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文档简介
2024年河南省洛阳市中考数学质检试卷
一、选择题:本题共10小题,每小题3分,共30分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求
的。
1.下列实数:一1,0,72,其中最小的是()
A.-1B.0C.5<2D.-1
2.下列运算正确的是()
A.(-2a)2=-4a2B.(a+b)2=a2+b2
C.(a,)?=a,D.(—a+2)(_a_2)CL^―4
3.数据显示,中国已实现“带动三亿人参与冰雪运动”的目标,全国冰雪运动参与人数达到3.46亿人.数
据“3.46亿”用科学记数法表示是()
A.3.46x109B.3.46X108C.34.6X107D.346X106
4.如图,直线28,CD相交于点。,OE1CD,垂足为点。.若N80E=40。,贝U£
乙4OC的度数为()
X
A.40°
B.50°
C.60°
D.140°
5.如果a2+2a—1=0,那么代数式(a-—]的值是()
aa-x
A.-3B.-1C.1D.3
6.如图,BC是半圆。的直径,D,E是诧上两点,连接BD,CE并延长交于点4,连接。D,。立如果乙4=
70°,那么NDOE的度数为
()
A.35°B.38°C.40°D.42°
7.若关于x的一元二次方程/+X+k-1=0有两个实数根,则k的取值范围是()
A./c<7B.fc>7C.k<暂且/cK1D.fc<?且k*1
4444
8.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶,被国际气象界誉为“中国第五大发明”.小文购买了
“二十四节气”主题邮票,他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小
乐.小文将它们背面朝上放在桌面上(邮票背面完全相同),让小乐从中随机抽取一张(不放回),再从中随
机抽取一张,则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”体J概率是()
211
A-3B2C6D-§
9.已知二次函数y=ax2+/?%+c的图象如图所示,则一次函数y==bx+c的图;yk
象和反比例函数y=匕空的图象在同一坐标系中大致为()
10.如图1,点尸从四条边都相等的口48co的顶点/出发,沿/TO以lcm/s的速度匀速运动到点B,图
2是点F运动时,△FBC的面积y(cm2)随时间%(s)变化的关系图象,贝!la的值为()
三匕
困1
B.2D.275
二、填空题:本题共5小题,每小题3分,共15分。
11.某种商品的原价每件a元,第一次降价打“八折”,第二次降价又减10元,则两次降价后的售价为
12.不等式组一D的所有整数解的和为
13.根据如图所示的统计图,回答问题:
某超市2021年8、“月水果类销售额
占该超市当月销售总额的百分比统计图
该超市2021年10月的水果类销售额11月的水果类销售额(填或“=
如图,在扇形80C中,/.BOC=60°,。。平分NBOC交次于点。,点E为半径
OB上一动点.若阴影部分周长的最小值为2心+p则扇形的半径OB的长为
15.如图,在△48C中,ZC=90°,AC=6,BC=8.点。是BC上的中点.点P是边4B
上的动点,若要使ABPD为直角三角形,贝|BP=.
三、解答题:本题共8小题,共75分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算:4sin60°+(i)-1+|-2|-712.
(2)先化简,再求值:(2a+l)2—4a(a—1),其中a=]
o
17.(本小题9分)
为倡导绿色健康节约的生活方式,某社区开展“减少方便筷使用,共建节约型社区”活动.志愿者随机抽
取了社区内50名居民,对其5月份方便筷使用数量进行了调查,并对数据进行了统计整理,以下是部分数
据和不完整的统计图表:
方便筷使用数量在5<%<15范围内的数据:
5,7,12,9,10,12,8,8,10,11,6,9,13,6,12,8,7.
不完整的统计图表:
方便筷使用数量统计表
使用数量(
组别频数
双)
A0<%<514
B5<%<10
10<%
C
<15
15<%
Da
<20
E%>2010
合计50
方便筷使用数量占比统计图
请结合以上信息回答下列问题:
(1)统计表中的a=
(2)统计图中E组对应扇形的圆心角为.度;
(3)C组数据的众数是.;调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是.
(4)根据调查结果,请你估计该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数.
18.(本小题9分)
如图,BD是菱形4BCD的对角线,ZCBD=75°.
(1)请用尺规作图作的垂直平分线EF,垂足为E,交4。于F;(不要求写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)条件下,连接BF,求DF:OB的值.
19.(本小题9分)
如图1,反比例函数y=?(爪十0)与一次函数y=kx+6(k力0)的图象交于点力(1,3),点8(%1),一次函
数y-kx+b(k丰0)与y轴相交于点C.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)连接。4,OB,求ACMB的面积;
(3)如图2,点E是反比例函数图象上4点右侧一点,连接4E,把线段力E绕点4顺时针旋转90。,点E的对应
点F恰好也落在这个反比例函数的图象上,求点E的坐标.
20.(本小题9分)
如图1是种手机平板支架.由托板、支撑板和底座构成,手机放置在托板上,图2是其侧面结构示意
图.量得托板长AB=120mni,支撑板长CD=80nwi,底座长OE=90nwi,托板力B固定在支撑板顶端点
C处,且CB=407mn,托板2B可绕点C转动,支撑板CD可绕点。转动.若ADCB=80。,ACDE=60°,求
点力到直线DE的距离.(结果保留小数点后一位,参考数据:s讥40"0.643,cos40°«0.766,tan40°«
0.839,73«1,732)
21.(本小题9分)
如图,在菱形力BCD中,对角线AC,BD相交于点E,。。经过力,。两点,交对角线4c于点尸,连接OF交
AD于点G,且力G=GD.
(1)求证:4B是。。的切线;
⑵已知O。的半径与菱形的边长之比为5:8,求tanzADB的值.
22.(本小题10分)
跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段,运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分(如
图中实线部分所示),落地点在着陆坡(如图中虚线部分所示)上,着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参
照点,落地点超过K点越远,飞行距离分越高.2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度04为
66m,基准点K到起跳台的水平距离为75n高度为为定值).设运动员从起跳点4起跳后的高度y(zn)
与水平距离比(m)之间的函数关系为y=ax2+bx+c(a*0).
(l)c的值为;
(2)①若运动员落地点恰好到达K点,且此时a=-4,6=白,求基准点K的高度九;
②若a=-表时,运动员落地点要超过K点,则6的取值范围为;
(3)若运动员飞行的水平距离为25nl时,恰好达到最大高度76小,试判断他的落地点能否超过K点,并说明
理由.
23.(本小题10分)
综合与实践
数学活动课上,同学们开展了以折叠为主题的探究活动,如图1.已知矩形纸片4BCD,其中4B=6,AD=
11.(1)操作判断
将矩形纸片A8CD按图1折叠,使点B落在4。边上的点E处,可得到一个45。的角,请你写出一个45。的角.
(2)探究发现
将图1的纸片展平,把四边形EFCD剪下来如图2,取FC边的中点M,将△EFM沿EM折叠得到△EF'M,延
长EF'交CD于点N,求AEDN的周长.
(3)拓展应用:
改变图2中点M的位置,令点M为射线FC上一动点,按照(2)中方式将AEFM沿EM折叠得到EF'所
在直线交CD于点N,若点N为CD的三分点,请直接写出此时NF'的长.
图1图2备用图
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解:,•・I-11=1,I-TI='
-1<
在一1,0,72,一^这四个数中,
-1<-1<0<^,
最小的数是一1,
故选:A.
根据正数大于0,0大于负数,两个负数比较,绝对值大的反而小,即可解答.
本题考查了实数的大小比较,熟练掌握两个负数比较大小,绝对值大的反而小是解题的关键.
2.【答案】D
【解析】解:(-2a)2=4a2,故选项A不合题意;
(a+b)2=a2+2ab+b2,故选项8不合题意;
(a5)2=a】。,故选项C不合题意;
(—a+2)(—cz—2)=a2—4,故选项O符合题意.
故选:D.
按照积的乘方运算、完全平方公式、幕的乘方、平方差公式分别计算,再选择.
此题考查整式的运算,掌握各运算法则是关键,还要注意符号的处理.
3.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了科学记数法,一般形式为ax10",确定a与n的值是解题的关键.
用科学记数法表示绝对值较大的数时,一般形式为ax10%其中lW|a|<10,n为整数,且n比原来的整
数位数少1,据此判断即可.
【解答】
解:3.46亿=346000000=3.46X108.
故选:B.
4.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了角的计算,垂线以及对顶角,正确得出的度数是解题关键.
首先利用垂直的定义得NE。。=90。,则可求的度数,再根据对顶角的性质即可得出答案.
【解答】
解:■■■OE1CD,
..乙EOD=90°,
•••/.BOE=40°,
..乙BOD=乙EOD-/.BOE=90°-40°=50°,
..AAOC=乙BOD=50°.
故选艮
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查分式的化简求值,解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.根据分式的减法和乘法可以化简
题目中的式子,然后对a2+2a-1=0变形即可解答本题.
【解答】
解:
\aJa—2
a2-4a2
aa—2
(a+2)(a—2)a2
aa—2
=a(a+2)
=a2+2a,
a2+2a—1=0,
a2+2a=1,
原式=1.
故选C.
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质;熟练掌握圆周角定理是解题的关键.
连接CD,由圆周角定理得出4引兀二90。,求出乙4C。=90。—乙4=20。,再由圆周角定理得出NDOE=
2Z.XCD=40。即可,
【解答】
解:连接CD,如图所示:
•••BC是半圆。的直径,
..乙BDC=90°,
../.ADC=90°,
•••ZX=70°,
AAACD=90°—N4=20°,
..乙DOE=2AACD=40°,
故选:C.
7.【答案】4
【解析】解:因为关于x的一元二次方程/+%+k-1=0有两个实数根,
所以#一4(k-1)20,
解得k<I
故选:A.
利用根的判别式即可解决问题.
本题考查根的判别式,熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键.
8.【答案】C
【解析】解:设立春用A表示,立夏用B表示,秋分用C表示,大寒用。表示,树状图如下,
开始
ABcD
/i\/N/T\A\
BCDACDABDARC
由上可得,一共有12种可能性,其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性2种,
••・小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是总
126
故选:C.
根据题意,可以画出相应的树状图,从而可以得到小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概
率.
本题考查列表法与树状图法,解答本题的关键是明确题意,画出相应的树状图.
9【答案】A
【解析】解:•••二次函数的图象开口向下,
a<0,
<0,
2a
b<0,
•・・抛物线与y轴相交于正半轴,
c>0,
・,•直线y=力%+c经过一、二、四象限,
由图象可知,当%=—1时,y〉0,
•••a—b+c>0,
・••反比例函数丫=七户的图象必在一、三象限,
故8、C、D错误,A正确;
故选:A.
先根据二次函数的图象开口向下和对称轴可知b<0,由抛物线交y的正半轴,可知c〉0,由当%=-1
时,y<0,可知a—b+c〉0,然后利用排除法即可得出正确答案.
本题考查的是二次函数的图像与系数的关系,反比例函数及一次函数的性质,熟知以上知识是解答此题的
关键.
10.【答案】C
【解析】解:过点。作DE1BC于点E
由图象可知,点F由点力到点D用时为as,AFBC的面积为acm2.
AD=a
1
•••]DE,AD=a
DE=2
当点尸从点。到点8时,用时为"s
BD=<5
RtADEB中,
BE=y/BD2-DE2=J(<5)2-22=1
,•,□ZBC。的四条边都相等,
EC=a-1,DC=a
RtADEC中,
a2=22+(a-I)2
解得:a=|
通过分析图象,点F从点4到D用as,此时,的面积为a,依此可求口ABCD的高DE,再由图象可知,
BD=居,应用两次勾股定理分别求BE和a.
本题综合考查了n2BCD性质和一次函数图象性质,解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关
系.
11.【答案】(0.8a—10)元
【解析】解:第一次降价打“八折”,为0.8a元,
第二次降价又减10元,为(0.8a-10)元,
故答案为:(0.8a-10)元.
先表示出打“八折”后售价为0.8a元,再表示出第二次降价又减10元的售价为(0.8a-10)元.
本题主要考查列代数式,列代数式五点注意:①仔细辨别词义.②分清数量关系.③注意运算顺序.©
规范书写格式.⑤正确进行代换.
12.【答案】2
【解析】解:]”—4<2£1)①,
解不等式①得久>-2,
解不等式②得比<*
二不等式组的解集是-2<x.
二不等式组所有整数解是:-1,0,1,2,
・•.不等式组所有整数解的和为—1+0+1+2=2.
故答案为:2.
利用一元一次不等式组的解法先求出不等式组的解集,再确定出不等式组所有整数解即可求解.
本题考查了一元一次不等式组的解法,以及一元一次不等式组的整数解,熟练掌握一元一次不等式组的解
法是解本题的关键.
13.【答案】>
【解析】解:10月份的水果类销售额为60x20%=12(万元),
11月份的水果类销售额为70x15%=10.5(万元),
所以10月份的水果类销售额〉11月份的水果类销售额,
故答案为:>,
根据题意先分别求出10月份的水果类销售额,11月份的水果类销售额,可得10月份的水果类销售额>11
月份的水果类销售额.
本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用.读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解
决问题的关键.
14.【答案】2
【解析】解:如图,作点D关于。B的对称点D',连接D'C交。B于点E',连接E'D、OD',
设扇形的半径长为”,
由题意得,乙COD=乙DOB=乙BOD'=30°,OD=OD',
:.4COD'=90°,
CD'=V_2%>
.../的长=需=*,
.•9+詈=22+:
63
解得x=2.
故答案为:2.
利用轴对称的性质,得出当点E移动到点E'时,阴影部分的周长最小,此时的最小值为弧CD的长与CD'的
长度和,分别进行计算即可.
本题考查与圆有关的计算,掌握轴对称的性质,弧长的计算方法是正确计算的前提,理解轴对称解决路程
最短问题是关键.
15.【答案】5或当
【解析】【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题.分
两种情形分别求解即可解决问题.
【解答】
解:在中,VZ.C=90°,AC=6,BC=8,
・•.AB=462+82=10,
•••0是中点,
CD=BD=4,
分两种情形:①当Z■。P8=90。时,ADPBs^ACB,
.PB_BD
AB"
BP4
V=10,
BP=y;
②当乙PDB=90°,易证:DP“AC,
•・•CD=DB,
.・.AP=PB=5.
综上所述,满足条件的尸B的值为5或募.
故答案为:5或卷
16.【答案】解:(1)原式=4x+3+2—2y/~3
=273+3+2-2V3
=5.
(2)原式=4a2+4a+1—4a2+4a
=8a+1.
11
当a=k时,原式=8x-+l=l+l=2.
oo
【解析】(1)代入特殊角的三角函数值,利用负整数指数累、绝对值和二次根式的性质化简即可.
(2)先去括号,再合并同类项得到最简结果,最后将a的值代入计算即可.
本题考查整式的混合运算一化简求值、实数的运算、负整数指数幕、特殊角的三角函数值,熟练掌握运算
法则是解答本题的关键.
17.【答案】解:(1)9;
(2)72;
(3)12;10;
(4)2000X喏=760(人),
答:估计该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数为760人.
【解析】【分析】
本题考查统计表、用样本估计总体以及扇形统计图,应结合统计表和扇形统计图,利用部分与总体之间的
关系进行求解.
(1)由总组人数减去其他组人数即可求解;
(2)利用360。XE组占比即可得E组对应扇形的圆心角度数;
(3)根据众数,中位数的定义求解即可;
(4)2000x5月份使用方便筷数量不少于15双的人数占比即可求解.
【解答】
解:(1)方便筷使用数量在5Wx<15范围内的数据有17个,
a=50-14-17-10=9,
故答案为9;
in
(2)360。乂含=72。,
故答案为72;
(3)将方便筷使用数量在1015范围内的数据按从小到大的顺序排列为10,10,11,12,12,12,
13,
由上述数据可得C组数据的众数是12,
8组的频数是10,C组的频数为7,。组的频数为9,
.••第25,26个数均为10,
.•・调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是皆=10.
故答案为:12,10;
(4)见答案.
18.【答案】解:(1)如图所示,直线EF即为所求;
⑵•••四边形48CD是菱形,
../.ABD=乙DBC==75°,DC//AB,zX=zC,
•,乙ABC=150°,乙ABC+Z.C=180°,
Z.C=Z-A=30°,
・・•EF垂直平分线段/B,
・•.AF=FB,
.•・乙4=AFBA=30°,
••・乙DFB=60°,
•••乙DBF=乙ABD-Z.FBA=45°,
如图,过点。作。G1F8于G,
设FG=a,
则FD=2a,
DG=V_3a»
DG=BG=
...DB=y/-2DG=
DF_2a__y/~6
•・・丽=原='
【解析】(1)根据线段垂直平分线的作法即可完成作图;
(2)根据菱形的性质求出ND8F=45。,作。G1FB于G,设FG=a,贝!=2a,进而解决问题.
本题考查作图-基本作图,线段垂直平分线的性质,菱形的性质,解决本题的关键是掌握基本作图方法.
19.【答案】解:⑴•••点”(l,3),点B(几,l)在反比例函数y=:(7n。0)上,
.-.771=1X3=71X1,
:.m=3,n=3,
.,.反比例函数为y=|,点B(3,l),
把4、B的坐标代入y=kx+。得J]/
解得仁「,
・•・一次函数为:y=-%+4;
(2)令%=0,则y=—x+4=4,
・•.C(0,4),
•••^LAOB=S^BOC—SM”
1
=2x4x(3-1)
=4;
(3)如图2,过/点作X轴的平行线CD,过户作FC1CD于C,过E作ED1CD于D,
•••/(L3),
3
•**AD=a—1,DE=3—,
a
•・•把线段ZE绕点/顺时针旋转90。,点E的对应点为F,恰好也落在这个反比例函数的图象上,
Z.EAF=90°,AE=AF,
・•.Z.EAD+Z.CAF=90°,
•・•Z.EAD+Z.AED=90°,
Z.CAF=Z.AED,
在△ACT和△EDA中,
^CAF=/,AED
^ACF=^LEDA=90。,
AF=EA
•••△ZCFAEDZ(ZZS),
3
CF=AD=a-1.AC=DE=3
a
■'■F(——2,4—CL),
•••尸恰好也落在这个反比例函数的图象上,
・•.(;3-2)(4一切=3,
解得a=6或a=1(舍去),
1
E(6w).
【解析】本题是反比例函数和一次函数的交点问题,考查了待定系数法求函数的解析式,三角形面积,反
比例函数图象上点的坐标特征,利用数形结合解决此类问题,是非常有效的方法.
(1)用待定系数法即可求解;
(2)求得点C的坐标,然后根据SUOB=S^BOLSA40c求得即可;
□
(3)过4点作x轴的平行线CD,作FC1CD于C,EDLCD于0,设E(a,3(a>l),通过证得△ZCFmA
ED4(44S),得到?(|一2,4-4),代入丫=|,即可求得a的值,从而求得点E的坐标.
20.【答案】解:如图2,过4作AMIDE,交ED的延长线于点M,过点C作CF1"、.
AM,垂足为F,过点C作CN1DE,垂足为N,
由题意可知,AC=80,CD=80,ADCB=80°,Z.CDE=60°,1/:\
;\B
在RtACDN中,CN=CD•sinzCDF=80x苧==FM,:/;__________
MDNE
乙DCN=90°-60°=30°,图2
又;乙DCB=80°,
.•乙BCN=80°-30°=50°,
•••AM1DE,CN1DE,
AM//CN,
:.ZX=乙BCN=50°,
•••^ACF=90°-50°=40°,
在RtAAFC中,AF=AC-s讥40°=80X0.643-51.44(mm),
AM=AF+FM51.44+40V~3«120.7(mm)
答:点4到直线DE的距离约为120.7rmn.
【解析】通过作垂线,构造直角三角形,利用直角三角形的边角关系,求出CN、AF,即可求出点2到直线
DE的距离.
本题考查直角三角形的边角关系,锐角三角函数的意义,通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法,也
是基本的方法.
21.【答案】(1)证明:连接。4则。尸=。2,
・•・4OAF=Z.OFA,
AG—GD,
・•.OF1AD,
•••^AGF=90°,
•••四边形4BCD是菱形,
AB=AD,AC1BD,
•••Z-BAE=Z-DAE,
Z.OAB=Z.OAF+乙BAE=Z.OFA+Z.DAE=90°,
・•,04是。。半径,^AB10A,
•・•4B是。。的切线.
(2)解:•.•器=需,AD=2AG,
/iUO
,0A_5
2AG8
,0A_S
"AG~49
设AG=4m,则。A=5m,
.・.OF=0A=5m,
•••乙AGO=90°,
•••0G=V0A2—AG2=->J(5m)2—(4m)2=3m,
•••FG=OF-0G=5m-3m=2m,
•・•^AED=^AGF=90°,
•••乙ADB=AAFG=90°-乙DAE,
AGA-TV)
•••tanZ-ADB=tanZ-AFG=—=—=2,
tan乙408的值是2.
【解析】(1)连接。4,则NO”=N0R4,由垂径定理得OF1AD,则乙4GF=90。,由菱形的性质得力8=
AD,AC1BD,贝!==AOAF+^BAE=AGFA+Z.DAE=90°,即可证明AB是
。。的切线;
(2)由粤=|,AD=2AG,得的="设4G=4zn,贝|OF=。4=5m,由勾股定理得OG=
ADo/ilj4
VOA2-AG2=3m,贝l]FG=2m,再证明NADB=N4FG,则tanN力D8=tan/AFG=黑=2.
FG
此题重点考查菱形的性质、等腰三角形的“三线合一”、直角三角形的两个锐角互余、切线的判定定理、
垂径定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识,正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.
22.【答案】解:(1)66;
⑵①9-2,b=^,
19
..》=一而/7+而久+66,
•••基准点K到起跳台的水平距离为756,高度为八小
1cg
h=--x752+^x75+66=21,
••・基准点K的高度%为21小;
②。喘;
(3)他的落地点能超过K点,理由如下:
••・运动员飞行的水平距离为25nl时,恰好达到最大高度76小,
••.抛物线的顶点为(25,76),
设抛物线解析式为y=a(x-25)2+76;
把(0,66)代入得:
66=a(0-25)2+76)
解得a=一看,
••・抛物线解析式为y=—短0—25)2+76,
当%=75时,y=—摄X(75—25)2+76^36,
•••36>21,
・•.他的落地点能超过K点.
【解析】解:⑴••・起跳台的高度04为66m,
..4(0,66),
把A(0,66)代入y=ax2+bx+c得:
c=66,
故答案为:66;
(2)①见答案;
②:a=W
1
•••y=——%7+b%+66,
•・•运动员落地点要超过K点,
x=75时,y>21,
即一AX752+756+66>21,
解得b>得,
故答案为:b>2;
(3)见答案.
(1)根据起跳台的高度。4为66M,即可得c=66;
(2)①由。=一4,b=^,知y=—春/+余+66,根据基准点K到起跳台的水平距离为75n即得基
准点K的高度九为21小;
②运动员落地点要超过K点,即是久=75时,y>21,故-白x752+756+66>21,即可解得答案;
(3)运动员飞行的水平距离为25根时,恰好达到最大高度76小,即是
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