专题08 探索与表达规律(解析版)

专题08探索与表达规律考点一数字类规律探索考点二图形类规律探索考点一数字类规律探索例题：（2022·新疆·和硕县第二中学七年级期末）若＝2，＝4，＝8，＝16，＝32…，则的末位数字是（）A．2 B．4 C．8 D．6【答案】B【分析】根据所给数据发现他们的个位数字以2、4、8、6为一个循环组，依次循环，然后计算即可．【详解】解：由＝2，＝4，＝8，＝16，＝32，…，可知他们的个位数字以2、4、8、6为一个循环组，依次循环，∵2022÷4＝505……2，∴的末位数字与的末位数字相同，∴的末位数字是4，故选：B．【点睛】本题考查了数字类规律探索，观察所给数据得出末位数字的变化规律是解题的关键．【变式训练】1．（2022·江苏扬州·八年级期末）若（且），，，……，，则等于（

）A．x B． C． D．【答案】D【分析】分别求出，，，，根据求出的结果得出每三个数就循环一次，再根据得出的规律进行求解．【详解】解：，，，，该数列每三个数就循环一次，，，故选：D．【点睛】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是能根据求出的结果得出规律，再利用规律求解．2．（2021·新疆·昌吉市第二中学七年级期中）观察下面一列数：1，，，，，……，按照这个规律，第10个数应该是________．【答案】【分析】观察可得除第一项外，其余项满足：奇数项为正，偶数项为负，第n个数的分母为，分子比分母小1，由此得出规律即可求解．【详解】解：观察可得，当n＞1时，第n个数为，则第10个数为：，故答案为：．【点睛】本题考查数字类规律探索，解题的关键是根据题目的变化规律得到相应的结果．考点二图形类规律探索例题：（2022·海南·海口中学七年级期末）将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）．继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折两次后，可以得到3条折痕，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折6次可以得到______条折痕，对折n次可以得到______条折痕．【答案】

63

【分析】对前三次对折分析不难发现每对折1次把纸分成的部分是上一次的2倍，折痕比所分成的部分数少1，再根据对折规律求出对折n次得到的部分数，然后减1即可得到折痕条数，据此求解即可．【详解】解：第一次对折后折痕的条数为，第二次对折后折痕的条数为，第三次对折后折痕的条数为，……第次对折后折痕的条数为，当n=6时，，故答案为：①63；②．【点睛】本题是对图形变化规律的考查，观察得到对折得到的部分数与折痕的关系是解题的关键．【变式训练】1．（2022·山东青岛·七年级期末）如图1，将一个边长为2的正三角形的三条边平分，连接各边中点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下：共有1+2+3=6个结点．如图2，将一个边长为3的正三角形的三条边三等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数是从上往下：共有1+2+3+4=10个结点．……按照上面的方式，将一个边长为2022的正三角形的三条边2022等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下共有________个结点（填写最终个结点）【答案】2047276【分析】根据规律可知结点个数为1+2+3+4+……+n个，为三角形边长数加1，据此即可求解．【详解】解：将一个正三角形的三条边平分，该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下：共有1+2+3==6个结点，将一个正三角形的三条边三等分，该三角形被剖分的网格中的结点个数是从上往下：共有1+2+3+4==10个结点，……将一个正三角形的三条边等分，该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下共有个结点，：将一个正三角形的三条边2022等分，该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下共有：1+2+3+…+2023==2047276个结点，故答案为：2047276．【点睛】本题考查的是图形的变化规律，根据图形的变化正确总结出规律是解题的关键．2．（2022·河南·郑州市第五十七中学七年级期末）下图是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律完成此题图形标号第一个第二个第三个第四个涂有阴影的小正方形的个数5a13b(1)a＝_____，

b＝_____；(2)按照这种规律继续下去，则第n个图形中涂有阴影的小正方形的个数为___________；（用含n的代数式来表示）(3)按照这种规律继续下去，用（2）中的代数式求第2022个图形中涂有阴影的小正方形的个数．【答案】(1)9；17(2)4n+1(3)8089根【分析】（1）观察图形规律，可知第1个小正方形阴影有5个，第2个小正方形阴影有5+4=9个，第3个小正方形阴影有5+4×2=13个，以此类推，可知第4个为5+4×3=17个；（2）第n个为5+4（n-1）=；（3）将代入即可．（1）第2个小正方形阴影有5+4=9个；第4个小正方形阴影有5+4×3=17个故答案为：9，17；（2）观察图形规律，可知：第1个小正方形阴影有5个，第2个小正方形阴影有5+4=9个，第3个小正方形阴影有5+4×2=13个，以此类推，第n个为5+4（n-1）=；故答案为：；（3）将代入中得：即第2022个图形需要的火柴棒根数为8089根．【点睛】本题是图形的规律探究题，找到题目中的规律，并用代数式把规律表示出来是解决本题的关键．一、选择题1．（2022·浙江丽水·七年级期中）根据以上式子的变化规律，则的末位数字是(

)A．1 B．3 C．7 D．9【答案】B【分析】根据题意，找到7的乘方的末尾数字以7、9、3、1四个数字依次不断循环出现，用2015除以4，余数是几，就和第几个数字相同，由此解决问题即可．【详解】解：由题意可知，7的乘方的末尾数字以7、9、3、1四个数字依次不断循环出现，∵2015÷4=503…3，∴72012的末位数字和73的末位数字相同是3．故选：B．【点睛】此题考查幂的末尾数字规律，根据7的乘方，找出末尾数字的规律是解决此题的关键．2．（2022·山东烟台·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，……，第n个单项式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先观察系数与指数的规律，再根据规律定出第n个单项式即可．【详解】解：∵，，，，，……，∴系数是奇数项为-1，偶数项为1，即系数的规律是(-1)n-1,指数的规律为2n+1，∴第n个单项式为，故选：B．【点睛】本题考查数式的变化规律，通过观察单项式的系数和指数，找到它们的规律是解题的关键．3．（2022·江苏扬州·七年级期末）将一个按红黄绿蓝紫的顺序依次循环排列的纸环链，截去中间的一部分后，剩下的部分如图所示，则被截去的中间一部分的纸环总数数可能是（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】D【分析】该纸链是5的倍数，剩下部分有12个，12=5×2+2，所以中间截去的是3+5n，从选项中数减3为5的倍数即得到答案．【详解】解：由题意，可知中间截去的是5n+3（n为正整数），当5n+3=2020，解得n=，选项A不符合题意，当5n+3=2021时，n=，选项B不符合题意，

当5n+3=2022时，n=，选项C不符合题意，当5n+3=2023时，n=404，选项D符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了图形的变化规律，从整体是5个不同颜色环的整数倍数，截去部分去3后为5的倍数，从而得到答案．4．（2022·山东济南·七年级期末）将正整数按如图所示的规律排列，若用有序数对（a，b）表示第a行，从左至右第b个数，例如（4，3）表示的数是9，则（15，10）表示的数是（

）A．115 B．114 C．113 D．112【答案】A【分析】观察图形可知，每一行的第一个数字都等于前面数字的个数再加1，即可得出（15，1）表示的数，然后得出（15，10）表示的数即可．【详解】解：因为（1，1）表示的数是：1，（2，1）表示的数是：1+1=2，（3，1）表示的数是：1+1+2=4，（4，1）表示的数是：1+1+2+3=7，（5，1）表示的数是：1+1+2+3+4=11，……所以（a，1）表示的数是：，所以（15，1）表示的数是：，所以（15，10）表示的数是：106+10-1=115，故选A．【点睛】本题考查了找图形和数字规律，从题目分析发现每一行的第一个数字都等于前面数字的个数再加1是本题的关键．5．（2022·甘肃·永昌县第六中学七年级期末）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，第1个图形有6颗棋子，第2个图形有9颗棋子，第3个图形有12颗棋子，第4个图形有15颗棋子……，以此类推，第（

）个图形有2022颗棋子．A．672 B．673 C．674 D．675【答案】B【分析】观察图形，根据给定图形中棋子颗数的变化，找出变化规律：第n个图形有（3n＋3）颗棋子，然后计算即可．【详解】解：观察图形，可知：第1个图形有6＝3×2颗棋子，第2个图形有9＝3×3颗棋子，第3个图形有12＝3×4颗棋子，第4个图形有15＝3×5颗棋子，……，∴第n个图形有3×（n＋1）＝（3n＋3）颗棋子，当3n＋3＝2022时，解得：n＝673，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据给定图形中棋子颗数的变化情况，找出变化规律是解题的关键．二、填空题6．（2021·四川·荣县一中七年级阶段练习）观察这些数的规律，3，-8，15，-24，35，…则第10个数是______．【答案】【分析】不难发现每个数的绝对值都是从开始的自然数的平方减，且第奇数个数是正数，第偶数个数是负数，由此即可解答．【详解】解：；；；；；第个数是，故答案为：【点睛】此题考查了数字变化的规律，根据数字变化的正负性确定数字变化的规律是解题的关键．7．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校阶段练习）用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第10个图形需棋子___________枚．【答案】31【分析】第个图中，黑色棋子个数为4；第个图中，黑色棋子个数为；第个图中，黑色棋子个数为；得出规律，进而求解出第10个图中，黑色棋子个数．【详解】解：第个图中，黑色棋子个数为4；第个图中，黑色棋子个数为；第个图中，黑色棋子个数为；得出规律为第个图中，黑色棋子个数为；当时，黑色棋子个数为故答案为：．【点睛】本题主要考察了总结规律．解题的关键在于是否能够根据数据的特征推导出规律．8．（2022·湖南永州·八年级期中）如图，每一幅图中均含有若干个正方形．第①幅图中含有1个正方形；第②幅图中含有5个正方形；第③幅图中含有14个正方形…按这样的规律下去，则第⑦幅图中含有______个正方形．【答案】140【分析】观察图形发现第一个有1个正方形，第二个有1+4=5个正方形，第三个有1+4+9=14个正方形，…第n个有：1+22+32+…+n2个正方形，从而得到答案．【详解】解：观察图形发现第一个有1个正方形，第二个有1+4=5个正方形，第三个有1+4+9=14个正方形，…∴第n个有：（1+22+32+…+n2）个正方形，则第7个有1+4+9+16+25+36+49=140个正方形，故答案为：140．【点睛】此题考查了图形的变化规律，解题的关键是仔细观察图形并找到规律，利用规律解决问题．9．（2022·山东威海·期末）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆周上4等分点处分别标上数字0、1、2、3，让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，将该圆沿着数轴的负方向滚动，则数轴上表示数的点对应圆周上的数字是__________．【答案】3【分析】由于圆的周长为4个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以4，如果余数分别是0，1，2，3，则分别与圆周上表示数字0，3，2，1的点重合．【详解】解：∵-1-（-2022）=2021，2021÷4=505…1，∴数轴上表示数-2022的点与圆周上的数字3重合，故答案为：3．【点睛】本题找到表示数-2022的点与圆周上起点处表示的数字重合，是解题的关键．10．（2022·广西南宁·七年级期末）如图，将一个正方形，第1次向右平移一下，平移的距离等于对角线长的一半，即其中一个正方形的顶点与另一个正方形的中心重合，并把重叠部分涂上颜色；第2次向右平移连续平移两次，每次平移的距离与第一次平移的距离相同，并且每平移一次把重叠部分涂上颜色，……，则第2022次平移后所得到的图案中所有正方形的个数是______．【答案】8087【分析】根据平移的性质和图示总结出规律，得出第n次平移后所得的图案中正方形的个数，再将次数代入即可求出答案．【详解】第一次平移形成3个正方形，；第二次平移形成7个正方形，；第三次平移形成11个正方形，；即第n次平移后可得到的正方形个数为，；将代入可得，，故答案为8087．【点睛】本题考查了平移的性质和规律的推算，根据前三次平移情况总结出规律，得出第n次平移后所得的图案中正方形的个数为本题的关键．三、解答题11．（2022·广西梧州·七年级期中）已知下列等式：①；②；③，…(1)请仔细观察前三个式子的规律，写出第④个式子：______________；(2)请你找出规律，写出第n个式子__________________．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题中所给等式的特点，可以写出第④的式子，（2）根据题中所给等式的特点，可以写出第n个式子，【详解】解：（1）①22−12=3；②32−22=5；③42−32=7，∴第④个式子：，故答案为：52-42=9（2）①22−12=（1+1）2-12=2×1+1=3，②32−22=（2+1）2-22=2×2+1=5，③42−32=（3+1）2-32=2×3+1=7，……∴第n个式子：．故答案为：（n+1）2-n2=2n+1【点睛】本题考查了数字的变化，解答本题的关键是明确题意，发现式子变化的特点，即可求解．12．（2022·浙江台州·七年级期末）观察下面三行数：，4，，16，，64，…；①0，6，，18，，66，…；②，2，，8，，32，…；③(1)第①行第8个数为______；第②行第8个数为______；第③行第8个数为______．(2)是否存在这样一列数，使三个数的和为322？若存在，请写出这3个数；若不存在，请说明理由．【答案】(1)256，258，128；(2)不存在，理由见解析【分析】（1）①后一个数是前一个数的−2倍，②的数的规律是在①每个对应数加2，③后一个数是前一个数的−2倍，由此可求解；（2）通过观察可得规律：①的第n个数是（−2）n，②的第n个数是（−2）n＋2，③的第n个数是（−1）n2n−1，再由（−2）n＋（−2）n＋2＋（−1）n×2n−1＝322，求n即可．(1)解：（1）−2，4，−8，16，−32，64，…，第n个数为（-2）n，当n=8时，（-2）8=256，∴第8个数是256，②的数的规律是在①每个对应数加2∴②的第8个数是256＋2＝258，③的第n个数为（−1）n2n−1，当n=8时，（−1）8×27=27=128，∴③的第8个数是128，故答案为：256，258，128；(2)不存在一列数，使三个数的和为322，理由如下：①的第n个数是（−2）n，②的第n个数是（−2）n＋2，③的第n个数是（−1）n2n−1，由题意得，（−2）n＋（−2）n＋2＋（−1）n×2n−1＝322，设n为偶数，∴4×2n−1＋2n−1＝5×2n−1＝320，∴2n−1＝64，∴n＝7，与n为偶数互相矛盾，设n为奇数，∴-4×2n−1-2n−1＝-5×2n−1＝320，此方程无解，∴不存在一列数，使三个数的和为322．【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的式子，找到式子中各数间的规律是解题的关键．13．（2022·河南·郑州市第五十七中学七年级期末）下图是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律完成此题图形标号第一个第二个第三个第四个涂有阴影的小正方形的个数5a13b(1)a＝_____，

b＝_____；(2)按照这种规律继续下去，则第n个图形中涂有阴影的小正方形的个数为___________；（用含n的代数式来表示）(3)按照这种规律继续下去，用（2）中的代数式求第2022个图形中涂有阴影的小正方形的个数．【答案】(1)9；17(2)4n+1(3)8089根【分析】（1）观察图形规律，可知第1个小正方形阴影有5个，第2个小正方形阴影有5+4=9个，第3个小正方形阴影有5+4×2=13个，以此类推，可知第4个为5+4×3=17个；（2）第n个为5+4（n-1）=；（3）将代入即可．（1）第2个小正方形阴影有5+4=9个；第4个小正方形阴影有5+4×3=17个故答案为：9，17；（2）观察图形规律，可知：第1个小正方形阴影有5个，第2个小正方形阴影有5+4=9个，第3个小正方形阴影有5+4×2=13个，以此类推，第n个为5+4（n-1）=；故答案为：；（3）将代入中得：即第2022个图形需要的火柴棒根数为8089根．【点睛】本题是图形的规律探究题，找到题目中的规律，并用代数式把规律表示出来是解决本题的关键．14．（2022·陕西西安·七年级期末）将边长相等的黑、白两色小正方形按如图所示的方式拼接起来，第1个图由5个白色小小正方形和1个黑色小正方形拼接起来，第2个图由8个白色小正方形和2个黑色小正方形拼接起来，第3个图由11个白色小正方形和3个黑色小正方形拼接起来，依此规律拼接．(1)第4个图白色小正方形的个数为__；(2)第10个图白色小正方形的个数为___；(3)第n个图白色小正方形的个数为（用含n的代数式表示，结果应化简）；(4)是否存在某个图形，其白色小正方形的个数为2021个，若存在，求出是第几个图形；若不存在，请说明理由．【答案】(1)14(2)32(3)(4)存在，第673个【分析】（1）由图可知，第一个图形由5个白色小正方形，第二个图形由8个，第三个图形由11个，往后每个图形依次增加3个，第四个图形在第三个图形的基础上增加3个即可；（2）根据（1）中观察得到的结论“往后每个图形依次增加3个白色小正方形”，则第十个应该在第一个的基础上增加9×3个；（3）第一个：5=2+3，第二个：8=2+3×2，第三个：11=2+3×3，则第n个应该在2的基础上增加3n个；（4）设第n个图白色小正方形的个数为2021，将2021代入（3）中的代数式，求出n，若n为整数，则存在，否则，不存在．（1）11+3=14（个），故答案为：14（2）5+3×9=32（个），则答案为：32（3）第一个：5=2+3，第二个：8=2+3×2，第三个：11=2+3×3，则地n个：2+3n，故答案为：2+3n（4）设第n个图白色小正方形的个数为2021则解得所以第673个图白色小正方形的个数为2021【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，根据题目给出的图形找出其中的变化规律是解题的关键．15．（2022·安徽合肥·七年级期末）如图，是一幅平面镶嵌图案，它由相同的黑色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案，当正方形只有一个时，等边三角形有个（如图）；当正方形有个时，等边三角形有个（如图）；以此类推(1)若图案中每增加个正方形，则等边三角形增加______个；(2)若图案中有个正方形，则等边三角形有______个．(3)现有个等边三角形，如按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少，则需要正方形多少个？【答案】(1)(2)(3)个【分析】（1）观察第个图案可知：中间的一个正方形对应个等边三角形，第个图案可知增加一个正方形，变成了个等边三角形，增加了个等边三角形；（2）观察第个图案，有个等边三角形；第个图案，有个等边三角形；，依次计算可解答；（3）由（2）中的规律可知：用所得的余数是，则等边三角形剩余最少块，列式，解出即