北京市海淀区八一学校2023-2024学年九年级下学期开学数学试卷(含答案)

2023-2024学年北京市海淀区八一学校九年级（下）开学数学试卷

一、选择题：（每题2分，共16分）

1.（2分）二次函数y=3（x+1）2-4的最小值是（）

A.1B.-1C.4D.-4

3.（2分）已知点尸在半径为一的。。内，且。尸=3,则厂的值可能为（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2分）如图，在方格纸中，△A5C和△石尸。的顶点均在格点上，要使则点尸所在的格

点为（）

A.PiB.尸2C.尸3D.尸4

5.（2分）若关于x的一元二次方程？-x+”=0有两个相等的实数根，则实数”的值为（）

A.4B.AC.D.-4

44

6.（2分）下列函数中，当x>0时，y值随尤值的增大而减小的是（）

A.y=:xB._1C.D.

X

7.（2分）从甲、乙、丙三名同学中随机抽取两名同学去参加义务劳动，则甲与乙恰好被选中的概率是（）

1

A.AB.Ac.AD.A

6432

8.（2分）如图，正方形ABCD的边长为4,延长至E使防=2,以即为边在上方作正方形EFG2,延长

FG交DC于M,连接AM,AF,H为的中点，连接分别与AB,AM交于点N、K：则下列结论：

①△ANH9AGNF；

②NAFN=NHFG；

③FN=2NK；

@SAAFW：S^ADM—1：4.其中正确的结论有（）

C.3个D.4个

二、填空题：（每题2分，共16分）

9.（2分）若扇形的圆心角为60°,半径为2,则该扇形的弧长是（结果保留口）.

10.（2分）一元二次方程x（x-3）=x-3的解是.

11.（2分）在平面直角坐标系尤Oy中，若反比例函数y£（k卉0）的图象经过点A（1，2）和点B（-l,m）,

x

则相的值为.

12.（2分）如图，在△ABC中，DE//BC,EF//AB,已知△ADE与的面积分别为9<7户和公；?？，则$

2

△ABC=cm.

13.（2分）某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，如

表是检测过程中的一组统计数据:

抽取的产品数〃5001000150020002500300035004000

合格的产品数相476967143119262395288333673836

合格的产品频率巨0.9520.9670.9540.9630.9580.9610.9620.959

n

估计这批产品合格的产品的概率为

2

14.（2分）如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5根的地面上，然后

她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1加时，正好在镜中看见树的顶端.小英估计自己的眼睛到

地面的距离为1.6口，则大树的高度是m.

15.（2分）如图，A8为的弦，C为。。上一点，OULAB于点D若0A=JI5,AB=6,贝Ucos/AO。

16.（2分）甲工厂将生产的I号、II号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A,B,C,D,E,每

个包裹的重量及包裹中I号、II号产品的重量如下：

包裹编号I号产品重量/II号产品重量/包裹的重量/

吨吨吨

A516

B325

C235

D437

E358

甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂.

（1）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案

（写出要装运包裹的编号）；

（2）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的H号产品最多，写出满足条件的装运

方案（写出要装运包裹的编号）.

3

三、解答题：（共68分，17-23题每题5分，24-25题每题6分，26-28题每题7分）

17.（5分）计算：||-2sin60°+百^+及）L

18.（5分）如图，在△ABC中，ZC=90°,在A8边上取一点。，使过。作。E交AC于E,

AC=8,BC=6.求。E的长.

19.（5分）如图.直线y=ax+b与双曲线y生相交于两点A（1,2）,B（m,-4）.

x

（1）求直线与双曲线的解析式；

（2）求不等式办+b>K的解集（直接写出答案）

20.（5分）如图，在等腰直角△ABC中，N8AC=90°,。是8C边上任意一点（不与3,C重合），将线段

AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE,连接CE,DE.

U）求/ECD的度数；

（2）若AB=4,BD=J^，求的长.

21.（5分）阅读下面的材料

一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中.到了中世纪，阿拉

伯数学家阿尔•花拉子米在他的代表作《代数学》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法，我国三国时

期的数学家赵爽在其所著《勾股圆方图注》中也给出了类似的解法.

4

以?+10x=39为例，花拉子米的几何解法步骤如下：

①如图1,在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为x和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方

形，最终把图形补成一个大正方形；

②一方面大正方形的面积为（尤+）2,另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为/+10x=39,

可得方程（x+）2=39+，则方程的正数解是尤=.

根据上述材料，解答下列问题.

（1）补全花拉子米的解法步骤②；

（2）根据花拉子米的解法，在图2的两个构图①②中，能够得到方程/-6X=7的正数解的正确构图是

（填序号）.

22.（5分）在平面直角坐标系尤Oy中，二次函数的图象过点A（3,3）.

（1）求该二次函数的解析式；

（2）当0＜尤＜3时，对于x的每一个值，都有质＞7+",直接写出左的取值范围.

23.（5分）二十四节气是中华民族农耕文明的智慧结晶，是专属中国人的独特时间美学，被国际气象界誉为

“中国第五大发明”.如图，小文购买了四张形状、大小、质地均相同的“二十四节气”主题邮票，正面分

别印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同的图案，背面完全相同，他将四张邮票洗匀后正面朝下放

在桌面上.

（1）小文从中随机抽取一张，抽出的邮票恰好是“大暑”的概率是;

⑵若印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同图案的邮票分别用A,B,C,。表示，小文从中随

5

机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张邮票恰好是“立

春”和“立夏”的概率.

24.（6分）如图，以A8为直径作O。，过点A作O。的切线AC,连接BC,交。。于点。，点E是边的

中点，连接AE.

（1）求证：/AEB=2/C；

（2）若AB=5,tanB=A,求。E的长.

25.（6分）如图，。是窟与弦A8所围成的图形的内部的一定点，P是弦上一动点，连接尸。并延长交窟

于点C,连接AC.已知&3=6。相，设A,P两点间的距离为XCTW,P,C两点间的距离为A,C两点

间的距离为"a”.

小腾根据学习函数的经验，分别对函数yi,v随自变量尤的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了以，”与尤的几组对应值；

x/cm0123456

yi/cm5.624.673.762.653.184.37

y21cm5.625.595.535.425.194.734.11

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x,ji）,（尤，”），并画出函

（3）结合函数图象，解决问题：当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为cm.

6

APB

26.(7分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线>=/+6尤+。(a>0)经过点A(0,-3)和8(3,0).

(1)求c的值及。、6满足的关系式；

(2)若抛物线在A、B两点间从左到右上升，求。的取值范围；

(3)结合函数图象判断，抛物线能否同时经过点M(-\+m,n)、N(4-m,n)?若能，写出一个符合

要求的抛物线的表达式和”的值，若不能，请说明理由.

27.(7分)在RtZvWC中，ZACB=9Q°,CD是AB边的中线，DE1.BCE,连结。，点尸在射线CB

上(与8,C不重合).

(1)如果/)=30°,

①如图1,OE与BE之间的数量关系是；

②如图2,点尸在线段CB上，连结。P,将线段OP绕点。逆时针旋转60°,得到线段。F,连结补

全图2猜想CP、2尸之间的数量关系，并证明你的结论.

(2)如图3,若点P在线段C8的延长线上，且/A=a(0°<a<90°),连结。P,将线段OP绕点。逆

时针旋转2a得到线段。R连结请直接写出。E、BF、8尸三者的数量关系(不需证明).

图2

28.(7分)如图1,对于△PMN的顶点尸及其对边上的一点。，给出如下定义：以尸为圆心，尸。为半

径的圆与直线MN的公共点都在线段MN上，则称点。为△PMN关于点尸的内联点.

7

图1图2

在平面直角坐标系尤Oy中：

(1)如图2,已知点A(7,0),点8在直线y=x+l上.

①若点B(3,4),点C(3,0),则在点O,C,A中，点是关于点B的内联点;

②若△AOB关于点B的内联点存在，求点B纵坐标n的取值范围;

(2)已知点。(2,0),点£(4,2),将点。绕原点。旋转得到点?若AE。厂关于点E的内联点存在，直

接写出点/横坐标m的取值范围.

参考答案与试题解析

一、选择题：(每题2分，共16分)

1.(2分)二次函数y=3(尤+1)2-4的最小值是()

A.1B.-1C.4D.-4

【解答】解：二次函数y=3(x+1)2-4中，k=3>0,

.,.二次函数y=3(x+1)2-4,当尤=-1时函数有最小值-4.

故选：D.

【解答】解：A.原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意;

B.原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

C.原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；

8

D.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意.

故选：C.

3.（2分）已知点尸在半径为r的内，且0P=3,则r的值可能为（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解:对于选项A,当r=l时，则。尸〉r,因此点P在。。外，故不合题意；

对于选项8,当r=2时，则。尸〉厂，因此点尸在OO外，故不合题意；

对于选项C,当r=3时，则。尸=r,因此点尸在上，故不合题意；

对于选项。，当r=4时，则OPO,因此点尸在。。内，故符合题意.

故选：D.

4.（2分）如图，在方格纸中，AABC和的顶点均在格点上，要使△ABCs^EPD,则点P所在的格

点为（）

A.PiB.P2C.P3D.尸4

【解答】解：；/BAC=NPED,

而AB_3

而-,

2

♦

：EP=3时，△ABCS^EPD,

ED2

；DE=4,

；.EP=6,

：.点P落在P3处.

故选：C.

5.（2分）若关于尤的一元二次方程7-x+”=0有两个相等的实数根，则实数力的值为（）

A.4B.AC.」D.-4

44

【解答】解：根据题意得△=（-1）2-4〃=0,

解得n=—.

4

9

故选：B.

6.（2分）下列函数中，当x>0时，y值随x值的增大而减小的是（）

A.y=xB.y=2x-1C.y=AD.y=x1

x

【解答】解：4y=x,y随尤的增大而增大，故A选项错误；

B、y=2x-1,y随龙的增大而增大，故B选项错误；

C、J=A,当x>0时，y值随X值的增大而减小，此C选项正确；

x

。、>=/,当尤>0时，y值随x值的增大而增大，此。选项错误.

故选：C.

7.（2分）从甲、乙、丙三名同学中随机抽取两名同学去参加义务劳动，则甲与乙恰好被选中的概率是（）

A.AB.Ac.AD.A

6432

【解答】解：画树状图如下：

开始

甲乙

AA

乙丙甲丙甲乙

共有6种等可能的结果，其中甲与乙恰好被选中的结果有2种，

甲与乙恰好被选中的概率为2=工，

63

故选：C.

8.（2分）如图，正方形ABC。的边长为4,延长CB至E使防=2,以E8为边在上方作正方形EFG2,延长

FG交DC于M,连接AM,AF,H为的中点，连接切分别与AB,AM交于点N、K：则下列结论：

①△A7VH四△GNB；

②/AFN=NHFG；

③FN=2NK；

④SAAFN：S^ADM—1：4.其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

10

【解答】解：•・•四边形MG5是正方形，EB=2,

：.FG=BE=2,ZFGB=90°,

•・•四边形ABC。是正方形，〃为A。的中点，

：.AD=4,AH=2,

ZBAD=90°,

:・/HAN=/FGN,AH=FG,

・・・NANH=ZGNF,

:•△ANH"AGNF(A4S),故①正确；

ZAHN=NHFG,

*：AG=FG=2=AH,

：.AF=近FG=®AH,

：.ZAFH^ZAHF,

：.ZAFN^ZHFG,故②错误；

△ANHQ^GNF,

.•.AN=1AG=I,

2

VGM=BC=4,

•・•—AH_，GM_乙?,

ANAG

'：ZHAN=ZAGM=90°,

I.AAHN^AGMA,

：.ZAHN=ZAMG9ZMAG=ZHNA,

:・AK=NK,

*：AD//GM,

：.ZHAK=ZAMG,

：.ZAHK=/HAK,

:・AK=HK,

：・AK=HK=NK,

•；FN=HN,

：.FN=2NK；故③正确；

方法二：可得N也是中点，结合已知H是中点，连接GO交AM于点尸，则根据勾股定理GZ)=2代,

11

:点P为对称中心，

；.GP=遍，

又：NK也是AAGP的中位线，

；.NK=^,

2

在Rt△尸GN中，FN=心

:.FN=2NK,故③正确.

:延长FG交。C于M,

.,.四边形A@WG是矩形，

：.DM=AG=2,

S^AFN=^AN-FG=1-><2X1=1,5AADM=1.AZ)ȣ)A/=AX4X2=4,

2222

•*.S^AFN:S^ADM=1:4故④正确，

故选：c.

二、填空题：（每题2分，共16分）

9.（2分）若扇形的圆心角为60°,半径为2,则该扇形的弧长是2n（结果保留TT）.

一3一

【解答】解：：扇形的圆心角为60。，半径为2,

二扇形的弧长=60冗*2=21T.

1803

故答案为：2TT.

3

10.（2分）一元二次方程x（%-3）=冗-3的解是xi=3,X2=l.

【解答】解：移项得：x（x-3）-（x-3）=0,

（x-3）（x-1）=0,

x-3=0,x-1=0,

XI—3,X2=19

故答案为：Xl=3,X2=l.

11.（2分）在平面直角坐标系尤Oy中，若反比例函数y£（k卉0）的图象经过点A（1，2）和点B（-l,m）,

X

则m的值为-2.

12

【解答】解：..•反比例函数（左WO）的图象经过点A（1,2）和点8（-1,机），

x

（-1）Xm=1X2,

-777=2,

解得m=-2,

故答案为：-2.

12.（2分）如图，在中，DE//BC,EF//AB,已知△&£）£1与的面积分别为9c优2和4c:川，则$

△ABC=25cm".

【解答】解：\'DE//BC,EF//AB,

：.△ERF/\ADE,LEFCSAABC,

■:SAADE=9CHI,S^EFC=4cm,

（庭）2=1,

AE9

E-C2

AE3

匹

2

Ac5

...S^EFC=（或）2=（2）2='

,△ABCAC525

SAABC=4X_£^_=25.

4

故答案为：25.

13.（2分）某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，如

表是检测过程中的一组统计数据:

抽取的产品数”5001000150020002500300035004000

合格的产品数加476967143119262395288333673836

合格的产品频率皿0.9520.9670.9540.9630.9580.9610.9620.959

n

估计这批产品合格的产品的概率为0.96

13

【解答】解：由图表可知合格的产品频率且都在0.95左右浮动，所以可估计这批产品合格的产品的概率为

n

0.96,

故答案为：0.96.

14.（2分）如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5祖的地面上，然后

她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1机时，正好在镜中看见树的顶端.小英估计自己的眼睛到

地面的距离为16”,则大树的高度是8m.

【解答】解：；NABC=/DBE,ZACB=ZDEB=90°,

/.AABCsADBE,

J.BC-.BE=AC：DE,

即1：5=1.6：DE,

：.DE=8(m),

故答案为：8.

15.（2分）如图，AB为。。的弦，C为。。上一点，OCLA8于点。.若0A=\/T5,AB=6,贝Ucos/AOZ）=

V10

14

A

【解答】解：'：OC±AB,AB=6,

：.ZADO=90°,AD^BD=1AB^3,

2

在RtZkA。。中，OA=JT5，

•••0£)=VOA2-AD2=V(V10)2-32=L

，cos/AO£)=PP_=.

0AV7o10

故答案为：画.

10

16.（2分）甲工厂将生产的I号、II号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A,B,C,D,E,每

个包裹的重量及包裹中I号、II号产品的重量如下:

包裹编号I号产品重量/II号产品重量/包裹的重量/

吨吨吨

A516

B325

C235

D437

E358

甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂.

（1）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案ABC（或ABE

或AD或ACD或BCD或ACE）（写出要装运包裹的编号）；

（2）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的n号产品最多，写出满足条件的装运

方案4CE（写出要装运包裹的编号）.

【解答】解：⑴选择ABC时，装运的/号产品重量为：5+3+2=10（吨），总重6+5+5=16<19.5（吨），

符合要求；

选择ABE时，装运的/号产品重量为：5+3+3=11（吨），总重6+5+8=19<19.5（吨），符合要求；

15

选择A。时，装运的1号产品重量为：5+4=9（吨），总重6+7=13<19.5（吨），符合要求;

选择ACZ）时,装运的/号产品重量为：5+2+4=11（吨），总重6+5+7=18C19.5（吨），符合要求;

选择BCD时，装运的1号产品重量为:3+2+4=9（吨），总重5+5+7=17<19.5（吨），符合要求;

选择DCE时,装运的/号产品重量为：4+2+3=9（吨），总重7+5+8=20>19.5（吨），不符合要求;

选择时,装运的/号产品重量为：3+4+3=10（吨），总重5+7+8=20>19.5（吨），不符合要求;

选择ACE时，装运的/号产品重量为5+3+3=11（吨），总重6+5+8=19（吨），符合要求,

综上，满足条件的装运方案有ABC或ABE或AD或ACD或BCD或ACE.

故答案为：ABC（或ABE或AO或ACO或8c。或ACE）；

（2）选择ABC时，装运的H号产品重量为：1+2+3=6（吨）；

选择ABE时，装运的H号产品重量为：1+2+5=8（吨）；

选择时，装运的U号产品重量为：1+3=4（吨）；

选择ACD时，装运的n号产品重量为：1+3+3=7（吨）；

选择BCD时，装运的II号产品重量为：2+3+3=8（吨）；

选择ACE时，I产品重量：5+2+3=10（吨）且9W10W11；II产品重量：1+3+5=9（吨），

故答案为：ACE.

三、解答题：（共68分，17-23题每题5分，24-25题每题6分，26-28题每题7分）

17.（5分）计算：|-3|-2sin60°+VT2+（'y）L

M：|-3|-2sin60°+Vl2+（y）-1

=3-2X返+2愿+2

2

=3-73+273+2

=V3+5.

18.（5分）如图，在△ABC中，NC=90°,在AB边上取一点使BD=BC,过。作。交AC于E,

AC=8,BC=6.求OE的长.

【解答】解：在△ABC中，/C=90°,AC=8,BC=6,

•'-A5=VAC2+BC2=10,（2分）

16

又,：BD=BC=6,：.AD=AB-BD=4,（4分）

•：DELAB,：.ZADE=ZC=9Q°，（5分）

又/.（6分）

.•.里M,（7分）

BCAC

.'.DE=^~.nr=Ax6=3.（8分）

AC风8

19.（5分）如图.直线y=ax+b与双曲线y上相交于两点A（1,2）,B（m,-4）.

X

（1）求直线与双曲线的解析式；

（2）求不等式办+b>K的解集（直接写出答案）

【解答】解：（1）先把（1,2）代入双曲线y=X中，得

k=2,

双曲线的解析式是y=2,

X

当y=-4时，m=-A,

2

把（1,2）、（-1,-4）代入一次函数，可得

2

a+b=2

,1

-^-a+b=-4

解得

.二一次函数的解析式是y=4x-2；

（2）根据图象可知，若那么%>1或-1Vx<0.

2

17

20.（5分）如图，在等腰直角△ABC中，N8AC=90°,。是2C边上任意一点（不与3,C重合），将线段

绕点A逆时针旋转90°得到线段AE,连接CE,DE.

（1）求NEC。的度数；

（2）若4B=4,BD=\历，求OE的长.

【解答】解：(1)：VRtAABC+,/ft4c=90°,AB^AC,

：.ZABC=ZACB=45°,

由旋转可知：AD=AE,/DAE=90°,

ZBAD+ZDAC=ZCAE+ZDAC=90°,

：.ZBAD^ZCAE,

在△84。与△C4E中，

rAB=AC

<NBAD=NCAE，

AD=AE

.'.△BAD0ACAE(SAS),

：.ZACE=ZABD=45°,

：.ZECD=450+45°=90°；

(2)VZBAC=90°,AB=AC=4,

，BC=VAB2+AC2=4&，

由(1)得，△BAD之△CAE,

:.BD=CE=®

18

:.CD=BC-BD=3近,

：.ZDCE=90°,

CEr+CD1=ED1,

•*-DE=V（3V2）2+（V2）2=2遥.

21.（5分）阅读下面的材料

一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中.到了中世纪，阿拉

伯数学家阿尔•花拉子米在他的代表作《代数学》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法，我国三国时

期的数学家赵爽在其所著《勾股圆方图注》中也给出了类似的解法.

以f+10x=39为例，花拉子米的几何解法步骤如下：

①如图1,在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为x和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方

形，最终把图形补成一个大正方形；

②一方面大正方形的面积为（尤+5）2,另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为?+10x=39,可

得方程（x+5）2=39+25,则方程的正数解是尤=3.

7

3

工

5x52

X25x

H-------x川

①②

图2

根据上述材料，解答下列问题.

（1）补全花拉子米的解法步骤②；

（2）根据花拉子米的解法，在图2的两个构图①②中，能够得到方程7-6x=7的正数解的正确构图是①

（填序号）.

【解答】解：（1）一方面大正方形的面积为（尤+5）2,另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为/+10x

=39,可得方程（x+5）2=39+25,则方程的正数解是x=3.

故答案为：5；5；25；3.

（2）由题意可得，能够得到方程6尤=7的正数解的正确构图是①.

故答案为：①.

22.（5分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数了二^+云的图象过点A（3,3）.

（1）求该二次函数的解析式；

19

（2）当0<x<3时，对于x的每一个值，都有自>/+6尤，直接写出人的取值范围.

【解答】解：（1）把A（3,3）代入y=7+bx得3=9+36,

解得b=-2,

.♦・抛物线解析式为y=7-2x；

（2）把A（3,3）代入得北=3,

解得k=\,

.,.当0cx<3时，对于尤的每一个值，上21都有区>/+6龙.

23.（5分）二十四节气是中华民族农耕文明的智慧结晶，是专属中国人的独特时间美学，被国际气象界誉为

“中国第五大发明”.如图，小文购买了四张形状、大小、质地均相同的“二十四节气”主题邮票，正面分

别印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同的图案，背面完全相同，他将四张邮票洗匀后正面朝下放

在桌面上.

（1）小文从中随机抽取一张，抽出的邮票恰好是“大暑”的概率是1;

—4—

（2）若印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同图案的邮票分别用A,B,C,。表示，小文从中随

机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张邮票恰好是“立

春”和“立夏”的概率.

【解答】解：（1）小文从4张邮票中随机抽取一张邮票是“大暑”的概率是：1,

4

故答案为：1；

4

（2）由题意画树状图如下：

由图可知，共有12种等可能的情况，其中抽到A和8（“立春”和“立夏”）的情况有2种,

20

--2--_-1,

126

故小文抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏"的概率为』.

6

24.(6分)如图，以为直径作O。，过点A作O。的切线AC,连接BC,交。。于点。，点E是边的

中点，连接AE.

(1)求证：/AEB=2/C；

(2)若4B=5,tmB——,求。E的长.

【解答】(1)证明：：AC是。。的切线,

/.ZBAC=90°.

•.,点E是边的中点，

J.AE^EC.

：.ZC=ZEAC,

'：ZAEB=ZC+ZEAC,

：./AEB=2/C；

(2)连接AD

为OO直径，

/.ZADB=90°.

'."AB=5,tanB=A,

3

:.BD=3.

在RtZXABC中，42=5,tanB=A,

3

.♦.3C=至，

3

.点E是3C边的中点，

6

：.DE=BE-BD=-L.

6

21

25.（6分）如图，。是窟与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦上一动点，连接尸。并延长交篇

于点C,连接AC.已知48=6C7W,设A,P两点间的距离为xcm,P,C两点间的距离为yicm,A,C两点

间的距离为

小腾根据学习函数的经验，分别对函数”，中随自变量尤的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量X的值进行取点、画图、测量，分别得到了yi,y2与尤的几组对应值；

x/cm0123456

yi/cm5.624.673.762.653.184.37

3

yilcm5.625.595.535.425.194.734.11

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x,ji）,（尤，”），并画出函

数yi,”的图象;

（3）结合函数图象，解决问题：当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为3或4.91或5.77cm.

【解答】解：(1)：幺=6时，AB=6,8c=4.37,AC=4.11,

:.AB2=AC2+BC-,

22

ZACB=90°,

.♦.AB是直径(也可以用测量法，得出/AC8=90°).

当x=3时，E4=PB=PC=3,

.♦.yi=3,

故答案为3.

(2)函数图象如图所示:

(3)观察图象可知：当x=y,即当B4=PC或B4=AC时，尤=3或4.91,

当yi=y2时，即PC=AC时，x-5.ll,

综上所述，满足条件的x的值为3或4.91或5.77.

故答案为3或4.91或5.77.

26.(7分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线》=—+6尤+。(。＞0)经过点A(0,-3)和8(3,0).

(1)求c的值及“、〃满足的关系式；

(2)若抛物线在A、B两点间从左到右上升，求。的取值范围；

(3)结合函数图象判断，抛物线能否同时经过点M(-\+m,n)、N(4-m,Q?若能，写出一个符合

要求的抛物线的表达式和〃的值，若不能，请说明理由.

【解答】解：(1):抛物线y=a/+6x+c(a＞0)经过点A(0,-3)和B(3,0).

.f-3=c

10=9a+3b+c

.\c=-3,3a+b-1=0.

(2)由1可得：(1-3〃)x-3,

对称轴为直线x=上至，

2a

:抛物线在A、2两点间从左到右上升，当。＞0时，对称轴在A点左侧，如图：

23

.•.0<aW工.A、B两点间从左到右上升，

3

.•.当0<aW工时，抛物线在A、B两点间从左到右上升，

3

(3)抛物线不能同时经过点M(-1+m,n)、N(4-m,n).

理由如下:

若抛物线同时经过点M(-l+"z,w)、N(,4-m,n).则对称轴为:--(---1-+-m-)--+-(-4---m-)---3-,

22

由抛物线经过A点可知抛物线经过(3,-3),与抛物线经过B(3,0)相矛盾,

故：抛物线不能同时经过点Af(-\+m,〃)、N(4-m,〃)

27.(7分)在Rt^ABC中，ZACB=90°,C。是AB边的中线，DE_LBC于E,连结C。，点尸在射线

上(与B,C不重合).

(1)如果NA=30°,

①如图1,与BE之间的数量关系是DE=EBE；

②如图2,点尸在线段上，连结。尸，将线段。尸绕点。逆时针旋转60°,得到线段。R连结2R补

全图2猜想CP、8尸之间的数量关系，并证明你的结论.

(2)如图3,若点尸在线段C2的延长线上，且NA=a(0°<a<90°),连结。尸，将线段。P绕点。逆

时针旋转2a得到线段。R连结8尸，请直接写出。E、BF、8P三者的数量关系(不需证明).

24

【解答】解：(1)①在RtZVICB中，NACB=90°,ZA=30°,

AZB=60°,

'：DE±BC,

tanB=tan60°=匹＞,

BE

:.DE=MBE,

故答案为：DE=43BE；

②补全图形如图2,结论：CP=B