宁夏石嘴山2024届高三适应性调研考试数学试题含解析

宁夏石嘴山一中2024届高三适应性调研考试数学试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z满足z-i=z+i,则三在复平面上对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知直线〃和平面&,若mJ_a,贝！是""〃1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.不充分不必要

3.已知向量。=（1,0）,b=（l,5,则与2a—〃共线的单位向量为（）

4.已知函数/（x）=|cosx|+sinx,则下列结论中正确的是

①函数/（x）的最小正周期为冗；

②函数/（X）的图象是轴对称图形；

③函数/（X）的极大值为0；

④函数/Xx）的最小值为-1.

A.①③B.②④

C.②③D.②③④

5.正项等差数列｛4｝的前“和为S”,已知%+%-娠+15=0,则Sg=()

A.35B.36C.45D.54

6.我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜

塞并大斜塞减中斜幕，余半之，自乘于上；以小斜易乘大斜幕减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.其实

质是根据三角形的三边长。，b,。求三角形面积S,即5=，；[〃。2—（。2+；—'）2].若AABC的面积S=半,

a=5b=2,贝!IsinA等于()

755VTT吏l或叵

-

lo记~6~

7.已知点A(—3,0),8(0,3),若点尸在曲线y=—&一f上运动,则△243面积的最小值为(

8.已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且(S“+1)(S"+2+1)=(S〃M+1)2(〃CN*),6=1,g=2,贝！JS“=()

77+1)

C.2"—1D.2,i+1+1

9.设数列{4}("eN*)的各项均为正数，前〃项和为S“，Iog2/+i=l+log24,且%=4,则其=()

A.128B.65C.64D.63

10.设/(力=加可，若函数g(x)=/(x)-依在区间(01)上有三个零点，则实数。的取值范围是()

11.将3个黑球3个白球和1个红球排成一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不相邻的排

法共有()

A.14种B.15种C.16种D.18种

12.设函数/(x)=ln(l+W)—不二，则使得"x)>“l)成立的x的取值范围是().

J.十X

A.(1,+℃)B.(^»,-l)U(l,+co)

C.(-1,1)D.(-l,0)U(0,l)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在AABC中，角所对的边分别为名4c,S为AABC的面积，若c=2acos3,S=工/一工。?，则AABC

24

的形状为，。的大小为.

14.已知函数/(x)=sin[0x+£](。>0)在区间[肛2»)上的值小于0恒成立，则0的取值范围是.

15.已知集合人={%|%=2左一1,左eZ},B=[x]x=2k,k&Z],则A'B=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)随着电子阅读的普及，传统纸质媒体遭受到了强烈的冲击.某杂志社近9年来的纸质广告收入如下表所

示:

年份201020112012201320142015201620172018

时间代号，1234567891

广告收入y(千万元)22.22.52.832.52.321.8

根据这9年的数据，对，和V作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.243；

根据后5年的数据，对才和y作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.984.

(1)如果要用线性回归方程预测该杂志社2019年的纸质广告收入，现在有两个方案,

方案一：选取这9年数据进行预测，方案二：选取后5年数据进行预测.

从实际生活背景以及线性相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适？

附：相关性检验的临界值表：

小概率

n-2

0.050.01

30.8780.959

70.6660.798

(2)某购物网站同时销售某本畅销书籍的纸质版本和电子书，据统计，在该网站购买该书籍的大量读者中，只购买电

子书的读者比例为50%,纸质版本和电子书同时购买的读者比例为10%,现用此统计结果作为概率，若从上述读者

中随机调查了3位，求购买电子书人数多于只购买纸质版本人数的概率.

18.(12分)《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高

考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为

A、B+、B、C+、C、。+、D、E共8个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%,

16%、24%、24%、16%、7%、3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依

照等比例转换法则，分别转换到［91,100］、［81,90］、［71,80］、［61,70］、［51,60］、［41,50］、［31,40］、［21,30］八个

分数区间，得到考生的等级成绩.某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测

试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N(60,169).

(1)求物理原始成绩在区间(47,86)的人数;

(2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间［61,80］的人数，求X的

分布列和数学期望.

(附：若随机变量&〜N(〃,b2),则P(〃—b<J<〃+b)=0.682,尸(〃一2b<J<〃+2b)=0.954,

P(N-3bvJv〃+3CT)=0.997)

--n

19.(12分)在直角坐标系xQy中，曲线G的参数方程为"C°Sa(e为参数)，以坐标原点。为极点，x轴

y=sina

的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为夕cos。+2sin。+4=0.

(1)求曲线G的普通方程和曲线°2的直角坐标方程；

(2)若点P在曲线G上，点Q在曲线。2上，求IPQI的最小值及此时点尸的坐标.

20.(12分)超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于

滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什

么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需

要检验血液是否为阳性，现有〃(“eN*)份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：

(1)逐份检验，则需要检验〃次；

(2)混合检验，将其中左(kwN*且上上2)份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这4份的血

液全为阴性，因而这上份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这4份血液究竟哪几份为阳

性，就要对这左份再逐份检验，此时这A份血液的检验次数总共为k+1次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本

的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p.

(D假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全

部检验出来的概率；

(2)现取其中左(左wN*且左22)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为刍，采用混合检验

方式，样本需要检验的总次数为多.

(i)试运用概率统计的知识，若％=E3试求p关于左的函数关系式〃=/伙)；

,1

(ii)若。=1-源，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，

求k的最大值.

参考数据：In2®0.6931,In3«1.0986,In4«1.3863,ln5«1.6094,In6yl.7918

21.(12分)如图，在三棱锥P—ABC中，PA=PB=AB=2,BC=3,ABC=90，平面RIB，平面ABC,

D、E分别为AB、AC中点.

(1)求证：AB±PE,

(2)求二面角A——E的大小.

5

22.(10分)记抛物线Uy?=2px(p〉0)的焦点为P，点。,E在抛物线C上，且直线。石的斜率为1,当直线OE

过点尸时，1。£|=4.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若G(2,2),直线DO与EG交于点H,DI+EI=0^求直线印的斜率.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

设2=。+初(a,AeR),由z-i=z+i得：(a+万)i=a+S+l)i,由复数相等可得a,6的值，进而求出即可得解.

【详解】

z=a+bi(a,beR),由z-i=z+i得：+=a+S+l)i,ai-b=a+(b+l)z,

1

-b=a21]-1111

由复数相等可得：,,，解之得：「则所以z=二+7，，在复平面对应的点的坐标为(二),

'a=b+lb,=—1222222

[2

在第一象限.

故选：A.

【点睛】

本题考查共朝复数的求法，考查对复数相等的理解，考查复数在复平面对应的点，考查运算能力，属于常考题.

2、B

【解析】

由线面关系可知相」〃，不能确定“与平面C的关系，若“〃1一定可得/"」〃，即可求出答案.

【详解】

ml.a,ml.n,

不能确定〃ua还是〃aa,

.,.加nila,

当nlla时，存在aua,nila,,

由根_La=>7〃_La,

又M/a,可得加J_〃，

所以“n”是"nlla”的必要不充分条件，

故选：B

【点睛】

本题主要考查了必要不充分条件，线面垂直，线线垂直的判定，属于中档题.

3、D

【解析】

根据题意得，2。-b=(1,-6)设与2。—沙共线的单位向量为(乂丁)，利用向量共线和单位向量模为1,列式求出羽y即

可得出答案.

【详解】

因为a=(1,0),b=(1,A/3)>则2d=(2,0),

所以2a—6=(1,-G),

设与2a-b共线的单位向量为(羽y),

—y/3x-y=0

则

x2+/=1

11

x=一X=——

22

解得或<

百百

,=工y=T

所以与2a-方共线的单位向量为

故选：D.

【点睛】

本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义.

4、D

【解析】

因为/（X+兀）=|cos（x+兀）|+sin（x+兀）=|cosx|-sinxwf（x）,所以①不正确；

因为，（尤）Ncosx|+sinx,所以/（1+x）=|cos（1+x）|+sin（T+x）=|sinx|+cosx,

/（|-x）=|cos（f-x）|+sin（|-x）=|sinx|+cosx,所以吗+幻=吗一人

所以函数〃x）的图象是轴对称图形，②正确；

易知函数/（X）的最小正周期为2万，因为函数/■（©的图象关于直线x=£对称，所以只需研究函数/（X）在［看,3］上

的极大值与最小值即可.当工阳时，/（x）=-cosx+sinx=V2sin（x-5,且号，令=得

22444442

X=—,可知函数f（x）在X=三处取得极大值为金，③正确；

44

因为「x-上手，所以-1W缶in（x-2）w3,所以函数/Xx）的最小值为-1,④正确.

4444

故选D.

5、C

【解析】

由等差数列｛4｝通项公式得%+。7-%2+15=0,求出应，再利用等差数列前〃项和公式能求出S9.

【详解】

正项等差数列｛4｝的前n项和S,,

%+%—药+15=0,

—2%—15=0,

解得%=5或。5=-3（舍），

9_

S9=—（a,+tz9）=9a5=9x5=45,故选C.

【点睛】

本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题.解等差数列问题要注意应用等差数列的性质

%,+/=%+%=2%（。+q=m+〃=2r）与前"项和的关系.

6、C

【解析】

将5=且，a=也,b=2,代入S=JL[/C2—(.c2+a2-b2

.)2],解得，=5/2=9,再分类讨论，利用余

2V42

弦弦定理求cosA,再用平方关系求解.

【详解】

已知S=®,a=Ab=2,

2

代入s也…S'

得J*-(二』=4^

即c4-12c2+45-0，

解得c2-5,c2-9)

A22_2,sinA=71-cos2A=痘

当/=5时，由余弦弦定理得：cos/=

2bc1010

人232_2s

当/=9时，由余弦弦定理得：cosA=3^——,sinA=A/1-cos2A=—

2bc66

故选：C

【点睛】

本题主要考查余弦定理和平方关系，还考查了对数学史的理解能力，属于基础题.

7、B

【解析】

求得直线A5的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得尸位于(-1,0),结合点到直线的距离公式和两点的距离

公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值.

【详解】

解：曲线y=—Ji表示以原点。为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图,

直线的方程为％-丁+3=0,

可得|A例=30，由圆与直线的位置关系知P在(T0)时，P到直线距离最短，即为：1+5=友,

则XPAB的面积的最小值为』x3后x行=3.

2

故选：B.

【点睛】

本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结

合思想易得.

8、C

【解析】

根据已知条件判断出数列｛S"+l｝是等比数列，求得其通项公式，由此求得s“.

【详解】

由于(S.+1)(S“+2+1)=(S“+I+1)2(〃WN*),所以数列｛s“+l｝是等比数列，其首项为SI+l=q+l=2,第二项为

4

S2+l=«1+«2+l=4,所以公比为5=2.所以S“+1=2",所以S'=2"—l.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，属于基础题.

9、D

【解析】

根据log2%+i=l+log24,得到logz4+i=log22a“，即q+i=2a“，由等比数列的定义知数列｛%,｝是等比数列，然

后再利用前〃项和公式求臬.

【详解】

因为lOg2—l+log2a„,

所以log?%=1鸣2。“，

所以。〃+i=24,

所以数列｛4｝是等比数列,

又因为%=4,

所以q=-r=7=1»

q4

lx

=63•

故选：D

【点睛】

本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前“项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

10、D

【解析】

令g(x)=/(x)-依=0,可得/(x)=av.

在坐标系内画出函数/（x）=|liu|的图象（如图所示）.

当X>1时，/(%)=111¥.由丁=111%得)/=工.

设过原点的直线y="与函数y=/"x的图象切于点A（Xo，lnXo）,

Inx0=ax0\x0=e

则有_1，解得1.

a=——a——

〔不〔e

所以当直线y=G；与函数y=/"x的图象切时a=1.

e

又当直线丫=必经过点B（e2,2）时，有2=“七2,解得。=擀.

结合图象可得当直线y=⑪与函数/（%）=|向|的图象有3个交点时，实数a的取值范围是

即函数g（x）=/（x）—依在区间（（V）上有三个零点时，实数。的取值范围是序，;选D.

点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法

⑴直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

⑵分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复

杂的函数的零点问题常用此方法求解.

11、D

【解析】

采取分类计数和分步计数相结合的方法，分两种情况具体讨论，一种是黑白依次相间，一种是开始仅有两个相同颜色

的排在一起

【详解】

首先将黑球和白球排列好，再插入红球.

情况1：黑球和白球按照黑白相间排列（“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”），此时将红球插入6个球组成的7个空中

即可，因此共有2x7=14种；

情况2：黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑

黑白”），此时红球只能插入两个相同颜色的球之中，共4种.

综上所述，共有14+4=18种.

故选：D

【点睛】

本题考查排列组合公式的具体应用，插空法的应用，属于基础题

12、B

【解析】

由奇偶性定义可判断出/（X）为偶函数，由单调性的性质可知/（九）在［0,+8）上单调递增，由此知/（%）在（7,0］上

单调递减，从而将所求不等式化为解绝对值不等式求得结果.

【详解】

由题意知：/（九）定义域为R,

/（-x）=ln（l+|-x|）--^^=ln（l+|x|）-^-F=/（x））.•./（可为偶函数，

1

当xNO时,/(x)=ln(l+x)-

1+x2

y=In（1+x）在［0,+8）上单调递增，y=在［0,-H»）上单调递减,

f（x）在［0,+8）上单调递增，则/（力在（-8,0］上单调递减，

由/（可>/（1）得：N>1,解得：x<—1或无>1,

\》的取值范围为（—，―l）U（l,+8）.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的

作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

7T

13、等腰三角形C=:

4

【解析】

,:c=lacosB

：.根据正弦定理可得sinC=2sinAcosB,即sin（A+B）=2sinAcosB

:.sin(A-B)=0

A=B

AABC的形状为等腰三角形

S=-a-2

2r

1222

：•—ubsinC=—Q?H—/—c=-a+-b--c

2444444

tz2+b2-c1

:.sinC=

lab

〃2工川_2

由余弦定理可得cosC=4汇~-

2ab

:.sinC=cosC,即tanC-\

・・・C£(0⑺

：.c=-

4

IT

故答案为等腰三角形，-

511

14、

6；12

【解析】

首先根据X的取值范围，求得0X+J的取值范围，由此求得函数/(光)的值域，结合/(%)区间［匹2»)上的值小于0

6

恒成立列不等式组，解不等式组求得0的取值范围.

【详解】

兀兀兀

由于兀&X<21,69>0,所以(OTCH---VCOXH----<2(071H----,

666

由于/(%)区间［肛2句上的值小于0恒成立,

兀兀兀

所以2左；T+■—<cox+—<2a>7i+—<2k7i+17i(^GZ).

666

5

71C7CD〉2k~\—

conH——>2k兀+n6

6n

所以〜11

n2kH—[1

Icon+—<2k兀+2n

6(D<------—=k+——

212

5,11

2k+—<k-\----

由于a>>0,所以,612=>0«左<—9

12

k>0

由于keZ,所以令人=0得

612

所以0的取值范围是("二.

Vo12

511

故答案为:

6；12

【点睛】

本小题主要考查三角函数值域的求法，考查三角函数值恒小于零的问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属

于中档题.

15、0

【解析】

利用交集定义直接求解.

【详解】

解：集合A={x|x=24-1,左eZ}={奇数},

5={x|x=2太左eZ}={偶数},

AnB=0.

故答案为：0.

【点睛】

本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.

16、好

2

【解析】

A1_________

根据题意，由双曲线的渐近线方程可得,=3,即。=2儿进而由双曲线的几何性质可得。=万寿=6儿由双

曲线的离心率公式计算可得答案.

【详解】

丫2V?b

根据题意，双曲线J—£=1(。>0,6>0)的渐近线方程为y=±‘x,

又由该双曲线的一条渐近线方程为x-2y=0,即y=

bl

则有———fBPa=2b

a2f

贝！1c=yja2+b2=占b,

则该双曲线的离心率e=£=^=亚；

a2b2

故答案为：垦

2

【点睛】

本题考查双曲线的几何性质，关键是分析“、》之间的关系，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

Q1

17、(1)选取方案二更合适；(2)—

125

【解析】

(1)可以预见，2019年的纸质广告收入会接着下跌，前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据，而后5年

的数据得到的相关系数的绝对值0.984>0.959,所以有99%的把握认为V与/具有线性相关关系，从而可得结论；⑵

32

求得购买电子书的概率为二,只购买纸质书的概率为二，购买电子书人数多于只购买纸质书人数有两种情况：3人购买电

子书，2人购买电子书一人只购买纸质书，由此能求出购买电子书人数多于只购买纸质版本人数的概率.

【详解】

(1)选取方案二更合适，理由如下：

①题中介绍了，随着电子阅读的普及，传统纸媒受到了强烈的冲击，从表格中的数据中可以看出从2014年开始，广告

收入呈现逐年下降的趋势，可以预见，2019年的纸质广告收入会接着下跌，前四年的增长趋势已经不能作为预测后续

数据的依据.

②相关系数M越接近1,线性相关性越强，因为根据9年的数据得到的相关系数的绝对值0.243<0.666,我们没有理

由认为V与r具有线性相关关系；而后5年的数据得到的相关系数的绝对值0.984>0.959,所以有99%的把握认为V

与，具有线性相关关系.

(2)因为在该网站购买该书籍的大量读者中，只购买电子书的读者比例为50%,纸质版本和电子书同时购买的读者比

113

例为10%,所以从该网站购买该书籍的大量读者中任取一位，购买电子书的概率为一+一=—,只购买纸质书的概率

2105

2

为弓，购买电子书人数多于只购买纸质书人数有两种情况：3人购买电子书，2人购买电子书一人只购买纸质书.概率

【点睛】

本题主要考查最优方案的选择，考查了相关关系的定义以及互斥事件的概率与独立事件概率公式的应用，考查阅读能

力与运算求解能力，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的

事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型

进行解答.

18、(I)1636人；(II)见解析.

【解析】

(I)根据正态曲线的对称性，可将区间(47,86)分为(47,60)和(60,86)两种情况，然后根据特殊区间上的概率求出

2

成绩在区间(47,86)内的概率，进而可求出相应的人数；(II)由题意得成绩在区间［61,80］的概率为二，且

X〜,由此可得X的分布列和数学期望.

【详解】

(I)因为物理原始成绩J〜N(60,132),

所以P(47<J<86)=尸(47<。<60)+P(60<^<86)

=1P(60-13<^<60+13)+1P(60-2X13<^<60+2x13)

0.6820.954

=----1----

22

=0.818.

所以物理原始成绩在(47,86)的人数为2000x0.818=1636(人).

2

(II)由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间［61,80］内的概率为

所以随机抽取三人，则X的所有可能取值为0,1,2,3,且X〜

所以P(X=0)=

P(X=1)=C・|(£)喂,

〃=3)=如，

所以X的分布列为

X0123

2754368

P

125125125125

026

所以数学期望E(X):=3x—=—

55

【点睛】

(1)解答第一问的关键是利用正态分布的三个特殊区间表示所求概率的区间，再根据特殊区间上的概率求解，解题时

注意结合正态曲线的对称性.

(2)解答第二问的关键是判断出随机变量服从二项分布，然后可得分布列及其数学期望.当被抽取的总体的容量较大

时，抽样可认为是等可能的，进而可得随机变量服从二项分布.

19、(1)y2-1?x+y+4=0(2)最小值为^/^,此时夕［—

【解析】

(i)消去曲线G参数方程的参数，求得曲线G的普通方程•利用极坐标和直角坐标相互转化公式，求得曲线的直

角坐标方程.

(2)设出p的坐标，结合点到直线的距离公式以及三角函数最值的求法，求得IPQI的最小值及此时点p的坐标.

【详解】

丫2

(1)消去e得，曲线G的普通方程是：y+y2=l；

把X=QCOSC,y=〃sin。代入得，曲线C2的直角坐标方程是％+丁+4=0

(2)设P(代cosa,sina),IPQI的最小值就是点P到直线G的最小距离•

厂2sinccH—+4

设/|，3cosa+sina+4|<3)

「----忑—=—忑—

在&=-葛时，sin[a+?]=-l,〃=0是最小值,

此时GCOSCT=--,sina=~—

22

所以，所求最小值为疑，此时;

【点睛】

本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查利用圆锥曲线的参数求最值，属

于中档题.

20、(1)—(2)(i)左wN*，且左之2).(ii)最大值为4.

10P

【解析】

(1)设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件4,利用古典概型、排列组合求解即可;

⑵⑴由已知得E&、=k,5的所有可能取值为1,k+1,则可求得P&=1),尸危=左+1)，即可得到以虞)，进而由

£值)=E&)可得到P关于左的函数关系式;

(ii)由E⑷>E㈤可得—p);推导出In女〉；左,设〃x)=lnx—(尤>0)，利用导函数判断了(%)的单调

K33

性,由单调性可求出左的最大值

【详解】

（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A,

则尸（小A篁2A341

・•・恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为，

（2）（i）由已知得5的所有可能取值为1,左+1,

P（5=1）=°—,「（$=左+1）=1—0-P）"，

---E（N）=（i一+（左+1）[1一（1一夕）1=左+i一左（1一城，

若£信）=石伉），则左=左+1_k（1_。）*,则（l_p）*=]

K

:.p关于"的函数关系式为（左eN*,且左之2）

I/、h

（ii）由题意知E信）〉E©）,得不＜。—p）,

K

设/（x）=lnx—gx（x>0）,

则（（力=，-上令/'"）=0,则x=g

x55

.•.当x>3时,/'（尤）<0,即/（尤）在（3,-+W）上单调增减,

4

又如4gL3863,§21.3333,

I,n4“>—4.

3

又In5aL6094,^^1.6667,

..I।n5u<一5.

3

左的最大值为4

【点睛】

本题考查古典概型的概率公式的应用，考查随机变量及其分布,考查利用导函数判断函数的单调性

21、(1)证明见解析；⑵60。.

【解析】

试题分析：

(1)连结PD,由题意可得尸。，46成>，M,则43，平面2。&AB±PE;

(2)法一：结合几何关系做出二面角的平面角，计算可得其正切值为g，故二面角的A-。5-石大小为60。

法二：以。为原点建立空间直角坐标系，计算可得平面ME的法向量4=(3,2,石).平面的法向量为

%=(0,1,0).据此计算可得二面角的A—尸5—石大小为60°.

试题解析：

(1)连结「。，\'PA=PB,PDAB.­：DEIIBC,BCAB,DEAB.

又；PDcDE=D,AB平面尸。E,.PEu平面POE,

：.ABPE.

(2)法一：

■,PAB平面ABC,平面平面A3C=AB,PDAB,PD平面ABC.

则DEPD,又EDAB,PD\平面A5=£>,DE.平面PAB,

过。做O尸垂直PB与F,连接EE则E尸PB,拉尸E为所求二面角的平面角，

则：DE=~,DF=叵,则tanNDFE=匹=布，故二面角的A—M—石大小为60°

22DF

法二：

「平面RLB平面ABC,平面E4"平面A3C=AB,PDAB,PDABC.

如图，以。为原点建立空间直角坐标系，