2022-2023学年度八年级下学期期中数学试卷

湖北省武汉市武珞路中学2022-2023学年八年级下学期期中

数学试卷

一、单选题

1.若H5在实数范围内有意义，则X的取值范围是（）

A.x>2B.x>2C.x>0D.x>-2

2.下列计算正确的是（）

A.3A/2—V2=3B.y/2+V3V5C.2+V2=2V2D.y/9—V4=1

3.若△NBC的三边分别为a,b,c,下列给出的条件不能构成直角三角形的是（）

A.a2+b2=c2B.a—5,b=6,c—VT1

C.ZA;ZB;ZC=3:4:5D.a1—b2—c2

4.下列各命题的逆命题不成立的是（）

A.同旁内角互补，两直线平行B.如果两个角是直角，那么它们相等

C.全等三角形的对应边相等D.如果两个实数相等，那么它们的立方

相等

5.如图，有一个水池，水面是边长为10尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出

水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池的一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇

的长度是（）

C.13尺D.14尺

6.已知，菱形的周长为20,一条对角长为6,则菱形的面积（）

A.48B.24C.18D.12

7.如图，点£在矩形48co边8C的延长线上，连接NC,DE,BE=AC,若NE=1Q0,

则//C8的度数是（）

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A.40°B.50°C.70°D.30°

8.如图，448C中，BD平分NCBA,CE平分△4C3的外角，ADJ.BD于D,交BC

于点尸，AELCE^E,交5。的延长线于点G,AB=6,BC=10,QE=6,则力C=()

A.4B.6C.8D.10

9.已知V^+—^==3,且0＜机＜1,则赤--二的值是（

7m7nl

A.B.D.—y/y

10.如图，在Rt^ABC中，/C=90。，点。在边3C上，点E在/C内部，且丫4。£是

等边三角形，NCBE=60。，若5C=14,BE=8,则/。的长是（）

D.2V14

二、填空题

11•计算：J（-3）-=•

12.在实数范围内分解因式/-2=

13.勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”.观察下列

勾股数：3,4,5；5,12,13；1,24,25；....这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦

与股相差为1,柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6,8,10；

8,15,17；…，若此类勾股数的勾为2/（m>3,加为正整数），则其弦是（结果用含加

的式子表示）.

14.在面积为15的YN8co中，AB=5,8C=6.过点/分别作边8C、。。上的高4E,

AF,垂足分别为E,F,则CE+CF的值为.

15.如图，平行四边形N8CD的对角线/C,3。相交于点O,4E平分ZBAD,分别

交BC,BD于点、E、P,连接O£,ZADC=60°,AB=-BC^4,则下列结论：

2

①/CAD=30。,②OE=；AD,③BD=4网,④5△砧。=26.其中正确的有.（只填

序号）

16.如图，在“3C中，。为/C上一点，连接BZ),ZA+ZC=ZABD,BD=BA=2,

BC=5,则AA8C的面积是.

三、解答题

17.计算：

(1)718-732+272

(2)79^+2^-725^

18.已知x=6+l，y=6-\,求下列各式的值:

(l)x2-xy+y2；

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xy

⑵人

19.已知：如图，在Y/BCD中，点E、下在对角线NC上，且/尸=CE,

求证：四边形BFDE是平行四边形.

20.如图，在菱形48CD中，对角线/C,BD交于点、O,过点A作8C的垂线，垂足

为点£,延长8C到点尸，使CF=BE,连接。尸.

(1)求证：四边形NE即是矩形；

(2)连接OE,若4D=25,OE=1,求ZE的长.

21.如图是由小正方形组成的9x6网格，每个小正方形的顶点叫做格点.”3C的三个

顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.

HI图2.813

⑴在图(1)中，作平行四边形NBCE；点。是边48与网格线的交点，过点。作直线

平分四边形4BCE的周长；

(2)在图(2)中，尸是边上一点，在BC边上画点°,^BQ=BP.

⑶在图(3)中，点尸在格点上，连接5尸，CF,在CF上画点使/V平分四边形

4BFC的面积.

22.点P是矩形/BCD的边3c上一动点，连接NP、DP,将“8尸、人。。尸分别沿4P、

OP翻折，得到A/3'P、ADC'P.

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⑴如图1,P8'交40于点”,pc'交/。于N,N在M的右侧，求证：PM+MN+PN^AD；

⑵如图2,当尸、B'、C'共线时，称点P为8C边上的“叠合点”.

①在矩形48co中，AB=4,3c=10,点尸为3C边上的“叠合点”，求。尸的长；

BP

②若在矩形/BCD中，AD=4AB,点P是8C边上的“叠合点”，则育=.

23.如图，。是异于4,3的一点，在和V4DE中，AB=AC,AD=AE,

NBAC=NDAE=a,ZADB=90°,B、D、£三点不在一条直线上.

(1)如图1,连接DE并延长交BC于点?

图1

①证明：AABD公AACE；

②求证：BF=CF；

(2)如图2,a=120。，AC=6,AD=2,的延长线交3c于点尸，则E尸的长是.

24.将矩形/BCD放置在平面直角坐标系中，8点与原点重合，点/的坐标为(0,。),

点。的坐标为(白0),并且实数e6使式子6=次二五+疝4+4成立.

(1)求证：四边形/BCD是正方形；

(2)如图2,点加■的坐标是(5,0),过点M向左侧作/MDN=45。，DN与边BC交于点Q,

过点2作AP_L3D交ZW于点尸，求线段的长；

(3)如图3,点£、尸在对角线4c上，EF=2叵,G点为4。的中点，直接写出四边形

DEFG的周长的最小值是.

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参考答案:

1.A

【分析】根据二次根式有意义的条件得到》-220,解之即可求出x的取值范围.

【详解】解：根据题意得：x-2>0,

解得xN2.

故选：A.

【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质.概念：式子G(。20)叫二次根式.性质：二

次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义.

2.D

【分析】利用二次根式的加减法的法则对各项进行运算即可.

【详解】解：A、3亚-血=2&，故错误，不符合题意；

B、血与百不属于同类二次根式，不能合并，故错误，不符合题意；

C、2与④不属于同类二次根式，不能合并，故错误，不符合题意；

D、79-74=3-2=1,故正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

3.C

【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，进行计算逐一判断即可.

【详解】解:A、"+62="，

,能构成直角三角形，故不符合题意；

B、•••a2+c2=52+(VH)2=36,b2^62=36,

.-.a2+c2=b2,能构成直角三角形，故不符合题意；

C、•.•N/:Z8:/C=3:4:5,N/+/B+/C=180°,

■•.ZC=180°x=75°,不能构成直角三角形，故符合题意；

3+4+5

D、Va2-b2=c2>

.-.c2+b2=a2,能构成直角三角形，故不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理,

三角形的内角和定理是解题的关键.

4.B

【分析】根据平行线的性质、全等三角形的判定定理、实数的立方的概念判断即可.

【详解】解：A、同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，成立,

不符合题意；

B、如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，

不成立，符合题意；

C、全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的两个三角形全等，成立，不符合题意;

D、如果两个实数相等，那么它们的立方相等的逆命题是如果两个实数的平方相等，那么这

两个实数相等，成立，不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，掌握平行线的性质、全等三角形的

判定定理、实数的立方的概念是解题的关键.

5.C

【分析】找到题中的直角三角形，设芦苇的长度为x尺，根据勾股定理解答.

【详解】解：设芦苇的长度为x尺，则48为（x-1）尺，

在中，根据勾股定理得：（、-1）2+（与）2=/,

解得：x=13,

芦苇的长度=13尺，

故选：C.

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.

6.B

【分析】画出图形，可得边长AB=5,由于ACLBD,由勾股定理可得OA及AC的值，再

由菱形的面积等于两对角线的积的一半求得.

【详解】如图，BD=6,

:菱形的周长为20,

；.AB=5,

:四边形ABCD是菱形，

；.OB=1DB=3,

由勾股定理得0A=4,则AC=8,

所以菱形的面积=：AC«BD=：X6X8=24.

故选B.

【点睛】考查了菱形的性质，需要用到菱形的对角线互相垂直且平分，及菱形的面积等于两

条对角线的积的一半.

7.A

【分析】连接8。，根据已知条件可知，BD=AC=BE,则AJBDE是等腰三角形，再根据/E

的度数，可求得NDBE=N/CB=40。.

【详解】解：连接3D,如图所示，

/.BD=AC.

•・•BE=AC,

BD=BE.

.ABDE是等腰三角形.

•・•/£=70。，

/DBC=/ACB=180°-2ZE=40°,

故选A.

【点睛】本题考查了矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的对角线相等且互相平分.

8.C

【分析】先证明8g△阳5(ASA),得到力5=5尸，AD=DF,进而得到CF=4,同理可

证，AAECWAGEC(ASA),得到力C=CG,AE=GE,进而得到是△力厂G的中位线，求

出CF、m的长，即可得到答案.

【详解】解：QBD平分NCBA,

ZABD=ZFBD,

•••AD1BD,

NADB=ZFDB=90°,

在“DB和△尸D8中，

ZABD=ZFBD

<BD=BD,

ZADB=ZFDB

:AADB知FDB(ASA),

AB=BF=6,AD=DF,

BC=10,

:.CF=BC-BF=10-6=4f

同理可证，"EC知GEC（ASA）,

AC=CG,AE=GE,

是△ZFG的中位线,

:.DE=-FG=6,

2

：.FG=n,

.-.AC=CG=FG-CF=12-4=S,

故选c.

【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，根

据相关性质找出线段之间的数量关系是解题关键.

9.A

【分析】将已知等式两边平方，利用完全平方公式展开得到机+工=7,同理可得

m

4m--3=再结合加的范围，判断而--:的值.

7m7m

【详解】解：：而+3=3,

7m

4m---j==±V5,

yjm

*.*0<m<1,

***0<y/m<1,

故选A.

【点睛】本题考查了二次根式的求值，完全平方公式，解题的关键是灵活运用完全平方公式

建立两个式子之间的关系.

10.B

【分析】在BC的延长线上取点F，使得ZAFD=60°,证人4网注△OBE(AAS)，得FD=BE=8,

力尸=5。，设CF=x,则CD=8-x,8Q=6+x,再由含30。角的直角三角形的性质得力尸=21,

则2x=x+6,解得％=6,即可解决问题.

【详解】解：在的延长线上取点尸，使得44即=60。，

,/AADE是等边三角形，

/.AD=DE=AE,ZADE=60°,

•「ZADB=ZAFD+ZDAF=/ADE+ZEDB,

ZDAF=ZEDB,

在△4EZ)和中，

ZAFD=ZDBE=60°

<ZDAF=ZEDB,

AD=DE

，△力阳丝AD5£(AAS),

:.FD=BE=8,AF=BD,

设CF=x,贝l」CZ)=8_x,5D=14-(8-x)=6+x,

\'AACB=90°,

ZACF=90°,

/.ZC^F=90°-60°=30°,

AF=2CF=2x,

:.2x=x+6,

解得：x=6,

CF=6,AC=65

CD=2,

AD=ylAC2+CD2=J(6百y+2。=477,

故选B.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识；熟练

掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键.

11.3

【分析】根据二次根式的性质直接进行计算即可.

【详解】解：行尸=囱=3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查的是二次根式的性质和化简，把，^化为囱的形式是解答此题的关

键.

12.（x+应）（x—应）

【分析】利用平方差公式进行因式分解.

【详解】解：/一2

=（x+V2）（x—V2）

故答案为：（x+拒）3一百）.

【点睛】本题考查了实数范围内分解因式，掌握（°+6）（°一6）是解题的关键.

13.m2+1

【分析】2加为偶数，设其股是0,则弦为a+2,根据勾股定理列方程即可得到结论.

【详解】；2%为偶数，

；•设其股是。，则弦为。+2,

2

根据勾股定理得，（2m）2+/=（a+2）,

解得a=m2-\,

弦长为m2+\,

故答案为：加+1.

【点睛】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

14.11+M或1+如

22

【分析】根据平行四边形面积求出/E和4尸，有两种情况，求出8E、。尸的值，求出CE和

CF的值，相加即可得出答案.

【详解】解：,四边形43C。是平行四边形，

/.AB=CD=5,BC=AD=6,

①如图：

由平行四边形面积公式得：BCxAE=CDxAF=15,

求出AE——,AF=3，

2

在RtZ\48E和RM4D尸中，由勾股定理得：AB2=AE2+BE2，

把48=5,4£=*代入求出8£=；石，

22

同理。尸=3仃＞5,即尸在。C的延长线上（如上图），

C£=6-1V3,CF=3V3-5,

^CE+CF=\+—,

2

②如图:

AB=5,AE=-,在A4BE中，由勾股定理得：BE=qM,

22

同理。b=36,由①知：C£=6+|V3,CF=343+5,

故答案为：11+呼或1+W.

【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理.此题难度适中，注意掌握数形结合思

想与分类讨论思想的应用.

15.①②④

【分析】①先根据角平分线和平行线的性质得：ZBAE=ZBEA,则N8=BE=4,由有一个

角是60度的等腰三角形是等边三角形得：ANBE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角

形的性质得：NACE=30。,最后由平行线的性质可作判断；②根据三角形中位线定理可作

判断；③先根据三角形中位线定理得：OE=^AB=l,OE〃/8,根据勾股定理计算。C,

OD的长，即可求3D的长；④由三角形中线的性质可得：S„BOE=S^EOC=^OE-OC=2^3.

【详解】解:①:4E平分NB4D,

NBAE=NDAE,

四边形/BCD是平行四边形，

.-.AD//BC,ZABC-ZADC=60°,

\DDAE=DBEA,

:./BAE=/BEA,

AB=BE=4,

:.^ABE是等边三角形,

...AE=BE=4,

・「BC=2AB=8,

...EC=4,

/.AE=EC,

:./EAC=ZACE,

ZAEB=NEAC+ZACE=60°,

:.ZACE=30。,

•・•AD//BC,

・•.NCAD=/ACE=30。,故①正确；

②・；BE=EC,OA=OC,

OE=—AB=2,OE//AB,

2

/.ZEOC=ABAC=60°+30°=90°,

在RtAEOC中，OC=yjEC2-OE2=243，

v四边形455是平行四边形，

/.ZBCD=ZBAD=120°,

ZACB=30°f

:.ZACD=90°,

在RtAOCZ）中，OD=J。。?+CD2=277

BD=2OD=4A/7，故③错误；

②由③知：。£是445C的中位线，

:.OE=-AB,

2

­,•AB=-BC,

2

:.OE=；BC=；AD,故②正确；

44

@\'BE=EC=2,

S&BOE=SAEOC=^OEOC=2G,故④正确；

故正确的有①②④，

故答案为：①②④.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、

三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明ANBE是等边三角

形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系.

16回

10.-----

2

【分析】过。作。石〃BC,交4B于E,得到/C=ZADE,根据

+进一步推出5。=。片=2,设力。=2x,CD=3x,过8作AF1ZC,垂

足为F,在445尸和VCS/中，利用勾股定理列出方程，求出x值再利用勾股定理求出8户,

从而利用三角形面积公式计算.

【详解】解：如图，过。作。£〃5C,交AB于E,

：・AADES八ACB,/C=ZADE,

.ADDE

•・就一茄’

*：ZA+ZC=ZABD,

・•・ZA+ZADE=ABED=ZABD,

BD=DE=2,

u：AB=2,BC=5,

An9

---=—,设AD=2x,CD=3x,

AC5

VAB=BD,过5作8尸」力C,垂足为尸，

・•・AF=DF=x,

：.CF=4xf

在4/5b和VCB厂中,

AB2-AF2=BC2-CF2,BP22-x2=52-（4x）2,

解得：x=g（负值舍去），

/ac_

•-4F=―--，AC=5x=V35，

BF=yjAB2-AF2=—,

5

♦•Szusc=5x/CxBF=,

故答案为：叵.

2

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，外角的性质，等腰三角形的判定

和性质，解题的关键是构造辅助线，将角的关系进行转化，得到边的关系.

17.(1)>/2

(2)-y[x

【分析】先根据二次根式的性质化简二次根式，然后合并同类二次根式即可.

【详解】(1)解：718-V32+2V2

=3逝-4亚+2后

=册

(2)V9x+2^|-V25x

=3y[x+>/x—5s[x

【点睛】本题考查了二次根式的加减，解题的关键是根据二次根式的性质正确化简二次根式.

18.(1)6

⑵4

【分析】(1)根据整式运算，乘法公式的变形，再代入计算，即可求解;

(2)根据整式的运算，先通分，再进行加减，最后代入计算，即可求解.

【详解】(1)解：x2-xy+y2

22

=x-xy+y—xy+xy

=x2-2xy+y2+xy

=(x_y)2+xy

当工=退+1，V=V3-1,

.•.原始=(》->)2+孙=(6+1一人+1『+(6+1)(右-1)=4+3-1=6.

xy

(2)解：-+-

x2y2

=——+—

xyxy

_x2-hy2

盯

当x=G+l,y=VJ-l,

4+273+4-273“

・•・原始=-----------------------=4.

xy2

【点睛】本题主要考查整式的混合运算，掌握完全平方公式，平方差公式的变形是解题的关

键.

19.见解析

【分析】首先连接AD,交/C于。点，进而得出EO=FO,80=。。即可得出四边形ATOE

是平行四边形.

【详解】

解：证明：连接3D,交/C于。点.

,•・四边形/BCD是平行四边形，。是对角线/C、8。的交点.

AO=CO.

又.••点£、厂在对角线4C上，且4尸=。£,

/.AF-AO=CE-CO,

即FO=EO,

•・・四边形是平行四边形,

/.BO=DO,

四边形BFDE是平行四边形.

【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，得出30=。。，EO=FO是解题关键.

20.(1)见解析

哈

【分析】(1)根据菱形的性质得到/D〃3C且4D=BC,等量代换得到白？=£/，推出四

边形4EFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；

(2)根据菱形的性质得到AC1BD,40=CO,BC=AB=25,求得NAEB=ZAEC=90°,

得到NC=2OE=14,根据勾股定理即可得到结论.

【详解】(1)解：证明：•••四边形/BCD是菱形，

.:AD〃BC且AD=BC,

•「BE=CF,

BC=EF,

AD=EF,

'：AD//EF,

••・四边形4月产。是平行四边形，

•/AEIBC,

ZAEF=90°,

••・四边形ZE尸。是矩形；

(2),•・四边形45CQ是菱形，

:.ACLBD,AO=CO,BC=AB=AD=25,

•/AEIBC,

ZAEB=ZAEC=90°,

:.AC=2OE=14,

•••AB2-BE2=AC2-CE2=AE2

252-BE2=142-(25-5E)2,

八厂527

/.BE=.

25

AE=yjAB2-BE2=J252-(—)2"=—.

V2525

【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，熟练掌握矩形的判定和性

质定理是解题的关键.

21.⑴见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】(1)根据要求画出平行四边形NBCE即可，再根据平行四边形的对称性，找到对角

线交点R画直线即即可；

(2)构造菱形4BED,连接EP,与。E交于G,再连接ZG,与8C交于点Q即可；

(3)取中点为N,连接力尸，过点N作力尸的平行线交FC于点连接则4W平

分四边形N8/C的面积.

【详解】(1)解：如图，平行四边形N3CE即为所求,

直线。尸即为所求；

图1

(2)如图,点。即为所求;

其中43=DE=V32+42=5，

AB=BE=DE=AD,

，四边形为菱形，

贝l|/48G=/E8G,AB=BE,

在A/3G和AEBG中，

AB=EB

<ZABG=ZEBG,

BG=BG

：.△ABGdEBG(SAS),

：.ZBAG=NBEG,

在AABQ和4EBP中,

ZBAG=NBEG

<AB=BE,

ZABQ=ZEBF

；.AA80gAEBP(ASA),

：.BP=BQ.

B5~~~C£

UuZ

(3)如图，即为所求;

1,N为8c中点，

=^e^ACN，^ABFN=S^CFN，

■:MN〃AF,

••^/^AFN~^AAFM，

,•S四边形4如w-细边形MFM，

,,S四边形"两=S^ABN+SABRV=5S四边jgxaFc=S四边形4BFM，

即NM平分四边形ABFC的面积.

【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，涉及了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，

菱形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质等知识点，比较复杂，是近年的常考题，解题

的关键是灵活运用特殊四边形的性质和网格的特征.

22.(1)证明见解析;

⑵①26或46；②7±46

【分析】(1)根据矩形的性质，得到4D〃BC,再根据平行线和翻折的性质，得到=,

DN=PN,即可证明结论；

(2)①设CP=x,根据矩形的性质和勾股定理得到的=42+(10_才，DP2=42+X2,再根据

翻折的性质，推出乙4尸。=90。，利用勾股定理列方程求得x=2或无=8,即可求出。尸的长；

②设CP=x,根据矩形的性质和勾股定理得到=”2+(448-X)"DP2=AB2+X2,再根

据翻折的性质，推出4尸0=90。，利用勾股定理列方程求得X=(2+6)/B或x=(2-⑹48,

即可求出的值.

【详解】(1)证明：•••四边形是矩形，

.-.AD//BC,

:.ZDAP=ZAPB，

由翻折的性质可知，ZAPB=ZAPM,

:.AMAP=AAPM,

AM=PM,

同理可得，DN=PN,

AD=AM+MN+DN=PM+MN+PN-

（2）解:①；四边形是矩形，

ABCD=4,AD=BC=1Q,ZB=/C=90。，

设CP=X,贝！|BP=10-x,

在RtZ^ABP中，AP2=AB2+BP2=42+（10-x）2,

在RtACD尸中，DP2=CD2+CP2=42+X2,

由翻折的性质可知，ZAPB=ZAPB',ZDPC=ZDPC,

ZAPD=ZAPB'+NDPC'=g（NBPB'+CPC）=90°,

在RtA/尸。中,AD"=AP2+DP2，

.-.IO2=42+（10-x）2+42+x2,

解得：x=2或x=8,

的长为2或8,

当C尸=2时，DP7cp°+CD。=-2?+4?=2卡;

当C尸=8时，DP=^CP2+CD2=42=4A/5;

综上可知，。尸的长为2遥或4右；

②；四边形N3CZ）是矩形，AD=4AB,

：.AB=CD,BC=AD=4AB,ZB=ZC=90°,

设CP=X,则3尸=4AB-x,

在mAABP中，AP2=AB2+BP2=AB2+（4AB-xf,

在RtACDP中，DP1=CD1+CP2=AB-+x2,

由①得：ZAPD=90°,

在RtANPD中，AD2=AP2+DP2，

（4J5）2=AB2+（4AB-XJ+AB2+X2,

解得：X=（2+Q）/B或x=（2-百）/B,

当C尸=（2+百）/3时，BP=（2-^AB,

当C尸=（2-百）48时，BP=（2+⑹/B,

BP（2+6）/8

=7+473,

~CP（2+⑹AB

综上可知，与的值为7±4g,

故答案为：7±4A回.

【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，勾股定理，解一元二次方程，利用勾股定理

列方程并正确求解是解题关键.

23.（1）①证明见解析；②证明见解析；

（2）V3+2A/2.

【分析】（1）①利用“SAS”即可证明△/皿0△”（?£；

②过点C作CG//BD交。厂延长线于点G,禾U用“AAS”证明△43。&A4CE,即可证明结

论；

（2）过点2作BK〃CE交E尸延长线于点K,过点、A作4H_LED交ED于点、H,根据等腰

三角形的性质，得到4E£>=30。，再根据直角三角形的性质，得到明=6,进而得到

ED=2拒,利用勾股定理求得3。=4应，由（1）同理可证，"BD—4CE（SAS）,

ASXF^AC£F（AAS）,得到&D=CE=8K=4&,NAEC=ZADB=90°,EF=FK,然后证明

△BDK是等边三角形，得至Uz）K=4亚，最后求出展=2e+4后，即可求出EF的长.

【详解】（1）证明：①如图1-1,

ABAC=NDAE,

ABAC-NBAE=ZDAE-NBAE,

ZCAE=ABAD,

在和△/CE中,

AB=AC

<ABAD=/CAE,

AD=AE

:."BDaACE（SAS）；

D

②如图1-2,过点。作CG〃8。交。尸延长线于点G,

"BD会八ACE,

BD=CE,ZAEC=ZADB=90°,

NAED+ZCEF=90°,/ADE+ZBDE=90°,

AD=AE,

ZADE=/AED,

/.ZCEF=/BDE,

CG//BD,

ABDF=ACGF,

ZCEF=ZCGF

:.CE=CG,

BD=CG,

植BDF和CG尸中，

/BDF=ZCGD

</BFD=/CFG,

BD=CG

:.ABDF^CGF（AAS）,

/.BF=CF；

D

A

B乙—

黑\一■/'

图1-2\/

\/

\\//

\\//

\\//

\V/

G

(2)解：如图2,过点5作5K〃CE交.延长线于点K,过点/作4〃，EZ)交友)于点兄

•/ZDAE=a=120°,AD=AE=2,

ZAED=30。,

・；AHJ_ED,

EH=DH,AH=-AE=1,

2

EH=ylAE2-AH2=百，

ED=2EH=2百，

AB=AC=6,AD=2,AADB=90°,

BD7AB2-3=V62-22=472，

由(1)同理可证，多"CE(SAS),ABXF名ACE尸(AAS),

:.BD=CE=BK=4C.,AAEC=ZADB=90°,EF=FK,

NCED=NAEC-ZAED=60°,

•••BK//CE,

NBKF=NCED=60°,

VBK=BD,

:.ABDK是等边三角形，

:.DK=BD=44i，

:.FK=ED+DK=243+4y/2，

:.EF=-EK=43+2y/2,

2

故答案为：V3+2V2.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判

定和性质，含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是

解题关键.

24.⑴见解析

Q）后

⑶2石+2a+2

【分析】（1）由6=斥五+44+4且根据二次根式有意义的条件得。=4,6=4,得到

点/的坐标为（0,4）,点C的坐标为（4,0）,则/8=3C=4,又由四边形是矩形，即

可得到结论；

（2）由四边形/8C。是正方形可求出OD=^BC2+CD2=4后,ZODC=45。,进一步求得

BM=5,CM=BM-BC=1,勾股定理得。M=上,再证明△8。尸62\0血/,进一步得到

DP=6DM=5,作MH尸于点〃，则NDHM