哈尔滨市某中学2022年高考数学三模试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

9

1.函数〃力=2、——a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()

A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)

2.函数y=—的部分图象如图所示，贝！)(OA+OB^AB=()

A.6B.5C.4D.3

3.设集合4={中2—%—2>o},B={x|log2x<2},则集合(CRAHB=

A.-1<x<2jB.1x|0<x<2jC.1x|0<x<4jD.|x|-l<x<4j

4.已知复数z满足z(l—i)=2,其中i为虚数单位，则z—1=().

A.iB.-iC.1+zD.1-z

5.已知A,B,C,。是球。的球面上四个不同的点，若43=40=03=DC=5c=2,且平面O5C_L平面ABC,

则球。的表面积为()

20〃15〃,

A.------B.------C.6»D.57r

32

6.命题“V%>0,%(九+1)>(九一if”的否定为()

A.Vx>0,x(x+1)>(x-1)2B.Vx,,0,x(x+1)>(x-1)2

C.Bx>0,x(x+1)„(x-1)2D.3x„0,x(x+1)>(x-1)2

7.已知等差数列{%}中，若3%=2%,则此数列中一定为0的是()

A.%B.a3C.a8D.al0

8.^a=log0080.04,b=log030.2,C=0.3°°4,则。、b、c的大小关系为（）

A.c>b>aB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c

9.在平面直角坐标系xQy中，已知点A（0,-2）,N（l,0）,若动点〃满足盟=后，则OMON的取值范围是

（）

A.[0,2]B.[。,2@

C.[-2,2]D.[-272,272]

10.已知集合A={xeN|y=={x|x=2”,"eZ},则AB=（）

A.[0,4]B.[0,2,4}C.{2,4}D.[2,4]

11.已知抛物线V=4x的焦点为歹，抛物线上任意一点P,且产轴交y轴于点Q,则PQ・P尸的最小值为（）

11

A.--B.--C.-ID.1

42

12.下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥.在圆内随机取一点，则该点取自阴

影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（）

114«

A.-B.-C.——1D2--

23万71

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.“直线A：融+丁+1=0与直线/2：4%+。丁+3=0平行”是““=:2”的_______条件（填“充分不必要”、“必要不充

分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）.

x-y+2W0

14.设变量x,V满足约束条件x+2y—420,则目标函数z=x—2y的最小值为_____.

y-3<0

15.已知全集。={T0,l},集合A={0,kl},则gA=_____.

2-|x|,x<2,

16.已知函数〃x）={1'函数g（x）=b-〃2-幻,其中*R,若函数y=/（X）-g（x）恰

（九一2）,x>2,

有4个零点，则b的取值范围是_________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）为了解网络外卖的发展情况，某调查机构从全国各城市中抽取了100个相同等级地城市，分别调查了甲

乙两家网络外卖平台（以下简称外卖甲、外卖乙）在今年3月的订单情况，得到外卖甲该月订单的频率分布直方图，

（1）现规定，月订单不低于13万件的城市为“业绩突出城市”，填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有90%的

把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.

业绩突出城市业绩不突出城市总计

外卖甲

外卖乙

总计

（2）由频率分布直方图可以认为，外卖甲今年3月在全国各城市的订单数Z（单位：万件）近似地服从正态分布

N"）,其中〃近似为样本平均数最（同一组数据用该区间的中点值作代表），b的值已求出，约为3.64,现把频

率视为概率，解决下列问题：

①从全国各城市中随机抽取6个城市，记X为外卖甲在今年3月订单数位于区间（4.88,15.8）的城市个数，求X的数

学期望；

②外卖甲决定在今年3月订单数低于7万件的城市开展“订外卖，抢红包”的营销活动来提升业绩，据统计，开展此活

动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平，现从全国各月订单数不超过7万件的城市中采用分层抽样

的方法选出100个城市不开展营销活动，若每按一件外卖订单平均可获纯利润5元，但每件外卖平均需送出红包2元,

则外卖甲在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元？

附：①参考公式：K2=------丛㈣—----------,其中〃=Q+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

参考数据:

PgNk。）0.150.100.050.0250.0100.001

k°2.7022.7063.8415.0246.63510.828

②若Z-N（",（J2）,则P"—o<Z<〃+b）=0.6826,P（/z-2cr<Z<//+2a）=0.9544.

2

18.（12分）椭圆C：j+y=l(a〉6〉0)的右焦点F(、历,0)过点尸且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为

Fx

a

3VL

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点(2,0)且斜率不为0的直线与椭圆C交于时，N两点.。为坐标原点，A为椭圆C的右顶点，求四边形

OMAN面积的最大值.

c

19.(12分)已知AABC中，角A,B,C的对边分别为。,c,已知向量根=(cos52cos?——1),n=(c,b-2a)

2

且7〃•"=0•

(1)求角C的大小；

(2)若AABC的面积为26，a+b=6,求c.

20.(12分)已知。>0,Z»0,a+b-2.

(I)求工+’的最小值；

ab+1

(II)证明：

baab

21.(12分)已知函数/(x)=|x-a|

(1)当a=—1时，求不等式/(%)<|2%+1|-1的解集；

(2)若函数g(x)=/(x)—1%+3］的值域为4,且［―2』］74,求。的取值范围.

22

22.（10分）如图，设点6（1,0）为椭圆E：T+打=1（。〉6〉0）的右焦点，圆C：（x—。）2+/=/,过后且斜率为

左（左＞0）的直线/交圆。于A,3两点，交椭圆E于点P,Q两点，已知当左=退时，AB=2瓜.

（1）求椭圆E的方程.

（2）当Pg=当时，求APQC的面积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

显然函数/'（x）=2x——a在区间（1,2）内连续，由“X）的一个零点在区间（1,2）内，则/⑴〃2）＜0,即可求解.

【详解】

2

由题，显然函数/■（%）=2H——a在区间（1,2）内连续，因为/（无）的一个零点在区间（1,2）内斯以/⑴〃2）＜0,即

（2-1-a）＜0,解得0＜a＜3,

故选:C

【点睛】

本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.

2.A

【解析】

根据正切函数的图象求出4、5两点的坐标，再求出向量的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出结果.

【详解】

由图象得，令y=tan—x——=0,即一x----kn,keZ

<42)42

k=0时解得x=2,

令〉=tan|—u|=1,即一x——=—，解得x=3,

142J424

A(2,0),3(3,l),

:.OA=(2,0),05=(3,1),AB=(1,1),

.-.((9A+C>B)AB=(5,1)(1,1)=5+1=6.

故选：A.

【点睛】

本题考查正切函数的图象，平面向量数量积的运算，属于综合题，但是难度不大，解题关键是利用图象与正切函数图

象求出坐标，再根据向量数量积的坐标运算可得结果，属于简单题.

3.B

【解析】

先求出集合4和它的补集，然后求得集合B的解集，最后取它们的交集得出结果.

【详解】

对于集合A,(x—2)(%+1)>0,解得x<—1或无>2,故CM=[—1,2卜对于集合$1。82工〈2=10824,解得0<%44.

故(CRA)C6=(O,2].故选B.

【点睛】

本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元

二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为0,然后通过因式分解，求得对应的一元二

次方程的两个根，再利用“大于在两边，小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.

4.A

【解析】

先化简求出z,即可求得答案.

【详解】

因为z(l—i)=2,

22(1+/)2(1+z)

所以z=；一:

(f)~2-

所以z—1=1+1—1=，

故选：A

【点睛】

此题考查复数的基本运算，注意计算的准确度，属于简单题目.

5.A

【解析】

由题意画出图形，求出多面体外接球的半径，代入表面积公式得答案.

【详解】

如图，

取BC中点G,连接AG,DG,则AGLBC,DG1BC,

分别取ABC与DBC的外心E,F,分别过E,F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于O,

则O为四面体A-BCD的球心，

由AB=AC=DB=DC=BC=2,得正方形OEGF的边长为且,A/6

则OG=

3V

•••四面体A—BCD的外接球的半径R=VOG2+BG2=J母y+仔二岛

二球O的表面积为47rX(^|)2=一

故选A.

【点睛】

本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题.

6.C

【解析】

套用命题的否定形式即可.

【详解】

命题“X/XGM,p(x)”的否定为TXe所以命题“Vx>0,x(x+1)>(%-1)2”的否定为

"Hr>0,x(x+1)<(x-1)?

故选：C

【点睛】

本题考查全称命题的否定，属于基础题.

7.A

【解析】

将已知条件转化为q,d的形式，由此确定数列为0的项.

【详解】

由于等差数列｛4｝中3%=2。7,所以3(4+4d)=2(q+6d),化简得%=0,所以%为0.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查等差数列的基本量计算，属于基础题.

8.D

【解析】

22

因为a=log0080.04=210go080-=log师0->log师1=°，b=log030.2>log031=0,

所以‘=log。，疝丽」=log。，0.3且y=log02x在(0,+。)上单调递减，且7008<0.3

ab

所以一>—,所以h>a,

ab

又因为a=log^^0.2>log^^=1,c=O,3004<0.3°=1>所以a>c,

所以Z?>a>c.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用指对数函数的单调性比较指对数的大小，难度一般.除了可以直接利用单调性比较大小，还可以根据中间

值“0,1”比较大小.

9.D

【解析】

设出M的坐标为(x,y),依据题目条件，求出点M的轨迹方程f+(y-2)2=8,

写出点〃的参数方程，则0M.0N=2啦cos。，根据余弦函数自身的范围，可求得OMON结果.

【详解】

设M(x,y),则

喘M爪2)

...J/苫

/.x2+(y+2)2=2(x2+/)

Ax2+(y-2)2=8为点M的轨迹方程

x=2A/2COS0

...点M的参数方程为(。为参数)

y=2+20sin0

则由向量的坐标表达式有:

OM-ON=242cos0

又：cos6e|-l』]

OMON=272cos0e[-272,272]

故选：D

【点睛】

考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积,

属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法

10.B

【解析】

计算A={0,l,2,3,4},再计算交集得到答案

【详解】

4={%€加丁="^}={0,1,2,3,4},3=3工=2",〃62}表示偶数，

故AB={0,2,4).

故选：B.

【点睛】

本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力.

11.A

【解析】

2、

设点尸一y，y，则点Q(O,y),歹(1,0),利用向量数量积的坐标运算可得PQ，b=A(y2-2丫-；，利用二次函

(4)

数的性质可得最值.

【详解】

解：设点P,则点Q(0,y),尸(1,0),

/2A(2\

PQ=-J,0,PF=

I4JI4J

■,PQ.PF=Lyt^

I4,

当y2=2时，PQ.Pb取最小值，最小值为-L.

4

故选：A.

【点睛】

本题考查抛物线背景下的向量的坐标运算，考查学生的计算能力，是基础题.

12.C

【解析】

令圆的半径为1,则尸=h=不2(>2)=3_],故选

S7171

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.必要不充分

【解析】

先求解直线Z1与直线12平行的等价条件，然后进行判断.

【详解】

“直线A：依+y+l=O与直线自4%+砂+3=0平行”等价于。=±2,

故“直线A：依+y+l=O与直线自4无+分+3=0平行”是7=2"的必要不充分条件.

故答案为：必要不充分.

【点睛】

本题主要考查充分必要条件的判定，把已知条件进行等价转化是求解这类问题的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.

14.-8

【解析】

17

通过约束条件，画出可行域，将问题转化为直线y=—X—-在y轴截距最大的问题，通过图像解决.

22

【详解】

由题意可得可行域如下图所示：

12

令y=5,贝！JZmin即为在y轴截距的最大值

由图可知：

1z

当y=]X—j过A（—23）时，在丁轴截距最大

』=-2-2x3=-8

本题正确结果：-8

【点睛】

本题考查线性规划中的z=or+外型最值的求解问题，关键在于将所求最值转化为在V轴截距的问题.

15.{-1}

【解析】

根据题意可得出A={0」},然后进行补集的运算即可.

【详解】

根据题意知，|x|二l,

.-.A={0,l},[/={-1,0,1),

；4A={—1}.

故答案为：{-I}.

【点睛】

本题考查列举法的定义、全集的定义、补集的运算，考查计算能力，属于基础题.

【解析】

[2-凡x<2,

仆-2）2x>2,

2—12—x|,x.0

.-./（2-x）={

x2,x<0

函数yR(x)-g(x)恰好有四个零点，

方程H*)-g(x)=o有四个解，

即f(x)+f(2-x)-b=a有四个解，

即函数y43)侦2-幻与y=Z>的图象有四个交点,

%2+%+2,x<0

y=/(x)+/(2—x)={2,0>2,

x2-5x+8,x>2

作函数y/x)t/(2-x)与y=b的图象如下，

结合图象可知,

7

一<b<29

4

故答案为q,2；

点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求

值，当出现A/S))的形式时，应从内到外依次求值.

⑵当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量

的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)见解析，有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.(2)①4.911②100万元.

【解析】

(1)根据频率分布直方图与频率分布表，易得两个外卖平台中月订单不低于13万件的城市数量，即可完善列联表.

通过计算K?的观测值，即可结合临界值作出判断.

(2)①先根据所给数据求得样本平均值"根据所给今年3月订单数区间，并由1及b求得〃-2b=4.88,

〃+c=15.8.结合正态分布曲线性质可求得P(4.88<Z<15.8),再由二项分布的数学期望求法求解.②订单数低于7

万件的城市有［3,5)和［5,7)两组，根据分层抽样的性质可确定各组抽取样本数.分别计算出开展营销活动与不开展营销

活动的利润，比较即可得解.

【详解】

(1)对于外卖甲：月订单不低于13万件的城市数量为100x(0.1+0.05+0.04+0.01)x2=40,

对于外卖乙：月订单不低于13万件的城市数量为20+20+10+2=52.

由以上数据完善列联表如下图，

业绩突出城市业绩不突出城市总计

外卖甲4060100

外卖乙5248100

总计92108200

且心的观测值为k=2~x黑行2.899>2,706,

...有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.

(2)①样本平均数

x=4x0.04+6x0.06+8x0.10+10x0.10+12x0.30+14x0.20+16x0.10+18x0.08+20x0.02=12.16

R-2a=12.16-2x3.64=4.88,

〃+b=12.16+3.64=15.8

故P(4.88<Z<15.8)=—2bvZv〃+b)

=g尸(〃-2a<Z<//+2b)+gP(R+

=1(0.6826+0.9544)=0.8185,

0.8185),

X的数学期望E(x)=6x0.8185=4.911,

9

②由分层抽样知，则100个城市中每月订单数在区间［3,5)内的有100'1=40(个)，

a

每月订单数在区间［6,7］内的有100x1=60(个)，

若不开展营销活动，贝！I一个月的利润为40x4x5+60x6x5=2600(万元)，

若开展营销活动，则一个月的利润为100x9x(5—2)=2700(万元)，

这100个城市中开展营销活动比不开展每月多盈利100万元.

【点睛】

本题考查了频率分布直方图与频率分布表的应用，完善列联表并计算K?的观测值作出判断，分层抽样的简单应用，综

合性强，属于中档题.

22

18.(1)—+^-=1(2)最大值

【解析】

OA2I—

(1)根据通径工=3g和°=起即可求

a

(2)设直线方程为1=2V+2,联立椭圆，利用S四边形7V=S0AM+S0A7V,用含用的式子表不出

S四边形OMAN-SOAM+SOAN，用f=,3'+2换元，

_8^31_8A/3

可得3四边形0M.=百］=­2,最后用均值不等式求解.

1+/t+-

t

【详解】

22

解：(1)依题意有c=,a=2V29b=瓜,所以椭圆的方程为J=1.

86

(2)设直线跖V的方程为无=阳+2,联立86一，得(3i,m2+4)y2+12my—12=0.

x=my+2

—12m-12

所以,+%=——9，X%=——O

3m2+4123m2+4

2卬|+；*2阳%|=阳%-

所以S四边形OM42V=SOAMOAN=­X

—12m2-128A/3布+2

=行=叵I-4

加2+43m2+43/n2+4

令/=13疗+2,贝12夜，

_873?_8732—

所以四边形一”75——2,因72夜，贝心+―22夜，所以S四边形。跖小三2遥，当且仅当/=夜，即加=0

tH—t

t

时取得等号，

即四边形OMAN面积的最大值2瓜.

【点睛】

考查椭圆方程的求法和椭圆中四边形面积最大值的求法，是难题.

式

19.(1)C=—;(2)c=2V3.

3

【解析】

试题分析：(1)利用已知及平面向量数量积运算可得。os6+。-2a)cosC=0,利用正弦定理可得

sinA=2sinAcosC,结合sinA/0,可求cosC=L从而可求C的值；(2)由三角形的面积可解得H=8,利用余

2

弦定理可得(。+与2-3出?=。2,故可得J

试题解析：⑴Vm=(cosB,cosC),n={c,b-2a),m-n=0,

/.ccosB+[b-2a)cosC=0,

/.sinGcosB+(sinB-2sinA)cosC=0,

即sinA=2sinAcosC,又VsinAw0,:.cosC=—,

2

又VCee，%),C=q.

⑵|«teinC=2^/3,：,ab^,

又H=〃+〃一2。人cosC,即(〃+Z?)2_3ab=c2,:.c2=12,

故c=2百.

4

20.(I)最小值为一；(II)见解析

3

【解析】

(1)根据题意构造平均值不等式，结合均值不等式可得结果；

(2)利用分析法证明，结合常用不等式和均值不等式即可证明.

【详解】

11If11，〃

(I)-+-~7=--+-~-3+3+1)]

a/?+13\ab+1)

,111cZ?+la4

则一+----=—2+H---------->—

ab+13aZ?+l3

a+b=231

当且仅当47―即。=一，6二一时,

〃=5+122

114

所以一+；—的最小值为彳.

ab+13

(II)要证明：

baab

只需证：—I---------20,

baab

即证明：a~+b~2>0,

ab

由a>0,b>0,

也即证明：a2+b2>2.

因为a+2K归+”,

2V2

所以当且仅当a=b时，有J"；"之1，

即片+尸》2,当a=6=1时等号成立.

,ab、2

所以:+-2

baab

【点睛】

本题考查均值不等式，分析法证明不等式，审清题意，仔细计算，属中档题.

21.(1){%|九<一1或x，l}(2)(-oo,-5]o[-l,+oo)

【解析】

(1)分类讨论去绝对值即可；

(2)根据条件分-3和壮-3两种情况，由[-2,1]UA建立关于。的不等式，然后求出。的取值范围.

【详解】

(1)当a=-l时，f(x)=|x+l|.

(x)乎x+l|-1,.,.当烂T时，原不等式可化为-xTW-2x-2,...烂T；

当-l<x<-工时，原不等式可化为x+lW-2x-2,...烂-1,此时不等式无解；

2

当x2-工时，原不等式可化为x+lS2x,

2

综上，原不等式的解集为3烂-1或x>l}.

3+a,x<a

(2)当aV-3时，g(x)=<2x-a+3,a<x<-39

—ci—3,x—3

，函数g(x)的值域4={泪3+40/-a-3}.

〃+3V—2

V[-2,1]CA,,：.a<-5；

-tz-3>1

3+a,xW—3

当蛇-3时,g(x)=<2x—a+3,-3<x<—3,

-a-3,x>a

/.函数g(x)的值域A=[x\-a-3<x<3+a}.

-a-3<-2

V[-2,1]CA,/.a>-l.

3+a>l

综上，〃的取值范围为(-8,-5]U[-1,+oo).

【点睛】

本题考查了绝对值不等式的解法和利用集