2024年陕西省西安市未央区、莲湖区等区高考数学二模试卷（文科）（附答案解析）

2024年陕西省西安市未央区、莲湖区等区高考数学二模试卷（文

科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.（5分）（2024•西安二模）设集合4={-2,0,1）,8={x|-1WxWl},则（）

A.{-2,0,1}B.{ROWxWl}C.{0,1}D.[x\-2<x^l）

2.（5分）（2024•西安二模）已知复数2=（3-4/）（5+120,贝!J|z|=（）

A.64B.55C.V65D.65

3.（5分）（2024•西安二模）已知等比数列{•}的前w项和为S,若。3=1,49=27,则⑥

=（）

A.±3B.3C.V3D.9

4.（5分）（2024•西安二模）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、黄、白、蓝4种颜色的

运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为（）

1324

A.—B.—C.一D.一

4535

5.（5分）（2024•呼伦贝尔一模）已知函数无）的图象如图所示，则函数/（无）的解析式

可能为（）

A.f(x)=cos2尤•(/-e")

第2+1

B.f(x)=sin2x9In——

x2

C.

6.（5分）（2024•西安二模）已知/，加是两条不同的直线，a,0是两个不同的平面，且/

//a,m±p,现有下列四个结论：

①若a〃0,则机J_a；

②若/L”，则/〃仇

③若aJ_0,则/Lw；

④若机〃a,则a_L0.

其中所有正确结论的序号是（）

A.①④B.②④C.①②③D.②③

7.（5分）（2024•西安二模）某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位

学生100天每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为

时间/小时

A.估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天

B.估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3

C.估计该学生每日完成作业时间的平均数为2.75小时

D.估计该学生每日完成作业时间的中位数与平均数相等

8.（5分）（2024•西安二模）在正四棱台AiBiCiDi-ABCD中，AB^2AiBi,且三棱锥B\

-A8C的体积为6,则该正四棱台的体积为（）

A.14B.21C.24D.36

9.（5分）（2024•呼伦贝尔一模）已知P是抛物线C：y2=2px（p>0）上的一点，尸是抛物

线C的焦点，。为坐标原点，当|产目=4时，ZPFO=则抛物线C的方程为（）

A.>2=4%B.y2=2xC.y2=xD.y2=6x

10.（5分）（2024•西安二模）已知tana=-右y=:执行如图所示的程序框图,

则输入X的值可以为（）

-TT_7T

11.（5分）（2024•西安二模）将函数/（*）=45讥（一3%+不）-2的图象向右平移耳个单位长

度得到函数g（无）的图象，若g（尤）在区间[-金，刃上的最大值为0,则9=（）

7171nn

A.-B.-C."D.—

36912

12.（5分）（2024•呼伦贝尔一模）若2历n--yi+3=0,%2-，2+5=0,则（%]—％21+

（乃-火）2的最小值为（）

A.2V2B.6C.8D.12

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

—>—>―»

13.（5分）（2024•西安二模）向量4B=（-3,6）,AC=（m,5）,CD=（-1,4）.若A,

B,。三点共线，则相=.

14.（5分）（2024•西安二模）已知定义域为R的函数/（%）满足/（x+2）=-/（尤），且当

0cx<2时，f（x）=3X-Inx,则/（211）=.

15.（5分）（2024•西安二模）已知数列｛a”｝的通项公式为.=（-1）”•〃，Sa为其前〃项

和，则S985=.

16.（5分）（2024•西安二模）若尸为椭圆C：若+益=1上一点，为，乃为C的两个焦点，

且|P0|2一仍尸2『=16,贝|J|PF1|=.

三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17〜21题为必

考题，每个试题考生都必须作答，第22,23题为选考题，考生根据要求作答。

17.（12分）（2024•西安二模）民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收

飞行学员，据统计某校高三在校学生有1000人，其中男学生600人，女学生400人，男

女各有100名学生有报名意向.

（1）完成给出的列联表，并分别估计男、女学生有报名意向的概率；

有报名意向没有报名意向合计

男学生

女学生

合计

（2）判断是否有99%的把握认为该校高三学生是否有报名意向与性别有关.

附：C=g+b）券烷?其中：〃i+b+c+d，

P(片》ko)0.100.050.0250.0100.001

ko2.7063.8415.0246.63510.828

18.(12分)(2024•西安二模)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bs出(4+

B)—csin-2-=0.

(1)求3；

(2)若6=5,a+c=8,求△ABC的面积.

19.（12分）（2024•西安二模）如图，在三棱柱A8C-A1B1C1中，平面AA1C1C,。是

A41的中点，△AC£＞是边长为2的等边三角形.

（1）证明：CiDLBD.

（2）若BC=6,求异面直线BC1与81。所成角的余弦值.

BBi

/cJ-Z—/-JG

♦'I//。

ADA

20.（12分）（2024•西安二模）已知函数/（久）=/a/+xs讥x+2cos久.

（1）当a=0时，3x6[0,n],f（x）—m,求m的取值范围；

（2）证明：当a2与寸，f（x）在（0,+8）上单调递增.

21.（12分）（2024•西安二模）已知双曲线C：*，=l（a>0,6>0）的一条渐近线方程

为x-4y=0,且虚轴长为2.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）若动直线/与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于P,

。两点，。为坐标原点，证明：△。尸。的面积为定值.

选修4-4：坐标系与参数方程（共10分.请考生从第22,23两题中任选一题作答.如果多

做，则按所做的第一个题目计分）

22.（10分）（2024•西安二模）在平面直角坐标系xOy中，已知直线I的参数方程为

（4

x=4+己

•3G为参数），以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲

）=针

线C的极坐标方程为p2+2pcos0-4psin0-20=0.

（1）求直线/和曲线C的直角坐标方程；

（2）记直线/与无轴的交点为与曲线C的交点为A,B,求|〃A|+|Affi|.

选修4-5：不等式选讲

23.（2024•西安二模）设函数/（x）=3x-2-|x-1|.

（1）求不等式/（x）<4的解集；

（2）若方程f（X）=/+"-1有两个不等实数根，求a的取值范围.

2024年陕西省西安市未央区、莲湖区等区高考数学二模试卷(文

科)

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.(5分)(2024•西安二模)设集合A={-2,0,1},2={x|-IWXWI},则Ang=()

A.{-2,0,1}B.{ROWxWl}C.{0,1}D.[x\-2<x^l)

【考点】交集及其运算.

【专题】转化思想；转化法；集合；数学运算.

【答案】C

【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解.

【解答]解：A={-2,0,1},8={x|-IWXWI},

则ACB={0,1}.

故选：C.

【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题.

2.(5分)(2024•西安二模)已知复数2=(3-4i)(5+12z),贝！||z|=()

A.64B.55C.V65D.65

【考点】复数的模.

【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算.

【答案】D

【分析】化简复数z,进而可得z的模长.

【解答】解：复数z=(3-4z)(5+12/)=63+16/,则|z|=,632+162=14225=65.

故选：D.

【点评】本题考查复数的模长，属于基础题.

3.(5分)(2024•西安二模)已知等比数列{斯}的前〃项和为品,若。3=1,09=27,则。5

=()

A.±3B.3C.V3D.9

【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式.

【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算.

【答案】B

【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出.

【解答】解：设等比数列｛斯｝的公比为q,

Va3=l,<79=27,

则q6=%=27,即/=3,

a6

CI5a§q2=3.

故选：B.

【点评】本题考查了等比数列求通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于

基础题.

4.（5分）（2024•西安二模）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、黄、白、蓝4种颜色的

运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为（）

1324

A.—B.—C.—D.—

4535

【考点】古典概型及其概率计算公式.

【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算.

【答案】A

【分析】基本事件总数”=4X4=16,他们选择相同颜色运动服包含的基本事件个数m

=4X1=4,由此能求出他们选择相同颜色运动服的概率.

【解答】解：甲、乙两名运动员各自等可能地从红、黄、白、蓝4种颜色的运动服中选

择1种，

基本事件总数”=4X4=16,

他们选择相同颜色运动服包含的基本事件个数加=4X1=4,

则他们选择相同颜色运动服的概率为P=0=2另.

fl1O住

故选：A.

【点评】本题考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

5.（5分）（2024•呼伦贝尔一模）已知函数/（x）的图象如图所示，则函数/（无）的解析式

可能为（)

A.f(x)=cos2x*(^-ex)

%2+1

B.f(x)=sin2x•命——

C./(%)=

【考点】函数的图象与图象的变换.

【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】B

【分析】对于A，由奇偶性可判断，对于2,由定义域可判断，对于。，由/(I)=0可

判断，进而得出答案.

【解答】解：对于A,由函数的图象可知函数的定义域为(-8,o)u(0,+8),与

选项A函数的定义域不合题意不符合，所以A不正确.

%2+1

对于3,f(x)=sin2x•山——,函数是奇函数，变化趋势与函数的图象相同，所以2正

%2

确.

对于C,f(x)=匕考一，函数是奇函数，当xf+8时，f(x)—+8,与图象不符合，

所以C不正确.

对于。，/(%)=-•/?!——,函数是奇函数，但是，尤>0,并且无一0时，/(x)<0,与

X%2+1

函数的图象，不符合，所以。不正确.

故选：B.

【点评】本题考查根据函数图象确定函数解析式，考查运算求解能力，属于基础题.

6.(5分)(2024•西安二模)已知/,相是两条不同的直线，a,0是两个不同的平面，且/

//a,m±p,现有下列四个结论：

①若a〃,则〃z_La；

②若/Lw,则/〃0；

③若a邛,则/_1_祖；

④若根〃a,则a_L0.

其中所有正确结论的序号是（

A.①④B.②④C.①②③D.②③

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.

【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算.

【答案】A

【分析】对于①，由面面平行的性质和线面垂直的判定得机，a；对于②，/与0平行或

fcp；对于③，由线面垂直的性质得/与相相交、平行或异面；对于④，由面面垂直的判

定得aXp.

【解答】解：/,必是两条不同的直线，a,0是两个不同的平面，且/〃a,

对于①，若式〃0,则由面面平行的性质和线面垂直的判定得m_La,故①正确；

对于②，若/，祖，贝也与0平行或故②错误；

对于③，若则由线面垂直的性质得/与相相交、平行或异面，故③错误；

对于④，若〃z〃a,则由面面垂直的判定得a_LB，故④正确.

故选：A.

【点评】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能

力，是中档题.

7.（5分）（2024•西安二模）某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位

学生100天每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为

左闭右开），根据此直方图得出了下列结论，其中正确的是（）

［频率/组距

；3.5：4.5!竟成作业

时间/小时

A.估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天

B.估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3

C.估计该学生每日完成作业时间的平均数为2.75小时

D.估计该学生每日完成作业时间的中位数与平均数相等

【考点】频率分布直方图.

【专题】数形结合；数形结合法；概率与统计；数学运算.

【答案】C

【分析】利用频率分布直方图、频数、频率、平均数、中位数直接求解.

【解答】解：对于4该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时天数为：

0.5X0.5X100=25天，故A错误；

对于3,估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为：

（0.3+0.2+0.1+0.1）X0.5=0.35,故B错误；

对于C,估计该学生每日完成作业时间的平均数为：

1.25X0.1X0.5+1.75X0.3X0.5+2.25X0.5X0.5+2.75X0.4X0.5+3.25X0.3X0.5+3.75X0.2

X0.5+4.25X0.1X0.5+4.75X0.1X0.5=2.75小时，故C正确；

对于。，[1,2.5）的频率为（0.1+0.3+0.5）X0.5=0.45,

[1,3）的频率为0.45+0.4X0.5=0.65,

中位数为2.5+0'5"°'45x0.5=2.625,

...估计该学生每日完成作业时间的中位数与平均数不相等，故。错误.

故选：C.

【点评】本题考查频率分布直方图、频数、概率、平均数、中位数等基础知识，考查运

算求解能力，是基础题.

8.（5分）（2024•西安二模）在正四棱台A\B\C\D\-ABCD中，AB=2AiBi,且三棱锥Bi

-ABC的体积为6,则该正四棱台的体积为（）

A.14B.21C.24D.36

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.

【专题】转化思想；综合法；立体几何；数学运算.

【答案】B

【分析】根据分割补形法，转化锥体的底面与顶点，即可求解.

【解答】解：如图，延长正四棱台AiBiCiDi-ABCD的侧棱交于点S,

VAB=2AiBi,

•••以为SB的中点，且上面小正四棱锥与大正四棱锥的相似比为去

上面小正四棱锥与大正四棱锥的体积比为巳，

又三棱锥Bl-ABC的体积为6,二四棱锥B1-ABCD的体积为12,

大正四棱锥S-ABCD的体积为24,

1

上面小正四棱锥的体积为丘

24xO=3,

该正四棱台的体积为24-3=21.

故选：B.

【点评】本题考查正四棱台的体积的求解，分割补形法的应用，属中档题.

9.（5分）（2024•呼伦贝尔一模）已知尸是抛物线C：y2=2px（p>0）上的一点，尸是抛物

线C的焦点，0为坐标原点，当|尸引=4时，/PFO=等，则抛物线C的方程为（）

A.）/—4xB.y1—lxC.y2—xD.y2—6x

【考点】抛物线的性质.

【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】A

【分析】根据题意易得P（£+2,2V3）,再将尸（々+2,2机）代入y2=2p无中，建立

方程，即可求解.

【解答】解：根据对称性，不妨设P在第一象限,

：|尸同=4时，/PF0=号,

NPFx=5,.,.xP=?+2,yP=2V3,

将P（-+2,2V3）代入/=2/中，

可得12=2p虐+2）,p>Q,解得p=2,

抛物线C的方程为y2=4x.

故选：A.

【点评】本题考查抛物线的几何性质，方程思想，属基础题.

10.（5分）（2024•西安二模）已知tcma=-，y=s^：i,执行如图所示的程序框图,

OCzO乙vv

则输入x的值可以为（

n27113711971

A.-B.—C.—D.——

3366

【考点】程序框图;同角三角函数间的基本关系；二倍角的三角函数.

【专题】整体思想;综合法；三角函数的求值；算法和程序框图；数学运算.

【答案】C

【分析】先利用二倍角公式求出y的值，再结合程序框图逐个判断各个选项即可.

1

【解答】I?：*.9tana=一可

・_sin2a+l_2sinacosa-^-l_2sinacosa+sin2a+cos2a_2tana+tan2a+l_1

cos2acos2a—sin2acos2a—sinzal—tan2a2

对于A,若输入工=半则输出产-sin^=-于故A错误；

对于3,若输入x=等，则输出y=-sin*=-日，故3错误；

对于C,若输入则输出y=sin-^—=5,故。正确；

1QTT197r1

对于。，若输入x=-g^,则输出y=sin-^~=-5，故。错误.

故选：C.

【点评】本题主要考查了二倍角公式的应用，考查了同角三角函数间的基本关系，以及

程序框图的应用，属于基础题.

TT__/L

11.(5分)(2024•西安二模)将函数/(©=4s讥(―3x+d)-2的图象向右平移e个单位长

度得到函数g(无)的图象，若g(尤)在区间[-方切上的最大值为0,则9=()

7171nn

A.-B.—C.-D.——

36912

【考点】函数y=Asin(3x+<p)的图象变换.

【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算.

【答案】C

【分析】根据三角函数的平移关系求出g(x)的图象，求出角的范围，结合三角函数的

最值性质即可求解.

【解答】解：将函数“久)=4sm(-3%+1)-2的图象向右平移3个单位长度得到函数g

(x)的图象，

则g(无)=/(无一])

=4sin[-3(x-J)+自-2

=4sin(-3x+n+?)-2

6

=4sin(3x—5)-2,

6

*.*XG[-/e],

•Q兀/—「57TQQTC-.

­•3X~6E[~12,30-6],

：g(x)=4sin(3x+1)-2在区间[一方句上的最大值为0,可得sin(30-1)=|,

.•.30-J=解得3=]

故选：c.

【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的变换求出函数的解析式

以及利用三角函数的最值性质是解决本题的关键，属于中档题.

12.（5分）（2024•呼伦贝尔一模）若2/nxi-xi-yi+3=0,尤2->2+5=0,贝!]（久】一久2产+

31-%）2的最小值为（）

A.2V2B.6C.8D.12

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的最值及其几何意义；对数的运算性

质.

【专题】整体思想；综合法；导数的综合应用；数学运算.

【答案】C

【分析】设A（xi,yi）,B（x2,y2）,贝U（久】—久2尸+（月-内/的最小值即为曲线y=2历x

-x+3上的点A到直线尤-y+5=0上的点B的距离的最小值的平方，利用导数的几何意

义求出与直线尤-y+5=0平行的切线方程，再结合点到直线的距离公式求解即可.

【解答】解：设A（xi,yi）,B（尤2,y2）,

则点A在曲线y=2lnx-x+3上，点B在直线无-y+5=0上，

2

（%1-X2）+（Y1-%）2的最小值即为曲线y=2/"x-x+3上的点A到直线尤-y+5=0上的

点B的距离的最小值的平方，

由y=2/nx-x+3可得，y'=--1,

与直线x-y+5=0平行的切线斜率k=i=l-l,

解得X=l，

所以切点的坐标为（1,2）,

所以切点（1,2）到直线x-y+5=0的距离d=J-2+5I

了+（_1）2

BP（%1-%2）2+（71-力）2的最小值为屋=8.

故选：C.

【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了点到直线的距

离公式，属于中档题.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(5分)(2024•西安二模)向量48=(-3,6),AC=(m,5),CD=(-1,4).若A,

7

B,。三点共线，则机=二看.

【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示.

【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算.

【答案】-彳

【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解.

—>—>—>

【解答】解：由题意可知，ADAC+CD(m-1,9),

->

力B=(—3,6),A,B,。三点共线，

7

则6(〃z-l)=-3X9,解得机=一£

故答案为：-

【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题.

14.(5分)(2024•西安二模)已知定义域为R的函数/(x)满足/(x+2)=-/(x),且当

0<尤<2时，f(x)=3A-Inx,则/(211)=-3.

【考点】函数的值.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】-3.

【分析】根据已知条件，结合函数的解析式，以及函数的周期性，即可求解.

【解答】解：f(x+2)=-f(x),

则/(x+4)=-f(%+2),即/(尤+4)=/(x),

故函数/(x)的周期为4,

f(211)=f(4X202+3)=f(3)-(31-Znl)=-3.

故答案为：-3.

【点评】本题主要考查函数的值，属于基础题.

15.(5分)(2024•西安二模)已知数列｛砺｝的通项公式为(-1)”•〃，S”为其前几项

和，则S985=-493.

【考点】数列的求和.

【专题】对应思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算.

【答案】-493.

【分析】根据数列｛加｝的通项公式利用分组求和可得S985=-493.

【解答】解：因为。2"一1+。2"=-（2n-l）+2n=l,

所以S985=（rzi+t/2）+（。3+。4）+,••+（。983+。984）+6Z985=1X492-985=-493.

故答案为：-493.

【点评】本题考查了数列前〃项和的分组求和法，属于基础题.

16.（5分）（2024•西安二模）若P为椭圆C：a+/=1上一点，为，放为C的两个焦点，

1216

且|P&|2-仍尸2『=16,则|PAI=5.

【考点】椭圆的性质.

【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】5.

【分析】根据椭圆的几何性质及题意建立方程，即可求解.

【解答】解：根据题意可得a=4,b=V3,c=2,

...|尸乃|+尸冏=2。=8,…①，

，|PFi|2-〔PF2/=16，可得（|PFI|+|PF2）（|PFi|-|PF2）=16,

.,.|PFi|-\PF2\=2,…②，

①②可得『人|=竽=5.

故答案为：5.

【点评】本题考查椭圆的几何性质，方程思想，属基础题.

三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17〜21题为必

考题，每个试题考生都必须作答，第22,23题为选考题，考生根据要求作答。

17.（12分）（2024•西安二模）民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收

飞行学员，据统计某校高三在校学生有1000人，其中男学生600人，女学生400人，男

女各有100名学生有报名意向.

（1）完成给出的列联表，并分别估计男、女学生有报名意向的概率；

有报名意向没有报名意向合计

男学生

女学生

合计

(2)判断是否有99%的把握认为该校高三学生是否有报名意向与性别有关.

2

附.K2=-----n(ad-bc)------其中•n=a+b+c-^d,

PIJ-H(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'只中♦〃a+D+c+a,

P(非》依)0.100.050.0250.0100.001

ko2.7063.8415.0246.63510.828

【考点】独立性检验.

【专题】对应思想；综合法；概率与统计；数学运算.

【答案】(1)完成给出的列联表如下：

有报名意向没有报名意向合计

男学生100500600

女学生100300400

合计2008001000

(2)有99%的把握认为该校高三学生是否有报名意向与性别有关

【分析】(1)根据题意，完善列联表即可；

(2)计算K2的观测值并与临界值表比对即可得解.

【解答】解：(1)完成给出的列联表如下：

有报名意向没有报名意向合计

男学生100500600

女学生100300400

合计2008001000

7

户1000x(100x300-500xl00)z…"小”

⑵K=200x800x600x400到0417>6.635,

故有99%的把握认为该校高三学生是否有报名意向与性别有关.

【点评】本题考查概率的应用，独立性检验，属于中档题.

18.(12分)(2024•西安二模)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bs出(4+

B)—csiTt-2-=0.

(1)求&

(2)若6=5,a+c=8,求△ABC的面积.

【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理.

【专题】转化思想；综合法；解三角形；数学运算.

n

【答案】(1)

3

1373

(2)——.

4

71B

【分析】(1)由正弦定理及三角形内角的关系可得sin3=sin(]-鼻)，由三角形的角的

范围，可得角3的大小；

(2)由余弦定理可得碇的值，代入三角形的面积公式可得△ABC的值.

【解答】解：(1)因为加讥(2+8)—=0,由正弦定理可得：sinB*sinC=sinC

7TB

•sin(——一),

22

在三角形中，sinOO,

『,、

『7rB7RRnB

可得sin3=sin(———),可得B=5■或B=TI-(——一),

222222

可得3=5或5=n(舍)，

所以

1

(2)因为b=5,〃+c=8,由余弦定理可得b2=a2^-c2-2accosB=(«+c)2-2ac-2ac•一,

2

即25=64-3碇，

可得〃c=13,

所以SAABC=^acsinB=JX13X*

ZZZ41

【点评】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题.

19.(12分)(2024•西安二模)如图，在三棱柱ABC-AiBiCi中，BC_L平面A41clC,。是

441的中点，△ACD是边长为2的等边三角形.

(1)证明：CiD±BD.

(2)若BC=6,求异面直线BC1与81。所成角的余弦值.

BBi

/cJ-Z—/-JG

//,I/，'/

ADAi

【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直.

【专题】转化思想；综合法；空间角；数学运算.

【答案】（1）证明见解答；

V39

（2）.

13

【分析】（1）由己知，可证C£）_LC。，BC1C1D,即可得CiO_L平面BCD,从而证得结

论；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可求得.

【解答】（1）证明：•••△ACD是边长为1的等边三角形，

AZADC=60°,ZDAiCi=120°,

:。是A41的中点，.•.A£>=ALD=4CI,即△AICLD是等腰三角形，

AZAi£）Ci=30°,从而/CDCi=90°,即CD_LGQ,

；BC_L平面A41clC,且CDu平面A41clC,.".BC1C1D,

又BCCCD=C,8Cu平面BCD,CZ）u平面BCD,GO_L平面BC。，

平面BCD,：.C1DLBD；

1

（2）解：连接CAi,"：CD=^AAr,：.AC±CAi,

以C为原点，CA,CAi,CB所在直线分别为无、y、z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

X

则C(。0,0)，8(0,0,6)，C式-2,2百，0),0(1,W,0),当(-2,2®6),

—>—>_

则BQ=(-2,2V3,-6),81。=(3,-皆，-6),

故cosVB*=一6—6+36_739

一考,

|8川田1。|V52XV48

所以异面直线科与加所成角的余弦值为首

【点评】本题考查线面垂直的判定及异面直线所成角的余弦值求法，属中档题.

20.(12分)(2024•西安二模)已知函数/(%)=石。%4+%s讥％+2COSK.

(1)当〃=0时，2xG［0,n］,f(x)=m,求相的取值范围；

(2)证明：当时，/(%)在(0,+8)上单调递增.

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值.

【专题】综合题；转化思想；综合法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算.

【答案】(1)［-2,2］；

(2)证明见解析.

【分析】(1)把。=0代入已知函数解析式，对其求导，结合存在性问题与最值关系的转

化即可求解；

(2)求导，只需证明了(尤)>0恒成立即可，构造函数<p(无)—X-sinr,xE(0,+°°),

求导，研究该函数的值域，即可证明结果.

【解答】(1)解：当。=0时，f'(x)=xcosx-sinx,f"(x)=-xsinx,

当xHO,IT］时，f(x)<0,f(x)在［0,IT］上单调递减，

则/(无)&f(0)=0,

所以/(x)在［0,n］上单调递减，

所以/(n)］(无)4(0),即-2</•(无)<2.

因为弘40,IT],f(x)=m,即/(%)=加在[0,由上有解，

所以机的取值范围是[-2,2].

(2)证明：令/(％)=//(%)=百。％3+%c0s%—sin%,xG(0/+oo),x>0,

贝！Ih'(x)=2a?-xsiwc=x(2ax-siax).

因为a>2时，2ax-sinx>x-sinx,

令cp(x)=x-sinx,xE(0,+°°),

贝！Jcp'(x)=l-cosx)0在(0,+8)上恒成立，

所以(p(x)在(0,+°°)上单调递增，

所以cp(x)>(p(0)=0,

即x-sinx>0在(0,+oo)上恒成立，

所以/z'(x)—X(2ax-siiix)(x-sinx)>0,

则力(x)=f(x)在(0,+8)上单调递增，

所以/(x)>/(0)=0,

所以/(x)在(0,+8)上单调递增.

【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，存在性问题与最值关系的转化，体

现了转化思想的应用，属中档题.

21.(12分)(2024•西安二模)已知双曲线C：*l(a>0,6>0)的一条渐近线方程

为x-4y=0,且虚轴长为2.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)若动直线/与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于P,

。两点，。为坐标原点，证明：△OP。的面积为定值.

【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的性质.

【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

第2

【答案】(1)--/=1；(2)证明见解答，定值为4.

16

【分析】(1)根据渐近线方程和虚轴长，求出a,b可得双曲线C的标准方程；

(2)当直线/的斜率不存在，设直线/的方程，求得交点P,Q,可得△OPQ的面积；

当直线的斜率存在时，设出直线方程，与双曲线方程联立，根据A=0,找到参数之间的

关系，再利用弦长公式求得利用点到直线的距离公式求出三角形的高，求得面积,

即可证明.

【解答】解：（1）双曲线C：圣一英=l（a>0,b>0）的一条渐近线方程为x-4y=o,

且虚轴长为2,

,b1口，

可得2。=2,-=一，解得〃=4,b=l,

a4

r2

则双曲线的标准方程为一-/=1;

16

（2）证明：由双曲线的方程可得渐近线方程为y=±4,

4

当直线/的斜率不存在时，若动直线/与双曲线C恰有1个公共点，

则直线/经过双曲线的顶点，不妨设/：x=4,与渐近线方程联立，可得尸（4,1）,2（4,

-1）,

1

则△。尸。的面积为5X2X4=4；

当直线/的斜率存在，设直线/：y^kx+t,与双曲线的方程％2-16/=16联立，

可得（1-16^）/-32ktx-16?-16=0,

因为动直线/与双曲线C恰有1个公共点，

所以△=（-32公）2+4（1-16后）（16?+16）=0,得16产=尸+1,

设动直线I与y=%，的交点为P,与>=一%的交点为Q,

y=kx+t

联立1解得XP=

y=-rx±-4K

同理得x°=_4H

,-----4t4t-----8|t|8V1+/C2

贝口尸。1=V1+fc2|----------|=V1+k29-------=———，

1-4/c-1-4/c|1-16/C2||t|

因为原点。到直线I的距离为d=下固=,

显

11\t\8Vl+fc2

所以△OP。的面积为］d・|PQ|=j«^==•---=4.

则△OP。的面积为定值4.

【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想

和运算能力，属于中档题.

选修4-4：坐标系与参数方程（共10分.请考生从第22,23两题中任选一题作答.如果多

做，则按所做的第一个题目计分）

22.（10分）（2024•西安二模）在平面直角坐标系xOy中，已知直线I的参数方程为

4

%=4+己3

35G为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲

y=-=t

线C的极坐标方程为p2+2pcos0-4psin0-20=0.

（1）求直线/和曲线C的直角坐标方程；

（2）记直线/与无轴的交点为与曲线C的交点为A,B,求

【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程.

【专题】转化思想；综合法；坐标系和参数方程；数学运算.

【答案】（1）直线/的普通方程为3x--12=0；曲线C的直角坐标方程为?+/+2x

28

-4y-20=0；（2）-y.

【分析】（1）消去参数即得直线/的普通方程，根据极坐标与直角坐标的转化关系，即

得曲线C的直角坐标方程；

（2）根据直线参数方程中参数的几何意义，即可求解.