2024届高三数学选填专项训练12试题含答案

2024届高三数学选填专项训练(12)

一、单选题

1.设集合U={T，0，l，2},A={y\y=477i,X^U},则集合A的真子集个数为

A.2B.3C.7D.8

{(l—2a)x+3a,x<l,

2.已知/(%)='的值域为R,那么〃的取值范围是()

[Inx,x>l

A.(-oo,-1]B.(-1,C.[-1,4)D.(0,1)

3.在△ABC中，。为边AC上的一点，且4D=gr>C,P为边8。上的一点，且满足

AP=mAB+nAC(m>0>n>0),则下列结论正确的()

1411

A.m+n=lB.的最大值为:C.一+—上的最小值为7D./+91的最小值为不

4mn/

4.正项数列{%}的前〃项和为S“，且$5=10,几=50,若直线

/:3x+4y+a,T+a“+i—3=0（"eN*g/C：a-l）2+y2=Ua；（fl“>0^^,贝l|%=（

A.90B.70C.120D.100

5.己知,ABC的外接圆圆心为。，且AO=A8+AC，则B4在8c上的投影向量为（）

A.-BCB.--BCC.-BCD.--BC

2244

Inx,x>1

6.己知函数=L无，，若网x）=/[/（x）+l]+能有两个零点占，%，则%+%的

1—,X<1

I2

取值范围是（）

A.[4-21n2,+co）B.[1+&,+qC.[4-21n2J+五）D.卜℃,1+五）

7.已知长方体ABCD—ABIGR，其中期=血，AB=AD=6,P为底面ABCD上

的动点，庄，4。于£且刈=尸片，设AJ与平面ABCD所成的角为6,则6的最大值

为()

ARLAB

8.在AABC中，角C=60°,且tan——btan—=3-J3,则sin—sin—=（）

2222

222

二、多选题

9.设M为双曲线C：/一;=1上一动点，片,乙为上、下焦点，。为原点，则下列结论

正确的是()

A.若点N(0,8),则悭用最小值为7

B.若过点。的直线交C于A,8两点(AB与M均不重合)，则七

C.若点。(8,1),M在双曲线C的上支，则|咋最小值为2+相

D.过耳的直线/交C于G、H不同两点，若|GH|=7,贝心有4条

10.在复平面内，复数z”Z2对应的向量分别是04,08,其中。是原点，i为虚数单位，则下

列判断中正确的有()

A.若多=%，则囱=画B.若网=烟，则Z”z2

C.若Zj=zJ,则0408=0D.若0408=0，则

11.如果知道事件X已发生，则该事件所给出的信息量称为“自信息”.设随机变量X的所

有可能取值为4，巧，…，xn,且p(%)>o(i=l,2,£p(%)=l,定义X的“自信息”

1=1

为/(均)=-log2oa).一次掷两个不同的骰子，若事件A为“仅出现一个2”，事件8为“至

少出现一个5”，事件C为“出现的两个数之和是偶数”，则()

A.当p(xj=l时，“自信息”/(%)=0B.当0(%)>p(w)>0时,l(xl)>I(x2)

C.事件C的“自信息”(C)=lD.事件A的“自信息”(A)大于事件8的“自信息”/(3)

12.摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如武汉东湖的“东湖之眼”摩天轮，如图所示,

某摩天轮最高点离地面高度55米，转盘直径为50米，设置若干个座舱，游客从离地面最近

的位置进舱，开启后按逆时针方向匀速旋转/分钟，当/=10时，游客

随舱旋转至距离地面最远处.以下关于摩天轮的说法中，正确的为()

A.摩天轮离地面最近的距离为5米

B.若旋转/分钟后，游客距离地面的高度为九米，则

h=-25cos|—?|+30

UOJ

c.存在4,[0,15],使得游客在该时刻距离地面的高度均为20米

D.若在％,芍时刻游客距离地面的高度相等，贝M+与的最小值为20

__L2

COS71X,XG~2,2_

13.对于函数"x)="下面结论正确的是（)

f3

,xeI—,+co

A.任取-p+coj,都有-7'（々）归2恒成立

B.对于一切xe都有/'（x）=2""x+2@（^eN*）

C.函数y=/（x）Tn[x-；）有3个零点

D.对任意%>0,不等式恒成立，则实数上的取值范围是：+<»]

三、填空题

14.小王准备在单位附近的某小区买房，若小王看中的高层住宅总共有"层（200V30,

〃eN»）,设第1层的“环境满意度”为1,且第兀层（24左左eN*）比第"1层的"环

境满意度”多出3公-3左+1;又已知小王有“恐高症”，设第1层的“高层恐惧度”为1,且第左

层（24左4”，左eN*）比第k-1层的“高层恐惧度”高出1倍.在上述条件下，若第左层“环

境满意度”与“高层恐惧度”分别为《，bk,记小王对第上层“购买满意度”为q,且，=詈,

bk

2222W（W+1，7+1）

则小王最想买第层住宅.（参考公式及数据：l+2+3+--+n=y

ln2«0.6931,ln3«1.0986,1.1006)

15.已知一组数据4，巧，L,兑的平均值为元=5,52=32,删去一个数之后，平均值没

有改变，方差比原来大4,则这组数据的个数"=

16.2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开

始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众.我市某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出

“小雪”、“大雪”、“冬至”、“小寒”、“大寒”五张知识展板，分别放置在五个并排的文化橱窗

里，要求“小雪”不能放在首位，“大雪”不能在末位，且“冬至”不在正中间位置，则不同的放

置方式的种数有.

2024届高三数学选填题专项训练(10)答题卡

姓名分数

一、选择题

123456789101112

二、填空题

13.14.

15.16.

参考答案：

1.C

【分析】先求出集合4进而求出其真子集的个数.

【详解】因为集合。={—1,0,1,2},

集合A={y=-\/x2+1tX&U]={1'>/2，}>

真子集个数为23-1=7个，

故选C.

【点睛】本题考查了真子集的概念及性质，考查集合的表示方法：列举法，是一道基础题.

2.C

【分析】先求出y=ln尤，尤21的值域，然后确定y=(l-2a)尤+3a,x<l的值域所包含的集合，

利用一次函数性质可得.

【详解】当众1时，段)=抽，其值域为[0,+oo),

那么当x<l时,兀0=(1-2a)x+3a的值域包括(-co,0),

：.l-2a>0,且41)=(1-2a)+3a>0,

解得：a<—,且壮-1.

故选：C.

3.D

【分析】由于P为边8。上的一点，则可得AP=2A2+(1-X)AD,再由AD=；DC,可得

AP=2AB+1(1-A)AC,再结合4尸=加42+“AC，可求出的关系，然后根据基本不等

式逐个分析判断即可

【详解】因为尸为边8。上的一点，所以AP=4A2+(1-㈤AD,

因为AD=；QC,

所以AP=/lAB+g(l—㈤AC,

因为AP=mAB+nAC，

4二m

所以‘I”八,得根+3〃=1,所以A错误，

对于B,因为机>0、n>0,根+3〃=1,所以1=3m+〃22疯嬴，所以用〃4*,当且仅当

111

3m=n,即加=7"=彳时，取等号，所以机〃的最大值为R，所以B错误，

6212

对于C,因为机>0、n>0,m+3n=l,

所以百+工/百+」(徵+3〃)=7+必+〜7+2、叵区=7+4君，当且仅当生/时,

mn\mn)mn\mnmn

取等号，所以a+工的最小值为7+4石，所以C错误，

mn

对于D,m+3n=l,所以用2+9/=(1—3〃)2+9〃2=18/—6〃+1=18[〃—，)+：,所以当

〃=，时，■+91的最小值为所以D正确，

故选：D

4.C

【分析】根据圆的方程确定圆心与半径，由直线与圆相切可得2。“=。"7+。用，即可判断数

列｛4｝为等差数列，根据等差数列的前"项和性质即可求得心的值.

【详解】圆C的圆心为(L0)，半径7=|见，由直线/：3尤+4，+4,1+%+|-3=。(〃€?^*)与圆

相切得：

13+0+61,+611-3|2a,+a,2

圆心(1,。)到直线/的距离d=J-------/7表"二"，整理得川二：%,即

V32+42555

2。“=%.1+。用，

所以｛%｝为等差数列.

在等差数列｛%｝中，$5，品）-$5，几-工。成等差数列，

所以2（品—S5）=S5+Si5—S10,贝|2><（5。-1。）=10+九一50,即几=120.

故选：C.

5.A

【分析】连接OB、OC,推导出四边形ABOC为菱形，设AOBC=D,则。为3C的中

点，且AO13C,再利用投影向量的定义可得结果.

【详解】连接。8、OC,

因为AO=AB+AC，则AB=AO-AC=CO，所以，AB〃OC且|AB|=|OC],

又因为|。q=|。4,则四边形ABOC为菱形，

设AOBC=D,则。为BC的中点，且AO13C,

因此，明在8c上的投影向量为=

故选：A.

6.A

【分析】由题意可知，当X21时，/(%)+l=ln,Y+l>l,/[/(x)+l]=ln[/(x)+l];当X<1

时，/(X)+1=1-1+1>|>1,/[/(x)+l]=ln[/(x)+l].^f[f(x)+l]+m=0,得

〃力="-1.根据“力的解析式，分别求出芭,三的表达式，再根据导数求％+%的取值范

围.

【详解】当X21时，/(x)+l=lnx+l>l,.•./[/(x)+l]=ln[/(x)+l];

当x<l时，/(X)+1=1-1+1>|>1,/[/(x)+l]=ln[/(x)+l],

综上，对V;t€R,/[/(x)+l]=ln[〃x)+l].

，尸(x)=/"(x)+l]+%有两个零点和三，即方程ln[〃x)+l]+/n=O有两个根和马,

即方程/(尤)="皿-1有两个根不,马,不妨设不<々.

易知函数/(X)在(-8,1)上单调递减，在[1,+8)上单调递增，

，当x21时，Inx=e~m-1；当x<l时，1--=e'"-1.

22

222

/.x?=玉=2—2t,%]+x[=d—2,+2,/>耳.

g(%)=e'-2t+2,t>万,

.•.g'(r)=e,-2,令g(r)=0,.,1=ln2.

.,.g<f<ln2时，g'(r)<0；t>ln2时，g'(t)>0,

二函数g⑺在Q」n2]上单调递减，在(In2,y)上单调递增，

二当t=In2时，g(/)111ta=g(In2)=*2-21n2+2=4—2In2.

二函数g⑺的值域为[4-21n2,y),即玉+x2的取值范围是[4-21n2,y).

故选：A.

【点睛】本题考查函数与方程，考查导数在研究函数中的应用，属于难题.

7.D

【分析】确定/4出是Af与平面ABCD所成的角，不妨设丛=庄=%,求出PC,利用

AA

B4+尸C〉AC求得x的最小值，再由tan6=笠得。的最大值.

AP

【详解】明，平面ABC。，R4u平面ABC。，所以又尸£_L4。，PA=PE,

所以PAA,=!PEA,,AiE=AAl=yf2,&C=J2+3+3=2啦,所以EC=AC—AE=0,

所以尸点轨迹是对角线AC的中垂面与底面ABCD的交线，为一条线段.

由A4J平面ABCD知ZA.PA是4P与平面ABCD所成的角,

不妨设丛=PE=x,

则A尸=12+丁,PC=，2+d，PA+PC=x+y/2+x2>AC=y[6^x>^~,

tan0=<-\/3.9M：,即。的最大值为；，

尤33

故选：D.

8.B

观察后，用特值法：A=3O°,B=9O°

9.BCD

【分析】结合双曲线的图象与性质，逐项判断，即可确定本题答案.

【详解】由双曲线C：j2-y=l,得片(0,2),8(0,-2),设〃(x0,儿)，

则|MN|=Jx；+(%-8)2=%—2)+45W3百,当且仅当%=2时取等号，所以|肱V|最小

值为3指，故A错误；

设A3两点坐标分别为(%,%),(f，f)，所以1KM!=及土贵•江"=号毛，又因为

%0+芯石x—石

x0—0

X：二3乂-3,X；=3寸一3'所以%KMB=手等=3必；(1一3)=I'

故B正确；

|M|+|MQ|=2+|M[+|MQ|N2+|Q耳1=2+病，故c正确；

丫22b2

由双曲线C：=1,可得通径长为二=6<7,且实轴长2a=2<7,所以这样的直线

3a

/有4条，故D正确.

10.AC

【分析】选项A.由复数与向量的关系可判断；选项B.取特殊值。4=(3,0),03=(-3,0)

可判断；选项C.由复数的运算结合向量数量积的坐标运算可判断；选项D.设

ZLZ?，，

z2=a+bi[a,b&R),由则马=(a+沅"=-匕+切,结合向量数量积的坐标运算可判

断；

【详解】选项A.由％=z一则Q4=O8,所以|。,=画，故选项A正确.

选项B.当。4=(3,0),03=(—3,0),满足|。4|=口目.

但OAwQB,即4HZ2，故B不正确.

选项C.设z?=a+bi(a,6eR),由4=22/,则马=(a+沅"=一匕+出

所以。4=(一"a),OB=(a,b),OAOB=-ab+ab=0，故C正确.

选项D.设。4=0,-a),OB=(a,b),则满足O4QB=0

此时Z2=a+bi(a,beR),4=-(a+bi)i=b-ai,此时与二飞，，故选项D不正确.

故选：AC

11.ACD

【分析】根据题中条件，由对数运算可得A正确；根据对数函数的单调性，可得B错；根

据古典概型的概率计算公式，求出P(C),得到/(C),即可判断C正确；根据古典概型的概

率计算公式，分别求出事件A与事件8发生的概率，得出/(A)与/(B),即可判断D正确.

【详解】A选项，当p(%)=l时，/(xz)=-log2l=0,即A正确；

B选项，因为对数函数y=logzx是增函数，所以y=-log2尤是减函数；因此，当

MM）＞。伍）＞。时，Tog?p（可）＜Tog2P（马），即/（占）＜/伍），故B错；

C选项，一次掷两个骰子，所包含的基本事件的个数为6x6=36个；“出现的两个数之和是

偶数”所包含的情况有：1+1，1+3,1+5,2+2,2+4,2+6,3+1,3+3,3+5,4+2,

4+4,4+6,5+1,5+3,5+5,6+2,6+4,6+6共18个基本事件；

则尸（C）=］己,所以/（c）=-log2P（c）=l,故C正确；

D选项,事件A“仅出现一个2”,所包含的基本事件有：（2,1）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,

（1,2）,（3,2）,（4,2）,（5,2）,（6,2）共10个基本事件;

事件8“至少出现一个5”，所包含的基本事件有：（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,

（1,5）,（2,5）,（3,5）,（4,5）,（6,5）共11个基本事件；

所以尸（A）=整=2,尸（B）=2,则P（A）＜P（8）；因此/（A）＞/（3）,即D正确；

361836

故选：ACD.

12.ABD

【分析】摩天轮离地面最远距离减去转盘直径，从而可判断A；由时间f与游客距离地面的

高度，求出〃关于才的表达式，即可判断B；求出在徐［0,均上的单调性，结合当r=15时，

/7=30＞20,即可判断C；由余弦型函数的性质可求出％+灰的最小值即可判断D；

【详解】对于A,由题意知，摩天轮离地面最近的距离为55-50=5米，故A正确；

对于B,设"=Asin（3+°）+b,当/=0时，游客从离地面最近的位置进舱，当7=10时，

游客随舱旋转至距离地面最远处.所以T=20=&,0=2，6=空0=30,4=至二=25,

又当t=0时，〃=5,所以。=一］,所以/z=-25cos（mj+30,故B正确；

对于C,因为6,^€［0/5］,又高度相等，函数/z=-25cos1禾j+30的对称轴为r=10,则

小L关于。=1。对称，则守=10,贝呜+「2=20；

ITJT

4^0＜—＜71,解得解得10＜，＜20,

则人在，40,10］上单调递增，在，句10,15］上单调递减，当，=10时，"max=55,

当1=0时，h=5；当£=15时，h=-25cosfj+30=30＞20,所以丸二20在，40,15］只有

一个解，故c错误;

对于D,〃=-25cos1m4+30周期7=20,由余弦型函数的性质可知，令弥=E,

则/=10左，左eN*,函数关于f=10A对称，若在％,G时刻游客距离地面的高度相等，

则当左=1时，号的最小值为10,%+芍的最小值为20.故D正确.

故选：ABD.

13.ABC

【分析】先在坐标轴中画出y=f(x)的图象，根据图象可判断A选项，结合解析式可判断B选

1k

项,再画出y=ln(x-7)与y=—的图象，数形结合可判断C,D选项.

2x

【详解】在坐标轴上作出函数Ax)的图象如下图所示：

由图象可知/(*)的最大值为1,最小值为T,故选项A正确；

1311

由题可知〃》)=3“尤-2),%€(5，+<»)=>/(%+2)=5〃尤),尤€(-5，+8),

所以f{x+2k)=(，力x)(%eN*)即/(X)=2*/(x+2k)，故选项B正确；

1131

作出y=ln(x-])的图象，因为ln(2_Q)=ln5<5，

由图象可知y=/(x)与y=ln(x-g)有3个交点，故选项C正确；

结合图象可知，若对任意x>0,不等式/(x)„X恒成立，

X

k

即x=2〃时,不等式7(2"),,F恒成立，

2n

又/(2〃)=(；)"/(0)=g)",

所以j•(5,即八?在〃eN*时恒成立，

In22

设g(x)=||厕g，(x)=2一器”,

故xe［2,-KO）吐§'（无）＜0,函数g（无）在［2,+8）上单调递减,

所以时,g（x）max=8⑵二1，

又g⑴=1,所以［言］=1,即"1，故选项D错误.故选:ABC.

【点睛】本题主要考查分段函数的周期性及数形结合法在处理函数问题中的应用，有一定难

度.

14.10

【分析】由题意可得4=1,且应-4T=3F-34+1,（%22）；4=1,4=瓦一+=14T，

ck"

从而可求出4和4,则，，方法一：作商比较，，Q+i的大小可得结论，方法二：构

炉

f（Y）=_____

造函数14『，利用导数求其最大值即可》

【详解】依题意,4=1,且见-。1=3左2-3左+1,32）,

所以4=Q]+(%—"1)+(。3—“2)~*---W—%-1)

=1+(3X22—3x2+l)+(3x32—3x3+1)+…+(3%2—3左+1)

=(3xl2-3xl+l)+(3x22-3x2+l)+(3x32-3x3+l)+---+(3^2-3^+l)

=3(l2+22+32+---+F)-3(l+2+3+---+)l)+)t

6%+1)(2左+1)3%(%+1),,

=---------------------------------------\-k=k3,

22

14

由题意得0=1,年,

所以｛4｝是以1为首项，1•为公比的等比数列，所以4

e

故小王对第左层住宅的购买满意度，C=已

方法一:

k-\

4i+：[r

":伏+1)3⑶;>1.即(jg—1)4<1解得k<9.9404,

由

4「k3

3

所以q<。2<。3<…<09</，

同理有%>Cn>@>L，小王最想购买第10层住宅.

方法二: