，已知4B=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点、M,N分别是

AD,3C的中点，则()

A.MN1AD

7

B.异面直线NN,CM所成的角的余弦值是g

O

C.三棱锥力-BCD的体积为生自

3

D.三棱锥/-BCD的外接球的表面积为1E

【答案】ABD

【分析】

将三棱锥补形为长方体，向量法求直线的夹角判断A,B；利用体积公式求三棱锥的体

积判断C；确定三棱锥的外接球的半径，求表面积判断D.

【详解】三棱锥/-BCD中，已知AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,

三棱锥补形为长方体/HOG-bCEB,如图所示，

试卷第6页，共20页

BF2+BG2=AB2=9

则有，BF2+BE2=BC2=4,解得BF=BE=4^,BG=4i,

BG~+BE2=BD2=9

以5为原点，而，砺，数的方向为x轴，》轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角

坐标系,

点、M,N分别是3C的中点，

则有5(0,0,0),C(V2,V2,0),^(^2,0,^7)，从0―2月,

MT亍五,N三亍。，

\7\7

TW=(O,O,-近)，/。=卜亚,后,0),疝.25=0,

所以MN上AD,A选项正确；

而=,变变近]碱=[_叵叵扪、

2222

y/2（亚）sjl字+卜疗卜近

ANCM2I2）2-J_

cosAN,CM=

司.］可fl-8~

7

所以异面直线ZN,CM所成的角的余弦值是三，B选项正确；

O

三棱锥三棱锥G-4BD,三棱锥尸-N3C,三棱锥〃-/CD,体积都为

—X—xV2xV2x近=，

323

三棱锥力-5C。的体积等于长方体体积减去这四个三棱锥体积，为

V2x^2x>/7—4x^^-=———,C选项错误；

33

长方体的外接球的半径为1(亚)+(逝)+(0).而,这个外接球也是三棱锥

22

/-BCD的外接球，

其表面积为4无义[^^]=1171,D选项正确.

故选：ABD.

11.已知函数/(%)=e“•(sinx+cosx),则()

试卷第7页，共20页

jr

A./W的零点为x=E7,左£Z

4

jr

B.f(x)的单调递增区间为2fai+—,2A；7i+—，左EZ

C.当xjo,』时，若区恒成立，贝!

D.当xe-12|②，”等时，过点]一,01作/(x)的图象的所有切线，则所有切

点的横坐标之和为502兀

【答案】ACD

【分析】

由辅助角公式变换后求正弦函数的零点可得A选项；由复合函数的单调性求出正弦函

数的递增区间可得B选项；分离参数后构造函数求导，求最小值可得C选项；设出切

点，利用导数的意义求出切线的斜率，利用点斜式写出直线方程，再代入(qLoj可

得tanx。=，得至1J如%都关于点g。＞寸称，再利用对称性求出给定区间内的

切点之和可得D选项.

【详解】A：/(x)=ev-(sinx+cosx)=/e*sin\x+乙],所以》+巴=劝1=＞尤=航-巴，后eZ,

[4J44

故A正确；

TTTTTT

B：由复合函数的单调性可知，当-一+2®Wx+—W2E+—,左cZ,函数为递增函数,

242

3兀

解得一二兀+左EZ,故B错误；

44

C：若履恒成立，所以应e*sin[x+：bfoc,

因为工£。,9，当x=0时，J^sin；20,此时左取任意值，

L2」4

当xwO时，设(、凤SiV+4-则

g(x)=------

画出中括号内的函数图像

试卷第8页，共20页

所以g（x）mm=g仁〕=2-，故左v2小，故C正确；（老师，请联系我一下，谢谢）

J兀兀

D：因为/'（x）=2e*cosx,设切点坐标为（x（）,e而（sinx。+cosx。）），

则切线的斜率为/（%）=2寸cos%,则切线方程为

xx

y-e°(sinx0+cosx0)=2e°cosx0x(x-x0),

Tx

代入点（°j可得°-e°（sinx0+cosx0）=2e°cosx0xx0j,

两边同时除以cos/可得tanx。

令乂=tanx,%=2（x-]],所以”?都关于点g。卜寸称，

则所有的切点关于对称，

1O357t

当xe_|ZE5122时共有502对切点，每对和为兀，故所有切点的横坐标之和为

502K,故D正确；

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：

（1）复合函数的零点即为使函数等于零时方程的根；

（2）带参数的函数不等式恒成立问题求参数范围时，可分离参数后构造函数求导，求

出函数的最值与参数比较即可；

（3）对于求曲线的切线方程时可求导后代入切点的横坐标求其斜率，由点斜式写出直

线方程，再根据点在切线上代入切线方程得出具体的切线方程.

试卷第9页，共20页

三、填空题

12.直线3无-4y+3=0的一个方向向量是.

【答案】(答案不唯一)

【分析】

由直线方向向量的定义求解.

3

【详解】因为直线%-4》+3=0的斜率为所以直线3x-4y+3=0的一个方向向量

故答案为：(1。(答案不唯一)

13.甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获

21

胜的概率为乙获胜的概率为则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率

为.

2

【答案】1/0.4

【分析】

利用独立事件乘法公式及互斥事件的概率求法求甲获得冠军的概率、甲获得冠军且比赛

进行了3局的概率，再由条件概率公式求甲获得冠军的情况下比赛进行了三局的概率.

【详解】设甲获得冠军为事件4比赛共进行了3局为事件2,

则AB表示在甲获得冠军的条件下，比赛共进行了3局,

2221212220

//)=—X—+—X—X—+—X—X—

3333333327

2121228

P(AB)=—x—x—+—X—X—

33333327

8

所以外为')=黑?=2

205

27

2

故答案为：—.

14.已知函数/(x)及其导函数/'(X)的定义域均为R,记g(x)=/'(x),若

3

/(2x-l),g(x-2)均为偶函数,且当一口,2］时,f(x)=mx-2x,则

g(2024)=.

【答案】-6

【分析】

试卷第10页，共20页

根据题意，由函数的奇偶性以及对称性可分别推出函数“X)与g(x)的周期性，再由条

件可得用的值，结合函数的周期性即可得到结果.

【详解】因为解2#T),g(x-2)均为偶函数,

所以/(2'-1)=/(一2x-l),g(x-2)=g(-x-2),

所以函数/(尤)关于x=-l对称，函数g(x)关于》=-2对称，

由g(x_2)=g32)可得小-2)=八*2),

即J(x-2)=-J(»2)+C,C为常数，

所以/'(x-2)+/㈠-2)=C,即/(x)关于点［-2,对称，

且函数f(x)关于尤=-1对称，

所以/'(r-2)=/(x),/(x-2)+/(x)=CJ(x-4)+/(x-2)=C,故/'(x-4)=/(x),

即4是函数无)的一个周期，

由/(2x-1)=/(-2x-1)可得2/(2x-1)=-2/(-2x-1),

所以((21)+((-21)=0,即g(2x-l)+g(-21)=0,

所以g卜)关于点(T0)对称，且函数g(x)关于x=-2对称，

则g(-x-2)=-g(x),g(-x-2)=g(x-2),g(x)=-g(x-2}g(x-2)=-g(x-4),

故g(x)=g(x-4),所以4是函数g(x)的一个周期,

又当xe［l,2］时,f(x)=mx2-2x,所以g(x)=f'(x)=3加/一2,

所以g(l)=3加一2,g(2)=12及一2,

由g(x—2)=g(-x_2),令x=-3,则g(l)=g(-5)=g(3),

而g(-l)=g(3)=g⑴=0,

所以机=：,则g⑵=6,所以g⑵+g(-4)=0,

则g(2024)=g(-4)=-6.

故答案为：-6

【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性，对称性以及周期性的综合，难度

较大，解答本题的关键在于由函数奇偶性的定义推导得到函数的对称性，从而确定周期.

试卷第11页，共20页

四、解答题

15.如图，斜三棱柱NBC-44cl的底面是直角三角形，N/C8=90°,点片在底面4BC

内的射影恰好是3c的中点，且3C=C4=2.

⑴求证:平面/CG4，平面4GC2；

⑵若斜棱柱的高为百，求平面ABB,与平面4BG夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；

【分析】（1）3C中点为“，连接片/，由瓦M，NC且/C/8C,证得ZC，平面BGCB,

可证平面/CG4，平面片GC2.

（2）以C为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，向量法求两个平面夹角的余弦值.

【详解】（1）取3C中点为连接片

耳在底面内的射影恰好是8c中点，，B[M1平面ABC,

又•.,/（?<=平面ABC,:.B{MLAC,

又：N4CB=90°,：.ACIBC,

又•.・ACu平面ACCXAX,平面ACCXAX，平面BgCB.

（2）以C为坐标原点，C4cB分别为x轴，y轴，建立如图所示空间直角坐标系，

BC=CA=2,斜棱柱的高为月,

试卷第12页，共20页

A(2,0,0),B(0,2,0),A/(0,1,0),5,(0,1,V3),Q(0,-1,73),

函=(-2,1，我，在=(一2,2,0),元=(0-2,0),

设平面/Bq的一个法向量为万=(xj,z),

n-AB,—-2x+y+\/3z-0-,广

则有《—.，z=-^3<则x=y=3,n=(3,3,V3)>

万•/8=-2x+2y=0

设平面/31G的法向量为而=3,4c),

m-ABl--2a+b+gc=0

则有，令.=百，则6=0了=2,.1而=(6,0,2),

丽・跖=一力=0

I-TM同5百5

同|同,9+9+3x-3+0+47

所以平面4BB］与平面/B£夹角的余弦值为.

16.己知函数/(x)=lnx-ax,其中aeR.

⑴若曲线V=〃x)在》=1处的切线在两坐标轴上的截距相等，求a的值；

⑵是否存在实数。，使得/(x)在xe(O,e］上的最大值是一3?若存在，求出。的值;若不存

在，说明理由.

【答案】(1)。=2；

(2)存在，a=e2

【分析】

(1)结合导数的几何意义求出切线方程即可求出参数值.

(2)含参分类讨论，利用导数求函数的单调性，进而得到最大值，分别求解即可得到

参数值.

【详解】(1)则/'(1)=1一。,/(1)=一。，

X

故曲线歹=/(、)在X=1处的切线为y+〃=(—〃)(。一1),

即歹=(1-a)x-1,

当。=1时，此时切线为》=-1,不符合要求

当awl时，令x=0,有y=T,

令V=。，有X=------，故----=-1,即4=2,故4=2

1-a1—a

(2)v/(x)=lnx-ax,：.f(x)=--a=-——,

XX

①当a40时，在(o,e］上单调递增，

试卷第13页，共20页

4

・•./(%)的最大值是八。)=1—前二—3,解得。=2>0,舍去；

e

②当Q〉0时，由/(%)=4一4=^—―=0,得'=’,

xxa

当0<』<e,即4>工时，.时，/(x)>0;x£(，,e］时，/(x)<0,

ae<a)\a)

・•・/(x)的单调递增区间是(o,：),单调递减区间是1%j,

2

又/(x)在(0,e］上的最大值为-3,/./«ax=f^=-\-\na=-3,/.^=e；

当eV!，即0<。《工时，/⑴在。e］上单调递增，.•./(工濡*=/(e)=l—〃e=—3,

ae

41

解得。=—>_L,舍去.

ee

综上所述，存在。符合题意，此时〃=e2

17.记复数的一个构造:从数集｛0,1,6｝中随机取出2个不同的数作为复数的实部和虚部.

重复〃次这样的构造，可得到〃个复数，将它们的乘积记为z”.已知复数具有运算性

质:|(a+Z?i).(c+di)|=|(Q+6i)H(c+di)|,其中q也c,d£R.

(1)当〃=2时，记㈤的取值为X,求X的分布列；

⑵当〃=3时，求满足㈤42的概率；

⑶求匕“|<5的概率夕.

【答案】(1)答案见解析；

⑵二；

''27

⑶网)<5)=宇•

【分析】

(1)依题意可得构成的复数共有6个，再根据模长不同求得取值X,再求出对应概率

即可；

(2)由模长求出1231V2的所有可能组合，即可求出对应概率；

(3)列举出所有满足"|<5的组合，分别求出对应的概率即可得尸(上|<5)=臂t

【详解】(1)由题意可知，可构成的复数为｛4,抬'，6,1+匈,6+”共6个复数，

模长为|1|=|i|=L网=悔卜泡|+&卜+i|=2.

试卷第14页，共20页

X的可能取值为1,75,2,3,275,4,

C1C11C1C12

尸（X=1）=士尸（X=8r-事+Q（X=2）=CC=2_

CC9CC9C〉C79—

尸（X=3）=fC1^C1J1，尸（钎2a/-=叫C1-C1<2，尸〃=4）=旌C1C1

9*

（2）共有C[C/C；=216种,

满足㈤V2的情况有:

①3个复数的模长均为1,共有C；.C；.C；=8种;

②3个复数中，2个模长均为1,1个模长为名或者2,共有C>C；.C；.C；=48种;

所以呻口)=黑$

(3)当〃=1或2时，显然都满足，止匕时[=1;

当心3时，满足上|<5共有三种情况:

①〃个复数的模长均为1，则共有(C；)"=2";

②n-l个复数的模长为1,剩余1个模长为省或者2,则共有CL(C；rC=".2M;

③〃-2个复数的模长为1,剩余2个模长为百或者2,则共有

C；［2.©©=”（"1）.2加.

2"+〃2+i+"（〃一1）2+12"（1+2叫1+2/

故尸(㈤<5)=此时当〃=1,2均成立.

6"3"

所以网z[<5)="匚

18.在平面直角坐标系xQy中，我们把点(x,y),x/eN*称为自然点.按如图所示的规则,

将每个自然点(")进行赋值记为尸(x,y),例如P(2,3)=8,尸(4,2)=14,尸(2,5)=17.

试卷第15页，共20页

y/k

7

6ii：.

@-©-@,,?,,

4(7)-@-@-@••1•

3

⑥-⑥⑥&eg+

A

01234567X

(1)求尸am；

(2)求证:2P(x,y)=P(xTj)+尸(xj+1);

(3)如果尸(%/)满足方程P(x+1/T)+P(x,y+1)+P(x+1,y)+P(x+1/+1)=2024,求

尸(xj)的值.

【答案】⑴尸(x,i)=笥D

(2)证明见解析

(3)474.

【分析】

(1)根据图形即可得到结果;

(2)根据题意，由图形分别计算尸(羽月与尸(羽3；+1)+次》-1,»),然后代入计算，即可

证明;

(3)根据题意，将方程转化为尸(尤/+1)+3尸(x+1/)=2023,然后化简，分别计算

x+y=31与x+y=33的值，即可得到结果.

【详解】(1)根据图形可知尸(x,l)=l+2+3+…+x=*D.

(2)固定x,则P(xj)为一个高阶等差数列，且满足

?(％,J+1)—/(％,j)=x+J—1,P(x+1,y)-P(x,y)=x+y,

所以P(x,y+1)-P(x,l)=1+2H—+y+y(x-1)=D+y(x-1)

n/1、V(V+1)/八x(x+l)

P(x,y+V)=---------+y(x-l)+---,

所以尸(x,y)=+(x-l)(y-I),

其言+必尸+*-2)(了一1),所以

P(x-l,y)=

尸(x,y+l)+尸(X-1))=^^+^^+(X-2)3-1)+^^Q+MX-1)+^^

=%2+)2+2xy_3j;-%+2=2P(x,y).

试卷第16页，共20页

(3).+Ly-1)+P(%,y+1)+Ax+1,力+R.+Ly+)=2024

等价于P(x,>)+P(O+1)+尸(x+1,>)+P(x+1)+1)=2023,

等价于P(x,y+1)+3P(x+1j)=2023,

13

即-[x(x+l)+y(^+2x-l)]+-[(x+l)(x+2)+(>—1)(>+2x)]=2023,

化简得/+2xy+x2-y+x=1010«(x+y-l)(x+y)+2x=1010,

由于x+y增大，(x+y—l)(x+y)也增大，

当x+y=31时，(x+y-1)(1+y)+2x<992<1010,

当x+y=33时，(x+y-l)(x+))+2x〉1056>1010,

故当x+y=32时，(x+y—l)(x+y)+2x=1010=x=9,y=23,即

尸(9,23)=+8x22=474

22

【点睛】关键点睛：本题主要考查了数列的新定义问题，难度较大，解答本题的关键在

于理解图形的意思，然后转化为数列问题进行解答.

19.在平面直角坐标系xOy中，过点尸(1,0)的直线/与抛物线C:j?=4x交于M,N两

点(“在第一象限).

⑴当|"F|=3|而|时，求直线/的方程；

⑵若三角形。的外接圆与曲线。交于点。(异于点O,M,N),

(i)证明:△ACVD的重心的纵坐标为定值，并求出此定值；

(ii)求凸四边形。的面积的取值范围.

【答案】⑴尸氐

(2)(i)证明见解析；纵坐标为0；(ii)

I2J

【分析】

(1)设直线九W的方程为x=%+l,联立方程，由韦达定理和已知关系即可求解.

(2)(i)由O,M,D,N四点共圆，设该圆的方程为/+/+公+”=0,

联立尸J：+dx+ey=0消去》，得/+(澳+⑹/+3=0,由方程根的思想即可

[y=4x

求解.或。，M,C,N四点共圆，由NMON+NMDN=兀，tanAMON+tanZMDN=0,

也可求解.

(2)(ii)记AaWAACVD的面积分别为H.S2,分别联立方程先求出用,S2,所以

试卷第17页，共20页

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S=岳+星=2加+1+2dm2+1.|8m-i|=2，？+1(1+|8m-i|),结合根与系数的关系

进一步化简为S=2q+1(1+|8W2-1|)=16m2^m2+l,再结合导数进而求解.

【详解】(1)解:设直线MV:x=my+l,M(X],必),"(和％)

[x=my+\c

联立《2A，消去x,得4叼-4=0,

[＞一=4x

所以必+%=4九乂⑴=-4,

|MF|=3|NF|,则乂=-3%

乂+%=-2%=4〃11/O

则〃/=一,又由题意机＞0,；.7H=——)

yi-y2=_3%2=-433

直线的方程是了=瓜-省;

(2)(1)方法1：设M(X1,必),、卜2，%),。(七,%)

因