浙教版2024中考复习知识点练习五函数的图像与性质

一对一特性化教案

学生姓名年级科目数学授课老师

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作业讲解课

教学目标教学内容专题五：函数的图像与性质

第十九章一次函数

考点一、平面直角坐标系(3分)

1、平面直角坐标系

在平面内画两条相互垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。

其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的

交点0(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、其次

象限、第三象限、第四象限。

留意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。

2、点的坐标的概念

点的坐标用(a,b)表示，其依次是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。

平面内点的坐标是有序实数对，当〃时，(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。

考点二、不同位置的点的坐标的特征(3分)

1、各象限内点的坐标的特征

点P(x,y)在第一象限Ox>0,y>0

点P(x,y)在其次象限Ox<0,y>0

点P(x,y)在第三象限Ox<0,y<0

点P(x,y)在第四象限Ox>0,y<0

2、坐标轴上的点的特征

点P(x,y)在x轴上Oy=0,x为随意实数

点P(x,y)在y轴上ox=0,y为随意实数

点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上Ox,y同时为零，即点P坐标为(0,0)

3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上Ox与y相等

点P(x,y)在其次、四象限夹角平分线上Ox与y互为相反数

4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征

点P与点p'关于x轴对称O横坐标相等，纵坐标互为相反数

点P与点p'关于y轴对称O纵坐标相等，横坐标互为相反数

点P与点P'关于原点对称O横、纵坐标均互为相反数

6、点到坐标轴及原点的距离

点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：

(1)点P(x,y)到x轴的距离等于N

(2)点P(x,y)至I]y轴的距离等于凶

(3)点P(x,y)到原点的距离等于"回+打

考点三、函数及其相关概念(3~8分)

1、变量与常量

在某一改变过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

一般地，在某一改变过程中有两个变量x与y,假如对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，则就说

x是自变量，y是x的函数。

2、函数解析式

用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

3、函数的三种表示法及其优缺点

(1)解析法

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。

(2)列表法

把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

(3)图像法

用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

4、由函数解析式画其图像的一般步骤

(1)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值

(2)描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点

(3)连线：依据自变量由小到大的依次，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

考点四、正比例函数和一次函数(3~10分)

1、正比例函数和一次函数的概念

一般地，假如y=(k,b是常数，kwO),则y叫做x的一次函数。

特殊地，当一次函数y=左％+心中的b为。时，y=kx(k为常数，kwO)。这时，y叫做x的正比例函数。

2、一次函数的图像

全部一次函数的图像都是一条直线

3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:

一次函数y=丘+b的图像是经过点(0,b)的直线;正比例函数y=左》的图像是经过原点(0,0)的直线。

k的符号b的符号函数图像图像特征

图像经过一、二、三象限，y随x

b>0

的增大而增大。

k>0

图像经过一、三、四象限，y随x

b<0

的增大而增大。

0x

图像经过一、二、四象限，y随x

b>0

的增大而减小

K<0

图像经过二、三、四象限，y随x

的增大而减小。

正比例函数是一次函数的特例。

4、正比例函数的性质

一般地，正比例函数y=京有下列性质:

(1)当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；

(2)当k<0时，图像经过其次、四象限，y随x的增大而减小。

5、一次函数的性质

一般地，一次函数丁=履+)有下列性质：

(1)当k>0时，y随x的增大而增大

(2)当k<0时，y随x的增大而减小

6、正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式,=丘(kWO)中的常数k。确定一个一次函数，须要确

定一次函数定义式y=(kWO)中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。

其次十二章二次函数

考点一、二次函数的概念和图像(3~8分)

1、二次函数的概念

一般地，假如丁=融2+公+。(。,伍。是常数，a/0),则y叫做x的二次函数。

y^ax2+/w+c(a,"c是常数，aw0)叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

b

二次函数的图像是一条关于x=-土对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

2a

抛物线的主要特征：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图像的画法

五点法：

（1）先依据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴

（2）求抛物线y=+6x+c与坐标轴的交点：

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C,再找到点C的对称点D。将这

五个点按从左到右的依次连接起来，并向上或向下延长，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略

地画出二次函数的草图。假如须要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B,然后顺次连接五点，画出二

次函数的图像。

考点二、二次函数的解析式（10~16分）

二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般式：y=ax?+fcr+c（a,4c是常数，aw0）

（2）顶点式：y=a（x-/z）2+左（。,九人是常数，aw0）

（3）当抛物线丁=a/+6x+c与x轴有交点时，即对应二次好方程a/+公+。=0有实根1］和％存在时，

1

依据二次三项式的分解因式ax~+bx+c--x2）,二次函数丁=ax++c可转化为两根式

y=a（x—M）（x—/）。假如没有交点，则不能这样表示。

考点三、二次函数的最值（10分）

b

假如自变量的取值范围是全体实数，则函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当兄=——时，

2a

_4ac-b2

，最值

b

假如自变量的取值范围是王〈九《九2,则，首先要看——是否在自变量取值范围王工尤〈九2内，若在此范围

2a

h4cic—b2

内，则当x=——时，y最值=--------；若不在此范围内，则须要考虑函数在玉々范围内的增减性，假如

2a4a

在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=/时，y最大=ax；+。，当％=七时，y最小=ax；++c；

假如在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=七时，y最大=axf+bxl+c,当x=々时，y最小=ax；+bx2+Co

考点四、二次函数的性质（6~14分）

1、二次函数的性质

二次函数

函数

y=ax2+人犬+。（。,瓦。是常数，aw0）

a>0a<0

图像

▲

y

y

ox0x

（1）抛物线开口向上，并向上无限延长；（1）抛物线开口向下，并向下无限延长；

bbbb

（2）对称轴是x=——,顶点坐标是（——，（2）对称轴是x=——，顶点坐标是（——，

2a2a2a2a

4ac-b24ac-b2

--------）；--------）；

4a4a

bb

（3）在对称轴的左侧，即当x<----时，y随x（3）在对称轴的左侧，即当x<——时，y随x

2a2a

性质的增大而减小；在对称轴的右侧，即当的增大而增大；在对称轴的右侧，即当

bb

X>—土时，y随X的增大而增大，简记左减x>——时，y随x的增大而减小，简记左

2a2a

右增；增右减；

bb

（4）抛物线有最低点，当x=----时，y有最小（4）抛物线有最高点，当x=----时，y有最

2a2a

4ac-b24ac-b2

值，丁最小值二：大值，，最大值二：

2、二次函数y=a/+"+c（〃,反。是常数，中，〃、b、c的含义：

〃表示开口方向：时，抛物线开口向上

时，抛物线开口向下

b

b与对称轴有关：对称轴为*=----

2a

c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0,c）

3、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的A=b?-4ac,在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。

当A>0时，图像与x轴有两个交点；

当A=0时，图像与x轴有一个交点；

当A<0时，图像与x轴没有交点。

补充：

1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）

¥

如图：点A坐标为（xi，yi）点B坐标为（X2，y2）

则AB间的距离，即线段AB的长度为一/丫+（%—为丫A

(T

B

2、函数平移规律（中考试题中，只占3分，但驾驭这个学问点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节约做

题的时间）

左加右减、上加下减

其次十六章反比例函数似

考点五、反比例函数（3~10分）

1、反比例函数的概念

一般地，函数y=K（k是常数，kWO）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成丁=左式1的形式。

X

自变量X的取值范围是xwo的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

2、反比例函数的图像

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或其次、四象限，它们关于

原点对称。由于反比例函数中自变量xWO,函数y/0,所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个

分支无限接近坐标轴，但恒久达不到坐标轴。

3、反比例函数的性质

反比例

函数

k的符号k>0

①x的取值范围是xWO,①x的取值范围是xWO,

y的取值范围是yWO；y的取值范围是yWO；

性质②当k>0时，函数图像的两个分支分别②当k<0时，函数图像的两个分支分别

在第一、三象限。在每个象限内，y在其次、四象限。在每个象限内，y

随x的增大而减小。随x的增大而增大。

4、反比例函数解析式的确定

确定及谀是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y=与中，只有一个待定系数，因此只须要一对对应值

x

或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

5、反比例函数中反比例系数的几何意义

k

如下图，过反比例函数y=—（左H0）图像上任一点P作X轴、y轴的垂线PM,PN,则所得的矩形PMON的

面积S=PM•PN=・J.=网。

y=xy=k,S=\k\

xo

课堂练习

一.选择题

1.一次函数尸2x+l的图象经过()

/、其次、三、四象限8、第一、三、四象限

G第一、二、四象限〃、第一、二、三象限

2

2.下列各点中，在函数y=—图象上的点是()

x

A.(2,4)B.(-1,2)C.(-2,-1)D.-1)

2

3.假如已知一次函数尸履+6的图象不经过第三象限，也不经过原点，则大力的取值范围是()

Ak>0且b>QB">0且从0Ck<Q且b>0Dk<Q且b<0

4.直线y=x与抛物线y=x?-2的两个交点的坐标分别是()

A(2,2),(1,1)B(2,2),(-1,-1)

C(—2,—2)(1,1)D(—2,—2)(—1,1)

5.如图，直线，和心的交点坐标为()

A.(4,-2)B.(2,-4)C.(-4,2)D.(3,-1)

6.一家电信公司给顾客供应两种上网收费方式：方式A以每分0.1元的价格按上网所用时间计算；方式6除收月基

费20元外.再以每分0.05元的价格按上网所用时间计费。若上网所用时问为x分.计费为y元，如图.是在同始

终角坐标系中.分别描述两种计费方式的函救的图象，有下列结论:

①图象甲描述的是方式4

②图象乙描述的是方式合

③当上网所用时间为500分时，选择方式6省钱.

其中，正确结论的个数是()

A.3B.2C.1D.0

7.二次函数y=x?-2x+l与x轴的交点个数是()

A.0.B.1C.2D.3

8.下列函数中，当x>0时，y值随x值增大而减小的是()

2j1

A、y=xB、y=x-lC、y=—xD、y=—

"“4x

9.在函数、=—（R>Q>的图象上有三点/笑专，）£）、A（X,%）、43（X3，%），已知刁”至=^9t巨，则下

X22

列各式中，正确的是（）

4

10.已知二次函数y=ax?+bx+c（awO）的图象如图所示，有下列5个结论:

@abc>0；②b<a+c；③4a+2b+c>0；®2c<3b；⑤a+b>m(am+b),(m#1的实数)其中正确的结

论有（）

42个6.3个C4个〃5个

二.填空题

11.反比例函数的图象经过点（一2,3）,则此反比例函数的关系式是.

12.假如.正比例函数的图像经过点（2,1）,则这个函数的解析式是.

13在平面直角坐标系内，从反比例函数y=&（k>0）的图象上的一点分别作x、y轴的垂线段，与x、y轴所围成的

X

矩形面积是12,则该函数解析式是。

1c25

14.一如图，一男生推.铅球.铅球行进高度y（加与水平距离x（加之间的关系是丫=-32+3+三，铅球推出距

离为®。

15.已知二次函数y=aY+bx+c（awO）中自变量x和函数值y的部分对应值如下表:

X_3£3

2T、0、12

_97

y—2-20

-4-44

则该二次函数的解析式为.

三.解答题

16.如图，平面直角坐标系中画出了函数户的图象。

（1）依据图象，求A,6的值；

（2）在图中画出函数尸一2x+2的图象；

(3)求x的取值范围，使函数广府+6的函数值大于函数尸一2/2的函数值。

17.已知关于x的一次函数y=mx+3n和反比例函数丫=里巨■的图象都过点(1,-2),求:

X

(1)一次函数和反比例函数的解析式；

(2)两,个函数图象的另一个交点的坐标。

18.在〃力/k/6。中，///90°,AB=yj53,6ea,力信6.且a>6,若a,6分另ij是二次函数y=x?—(2k+l)x+k2-2

的图象与x轴两个交点的横坐标，求a、6的值。

19.如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于46两点，与反比例函数的图象交于C、〃两点，假如4点的坐标

为(2,0),点G，分别在第一、三象限，且OAOAHD。试求一次函数和反比例函数的解析式。

y

20.已知抛物线j=x2-2x-8o

(1)求证：该抛物线与x轴肯定有两个交点；

(2)若该抛物线与x轴的两个交点分别为/、B,且它的顶点为R求△/期的面积。

21.现支配把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有46两种不同规格的货车

厢共40节，运用/型车厢每节费用为6000元，运用方型车厢每节费用为8000元.

(1)设运输这批货物的总费用为y万元，这列货车挂力型车厢x节，试写出y与x之.间的函数关系式；

(2)假如每节/型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节8型车厢最多可装甲种货物25

吨和乙种货物35吨，装货时按此要求支配46两种车厢的节数，则共有哪几种支配车厢的方案？

(3)在上述方案中，哪个方案运费最省？最少运费为多少元？

22.已知抛物线y=(m+l)x2-2mx+m(〃为整数)经过点/(1,1),顶点为户，且与.x轴有两个不同的交点..

(1)推断点户是否在线段的上(。为坐标原点)，并说明理由；

(2)设该抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为荀、自，且不＜自，是否存在实数处使为＜Xx2?若存在，恳

求出加的取值范围；若不存在，请说明理由.

23.如图，二次函数y=x2+px+q(p＜0).的图象与x轴交于力、6两点，与.y

轴交于点。(0,—1),//6C的面积为°。

4

(1)求该二次函数的关系式；

(2)过y轴上的一点〃(0,加作y轴的垂线，若该垂线与//回的外接圆有公共点，求0的取值范围；

(3)在该二次函数的图象上是否存在点4使四边形亚以为直角梯形？若存在，求出点，的坐标；若.不存在，请

24.如图所示，在平面直角坐标系中，.过坐标原点。的圆〃分别交x轴、y轴于点4(6,0)、B(0,-8).

(1)求直线力6的解析式；

课外练习

一.选择题

k

1.在平面直角坐标系中，反比例函数v=-（^<0）图像的两支分别在（）

X

A.第一、三象限B.其次、四象限C.第一、二象限D.第三、四象，限

2.下列函数中，当x>0时，y随x的增大而增大的函教是（）。

2，

A.y=-2xB.y=-2x+2C.y=——D.y=-2x，

"一'x

3.抛物线y=—（x+Z）?—3的顶点坐标是（）

A.（2,-3）；B（-2,3）；C（2,3）；D（一2,-3）.

4.用某种金属材料制成的高度为h的圆柱形物体甲如右图放在桌面上，它对桌面的压强为1000帕，将物体甲锻造成高

度为的圆柱形的物体乙（重量保持不变），则乙对桌面的压强为（）

2

5.下列函数中，y随x的增，大而减小的是（）

124

A.y=---B.y=—C.y=--(x>0)D.y=—(x<0)

xxXx

6.已知.，如图为二次函数y=o?+历:+c的图象,则一次函数y=以+税的图象不经过（）

A第一象限B其次象限C第三象限D第四象限

7.下列函数中,y随x增大而增大的是（）

A."1D.y=^x2(x<0)

B.y=-x+5C.y=—x

X2

2

8.已知二次函数y-ax+bx+c,且a<0,a-b+OQ,则肯定有（）

A.-4ac>0B.■-4tzc=0C.Z?2-4ac<0D.庐-4〃ccW0

9.已知二次函数y=幺2+陵+。（0

①H-4ac>0；②abc>0；③8a+

其中，正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3

10.在平面直角坐标系中，已知点A

三角形，则满意条件的点C有（)

A.1个B.2个C.3个D.4个

填空题

11.反比例函数y=K的图象经过点（一2,1）,则k的值为.

X

12.如图,该函数解析式是.

13.一次函数y=kx+Z?（左为常数且左70）的图象如图所示，则使y〉0成立的x的取值范围为二.

14.直线y=—%,直线y=x+2与x轴围成图形的周长是（结果保留根号）.

15.某书每本定价8元，若购书不超过10本，按原价付款；若一次购书10本以上，超过10本部分打八折.设一次购

书数量为x本，付款金额为y元，请填写下表：

X(本)271022

y(元)16

三.解答题

16.二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为

(4,0),点C在y轴正半轴上，且AB=0C.

(1)求C的坐标；

(2)求二次函数的解析式，并求出函数最大值。

17.如图，一次函数丫=kx+b的图象与反比例函数y=—的图象相交于A、B两点

x

(.1)依据图象，分别写出A、B的坐标；

(2)求出两函数解析式；

(3)依据图象回答：当x为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值

3

18.己知RtZXABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上，点C(1,3)在反比例函数y=&的图象上-

,S.sinZBAC5

(1)求k的值和边AC的长;

(2)求点B的坐标.

19.已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a*0)的图象经过点C(0,1),且与x轴交于不同的两点A、B,点A的坐

标是(1,0)

(1)求c的值；

(2)求a的取值范围