2024年济南高新区九年级中考数学一模考试试题（含答案）

2024年高新区学考第一次模拟测试

九年级数学试题2024.04

本试题分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分、第1卷共2页，满分为40

分；第II卷共4页，满分为110分，本试题共6页，满分为150分，考试时间为120分钟，

答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在

答题卡上和试卷规定的位置上、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回，本考试不允许使

用计算器。

第I卷（选择题共40分）

注意事项：第1卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标

号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效.

一.选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（）

A.L..............B.C.D.

2."燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台."这是诗仙李白眼里的雪花，单个雪花的重量其实很

轻，只有0.00003kg左右，0.00003用科学记数法可表示为（）

A.3X105B.3X104C.0.3X104D.0.3X105

3.如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE、DF的反向

延长线交于主光轴MN上一点P.若NABE=160°,ZCDF=150°,

A.200B.30°C.50°D.70°

4.下列式子计算正确的是（)

A.m+m=m2B.(-3m)2=6m2C.(m+2n)2=m2+4nD.(m+3n)(m-3n)=m2-9n2

5.如图，在平面内将三角形标志绕其中心旋转180后得到的图案（）

仝B.A

三角彤京出

AC.

6.解分式方程去分母后得到的方程正确的是（

A.l-（2-x）=-2xB.（2-x）+l=2xC.（x—2）-l=2xD.（x—2）+l=2x

7.若0<m<n,则直线y=-5x+m直线y=-x+n的交点（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限（x-2）D.第四象限

8.某口袋中有10个球，其中自球x个个，球球2r个，其余为黑球，甲从袋中任任意摸出一个球，

若为绿球获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球,著为黑球则乙获胜胜，要使游戏

对甲、乙双方公平，则x应该是（）

A.3B.4C.lD.2

9.如图.在平行四边形ABCD中，CD=4,ZB=60°,BE:EC=2:1,依据尺规作图的痕痕迹,则平行

1

四边形ABCD的面积为（）

D

BAE、、、、C

A.12B.12V2C.12V3D.12V5

10.二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数,a=0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表:

X•••-2-1012

y=ax^bx+c•••tm-2-2n

且当x=q时，与其对应的函数值y>0,有下列结论:①abc<0;②m=n;③-2和3是关于x的方程

ax2+bx+c=t的两个根;④a<*其中正确结论的个数是（）

A.lB.2C.3D.4

第II卷（非选择题共110分）

注意事项：

1.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位

置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改

液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效.

2.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

二.填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

11.计算（x+3）（x-2）=0

12.为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后

把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼，通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳

定在5%左右，则鱼塘中估计有鱼_____条.

13.已知一元二次方程x2-5x+2m=0有一个根为2,则另一根为.

14.如图，将长为6,宽为4的长方形ABCD先向右平移2,再向下平移1,得到长方形A'B'CD',

则阴影部分的面积为.

（第14题图）（第15题图）（第16题图）

15.甲、乙两个工程组同时挖掘成渝高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段

时间后，乙组因维修设备而停工，申组革独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和

y（m）与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则甲组挖掘的总长度比乙组挖掘的总长

度多m.

16.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,E为AB上一点，连接DE,将团ADE沿DE折叠，点A

2

落在Ai处，连接AiC,若F、G分别为AiC、BC的中点，则FG的最小值为。

三.解答题：（本大题共10个小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本题满分6分）TFM：（-2024）°+V4-4sin30°+1-51.

X-12X-1

F—F的正整数解.

(2+x<-X+6

19.（本题满分6分）如图，点E、F分别在平行四边形ABCD的边AD和BC上，且AE=CF.求

证：ZBAF=ZDCE.

20.（本题满分8分）桔棉俗称"吊杆""称杆"（如图1）,是我国古代农用工具，始见于《墨子・备

城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械，如图2所示的是桔棉示意图，OM是垂直于水平

地面的支撑杆，OM=3米，AB是杠杆，且AB=6米，OA:OB=2:1.当点A位于最高点时，Z

AOM=127°.

（1）求点A位于最高点时到地面的距离；

（2）点A从最高点逆时针旋转54.5。到达最低点A1时，求此时水桶B上升的高度.（考数据:

sin37°^0.6,sinl7.5°=0.3,tan37°七0.8）

3

21.（本题满分8分）某校初三年级一共有1200名学生，某一次体育测试后，彭老师为了了

解本校初三学生体考成绩的大致情况，随机抽取了男、女各40名考生的体考成绩，并将数

据进行整理分析，给出了下面部分信息：

数据分为A,B,C,D四个等级分别是：

A:49WxW50,B:45WxW49,C:40Wx/45,D:0WxW40.

40名男生成绩的条形统计图以及40名女生成绩的扇形统计图如图.40名男生和40名女生

成绩的平均数，中位数，众数如下：

性别平均数中位数众数

男生48a47

女生48.54847.5

男生成绩在B组的考生的分数为

45,45,46,46,46.5,46.5,47,47,47,47,47,47,48,48,48.5;根据以上信息，解

答下列问题：

（1）填空a=,女生成绩为B等对应的扇形的圆心角为并补全条形统计图.

⑵根据以上数据，你认为在此次测试中，男生成绩好还是女生成绩好？请说明理由；

⑶请估计该年级所有参加体考的学生中，成绩为A等级的考生人数.

22.（本题满分8分）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C作圆。的切线交

AB的延长线于点P,连接CA,CO,CB.

（1）若NABC=2NBCP,求NP的度数；

（2）在（1）的条件下，若AB=4,求图中阴影部分的面积（结果保留n和根号）.

4

23.（本题满分10分）学校在某商场购买甲、乙两种不同类型的足球，相关信息如下表:

甲种足球乙种足球

购买费用：2000元购买费用：1400元

单价：x用个单价：（升20）元/个

数量：_______________一个数量:___________________个

⑴在上表中用含x的代数式分别表示购买甲、乙两种足球的数量；

⑵若本次购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，求甲、乙两种足球在此商场的销

售单价；

⑶为满足学生需求，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个.恰逢该商场对两种足

球的销售单价进行调整，甲种足球的销售单价比上次购买时提高了10%,乙种足球的销售单

价比上次购买时降低了10%.如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2950元，求这

所学校最多可以购买乙种足球的数量.

24.（本题满分10分）

【综合与实践】：

"怎样把一块三角形的木板加工成一个面积最大的正方形桌面？"某小组同学对此展开了思考.

II

10

【特例感知】：

（1）若木板的形状是如图（甲）所示的直角三角形，SAABc=1.5m2,AB=1.5m,根据"相似三角形

对应的高的比等于相似比"求得此时正方形DEFG的边长.

【问题解决】：

若木板是面积仍然为L5m2的锐角三角形ABC,按照如图（乙）所示的方式加工，记所得的

正方形DEFG的面积为S,如何求S的最大值呢？某学习小组做了如下思考：

设DE=x,AC=a,AC边上的高BH=h,贝！ISmBc=：ah,工h=，

2a

由回BDEs团BAC得：篝能从而可以求得x=急"

若内接正方形面积S最大，即求x的最大值.因为S=1.5为定值，因此只需要分母最小即可.

5

(2)小组同学借鉴研究函数的经验，令丫=2+1!=2+?=2，g>0).探索函数丫=2+^的图象和性质:

①下表列出了y与a的几组对应值，其中m=.

a•••11113234

4322

y用m4苗44•••

②在如图(丙)所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象；

③结合表格观察函数y=a+?图象，以下说法正确的是.

A.当a>l时，y随a的增大而增大.

B.该函数的图象可能与坐标轴相交.

C.该函数图象关于直线y=a对称.

D.当该函数取最小值时，所对应的自变量a的取值范围在1~2之间.

25.(本题满分12分)

问题发现：_

⑴如图1,已知正方形ABCD和正方形AEFG,直接写出CF与DG之间的数量关系：

拓展探究：

⑵将正方形AEFG绕点A顺时针旋转到图2所示的位置，连接DG、CF,试猜想CF与DG之

间的数量关系，并说明理由。

类比迁移：

⑶如图3,已知菱形ABCD和菱形AEFG,ZDAB=60°,将菱形AEFG绕点A顺时针旋转a(0°<a<90"),

连接DG、CF,请在备用图中画出草图，判定CF与DG之间的数量关系是否随着a的变化而

变化，并说明理由.

6

26.(本题满分12分)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(-l,0),B(3,

0)两点，与y轴相交于点C(0,-3),P是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，

设点P的横坐标为m,过点P作PH_Lx轴于点H,与BC交于点M.

(1)求这个二次函数的表达式；

⑵将线段CA绕点C顺时针旋转90。，点A的对应点为/V,判断点A'是否落在抛物线上，并

说明理由；

⑶求PM+2BH的最大值；

⑷如果回PMC是等腰三角形，直接写出点P的横坐标m的值.

7

答案

一.选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（D）

2."燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台."这是诗仙李白眼里的雪花，单个雪花的重量其实很

轻，只有0.00003kg左右，0.00003用科学记数法可表示为（A）

A.3X105B.3X104C.0.3X104D.0.3xl0-5

3.如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE、DF的反向

延长线交于主光轴MN上一点P.若NABE=160。，ZCDF=150°,则NEPF的度数是（C）

A.200B.30°C.50°D.70°

4.下列式子计算正确的是（D）

A.m+m=m2B.(-3m)2=6m2C.(m+2n)2=m2+4n2D.(m+3n)(m-3n)=m2-9n2

5.如图，在平面内将三角形标志绕其中心旋转180后得到的图案（D）

4B.AC.V三用形除忠

6.解分式方程L七三去分母后得到的方程正确的是（

A.l-（2-x）=-2xB.（2-x）+l=2xC.（x—2）-l=2xD.（x-2）+l=2x

7.若0<m<n,则直线y=-5x+m直线y=-x+n的交点（B）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限（x-2）D.第四象限

8.某口袋中有10个球，其中自球x个个，球球2r个，其余为黑球，甲从袋中任任意摸出一个球，

若为绿球获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球,著为黑球则乙获胜胜，要使游戏

对甲、乙双方公平，则x应该是（D）

A.3B.4C.lD.2

9.如图.在平行四边形ABCD中，CD=4,ZB=60°,BE:EC=2:1,依据尺规作图的痕痕迹,则平行

四边形ABCD的面积为（）

A.12B.12V2C.12V3D.12V5

8

10.二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数,a70）的自变量x与函数值y的部分对应值如表:

X•••-2一I0I2…

y-ax1+bx+c•••tm-2-2n•••

且当x=-1时，与其对应的函数值y>0,有下列结论:①abc<0;②m=n;③-2和3是关于x的方程

ax2+bx+c=t的两个根;④a</其中正确结论的个数是（B）

A.lB.2C.3D.4

第II卷（非选择题共110分）

注意事项：

1.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位

置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改

液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效.

2.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

二.填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

.计算（x+3）（x-2）=xHx—6,

12.为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后

把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼，通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳

定在5%左右，则鱼塘中估计有鱼1000条.

13.已知一元二次方程x2-5x+2m=0有一个根为2,则另一根为3.

14.如图，将长为6,宽为4的长方形ABCD先向右平移2,再向下平移1,得到长方形A'B'CD',

则阴影部分的面积为12.

（第14题图）（第15题图）（第16题图）

15.甲、乙两个工程组同时挖掘成渝高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段

时间后，乙组因维修设备而停工，申组革独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和

y（m）与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则甲组挖掘的总长度比乙组挖掘的总长

度多60m.

16.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,E为AB上一点，连接DE,将国ADE沿DE折叠，点A

落在飞处，连接AiC,若F、G分别为AiC、BC的中点，则FG的最小值为1。

三.解答题：（本大题共10个小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.(本题满分6分)：(-2024)°+V4-4sin30°+1-51.

=1+2—2+5

=6

9

（izl<2xT①

18.（本题满分6分）求不等式组2-3-的正整数解.

[2+x<-x+6②

解：解不等式①得：x2-l

解不等式②得：x<2

不等式组的解集为：-lWx<2

不等式组的正整数解是1

19.（本题满分6分）如图，点E、F分别在平行四边形ABCD的边AD和BC上，且AE=CF.求

证：ZBAF=ZDCE.

证明：•••四边形ABCD是平行四边形,

.\AB=CD,ZB=ZD,AD=BC

VAE=CF

DE=BF

.•.回ABFg回CDE(SAS)

.,.ZBAF=ZDCE

20.（本题满分8分）桔棉俗称"吊杆""称杆"（如图1）,是我国古代农用工具，始见于《墨子・备

城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械，如图2所示的是桔棉示意图，OM是垂直于水平

地面的支撑杆，OM=3米，AB是杠杆，且AB=6米，OA:OB=2:1.当点A位于最高点时，Z

AOM=127°.

（1）求点A位于最高点时到地面的距离；

（2）点A从最高点逆时针旋转54.5。到达最低点A1时，求此时水桶B上升的高度.（考数据:

sin37°^0.6,sinl7.5°=0.3,tan37°七0.8）

地面

图1图2

10

解：（1）过0作EF_LOM于0,过A作AG_LEF于G

图2

TAB=6米，0A:0B=2:l

；.OA=4米，OB=2米

,:ZAOM=127°,ZEOM=90°

.,.ZAOE=127°-90°=37

在RtaAOG中,AG=AOXsin37°—4x0.6=24（米）

点A位于最高点时到地面的距离为2.4+3=5.4（米）

答：点A位于最高点时到地面的距离为5.4米；

（2）过O作EF_LOM,过B作BC回EF于C,过Bi作BQ_LEF于D

VZAOE=37°

.\ZBOC=ZAOE=37°,ZBiOD=ZAiOE=17.5°

VOBi=OB=2（米）

在RtaOBC中，BC=sinZOCBXOB=sin37°XOB=0.6x2=1.2（米）

在Rt回OBiD中，BiD=sinl7.5XOBi=0.3x2=0.6（米）

ABC+BiD=1.2+0.6=1.8（米）

此时水桶B上升的高度为1.8米.

21.（本题满分8分）某校初三年级一共有1200名学生，某一次体育测试后，彭老师为了了

解本校初三学生体考成绩的大致情况，随机抽取了男、女各40名考生的体考成绩，并将数

据进行整理分析，给出了下面部分信息：

数据分为A,B,C,D四个等级分别是：

A:49WxW50,B:45/xW49,C:40WxW45,D:0WxW40.

40名男生成绩的条形统计图以及40名女生成绩的扇形统计图如图.40名男生和40名女生

成绩的平均数，中位数，众数如下：

购取的初二到大休匕次纨*期仅计

众数|

性别平均数中位数

男生48a47

女生48.548475

男生成绩在B组的考生的分数为

45,45,46,46,46.5,46.5,47,47,47,47,47,47,48,48,48.5;根据以上信息，解

答下列问题：

（1）填空a=，女生成绩为B等对应的扇形的圆心角为并补全条形统计图.

11

⑵根据以上数据，你认为在此次测试中，男生成绩好还是女生成绩好？请说明理由;

⑶请估计该年级所有参加体考的学生中，成绩为A等级的考生人数.

解：⑴46.25162°

⑵女生的成绩较好，理由：女生的平均数、众数都比男生好

抽取的初三男生体考成绩条形统计

（3）1200X—=480（人）

40

答：估计该年级所有参加体考的学生中，成绩为A等级的考生人数为480人.

22.（本题满分8分）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C作圆O的切线交

AB的延长线于点P,连接CA,CO,CB.

⑴若NABC=2NBCP,求NP的度数；

⑵在（1）的条件下，若AB=4,求图中阴影部分的面积（结果保留71和根号）.

解：（1）：AB是半圆0的直径

.•.ZACB=90°

VCP是半圆O的切线

.•.OC±PC

.,.ZOCP=90°

/.ZACB=ZOCP

.\ZACO=ZBCP

VZABC=2ZBCP

/.ZABC=2ZACO

VOA=OC

/.ZACO=ZA

/.ZABC=2ZA

VZABC+ZA=90o

12

.\ZA=30o,ZABC=60°

.,.ZACO=ZBCP=30°

.•.ZP=ZABC-ZBCP=60°-30o=30°

(2)由(1)知NA=30°

VZACB=90"

/.BC=|AB=2,AC=V3BC=2V3

.,.SAABC=|BC•AC=2V3

•**S半圆=2n

阴影部分的面积是(2n-2V3)

23.(本题满分10分)学校在某商场购买甲、乙两种不同类型的足球，相关信息如下表:

甲种足球乙种足球

购买费用：2000元购买费用：1400元

单价：x用个单价：(H20)元/个

数量：___________________个数量:个

(1)在上表中用含x的代数式分别表示购买甲、乙两种足球的数量；

(2)若本次购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，求甲、乙两种足球在此商场的销

售单价；

⑶为满局学生需求，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个.恰逢该商场对两种足

球的销售单价进行调整，甲种足球的销售单价比上次购买时提高了10%,乙种足球的销售单

价比上次购买时降低了10%.如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2950元，求这

所学校最多可以购买乙种足球的数量.

解：⑴幽;1400

Xx+20

20001400

⑵根据题意得:X2

x%+20

解得：x=50

经检验，x=50是所列方程的解，且符合题意

x+20=50+2=70

答:甲种足球在此商场的销售单价为50元/个，乙种足球在此商场的销售单价为70元/个:

⑶设这所学校可以购买m个乙种足球，则购买(50-m)个甲种足球

根据题意得：50x(l+10%)(50-m)+70x(l-10%)m<2950

解得：mW25

/.m的最大值为25

13

答：这所学校最多可以购买25个乙种足球

24.（本题满分10分）

【综合与实践】：

"怎样把一块三角形的木板加工成一个面积最大的正方形桌面？"某小组同学对此展开了思考.

【特例感知】：

若木板的形状是如图（甲）所示的直角三角形，根据"相似三角形

（1）SAABc=1.5m2,AB=1.5m,

对应的高的比等于相似比"求得此时正方形DEFG的边长.

【问题解决】：

若木板是面积仍然为L5m2的锐角三角形ABC,按照如图（乙）所示的方式加工，记所得的

正方形DEFG的面积为S,如何求S的最大值呢？某学习小组做了如下思考：

设DE=x,AC=a,AC边上的高BH=h,贝!ISmBc=：ah,，h=?

2a

由回BDEs回BAC得：篝能从而可以求得x=念，

若内接正方形面积S最大，即求x的最大值.因为S=1.5为定值，因此只需要分母最小即可.

（2）小组同学借鉴研究函数的经验，令丫=2+卜=2+印a+^（a>0）.探索函数丫=2勺的图象和性质:

①下表列出了y与a的几组对应值，其中m=.

a•••11113234

4322

4

y•••wm44•••

②在如图（丙）所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象;

③结合表格观察函数y=a+|图象，以下说法正确的是.

A.当a>l时，y随a的增大而增大.

B.该函数的图象可能与坐标轴相交.

14

C.该函数图象关于直线y=a对称.

D.当该函数取最小值时，所对应的自变量a的取值范围在1~2之间.

解：⑴过点B作BN_LAC于点N,交DE于点M,如图，

B

AGNF

设DE=x,贝！JDG=MN=x

2

VSAABc=1.5m,AB=1.5m

/.-X1.5XBC=1.5.

2

:.BC=2m

AAC=2.5

/.-XACXBN=1.5

2

ABN=1.2m

BM=BN-MN=(1.2-x)m

VDE/7AC

团BDEs团BAC

,DEBM

**AC~BN

1.2—x

(2)①61

②在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象:

13

12

11

10

此处阅卷不必

要求非常精准

°1234567

②D

15

25.（本题满分12分）

问题发现：

⑴如图1,已知正方形ABCD和正方形AEFG,直接写出CF与DG之间的数量关系：

拓展探究：

⑵将正方形AEFG绕点A顺时针旋转到图2所示的位置，连接DG、CF,试猜想CF与DG之

间的数量关系，并说明理由。

类比迁移：

⑶如图3,已知菱形ABCD和菱形AEFG,ZDAB=60°,将菱形AEFG绕点A顺时针旋转a（0°<a<90"）,

连接DG、CF,请在备用图中画出草图，判定CF与DG之间的数量关系是否随着a