人教版九年级数学中考模拟试卷

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浙教版九年级中教浮模拟试卷含解析答案

题号——总分

得分

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择国）

请点击修改第I卷的文字说明

评卷人得分

-.选择鹿（共12小题,12*3=36）

1.在1的值是（）

A.1B.-1C.3D.-3

2.已知x2-3x+l=0,贝的值是（）

x2-x+l

A.1B.2C.XD.3

23

3.如图，在数轴上表示实数行的可能是（）

R2M、

-Q-1*2*3*4*5）

A.点PB.点QC.点MD.点N

4.从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是

86.5分，方差分别是S田2=1.5,S2=2.6,S丙2=3.5,S丁2=3.68,你认为派谁去参赛

™JzrJJ

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更合适（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

5.一个几何体由大小相同的小正方体搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小

正方形中的数字表示在这个位置小正方体的个数.从左面看到的这个几何体的形状图的是

B|V3C-fV3口.2T

7.某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分钟收费a元，之后的每分钟收费b元,

如果某人打一次该长途电话被收费m元，则这次长途电话的时间是（）

A.m-a分钟B.m分钟C.m-a+b分钟D.贮三±_分钟

ba+bbb

8.如图所示，两个含有30。角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线I滑动，下列说法错误

的是（）

A.四边形ACDF是平行四边形

B.当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形

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C.当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形

D.四边形ACDF不可能是正方形

‘2x+a<3（x+l）

9.若不等式组「、工+2的解集为x>3,则a的取值是（）

A.a<6B.a>6C.a<6D.a<0

10.如图，点A、B的坐标分别为（0,2）、（2,0）,OC的圆心坐标为（-1,0）,半

径为1,若点D为。。上的一个动点，线段DB与y轴交于点E,则3BE面积的最小值为

11.已知二次函数y=ax2+bx+c（a/0）的图象如图所示，下列结论：①抛物线的对称轴为

x=-1;②abc=0;③方程ax2+bx+c+l=0有两个不相等的实数根；④无论x取何值，

ax2+bx<a-b.其中，正确的个数为（）

12.如图，已知边长为4的正方形ABCD,E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结

AE,作EF±AE交正方形的外角NDCG的平分线于点F,设BE=x,^ECF的面积为y,下

列图象中，能大致表示y与x的函数关系的是（）

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第II卷(非选择题)

请点击修改第II卷的文字说明

评卷人得分

二.(共6小Hi,4*6=24)

13.分解因式(xy-1)2-(:<+y-2xy)(2-x-y)=.

14.如图是按以下步骤作图：(1)在3BC中，分别以点B,C为圆心，大于J_BC长为半径

2

作弧，两弧相交于点M,N(2)作直线MN交AB于点D;(3)连接CD,若NBCA=90。,

AB=4,贝UCD的长为____

;

15.关于X的一元二次方程X2-2kx+k2-k=0的两个实数根分别是xrx2,且X12+X22=4,

则X12-XP2+X22的值是_

16.如图，WDB,ABlIx轴，0B=2，点B在反比例函数y=k±，将30B绕点B逆时针旋

转，当点0的对应点落在x轴的正半轴上时,,AB的对应边A'B恰好经过点。，则k的

二值为_______.

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17.如图，动点P从（0,2）出发，沿所示的方向在矩形网格中运动，每当碰到矩形的边时

反弹，反弹时反射角等于入射角，若第一次碰到矩形的边时坐标为P]（2,0）,则P2017

的坐标为

18.如图，MN为。。的直径，四边形ABCD,CEFG均为正方形，若0M=2旄，则EF的

长为_______

三.解腼（共7小fii,60分）

3（x+y）+2（x-y）=10

19.（6分）解方程组：x+yX_y7

4+29

20.（8分）有甲、乙、丙三种糖果混合而成的什锦糖100千克，其中各种糖果的单价和数

量如下表所示,商家用加权平均数来确定什锦糖的单价.

甲种糖果乙种糖果丙种糖果

单价（元/千克）152025

千克（千克）304030

（1）该什锦糖的单价为元/千克.

（2）为了使什锦糖的单价每千克至少降低2元，商家计划在什锦糖中再加入甲、乙两种糖果

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共100千克，则最少需要加入甲种糖果多少千克？

21.(8分)某企业计划购买甲、乙两种学习用品800件，资助某贫困山区希望小学，已知

每件甲种学习用品的价格比每件乙种学习用品的价格贵10元，用400元购买甲种学习用

品的件数恰好与用320元购买乙种学习用品的件数相同.

(1)求甲、乙两种学习用品的价格各是多少元？

(2)若该希望小学需要乙种学习用品的数量是甲种学习用品数量的3倍，按照此比例购买这

800件学习用品所需的资金为多少元?

22.(8分)如图①，AE是。。的直径，点C是。。上的点，连结AC并延长AC至点D,

使CD=CA,连结ED交。。于点B.

(1)求证：点C是劣弧确中点；

(2)如图②，连结EC,若AE=2AC=4,求阴影部分的面积.

23.(10分)问题探究

(1如图①，已知正方形ABCD的边长为4点M和N分别是边BC、CD上两点且BM=CN,

连接AM和BN,交于点P.猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论.

(2)如图②，已知正方形ABCD的边长为4.点M和N分别从点B、C同时出发，以相同

的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动.连接AM和BN,交于点P,求"PB周长的

最大值；

问题解决

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(3)如图③，AC为边长为2’狒菱开乡ABCD的对角线，NABC=60。.点M和N分别从点

B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CA向终点C和A运动.连接AM和BN，交于点P.求

△APB周长的最大值.

24.(10分)如图，BC是路边坡角为30°,长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端

D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角NDAN和NDBN

分别是37。和60。(图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CMIIAN).

(1)求灯杆CD的高度；

(2)求AB的长度(结果精确到0.1米).(参考数据：遭=1.73.sin37ro.60,cos37°

-0.80,tan37°~0.75)

25.(10分)已知，矩形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点B的坐标为(8,10),

抛物线y=ax2+bx+c经过点。，点C,与AB交于点D,将矩形0ABe沿CD折叠，点B

的对应点E刚好落在OA上.

(1)求抛物线y=ax2+bx+c的表达式;

(2)若点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，是否存在这样的点P、Q,使得以点P、

Q、C、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理

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参考答案与试题解析

一.选择鹿(共12小陋)

1.的值是()

A.1B.-1C.3D.-3

【分析】直接利用立方根的定义化简得出答案.

【解答】解：3^=-1.

故选：B.

【点评】此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键.

2.已知X2-3x+l=0,贝!]_的靛()

x2-x+l

A.1B.2C.1D.3

23

【分析】先根据X2-3x+l=0得出X2=3X-1,再代入分式进行计算即可.

【解答】解：.•.X2-3x+l=0,

.,.X2=3X-1,

原式=___?_____=_L•

3x-l-x+12

故选：A.

【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.

3.如图，在数轴上表示实数行的可能是()

A.点PB.点QC.点MD.点N

【分析】根据数的平方估出-何介于哪两个整数之间，从而找到其对应的点.

【解答】解：

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，2<斤3,

点Q在这两个数之间，

故选：B.

【点评】此题考查了无理数的估算以及数轴上的点和数之间的对应关系，解题的关键是求出有

介于哪两个整数之间.

4.从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是

86.5分，方差分别是S申2=1.5,S72=2.6,S丙2=3.5,S丁2=3.68，你认为派谁去参赛

更合适（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【分析】根据方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度越大,

稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好可得答案.

【解答】解：,.•1.5<2.6<3.5<3.68,

二.甲的成绩最稳定，

•••派甲去参赛更好,

故选：A.

【点评】此题主要考杳了方差，关键是掌握方差越小，稳定性越大.

5.一个几何体由大小相同的小正方体搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示,其中小

正方形中的数字表示在这个位置小正方体的个数.从左面看到的这个几何体的形状图的是

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【分析】由已知条件可知，从正面看有3歹I」，每列小正方数形数目分别为4,3,2;从左面看

有3歹I」，每列小正方形数目分别为1,4,3.据此可画出图形.

【解答】解：由俯视图及其小正方体的分布情况知，

该几何体的主视图为：

该几何体的左视图为：

故选：B.

【点评】此题主要考查了几何体的三视图画法.由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知

主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中

的最大数字.左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行

中正方形数字中的最大数字.

6.计算后-y•居的结果是（）

B1V30.我D.2M

【分析】先进行二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可.

【解答】解：原式=3«-[~2

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=3如-岖

3

~3~

故选：C.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二

次根式的乘除运算，再合并即可.

7.某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分钟收费a元，之后的每分钟收费b元，

如果某人打一次该长途电话被收费m元，则这次长途电话的时间是（）

A.m-a分钟B.分钟C.m-a+b分钟D.贮三±_分钟

ba+bbb

【分析】打电话的时间=（m-超过a元的钱数+b）+b,把相关数值代入即可.

【解答】解：这次长途电话的时间是m-a+b分钟,

b

故选：C.

【点评】考查列代数式；得到打电话所用两个时间段的和的关系式是解决本题的关键.

8.如图所示,两个含有30。角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线I滑动，下列说法错误

的是（）

A.四边形ACDF是平行四边形

B.当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形

C.当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形

D.四边形ACDF不可能是正方形

【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法——判断即可.

【解答】解：A、正确.・•・NACB=NEFD=30°,

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.-.ACllDF,

•.AC=DF,

二四边形AFDC是平行四边形.故正确.

B、错误.当E是BC中点时，无法证明NACD=90°,故错误.

C、正确.B、E重合时，易证FA=FD,•••四边形AFDC是平行四边形，

二•四边形AFDC是菱形，

D、正确.当四边相等时，NAFD=60。，NFAC=120。，.・・四边形AFDC不可能是正方形.

故选：B.

【点评】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定.正方形的判定等知识，解题

的关键是熟练掌握特殊四边形的判定方法，属于中考常考题型.

‘2x+a<3(x+l)

)

9.若不等式组.*..>:+2的解集为x>3,则a的取值是(

J>-T

A.a<6B.a>6C.a<6D.a<0

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大结合不等式组的解集即可确定

a的范围.

【解答】解：解不等式2x+a<3(x+1)得：x>a-3,

解不等式工>史2,得：x>3,

35

•.不等式组的解集为x>3,

.,.a-3<3,

解得:a<6,

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故选：A.

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知"同大

取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到"的原则是解答此题的关键

10.如图，点A、B的坐标分别为(0,2)、(2,0),OC的圆心坐标为(-1,0),半

径为1,若点D为。。上的一个动点，线段DB与y轴交于点E,则3BE面积的最小值为

()

A.1B.2C.2-返D.4-亚

【分析】由于OA的长为定值，若3BE的面积最小，则BE的长最短，此时AD与。。相切；

可连接CD,在RfADC中，由勾股定理求得AD的长，由AAEOSAACD,求出OE的长

即可解决问题；

【解答】解：若AABE的面积最小，则AD与。C相切，连接CD,则CD±AD;

RbACD中,CD=1,AC=0C+0A=3;

由勾股定理，得：AD=2道;

•.zAOE=zADC,zOAE=zDAC,

.,.△AOE^^ADC,

.-.pE=AO,

CDAD

•-0E=2,

1272

0E=返,

2

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，BE=2-返，

2

・•.△ABE的面积的最小值=J_・BE・A0=2-返,

22

故选：C.

【点评】此题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质、三角形面积的求法等知识；能够正

确的判断出ABE面积最小时AD与OC的位置关系是解答此题的关键.

11.已知二次函数y=ax2+bx+c(a/0)的图象如图所示，下列结论：①抛物线的对称轴为

x=-1;@abc=O;③方程ax2+bx+c+l=0有两个不相等的实数根；④无论x取何值，

ax2+bx<a-b.其中，正确的个数为()

A.4B.3C.2D.1

【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与v轴的交点判断c的符号，然后根据

对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【解答】解：•.抛物线与x轴的交点坐标为(-2,0),(0,0),

・•・对称轴为x=z2+0.=-1,故①正确；

2

,••抛物线开口向下，a<0,抛物线与原点相交，c=0,

.'.abc=0,故②正确；

1.c=0,

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;上2-4a（c+1）=b2-4a>0,故③正确;

当x=-1时，抛物线有最大值，

，无论x取何值,ax2+bx+c<a-b+c,

即ax2+bx<a-b,故④正确.

正确的为①②③④，

故选：A.

【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由

抛物线开口方向、对称轴和、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定是解题

的关键.

12.如图，已知边长为4的正方形ABCD,E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结

AE，作EF±AE交正方形的外角NDCG的平分线于点F,设BE=x,VCF的面积为y,下

列图象中，能大致表示y与x的函数关系的是（）

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【分析】过F作FG_LBC于G,求出FG=CG,求出ABAES^GEF,得出胆=型，求出FG=x,

EGFG

代入y=LxCExFG求出解析式，根据解析式确定图象即可.

2

【解答】解：过F作FG^BC于G,

•・四边形ABCD是正方形，

.-.zDCG=90°,

•・CF平分NDCG,

.-.zFCG=lzDCG=45°,

2

•.zG=90°,

.-.zGCF=zCFG=45°,

.-.FG=CG,

,・四边形ABCDME方形，EF_LAE,

.-.zB=zG=zAEF=90°,

.-.zBAE+zAEB=90°,zAEB+zFEG=90°,

.-.zBAE=zFEG,

<.zB=zG=90°,

.,.△BAE-AGEF,

.-.AB=BE,

EGFG

；BE=x,

.-.EG=BC-BE+CG=4-x+FG,

4=x,

4-x+FGFG

解得：FG=x,

，y=_LxCExFG=Lx(4-x)«x,

22

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即：y=2x-1_X2,

2

故选：C.

【点评】本题考查了动点问题的函数图象、正方形性质、角平分线定义、三角形面积的计算、

相似三角形的性质和判定的应用等知识，能用x的代数式把CE和FG的值表示出来是解决

问题的关键.

二.39(共6小胭)

13.分解因式(xy-1)2-(x+y-2xy)(2-x-y)=(y-l)2(x-l)2.

【分析】式中x+y;xy多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点，设x+y=a,xy=b,将

a、b代入原式，进行因式分解，然后再将x+y、xy代入进行因式分解.

【解答】解:令x+y=a,xy=b,

则(xy-1)2-(x+y-2xy)(2-x-y)

=(b-1)2-(a-2b)(2-a)

=b2-2b+l+a2-2a-2ab+4b

=(a2-2ab+b2)+2b-2a+l

=(b-a)2+2(b-a)+1

=(b-a+1)2;

即原式=(xy-x-y+l)2=[x(y-l)-(y-1)]2=[(y-1)(x-1)]2=(y-1)2(x-

1)2.

故答案为:(y-l)2(x-l)2.

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【点评】本题考查了多项式的因式分解，因式分解要根据所给多项式的特点，选择适当的方法,

对所给多项式进行变形，套用公式，最后看结果是否符合要求.

14.如图是按以下步骤作图：(1)在AABC中，分别以点B,C为圆心,大于LBC长为半径

2

作弧，两弧相交于点M,N;(2)作直线MN交AB于点D;(3)连接CD，若NBCA=90°,

AB=4,则CD的长为2.

【分析】利用基本作图可判断MN垂直平分BC,根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC,

再证明DA=DC,从而彳导至UCD=1AB=2.

2

【解答】解：由作法得MN垂直平分BC,

.-.DB=DC,

.,.zB=zBCD,

■.zB+zA=90°,zBCD+zACD=90°,

.,.zACD=zA,

.-.DA=DC,

.-.CD=1AB=1X4=2.

22

故答案为2.

【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个

角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂

线).

15.关于x的一元二次方程X2-2kx+k2-k=0的两个实数根分别是X］、x2,且X12+X22=4,

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则X12-XF2+X22的值是4.

【分析】根据根与系数的关系结合X]+X2=X]・X2可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出

k的值，再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元二次不等式，解之即

可得出k的取值范围，从而可确定k的值.

【解答】解：-.的两个实数根分别是、

X2-2kx+k2-k=0X]x2,

.,.x1+x2=2k,x1«x2=k2-k,

•••X12+X22=4,

一(X]+X2)2-2X]X2"1

(2k)2-2(k2-k)=4,

2k2+2k-4=0,

k2+k-2=0,

k=-2或1,

・・△

•=(-2k)2-4xlx(k2-k)>0,

k>0,

.,.k=l,

,

..x1«x2=k2-k=0,

.,.X12-X1X2+X22=4-0=4.

故答案为：4.

【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握"当一元二次方程有实数根时,

根的判别式是解题的关键.

16.如图，AAOB,ABIIx轴，OB=2,点B在反比例函数y=k±,将3OB绕点B逆时针旋

x

转，当点。的对应点0'落在x轴的正半轴上时，AB的对应边A,B恰好经过点。，则k的

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【分析】先求得△BOO'是等边三角形，即可求得B的坐标，然后根据待定系数法即可求得双

曲线的解析式；

【解答】解：（l）；ABllx轴，

.•.zABO=zBOO',

•.zABO=zA,BO/,

.­.zBOO=zOBO',

.1.00'=0'B,

•.OB=BO',

.•.△B。。'是等边三角形，

.•.zBOO'=60°,

-/0B=2,

.••双曲线y=k经过点B,

x

.•.k=lx^=,y2,

故答案为C-

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，等边三角形的判定和性质,

待定系数法求反比例函数的解析式等，求得△B00'是等边三角形是解题的关键.

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17.如图，动点P从（0,2）出发，沿所示的方向在矩形网格中运动，每当碰到矩形的边时

反弹，反弹时反射角等于入射角，若第一次碰到矩形的边时坐标为P]（2,0）,则P2017

的坐标为（2,0）.

【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用

2017除以6,根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可.

【解答】解：如图,

经过6次反弹后动点回到出发点（0,2）,

•.■20174-6=336...1,

二•当点P第2017次碰到矩形的边时为第336个循环组的第1次反弹，

点P的坐标为（2,0）.

故答案为：（2,0）.

【点评】此题考查了对点的坐标的规律变化的认识，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环

组依次循环是解题的关键.

18.如图，MN为O。的直径，四边形ABCD,CEFG均为正方形，若OM=2«,则EF的

长为2

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【分析】连接OD、OF,作。H_LAD于H，如图利用垂径定理得至！JAH=DH，再证明0c=^AD,

2

设正方形ABCD的边长为x,利用勾股定彗X2+X2=（2加）2,解得x=4（x=-4舍去），

然后设正方形CEFG的边长为a,在RfOFG中利用勾股定理得到a2+（2+a）2=（2在）

2,于是解关于a的方程即可.

【解答】解：连接OD、OF,作。H1.AD于H,如图，则AH=DH,

,・四边形ABCD为正方形，

，四边形OCDH为矩形，

.-.OC=1AD,

2

设正方形ABCD的边长为x,

在RfOCD中，・.0D=2y,,OC=lx,CD=x,

.,-1X2+X2=（2加）2,解得x=4（x=-4舍去），

设正方形CEFG的边长为a,贝！］FG=a,0G=2+a,

在RFOFG中，a2+（2+a）2=（2不）2,解得a=2,

即EF=2.

【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考

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查了正方形的性质和勾股定理.

三.解答题(共7小ES)

3(x+y)+2(x-y)=10

19•解方程组：x+yX^_7.

4+2而

【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可.

【解答】解：方程组整理得：［5x+y=10Q,

3x~y=14②

①+②得：8x=24,

解得：x=3,

把x=3代入②得：y=-5,

则方程组的解为〕x=3.

ly=-5

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加

减消元法.

20.有甲、乙、丙三种糖果混合而成的什锦糖100千克，其中各种糖果的单价和数量如下表

所示，商家用加权平均数来确定什锦糖的单价.

甲种糖果乙种糖果丙种糖果

单价(元/千克)152025

千克(千克)304030

(1)该什锦糖的单价为20元/千克.

(2)为了使什锦糖的单价每千克至少降低2元，商家计划在什锦糖中再加入甲、乙两种糖果

共100千克，则最少需要加入甲种糖果多少千克？

【分析】(1)根据单价:三种糖果的总价+三种糖果的总质量，由此即可得出结论；

(2)设需加入甲种糖果x千克，则加入乙种糖果(100-x)千克，根据单价=总价+数量结

复习资料

合单价不超过18元/千克，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范

围，取其内的最小值即可.

【解答】解：（1）（15x30+20x40+25x30）+（30+40+30）=20（元/千克）.

故答案为：20.

（2）设需加入甲种糖果x千克，则加入乙种糖果（100-x）千克，

根据题意得：15X+20（100-X）+20X100W20-2,

200

解得:x>80.

答：最少需要加入甲种糖果80千克.

【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及加权平均数，解题的关键是：（1）根据单价

=三种糖果的总价+三种糖果的总质量列式计算；（2）根据单价=总价+数量结合单价不超

过18元/千克，列出关于x的一元一次不等式.

21.某企业计划购买甲、乙两种学习用品800件，资助某贫困山区希望小学，已知每件甲种

学习用品的价格比每件乙种学习用品的价格贵10元，用400元购买甲种学习用品的件数

恰好与用320元购买乙种学习用品的件数相同.

（1）求甲、乙两种学习用品的价格各是多少元？

（2）若该希望小学需要乙种学习用品的数量是甲种学习用品数量的3倍，按照此比例购买这

800件学习用品所需的资金为多少元?

【分析】（1）设甲种学习用品的价格是x元，则乙种学习用品的价格是（x-10）元，根据

数量=总价+单价结合用400元购买甲种学习用品的件数恰好与用320元购买乙种学习用

品的件数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）根据总价=单价x数量列式计算，即可得出结论.

【解答】解：（1）设甲种学习用品的价格是x元，则乙种学习用品的价格是（x-10）元,

复习资料

根据题意得：400=J20_,

xx-10

解得：x=50,

经检验，x=50是原分式方程的解,

.'.X-10=40.

答：甲种学习用品的价格是50元，乙种学习用品的价格是40元.

(2)50x1x800+40x3x800=34000(亓).

1+31+3

答：按照此比例购买这800件学习用品所需的资金为34000元.

【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：(1)根据数量=总价+单价，列出关于

x的分式方程；(2)根据总价=单价x数量列式计算.

22.如图①，AE是。。的直径，点C是。。上的点，连结AC并延长AC至点D，使CD=CA,

连结ED交。。于点B.

(1)求证：点C是劣弧初中点;

(2)如图②，连结EC,若AE=2AC=4,求阴影部分的面积.

【分析】(1)连接CE,由AE是。。的直径，得到CE±AD，根据等腰三角形的性质得到N

AEC=NDEC,于是得到结论；

(2)连接BC,OB,OC,由已知条件得到MED是等边三角形，得至！kA=60°,推出AEllBC,

NBOC=60。，于是得到结论.

复习资料

【解答】解：(1)连接CE,

.「AE是的直径，

.-.CE±AD,

••-AC=CD,

.-.AE=ED,

.-.zAEC=zDEC,

-'-BC=AC；

・••点C是劣弧俞的中点；

(2)连接BC,OB,OC,

•.AE=2AC=4,

.-.zAEC=30°,AE=AD,

.1.zAED=60°,

」.△AED是等边三角形，

・•.NA=60°,

'-'BC=AC,

•■-BE=BC=AC,

.-.AEllBC,zBOC=60°,

-q

*△OBC△EBC'

60•兀X22

•・S二s扇形二=,2兀

阴影

360~~3

复习资料

【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定，扇形的面积的计

算，正确的作出辅助线是解题的关键.

23.问题探究

(1如图①，已知正方形ABCD的边长为4点M和N分别是边BC、CD上两点且BM=CN,

连接AM和BN,交于点P.猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论.

(2)如图②,已知正方形ABCD的边长为4.点M和N分别从点B、C同时出发，以相同

的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动.连接AM和BN,交于点P,求^APB局长的

最大值；

问题解决

(3)如图③，AC为边长为2b的菱形ABCD的对角线，NABC=60。.点M和N分别从点

B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CA向终点C和A运动.连接AM和BN，交于点P.求

△APB周长的最大值.

【分析】(1)结论：AM±BN.只要证明AABM34BCN即可解决问题；

复习资料

(2)如图②中，以AB为斜边向外作等腰直角三角形AAEB,zAEB=90°,作EF^PA于E,

作EG^PB于G,连接EP.首先证明PA+PB=2EF,求出EF的最大值即可解决问题；

(3)如图③中，延长DA至！JK，使得AK=AB，则^ABK是等边三角形，连接PK，取PH=PB.首

先证明PA+PB=PK,求出PK的最大值即可解决问题；

【解答】解：(1)结论：AM_LBN.

••,四边形ABCD是正方形，

••.AB=BC,zABM=zBCN=90°,

•.BM=CN,

.-.zBAM=zCBN,

■.zCBN+zABN=90°,

.-.zABN+zBAM=90°,

.-.zAPB=90°,

.-.AM±BN.

(2)如图②中，以AB为斜边向外作等腰直角三角形SEB,NAEB=90°,作EDPA于E,

作EGJ_PB于G,连接EP.

复习资料

•.zEFP=zFPG=zG=90o,

••・四边形EFPG是矩形，

.-.zFEG=zAEB=90°,

.-.zAEF=zBEG,

<.EA=EB,zEFA=zG=90°,

..△AEF乎BEG,

・•.EF=EG,AF=BG,

二•四边形EFPG是正方形，

・•.PA+PB=PF+AF+PG-BG=2PF=2EF,

•.EF<AE,

・・•EF的最大值=庆£=2后，

.“APB周长的最大值=4+4,用.

(3)如图③中，延长DA到K，使得AK=AB,则4ABK是等边三角形，连接PK,取PH=PB.

复习资料

■.AB=BC,zABM=zBCN,BM=CN,

」.△ABM"BCN,

.-.zBAM=zCBN,

.-.zAPN=zBAM+zABP=zCBN+zABN=60°,

.-.zAPB=120°,

•.zAKB=60°,

.-.zAKB+zAPB=180°,

.AK、B、P四点共圆,

.-.zBPH=zKAB=60°,

•.PH=PB,

・•.△PBH是等边三角形，

.1.zKBA=zHBP,BH=BP,

.-.zKBH=zABP,1.BK=BA,

」.△KBH率ABP,

.1.HK=AP,

.-.PA+PB=KH+PH=PK,

••.PK的值最大时，MPB的周长最大，

・•・当PK是3BK外接圆的直径时，PK的值最大，最大值为4,

・•.△PAB的周长最大值=2次+4.

【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、

全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全

等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题.

复习资料

24.如图，BC是路边坡角为30°,长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一

探射灯射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角NDAN和NDBN分别是37°

和60。（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CMIIAN）.

（1）求灯杆CD的高度；

（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）.（参考数据：73=1.73.sin37ro.60,cos37°

【分析】（1）延长D