江西省吉安市永新县2024届中考数学模试卷含解析

江西省吉安市永新县2024届中考数学模试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（共10小题,每小题3分，共30分）

1.如图，已知AB〃CD,AD=CD,Zl=40°,则N2的度数为（)

A.60°B.65°C.70°D.75°

解分式方程占-3=24-

2.时，去分母可得)

A.1-3(x-2)=4B.1-3(x-2)=-4

C.-1-3(2-x)=-4D.1-3(2-x)=4

3.下列运算正确的是（）

A.a6-ra3=a2B.3a2*2a=6a3C.(3a)2=3a2D.

4.上周周末放学，小华的妈妈来学校门口接他回家，小华离开教室后不远便发现把文具盒遗忘在了教室里，于是以相

同的速度折返回去拿，到了教室后碰到班主任，并与班主任交流了一下周末计划才离开，为了不让妈妈久等，小华快

步跑到学校门口，则小华离学校门口的距离y与时间t之间的函数关系的大致图象是（）

A.

5.若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）

A.m<-1B.m<lC.m>-1D.m>l

6.下列各数中负数是（）

A.-（-2）B.-|-2|C.（-2）2D.-（-2）3

7.小明早上从家骑自行车去上学，先走平路到达点A,再走上坡路到达点5,最后走下坡路到达学校，小明骑自行车

所走的路程s（单位：千米）与他所用的时间，（单位：分钟）的关系如图所示，放学后，小明沿原路返回，且走平路、

上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，下列说法：

①小明家距学校4千米；

②小明上学所用的时间为12分钟；

③小明上坡的速度是0.5千米/分钟；

④小明放学回家所用时间为15分钟.

其中正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.如图，AB是。的直径，CD是。的弦，连接AD,AC,BD,则NZMB与NC的数量关系为（）

A.ZDAB=ZCB./DAB=2/C

C.ZDAB+ZC=90°D.ZZMB+ZC=180°

9.如图，RtAABC4>,ZC=90°,ZA=35°,点D在边BC上，BD=2CD.把△ABC绕着点D逆时针旋转m(OVm

<180)度后，如果点B恰好落在初始Rt2kABC的边上，那么m=()

A.35°B.60°C.70°D.70°或120°

10.已知一组数据1、2、3、x、5,它们的平均数是3,则这一组数据的方差为（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.一个布袋里装有10个只有颜色不同的球，这10个球中有机个红球，从布袋中摸出一个球，记下颜色后放回，搅

匀，再摸出一个球，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.3左右，则机的值约为.

12.对于一元二次方程/一5%+2=0,根的判别式加-4ac中的b表示的数是.

13.点A（xi,yi）、B（xi,yi）在二次函数y=x1-4x-1的图象上，若当3VxiV4时，则yi与yi的大小

关系是yiyi.（用“>"、"V"、“="填空）

2

14.在反比例函数y=一图象的每一支上，y随x的增大而（用“增大”或“减小”填空）.

x

15.用不等号“〉”或“V”连接：sin50°cos50°.

16.在平面直角坐标系中，直线1：y=x-1与x轴交于点Ai,如图所示依次作正方形AiBiCiO、正方形A2B2c2C1、…、

正方形AnBnCnCn-l,使得点Al、A2、A3、…在直线1上，点Cl、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点Bn的坐标是.

17.（8分）如图，在平行四边形ABCD中，DBLAB,点E是BC边的中点，过点E作EFJ_CD,垂足为F,交AB

的延长线于点G.

（1）求证：四边形BDFG是矩形；

（2）若AE平分NBAD,求tan/BAE的值.

18.（8分）某校为选拔一名选手参加“美丽邵阳，我为家乡做代言”主题演讲比赛，经研究，按图所示的项目和权数对

选拔赛参赛选手进行考评（因排版原因统计图不完整）.下表是李明、张华在选拔赛中的得分情况：

项目

服装普通话主题演讲技巧

选手

李明85708085

张华90757580

结合以上信息，回答下列问题：求服装项目的权数及普通话项目对应扇形的圆心角大小；求李明在选拔赛中四个项目

所得分数的众数和中位数；根据你所学的知识，帮助学校在李明、张华两人中选择一人参加“美丽邵阳，我为家乡做代

言”主题演讲比赛，并说明理由.

19.（8分）某市政府大力支持大学生创业.李明在政府的扶持下投资销售一种进价为20元的护眼台灯.销售过程中

发现，每月销售量y（件）与销售单价X（元）之间的关系可近似的看作一次函数：J=-10X+1.设李明每月获得利

润为W（元），当销售单价定为多少元时，每月获得利润最大？根据物价部门规定，这种护眼台灯不得高于32元，如

果李明想要每月获得的利润2000元，那么销售单价应定为多少元？

20.（8分）如图,在平面直角坐标系中，二次函数y=必+6x+c的图象与x轴交于A，B两点,与V轴交于点C（0,-3）,

A点的坐标为（—1,0）.

（1）求二次函数的解析式；

（2）若点P是抛物线在第四象限上的一个动点，当四边形A6PC的面积最大时，求点P的坐标，并求出四边形A6PC

的最大面积；

（3）若Q为抛物线对称轴上一动点，直接写出使AQBC为直角三角形的点。的坐标.

2k

21.（8分）如图，ZAOB=90°,反比例函数y=-—（x<0）的图象过点A（-1,a）,反比例函数y=—（k>0,x>

XX

0）的图象过点B,且AB〃x轴.

（1）求a和k的值；

（2）过点B作MN〃OA,交x轴于点M,交y轴于点N,交双曲线y=与于另一点C,求△OBC的面积.

X

22.（10分）如图，已知。O的直径AB=10,弦AC=6,/BAC的平分线交。O于点D,过点D作DEJ_AC交AC的

延长线于点E.求证：DE是。O的切线.求DE的长.

23.（12分）如图，在AABC,AB=AC,以AB为直径的。O分别交AC、BC于点D、E,且BF是。。的切线，BF

交AC的延长线于F.

（1）求证：ZCBF=1ZCAB.（2）若AB=5,sinZCBF=—,求BC和BF的长.

25

24.如图，在RtAA3c中，NA3C=90。，AB^CB,以A3为直径的。。交AC于点。，点E是A3边上一点（点E不

与点A、3重合），OE的延长线交。。于点G,DFLDG,且交3c于点尸.

(1)求证：AE=5F；

(2)连接GB,EF,求证：GB//EF；

(3)若AE=1,EB=2,求OG的长.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、C

【解析】

由等腰三角形的性质可求NACD=70。，由平行线的性质可求解.

【详解】

；AD=CD,Zl=40°,

.,.ZACD=70°,

VAB/7CD,

/.Z2=ZACD=70°,

故选：C.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，是基础题.

2、B

【解析】

方程两边同时乘以(x-2),转化为整式方程，由此即可作出判断.

【详解】

方程两边同时乘以(x-2),得

1-3(x-2)=-4,

故选B.

【点睛】

本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，熟练掌握解分式方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键.

3、B

【解析】

A、根据同底数塞的除法法则计算；

B、根据同底数易的乘法法则计算；

c、根据积的乘方法则进行计算；

D、根据合并同类项法则进行计算.

【详解】

解：A、a6va3=a3,故原题错误；

B、3a2*2a=6a3,故原题正确；

C、(3a)2=9a2,故原题错误;

D、2x2-x2=x2,故原题错误;

故选B.

【点睛】

考查同底数塞的除法，合并同类项，同底数暮的乘法，积的乘方，熟记它们的运算法则是解题的关键.

4、B

【解析】

分析：根据题意出教室，离门口近，返回教室离门口远，在教室内距离不变，速快跑距离变化快，可得答案.

详解：根据题意得，函数图象是距离先变短，再变长，在教室内没变化，最后迅速变短，B符合题意；

故选B.

点睛：本题考查了函数图象，根据距离的变化描述函数是解题关键.

5、B

【解析】

根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出^=4-4m>0,解之即可得出结论.

【详解】

••・关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，

/.△=(-2)2-4m=4-4m>0,

解得：m<l.

故选B.

【点睛】

本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键.

6、B

【解析】

首先利用相反数，绝对值的意义，乘方计算方法计算化简，进一步利用负数的意义判定即可.

【详解】

A、-(-2)=2,是正数;

B、-卜2|=-2,是负数；

C、(-2)2=4,是正数；

D、-(-2)3=8,是正数.

故选B.

【点睛】

此题考查负数的意义，利用相反数，绝对值的意义，乘方计算方法计算化简是解决问题的关键.

7、C

【解析】

从开始到A是平路，是1千米，用了3分钟，则从学校到家门口走平路仍用3分钟，根据图象求得上坡段)、下

坡(5到学校段)的路程与速度，利用路程除以速度求得每段所用的时间，相加即可求解.

【详解】

解：①小明家距学校4千米，正确；

②小明上学所用的时间为12分钟，正确；

③小明上坡的速度是2匚=0.2千米/分钟，错误；

8-3

④小明放学回家所用时间为3+2+10=15分钟，正确；

故选：C.

【点睛】

本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象

得到函数问题的相应解决.需注意计算单位的统一.

8、C

【解析】

首先根据圆周角定理可知NB=NC,再根据直径所得的圆周角是直角可得/ADB=90。，然后根据三角形的内角和定理

可得NDAB+NB=90。，所以得到NDAB+NC=90。，从而得到结果.

【详解】

解：是。的直径，

ZADB=90°.

ZDAB+ZB=90°.

；NB=NC,

ZDAB+ZC=90°.

故选C.

【点睛】

本题考查了圆周角定理及其逆定理和三角形的内角和定理，掌握相关知识进行转化是解题的关键.

9、D

【解析】

①当点B落在AB边上时，根据DB=DBi,即可解决问题，②当点B落在AC上时，在RTADCB2中，根据NC=90。,

DB2=DB=2CD可以判定NCB2D=30。，由此即可解决问题.

【详解】

，二=二二二二二=1SOZ-：,X55s=70"

②当点B落在AC上时，

在—,----中，

VC—90°,—_——--,

故选D.

【点睛】

本题考查的知识点是旋转的性质，解题关键是考虑多种情况，进行分类讨论.

10、B

【解析】

先由平均数是3可得x的值，再结合方差公式计算.

【详解】

•.•数据1、2、3、x、5的平均数是3,

l+2+3+x+5

---------------------=3,

5

解得：x=4,

则数据为1、2、3、4、5,

方差为gx[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=2,

故选B.

【点睛】

本题主要考查算术平均数和方差，解题的关键是熟练掌握平均数和方差的定义.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、3

【解析】

在同样条件下，大量重复实验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出等式解答.

【详解】

解:根据题意得，—=0.3,解得m=3.

故答案为：3.

【点睛】

本题考查随机事件概率的意义，关键是要知道在同样条件下，大量重复实验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率

附近.

12、-5

【解析】

分清一元二次方程中，二次项系数、一次项系数和常数项，直接解答即可.

【详解】

解：b表示一元二次方程炉―5工+2=0的一次项系数-5.

【点睛】

此题考查根的判别式，在解一元二次方程时程根的判别式△=b2-4ac,不要盲目套用，要看具体方程中的a,b,c的值.a

代表二次项系数，b代表一次项系数，c是常数项.

13、＜

【解析】

先根据二次函数的解析式判断出抛物线的开口方向及对称轴，根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐

标的大小.

【详解】

由二次函数y=xi-4x-l=（x-1）i-5可知，其图象开口向上，且对称轴为x=l,

Vl<xi<l,3<xi<4,

•*.A点横坐标离对称轴的距离小于B点横坐标离对称轴的距离，

故答案为<.

14、减小

【解析】

根据反比例函数的性质，依据比例系数k的符号即可确定.

【详解】

Vk=2>0,

，y随x的增大而减小.

故答案是：减小.

【点睛】

本题考查了反比例函数的性质，反比例函数y=&（k^O）的图象是双曲线，当k>0,双曲线的两支分别位于第一、第

x

三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k<0,双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y

随x的增大而增大.

15、>

【解析】

试题解析：cos5O0=sin4O。，sin50°>sin40°,

sin50°>cos50°.

故答案为〉.

点睛：当角度在0°〜90。间变化时，

①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；

②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；

③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.

16、（231,2n-1）.

【解析】

解：,.,ynx-l与X轴交于点A1,

..•Ai点坐标（1,0）,

•/四边形AiBiCiO是正方形，

，Bi坐标(1,1),

；C1A2〃X轴，

.•.A2坐标(2,1),

,四边形A2B2C2C1是正方形，

.•.B2坐标(2,3),

•yA3〃x轴，

.•.A3坐标(4,3),

四边形A3B3c3c2是正方形，

AB3(4,7),

13

VBi(2°,B2(2,22-1),B3⑵，2-1),

.••Bn坐标(2叫2M).

故答案为(2»i,2M).

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)见解析；(2)tanZBAE=—

3

【解析】

(1)根据矩形的判定证明即可；

(2)根据平行四边形的性质和等边三角形的性质解答即可.

【详解】

证明:(1)VBD1AB,EF±CD,

...NABD=90°,ZEFD=90°,

根据题意，在口ABCD中，AB〃CD,

:.ZBDC=ZABD=90°,

ABD#GF,

二四边形BDFG为平行四边形，

,."ZBDC=90°,

二四边形BDFG为矩形；

(2)；AE平分NBAD,

,\ZBAE=ZDAE,

；AD〃BC,

NBEA=NDAE,

.".ZBAE=ZBEA,

；.BA=BE,

\•在RtABCD中，点E为BC边的中点，

.\BE=ED=EC,

•..在nABCD中，AB=CD,

...△ECD为等边三角形，NC=60。，

：.ZBAE=-ZBAD=30°,

2

tanZBAE=.

3

【点睛】

本题考查了矩形的判定、等边三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质和等边三角形的性质解答是解题关键.

18、(1)服装项目的权数是10%,普通话项目对应扇形的圆心角是72。；(2)众数是85,中位数是82.5；(3)选择李

明参加“美丽邵阳，我为家乡做代言”主题演讲比赛，理由见解析.

【解析】

(1)根据扇形图用1减去其它项目的权重可求得服装项目的权重，用360度乘以普通话项目的权重即可求得普通话项

目对应扇形的圆心角大小；

(2)根据统计表中的数据可以求得李明在选拔赛中四个项目所得分数的众数和中位数；

(3)根据统计图和统计表中的数据可以分别计算出李明和张华的成绩，然后比较大小，即可解答本题.

【详解】

(1)服装项目的权数是：1-20%-30%-40%=10%,

普通话项目对应扇形的圆心角是：360°x20%=72°；

(2)明在选拔赛中四个项目所得分数的众数是85,中位数是：(80+85)+2=82.5；

(3)李明得分为：85xl0%+70x20%+80x30%+85x40%=80.5,

张华得分为：90xl0%+75x20%+75x30%+80x40%=78.5,

V80.5>78.5,

李明的演讲成绩好，

故选择李明参加“美丽邵阳，我为家乡做代言”主题演讲比赛.

【点睛】

本题考查了扇形统计图、中位数、众数、加权平均数，明确题意，结合统计表和统计图找出所求问题需要的条件，运

用数形结合的思想进行解答是解题的关键.

19、(1)35元；⑵30元.

【解析】

⑴由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=(定价-进价)x销售量，从而列出关系式,

利用配方法得出最值；

⑵令w=2000,然后解一元二次方程，从而求出销售单价.

【详解】

解：(1)由题意，得：

W=(x-20)xy

=(x-20)(-10x+l)

=-10X2+700X-10000

=-10(x-35)2+2250

当x=35时，W取得最大值，最大值为2250,

答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润为2250元；

⑵由题意，得：—10炉+700%_io。。。=2000，

解得：X]=30,*[=40,

销售单价不得高于32元,

销售单价应定为30元.

答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元.

【点睛】

本题考查二次函数的性质及其应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决

实际问题.

20、(1)y=炉_2x_3；(2)P点坐标为,y；(3)2或1,^或(1,2)或(1,-4).

【解析】

(1)根据待定系数法把A、C两点坐标代入了=/+5%+。可求得二次函数的解析式；

(2)由抛物线解析式可求得B点坐标，由B、C坐标可求得直线BC解析式，可设出P点坐标，用P点坐标表示出

四边形ABPC的面积，根据二次函数的性质可求得其面积的最大值及P点坐标；

(3)首先设出Q点的坐标，则可表示出QB?、QC2和BC?,然后分NBQC=90。、NCBQ=90。和NBCQ=90。三种情况,

求解即可.

【详解】

解：⑴VA(-1,O),。(0,-3)在y=炉+6x+c上,

l-&+c=Ob=-2

，解得

c=-3、c=-3，

二次函数的解析式为y=V—2x-3；

⑵在y"—2x—3中，令y=0可得0=%2_2%_3,解得x=3或％=—1,

.­.5(3,0),且。(0,-3),

二经过B、C两点的直线为y=x—3,

设点P的坐标为(x，X2-2X-3),如图，过点p作PDLx轴，垂足为。，与直线交于点E,则£(x,x—3),

22

_Lq=J-x4x3+—(3X-X)X3=--x+—x+6=—(x-—+—,

BC丁0ABCP22V>222)8

33_15

.•.当x=—时，四边形ABPC的面积最大，此时P点坐标为

22，-Z

...四边形ABPC的最大面积为三；

O

(3)j=x2-2x-3=(x-l)2-4,

二对称轴为x=l，

二可设。点坐标为(U),

B(3,0),C(0,-3),

.-,522=(1-3)2+?=Z2+4,CQ1=l2+(r+3)2=72+6Z+10,BC2=18.

为直角三角形,

.•.有ZBQC=90。、ZCBQ=90°和ZBCQ=900三种情况,

①当NBQC=90。时，则有BQ2+CQ2=3C2,即/+4+/+6,+1。=18,解得”=3+而或=—3—匹,

22

此时Q点坐标为,三叵［或右叵;

②当NC8Q=90。时，则有5。2+5。2=。。2,即»+4+18=产+6/+10,解得f=2,此时。点坐标为(1,2)；

③当N8CQ=90。时，则有8。2+。。2=8。2,即18+〃+6,+10=/+4,解得f=—4,此时。点坐标为(LT)；

综上可知。点的坐标为或或0,2)或(1,T).

【点睛】

本题考查了待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识，注意分类讨

论思想的应用.

21>(1)a=2,k=8(2)SOBC=1.

【解析】

2

分析：(1)把A(-1,a)代入反比例函数一得到A(-1,2),过A作AELx轴于E,3厂，x轴于尸，根据相似三角形

x

的性质得到B(4,2),于是得到左=4x2=8；

(2)求的直线AO的解析式为y=-2x,设直线MN的解析式为y=-2x+b,得到直线MN的解析式为j=-2x+10,解方程

组得到C(1,8),于是得到结论.

2

详解：(1)•••反比例函数y=--(x<0)的图象过点A(-1,a),

x

2

•*.a=----=2,

-1

AA(-1,2),

过A作AE_Lx轴于E,BF_LJ_x轴于F,

；.AE=2,OE=1,

；AB〃x轴，

；.BF=2,

；NAOB=90。，

ZEAO+ZAOE=ZAOE+ZBOF=90°,

:.ZEAO=ZBOF,

/.△AEO^AOFB,

.AE_OE

••一,

OFBF

:.OF=4,

AB(4,2),

/.k=4x2=8；

(2),・,直线OA过A(-1,2),

J直线AO的解析式为y=-2x,

VMN/7OA,

J设直线MN的解析式为y=-2x+b,

/.2=-2x4+b,

/.b=10,

二直线MN的解析式为y=-2x+10,

•..直线MN交x轴于点M,交y轴于点N,

AM(5,0),N(0,10),

y=-2x+10

解18得，x=-l„x=4

c或1一

J=-y=81y=2

lx

AC(1,8),

AOBC的面积=SAOMN-SAOCN-SAOBM=-x5xlO--xlOxl--x5x2=l.

222

点睛：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数与一次函数交点问题，相似三角形的判定和性质，求函

数的解析式，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键.

22、（1）详见解析；（2）4.

【解析】

试题分析：（1）连结OD,由AD平分NBAC,OA=OD,可证得NODA=NDAE,由平行线的性质可得OD〃AE,再由

DELAC即可得OELDE,即DE是。O的切线；（2）过点O作OFLAC于点F,由垂径定理可得AF=CF=3,再由

勾股定理求得OF=4,再判定四边形OFED是矩形，即可得DE=OF=4.

试题解析：

(1)连结OD,

VAD平分NBAC,

/.ZDAE=ZDAB,

VOA=OD,

AZODA=ZDAO,

/.ZODA=ZDAE,

；.OD〃AE,

VDE±AC

/.OE±DE

r.DE是。O的切线；

(2)过点O作OF_LAC于点F,

.\AF=CF=3,

•••OF='AO：-AFZ=依-3：=4,

'：ZOFE=ZDEF=ZODE=90°,

二四边形OFED是矩形，

/.DE=OF=4.

考点：切线的判定；垂径定理；勾股定理；矩形的判定及性质.

20

23、(1)证明略；(2)BC=2V5,BF=—.

3

【解析】

试题分析：(1)连结AE.有AB是。O的直径可得NAEB=90。再有BF是。O的切线可得BFLAB,利用同角的余角相

等即可证明；

(2)在RtAABE中有三角函数可以求出BE,又有等腰三角形的三线合一可得BC=2BE,

过点C作CGLAB于点G.可求出AE,再在RtAABE中，求出sinN2,cosN2.然后再在RtACGB中求出CG,最后

证出△AGC^AABF有相似的性质求出BF即可.

试题解析：

(1)证明：连结AE.；AB是＜30的直径，.,.NAEB=90。，/.Zl+Z2=90°.

'.,BF是。。的切线，.\BF_LAB,/.ZCBF+Z2=90°..\ZCBF=Z1.

VAB=AC,ZAEB=90°,/.Zl=-ZCAB.

2

AZCBF=-ZCAB.

2

(2)解：过点C作CG_LAB于点G.；sinNCBF=g,Z1=ZCBF,/.sinZl=^.

VZAEB=90°,AB=5..,.BE=ABsinZl=VI.

VAB=AC,ZAEB=90°,/.BC=2BE=275.

在RtZkABE中，由勾股定理得AE=〃前一期=2标.

•.•