辽宁省沈阳市2023-2024学年高考冲刺数学模拟试题含解析

辽宁省沈阳市回民中学2023-2024学年高考冲刺数学模拟试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知各项都为正的等差数列｛q｝中，。2+%+。4=15,若4+2,%+4,&+16成等比数列，贝!|"=()

A.19B.20C.21D.22

2.若函数/(%)=阴-初M有且只有4个不同的零点，则实数加的取值范围是()

1

「e2)")(e\(e2l

A.一,+8B.—,+ooC.-00,一D.-00,一

4444

3.已知函数/(x)=sin(ox+0)(。>0,网<|)的最小正周期为7i,f(x)的图象向左平移个单位长度后关于V轴对

jr

称，则/(X——)的单调递增区间为()

»75»771i兀i

A.——VK7C.---\~K7lkeZB.---+K71.—+K71keZ

[36_36

»757r7711Tli

C.----F卜71,---FK71keZD.----FKTC--FK7TkeZ

121263

4.下列函数中既关于直线x=l对称，又在区间［-1,0］上为增函数的是()

A.y=sinmB.y=|x-l|

C.y=cos7ixD.'=1+小

5.盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有

一张有奖的概率为()

1374

A.—B.—C.—D.一

25105

6.已知直线2烟+利=2(m>0,〃>0)过圆(%—1)2+(丁—2)2=5的圆心，则工+工的最小值为()

mn

A.1B.2C.3D.4

7.已知定义在R上的函数/(x)满足y(x)=〃—x),且在(0,+8)上是增函数，不等式/(融+2)</(—1)对于

九41,刁恒成立，则4的取值范围是

311

A.----,-1B.—1,----C.----,0D.[0,11

222LJ

8.设a,b都是不等于1的正数，贝!|“/。8〃2</。8〃2，，是“2〃>2">2”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

9.在四边形ABC。中，AD//BC,AB=2,AD=5,BC=3,NA=60°,点E在线段CB的延长线上，且AE=鹿,

点〃在边CD所在直线上，则AM.ME的最大值为（）

7151

A.——B.-24C.——D.-30

44

10.已知。，b,c分别是ABC三个内角A,B,C的对边，acosC+^csinA—b+c>则A=（）

x+2y-5<0

2x+y-4<0

11.若实数X,y满足条件，目标函数z=2x-y,则z的最大值为（）

x>0'

21

5

A.-B.1C.2D.0

2

12.2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到4、B、。三个贫

困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A县的分法有（）

A.6种B.12种C.24种D.36种

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知等边三角形ABC的边长为1.AM=2MB，卤、N、T分别为线段BC、C4上的动点，则

ABNT+BCTM+CAMN取值的集合为.

14.在边长为2的正三角形ABC中，BD=xBA,CE=yCA,x>0,y>0,x+2y=l,则的取值范围为•

15.假设10公里长跑，甲跑出优秀的概率为乙，乙跑出优秀的概率为,，丙跑出优秀的概率为则甲、乙、丙三

324

人同时参加10公里长跑，刚好有2人跑出优秀的概率为.

16.已知（1+2%）=/++?必+•+。］0工1°+a”%"9则4—2%+—IO%。+1la”=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

221

17.(12分)已知椭圆。：=+2?=1(。〉6〉0)的离心率为一,尸是椭圆。的一个焦点，点用(0,2),直线板的斜

a'b2

率为L

(1)求椭圆C的方程；

(1)若过点"的直线/与椭圆。交于A3两点，线段的中点为N,是否存在直线/使得|/5|=2|山|?若存

在，求出/的方程；若不存在，请说明理由.

18.(12分)已知函数分(x)K2x-l|+|x+l|

(1)解不等式/(x)N3；

7222o

(2)若a、b、c均为正实数，且满足a+b+c=m,优为的最小值，求证：-+—+—

abc2

19.(12分)如图，在四面体ZMBC中，AB±BC,DA=DC=DB.

(1)求证:平面ABC，平面AC。；

(2)若/C4D=30。，二面角C—A6—。为60，求异面直线AD与8C所成角的余弦值.

20.(12分)如图，在四棱柱ABCD-A4G。中，底面ABC。是正方形，平面4。四，平面ABC。，AD=1,

AA=0.过顶点。，5的平面与棱BC,A〃分别交于M，N两点.

(I)求证：AD±DB］；

(II)求证：四边形DMB、N是平行四边形;

(in)若4。LCD,试判断二面角D—MB]—C的大小能否为45。？说明理由.

21.(12分)追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环

保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数(AQI)的检测数据，结果统计如下:

AQI[0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,300]

空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染

天数61418272510

(1)从空气质量指数属于[0,50],(50,100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；

'0,砥金100,

(2)已知某企业每天的经济损失V(单位：元)与空气质量指数x的关系式为'=220,100<%，250,,试估计该

1480,250<%，300,

企业一个月(按30天计算)的经济损失的数学期望.

22.(10分)已知函数/'(X)=V+2(。-3)x+2alnx,其中aeR.

(1)函数/Xx)在X=1处的切线与直线工-2丁+1=0垂直，求实数。的值；

(2)若函数Ax)在定义域上有两个极值点占,%,且尤

①求实数。的取值范围；

②求证：/(^)+/(^)+10>0.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

试题分析：设公差为d,a2+/+%=3%=15%=%+2d—5=>q=5—2d=>(q+2)(q+5d+16)

=(7—2d)(3d+21)=81=>2d2+7d—22=0=>4=2或d=—£(舍)=色=1=。二=1-92=19,故选A.

考点：等差数列及其性质.

2、B

【解析】

由/(%)=朋-尔2是偶函数，则只需/(%)=泌-初£在尤W(0,”)上有且只有两个零点即可.

【详解】

解：显然/(%)=加-如2是偶函数

所以只需xe(o,4w)时，/(%)=阴一如2=e*—如2有且只有2个零点即可

令ex-nvc=0>贝！I相=二

X

w\、er(x-2)

令g(x)=7，g(%)=3

xe(O,2),g，(x)<O,g(x)递减,且xfO+,g(x)f+oo

xe(2,+oo),g，(x)>0,g(x)递增，且xf+oo,g(x)f+oo

g(x)>^(2)=—

xe(0,+oo)时，/(x)=/-"z/=e*-zra?有且只有2个零点，

e2

只需用〉一

4

故选:B

【点睛】

考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围，基础题.

3、D

【解析】

先由函数/(x)=sin3x+°)的周期和图象的平移后的函数的图象性质得出函数/(x)=sin(s+e)的解析式，从而

7TJT

得出/(X—-)的解析式，再根据正弦函数/(x)=sinx的单调递增区间得出函数;'(X--)的单调递增区间，可得选

66

项.

【详解】

因为函数/（%）=5M（。%+夕）（。＞0,网＜三）的最小正周期是万，所以兀=空，即。=2,所以/（x）=sin（2x+。）,

23

/（x）=sin（2x+0）的图象向左平移今个单位长度后得到的函数解析式为

y=sin2卜+?J+0=sinl2x+-j+^j,

7

由于其图象关于y轴对称，所以《+0=/+2而/eZ,又|同＜会,所以°=兀所以/(x)=sin|2x+£j,

6

7171

所以/(x-£)=sin2x-^r+/—_—si•nG2x----,

6\666

JTJT

因为/（%）=sinx的递增区间是：—万+2%犯2%乃十万,keZ,

兀兀冗冗冗

由---+2k兀«2x----«2k7i~\—左£Z,得：-----Hk?i<犬《ki—，左£Z,

262963

兀7TTTTT

所以函数/（%—：）的单调递增区间为—7+左肛:+左"（左£Z）.

663

故选：D.

【点睛】

本题主要考查正弦型函数的周期性，对称性，单调性，图象的平移，在进行图象的平移时，注意自变量的系数，属于

中档题.

4、C

【解析】

根据函数的对称性和单调性的特点，利用排除法，即可得出答案.

【详解】

A中，当％=1时，y=sin7cc=0wl,所以y=sinju：不关于直线兀=1对称，则A错误;

二）,所以在区间］上为减函数，则错误;

B中,y=|x-l|=<1+3TOB

D中，y=f(x)=ex+e-x,而〃0)=2J(2)=e2+e-2,则/⑼w/(2),所以y=e，不关于直线x=l对

称，则。错误;

故选：C.

【点睛】

本题考查函数基本性质，根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性，属于基础题.

5、C

【解析】

先计算出总的基本事件的个数，再计算出两张都没获奖的个数，根据古典概型的概率，求出两张都没有奖的概率，由

对立事件的概率关系，即可求解.

【详解】

从5张“刮刮卡”中随机取出2张，共有Cl=10种情况，

37

2张均没有奖的情况有穹=3(种)，故所求概率为1-历=记.

故选:C.

【点睛】

本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系，意在考查数学建模、数学计算能力，属于基础题.

6,D

【解析】

圆心坐标为(1,2),代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值.

【详解】

圆(x—1)2+(y—2)2=5的圆心为(1,2),

由题意可得2m+2八=2,即机+〃=1,m,n>0,

111I、，nm*〃m——1,„

则1--=(z1--)(jn+ri)=2-\-----1—..4,当且仅当一=一且加+〃=1即m=〃=一时取等号，

mnmnmnmn2

故选：D.

【点睛】

本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，

考查运算能力，属于基础题.

7、A

【解析】

根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在(-8,0)上是减函数，由此可将不等式化为-1W公+2W1；利用分

3131

离变量法可得-2<«<--,求得-三的最大值和--的最小值即可得到结果.

XXXx

【详解】

/(X)=/(-X).•./(%)为定义在R上的偶函数，图象关于y轴对称

又/(%)在(0,+8)上是增函数.••/(力在(-8,0)上是减函数

/(ta+2).-.|at+2|<l,即-lWta+2Wl

31

—1Wox+2W1对于Xe［L2>恒成立/.——<«<——在［1,2］上恒成立

XX

3「3一

即。的取值范围为：—不一1

2L2

本题正确选项：A

【点睛】

本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单

调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.

8、C

【解析】

根据对数函数以及指数函数的性质求解a,b的范围，再利用充分必要条件的定义判断即可.

【详解】

11

由“log”2得^-----<-----

o"o"log2alog2£>

log,a<0

得〈，八或/吟心,^^心。或°>/吟。>四26，

log2b>0

0<«<l

即，或a>b>l或0<b<a<l,

b>l

由2">2">2，得

故"log：<log；”是“2">2〃>2"的必要不充分条件，

故选C.

【点睛】

本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查指数，对数不等式的解法，是基础题.

9、A

【解析】

依题意，如图以A为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据AE=5E求出E的坐标，求出边CD所

在直线的方程，设"1,-GX+56),利用坐标表示AM,ME,根据二次函数的性质求出最大值.

【详解】

解：依题意，如图以A为坐标原点建立平面直角坐标系，由AB=2,AD=5,BC=3,ZA=60°,

.-.A（0,0）,30,6）,C（4,6）,D（5,0）

因为点E在线段CB的延长线上，设E（x0,百），x0<l

AE=BE

/2+（百『=（1_/）2解得升=-1

二网-1,6）

C（4,V3）,0（5,0）

CD所在直线的方程为y=-y/3x+5y/3

因为点"在边CD所在直线上，故设"（x,-6X+56）

AM=—\（3x+5,^3

岳-4月

AM.A/E=x（-1-x）+（岳-4@卜岳+5@

=Tx?+26X-60

=-4x2+26x-60

-|Q>-1-I

当工=2时（AATME）=-—

4'/max4

故选：A

本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题.

10、C

【解析】

原式由正弦定理化简得6sinCsinA=cosAsinC+sinC,由于sinCwO,OvAv»可求A的值.

【详解】

解：由〃cosC+百csinA=b+c及正弦定理得sinAcosC+A/3sinCsinA=sinB+sinC.

因为5=〃一A-C,所以sin5=sinAcosC+cosAsinC代入上式化简得百sinCsinA=cosAsinC+sinC-

由于sinCw0,所以sin1A—石■)=/.

71

又0<A<»,故人=一.

3

故选：C.

【点睛】

本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题.

11、C

【解析】

画出可行域和目标函数，根据平移得到最大值.

【详解】

x+2y-5<0

2x+y-4<0

若实数X，y满足条件，目标函数z=2x—y

x>0

【点睛】

求线性目标函数z=or+外("wO)的最值：

当b>o时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，Z值最小；

当6<0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.

12、B

【解析】

分成甲单独到A县和甲与另一人一同到A县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到A县的分法数.

【详解】

如果甲单独到4县，则方法数有窗X尺=6种.

如果甲与另一人一同到A县，则方法数有C；x$=6种.

故总的方法数有6+6=12种.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、{-6}

【解析】

根据题意建立平面直角坐标系,设三角形各点的坐标，依题意求出NT,TM,MN,的表达式，再进行数量积的运算,最后求

和即可得出结果.

【详解】

解：以的中点。为坐标原点,8。所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为V轴建立平面直角坐标系，如图所示,

则A(0,括),8(-

则43=卜1,-6),浅=(2,0),。1=卜1,省),

设N«,0),AT=2AC,

OT=OA+AT=OA+AAC=(Q,yl3}+2(1,-^)=(2,痴-A)),

即点T的坐标为(4,73(1-2)),

则NT=(X7,6(1—2)),7711=-1-2,y^-73(l-2),MN=?+

所以AB•NT+BCTM+CA-MN

=-lx(2-r)+(-V3)xV3(l-A)+2xf-1-2j+Oxy—73(1-2)+

/

(-l)x/+|+V3x=-6

故答案为：{-6}

【点睛】

X

>

本题考查平面向量的坐标表示和线性运算，以及平面向量基本定理和数量积的运算，是中档题.

3

14、（-2,--]

【解析】

建立直角坐标系，依题意可求得。£>-5应=2盯+2x+2y—4,而尤>0,y>0,x+y=l,故可得y=l-x,且

xe(0,l),由此构造函数/(x)=-2必+2%-2,0<%<1,利用二次函数的性质即可求得取值范围.

【详解】

建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(—l,0),B(l,0),C(0,V3),设。(占，0),E{X2,为)，

根据瓦)=xR4，即(七一1,0)=%(一2,0),则石=1一2%,

CE—yCA,即(9>%—V3)=y(—1>_^3)>贝U/=~y，%=—，

所以CD•BE=(号—G)•(%—1,%)，

=^(^-1)-73y2=(l-2x)(-y-l)-3(-y+l)=2xy+2x+2^-4,

x>0,y>0,x+y^l,

.-.y=l-x,且xe(0,l),

^LCD-BE=2x(1-X)+2X+2(1-X)-4=-2X2+2X-2,

设/。)=一2/+2%—2,0<x<l,易知二次函数/(尤)的对称轴为x='，

13

故函数f(x)在[0,1]上的最大值为/(5)=-5,最小值为"))=/'⑴=—2,

3

故CDBE的取值范围为(-2,--].

3

故答案为：(-2,--].

本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力,

求解时注意通过设元、消元，将问题转化为元二次函数的值域问题.

【解析】

分跑出优秀的人为：甲、乙和甲、丙和乙、丙三种情况分别计算再求和即可.

【详解】

刚好有2人跑出优秀有三种情况：其一是只有甲、乙两人跑出优秀的概率为滑Xi-十%其二是只有甲、丙

两人跑出优秀的概率为|x1-3其三是只有乙、丙两人跑出优秀的概率为1-|卜；'；=±，三种情

况相加得工+上+L=?•即刚好有2人跑出优秀的概率为j.

4122488

3

故答案为：-

O

【点睛】

本题主要考查了分类方法求解事件概率的问题,属于基础题.

16、22

【解析】

对原方程两边求导，然后令尤=-1求得表达式的值.

【详解】

对等式(1+2%)"=%+。/+。2必++旬)％1°两边求导，得

9

22(1+2x)i°=q+++IOGJQX+1,令I=—1,贝！Iq—2a2+—10<210+114]—22.

【点睛】

本小题主要考查二项式展开式，考查利用导数转化已知条件，考查赋值法，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17、(1)—+^=1(1)不存在，理由见解析

43

【解析】

(1)利用离心率和过点用(0,2),列出等式，即得解

(D设/的方程为丁=履+2,与椭圆联立，利用韦达定理表示中点N的坐标，用点坐标表示|AB|=2|MN|,利用

韦达关系代入，得到关于左的等式，即可得解.

【详解】

C_1

a2a=2,

(1)由题意，可得解得

c=L

贝!I人2=Q2_02=3,

22

故椭圆C的方程为L+L=l.

43

(1)当直线/的斜率不存在时，

\AB|=2^,|MN|=2,|ABHMN\,不符合题意.

当/的斜率存在时，

设/的方程为丁=6+2,

f22

土+匕=1

联立｛43，得(3+4左2)/+16履+4=0,

y=kx+2,

设ACkyJK4,%），

则-T…2—

123+4左2I'3+4左2

A=（16比）2—16（3+4左2）=192左?_48>0,即左？

、r।M+为8k

设N（x°,y。），人!lx°=〒*二*

\AB\=2\MN\,

2

Jl+12k-x,|=2y/1+k|x0-0|.

则+%2）——4石龙，=2|x0|）

Hn16k4yh2k2-3

即-------=----------,

3+4左23+4左2

3

整理得左2=一一，此方程无解，故/的方程不存在.

综上所述，不存在直线/使得|AB|=2|MN|.

【点睛】

本题考查了直线和椭圆综合，考查了弦长和中点问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难

题.

18、(1){x[%,—1或X..1}(2)证明见解析

【解析】

(1)将/(九)写成分段函数的形式，由此求得不等式/(x)23的解集.

(2)由(1)求得/Xx)最小值M，由此利用基本不等式，证得不等式成立.

【详解】

~3x,x<—1,

(1)f(x)=<—x+2,—1<x<—,

当％v—l时，/(%)..3恒成立，解得XV—1；

当一掇k3时，由/(x)..3,解得尤=—1；

当x〉工时，由/(x)..3解得x..l

2

所以/(x)..3的解集为{x|x,—1或x..l}

33

(2)由(1)可求得了(尤)最小值为一，即a+Z?+c=/w=-

22

3

因为”,仇c均为正实数，且a+6+c=—

2

abcabc2

【点睛】

本小题主要考查绝对值不等式的求法，考查利用基本不等式证明不等式，属于中档题.

19、(1)证明见解析

⑵昱

6

【解析】

(1)取AC中点£连接田,EB,得ABL6C,可得以=FB=FC,

可证DFA^DFB,可得DFLFB，进而D尸，平面ABC,即可证明结论；

(2)设瓦G,“分别为边48,8,5。的中点，连DE,EF,GF,FH,HG,可得Gb//A£>,GH//BC,EF//BC,

可得NR汨(或补角)是异面直线AD与BC所成的角，可得即，AB,NDEF为二面角C—。

的平面角，即NDEF=60，设AD=a,求解AFGH,即可得出结论.

【详解】

(1)证明:取AC中点/，连接ED,EB,

由ZM=DC,则DBJ,AC,

AB±BC,则以=用=尸。，

7T

故DFgDFB,/DFB=ZDFA=-,

2

DF±AC,DF±FB,ACcFB=F

.•.OF，平面ABC,又D尸u平面AC。，

故平面ABC_1_平面ACD

(2)解法一:设G,H分别为边8,8。的中点，

地FGIIAD,GHIIBC,

ZFGH(或补角)是异面直线AD与所成的角.

设E为边的中点，则即/ABC,

由ABLBC,知所，AB.

又由(1)有D尸，平面ABC,，。A3,

EFZ)/=平面。

所以NDEF为二面角C—AB—D的平面角，.•./£>石尸=60，

设DA=DC=DB=a,则=ADNCAD=幺

2

在RtADEF中,EF^--—^—a

236

科GH，BC=EF=®a

26

在HfVBD/中，FH=-BD=~,

22

又PG=LAD=@,

22

从而在.FGH中,因FG=FH,

LGH

cosZFGH=-.......

FG6

因此，异面直线AD与6C所成角的余弦值为立

6

解法二:过点/作9，AC交AB于点M,

由(1)易知尸CEO,尸”两两垂直，

以R为原点，射线月0,尸。,尸。分别为x轴，

y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系尸-孙z.

不妨设A£>=2,由Cr>=AT),NC4O=30°,

易知点A,C,。的坐标分别为A(0,-A/3,0),C(0,A/3,0),D(0,0,1)

则A£>=(O,A1)

显然向量上=(0,0,1)是平面ABC的法向量

已知二面角C—。为60°,

设8(根,",0),则加2+n2=3,AB=(m,n+6,0)

设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),

+z=0

ADn=06y

则=><

ABn=0++=0

,（n+垂）、fzy

令y=l,贝！J"=|------,1,-A/3

mJ

\k-n\

cos<k,n>=

2

由\k\\n\

4+7+封

、m，

由上式整理得9〃2+2岛-21=0,

解之得〃=-6(舍)或〃=拽

9

.•.flfl—,—,0^:.CB

I99J『丁'一行'J'

2

ADCB§

cos<AD,CB>=6

ADCB工一

3

因此，异面直线A。与BC所成角的余弦值为立

6

【点睛】

本题考查空间点、线、面位置关系，证明平面与平面垂直，考查空间角，涉及到二面角、异面直线所成的角，做出空

间角对应的平面角是解题的关键，或用空间向量法求角，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.

20、(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)不能为45°.

【解析】

(1)由平面4。与，平面ABC。，可得AO,平面AQA，从而证明4。，。用；

(2)由平面ABC。与平面ABC。没有交点，可得DM与NB]不相交，又DM与Ng共面，所以DM//NB「同理

可证DN//MB],得证；(3)作CELMB[交MB]于点E,延长CE交BB】于点F,连接OE,根据三垂线定理，

确定二面角。-Mg-C的平面角NCED,若NCED=45，CE=CD=1,由大角对大边知CF<5C=1,两者矛

盾，故二面角D-MB.-C的大小不能为45°.

【详解】

(1)由平面4。g，平面ABC。，平面4。与平面A6CD=CD,

且ADLCD,所以AD,平面AQ3],

又U平面所以用；

(2)依题意。，M,ByN都在平面。用上，

因此DM0平面OB-NB17平面DB],

又DM0平面ABC。，A"三平面ABC。，

平面ABC。与平面ABC。平行，即两个平面没有交点，

则DM与NB、不相交，又DM与NB、共面，

所以DM/1NB],同理可证ZW//M31，

所以四边形DMBXN是平行四边形；

(3)不能.如图，作CE_LMB1交MB1于点E,延长CE交8用于点尸，连接°石，

A

由AD±CD,A^D±AD^D,

所以CD,平面则CD，平面3CC4,又CELMB],

根据三垂线定理，得到。所以NCED是二面角。-“与-C的平面角,

若NCED=45，贝!ICED是等腰直角三角形，CE=CD=1,

又NCFB=NB[EF+NFB[E=94+ZFB1E>90,

所以CFB中,由大角对大边知B<5C=1,

所以CE<CF<1,这与上面CE=CD=1相矛盾，

所以二面角。-Mg-C的大小不能为45。.

【点睛】

本题考查了立体几何中的线线平行和垂直的判定问题，和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推

理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，属中档题.

23

21、（1）——（2）9060元

114

【解析】

⑴根据古典概型概率公式和组合数的计算可得所求概率；（2）任选一天，设该天的经济损失为X元，分别求出

P（x=o）,P（X=220）,P（X=1480）,进而求得数学期望，据此得出该企业一个月经济损失的数学期望.

【详解】

解：（1）设自为选取的3天中空气质量为优的天数，则

=16<14।1611423

尸偌）尸隹）尸仁）

-2==2+=333

一c~20c~20H4

(2)任选一天，设该天的经济损失为X元，则X的可能取值为0,220,1480,

701

p(x=o)=p(»100)=^=-,

707

P(X=220)=P(100<X,250)=音=5，

P(X=1480)=P(250<x,,300)=^=^,

171

所以£X=Ox—+220x—+1480x—=302