2024年九年级中考数学复习-二次函数之面积最值问题（解析版）

二次函数之面积最值问题

题目［（2023秋•庐阳区校级月考）如图，已知:抛物线y=—《a;?+近+0经过点4（0,2）点（7（4,0）,且交0

轴于另一点B.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线上方的抛物线上有一点/■，求△ACM面积的最大值及此时点M■的坐标；

（3）加■点坐标为（2）中的坐标，若抛物线的图象上存在点P,使△ACP的面积等于△4W面积的一半，则P

点的坐标为(2+前，石屋)或(2—0，上浮)或(2+2,或(2

八

yy

/BO\C^.*/BO\

/'备用图

【解答】解：⑴把4。，2)、(7(4,0)代入"=—^/+b/+c得：(c=2

[-4+4b+c=0'

解得2,

[c=2

/.抛物线的解析式为y=—巳/+《/+2;

42

⑵过河作轴交/。于K,如图：

yH

设“(山，一一]M2+]项+2),A4CM面积为S,

由4。，2)、。(4,0)得直线AC解析式为g=~YX+2，

/.K(m,-+2),

/.KM—(+2)—(-+2)=--^m2+m,/BO]

22

/.S=\xc—x^=^-X(一■1-m+m)X4=--^-m+2m==-y(m-2)2+2,

T＜。，

当m=2时，S取最大值2,

此时Af(2,2);y"

.♦.△ACM■面积的最大值是2,此时点M的坐标为(2,2);

(3)过P作尸N〃:y轴交AC于N,

设P(n,卜1'；71+2)，则N(n,―+2),

/B0

PN=(―^n2+yn+2)-(―yn+2)=-^n2+n\,

+2心图2

S^=-^-PN-\x—x\=}x|--^-n2+n\x4=一■^-n2

ACPcA•M

解得71—2+A/6或2—A/6或2+,x/2"或2--\/2.

/.P点的坐标为（2+V6,1%吗或（2—几，:或（2+方，3~^）或（2—四，个返）.

故答案为：（2+乃，上篝）或（2，-%或（2+0，当①）或已—方，法巫）•

题目区（2022秋・营山县校级期末）己知抛物线y=-x2+bx+c（b、c为常数），若此抛物线与某直线相交于A

（—1,0）,。（2,3）两点,与夕轴交于点N,其顶点为。.

（1）求抛物线的函数解析式和顶点D的坐标；

（2）若点P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）点H（n,t）为抛物线上的一个动点，H关于沙轴的对称点为乱,当点乱落在第二象限内，Ml取得最小

【解答】解:⑴将4—1,0),。(2,3)两点代入y=—/+W：+c,

.(—1—&+c=0

V—4+2b+c=3

b=2

解得

C3

：.y=-x2-\-2x-\-3,

*.*y——1？+2力+3——(T—1y+4,

(2)设4。的直线解析式为沙二妞+》,

.(-k-\-b=0

12k+b=3'

k=l

解得

b=1

过点P作PG〃g轴交力。于点G,

设P(t9-1+2(+3),则G(t,t+1),

/.PG——/+力+2,

S^=-yX3X(—t2+t+2)=-'(力―/y+等，

PAC•••

当力=［时，AP4c的面积最大值为名，

此时pg，?）；

（3）点H（n,t）为抛物线上的一个动点，点区与〃点关于“轴对称,

H^—n,t）,Hi在抛物线g=—x2—2x+3上，

t——TI—2n+3,

：.HJA2=（n+l）2+t2=t2-t+4=（t-9+号，

.•.当t=J时，耳/2有最小值，

1

1——TL9+271+3,

解得n=l+乎.

题目区（2023秋・靳春县期中）如图，抛物线y=（x+l）2+fc与2轴交于4B两点，与夕轴交于点。（0,—3）.

（1）求抛物线的对称轴及k的值；

（2）抛物线的对称轴上存在一点P,使得PA+PC的值最小,求此时点P的坐标；

（3）点河是抛物线上一动点，且在第三象限.

①当初点运动到何处时，△⑷WB的面积最大？求出4AMB的最大面积及此时点M的坐标；

【解答】解：（1）。・•抛物线g=（6+与/轴交于4、_B两点，与g轴交于点。（0,—3）,

—3=（。+l）2+fc,

解得：k=—4,

.,・抛物线的解析式为：（力+1）2-4,

故对称轴为：直线力=—1;

⑵存在.

如图，连接AC,交对称轴于点P,此时PA+PC的值最小,

当g=0,则0=（劣+1）2—4,

解得：◎=1,力2=—3,

由题意可得：4ANP〜丛AOC,

网&L=2L

AOCO，

故2=坦

攵33,

解得：PN=2,

则点P的坐标为：（一1,—2）;

⑶点河是抛物线上的一动点，且在第三象限，

故一3<cV0;

①如图，设点M'的坐标为:（企+1）2—4],

,/AB=4,

22

'''S^AMB=yx4x|（x+I）—4|=2]（c+I）—4|,

•.•点A/在第三象限，

S&AMB=8—2（a;+I）2,

当2=-1时，即点”的坐标为（-1,-4）时，AAMB的面积最大，最大值为8;

②设点河的坐标为：也3+1）2-4],

设直线47的解析式为：y=ac+d,

f—3a+d=0

将（一3,0）,（0,一3）代入得:td=—3

解得:「J.

[d=—3

故直线AC:y——x—3,

设点P的坐标为：(力，—X—3),

故PM——X-3—(2+1)2+4=—X2—3X=—(x+-1-)2+-j-

当x——时，PM最大，最大值为.

题目©（2023秋•江南区校级期中）如图，抛物线?/=遍_4网-12a与①轴交于A、B两点（点A点8点的

左边），与y轴交于点C.直线I与抛物线交于4、。两点，与夕轴交于点E,点D的坐标为（4,3）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P是抛物线上的点且在直线Z上方，连接P4、PD,求当APAD面积最大时点P的坐标及该面积的

最大值；

（3）若点Q是g轴上的点，且/4DQ=45°,求点Q的坐标.

备用图

【解答】解：(1)二。(4,3)在抛物线夕=a,2_4a/—：12a上，

3=16a—16a—12a,

解得。=一[,

抛物线的解析式为g=―巳/+/+3；

4

(2)当g=0时，0=―^x2-\-x+3,

解得/i=—2,g=6,

・・・4-2,0)、石(6,0);

如图1中，过点、P作PK//g轴交4D于点K.设-l*+nz+B),则K(m,+1).

•*S"AD=]•{XD-XA)*PK=3PK,

・・・PK的值最大值时，AF4D的面积最大，

11111xo9

•/PK=--m29+m+3——m—91=——-m2+--mz+2=--(m—1)2+-T-,

42424'4

=l时，PK的值最大，最大值为日，此时△PAD的面积的最大值为手，F(l,-j-).

(3)如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT,则T(-5,6),

图2

5

设。T交沙轴于点Q,则乙4DQ=45°,

•・•0（4,3）,

直线DT的解析式为夕=—42+圣，

OO

。（。,号），

作点T关于AD的对称点T，（l,一6）,

则直线。7的解析式为y=32一9,

设DQ'交"轴于点Q',则AADQ'=45°,

Q'（0,—9）,

综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0,学）或（0,-9）.

O

［题目回（2023秋•滨城区期中）如图，已知抛物线y=ax2+^-x+4的对称轴是直线，=3,且与，轴相交于

力、B两点（B点在力点的右侧），与沙轴交于。点.

（1）求A点、B点坐标；

（2）求直线的解析式；

（3）点P是直线上方的抛物线上的一动点（不与B、。重合）,是否存在点P,使4PBC的面积最大？若

存在,请求出AFBC的最大面积;若不存在,试说明理由.

3

—3,解得：a=­,

2a4

/.抛物线的解析式为y=―+4.

42

当g=0时，一］—+_|■力+4=0,

解得:宏产一2,劣2=8,

・・・点幺的坐标为（-2,0）,点石的坐标为（8,0）;

⑵当力=0时，。=4,

・••点C的坐标为（0,4）.

设直线BC的解析式为y=kx+b（kW0）.

8k―i—b-

{b=4

屹=工

解得：2,

Ib=4

直线BC的解析式为夕=—|■力+4;

（3）存在点P,使△PBC的面积最大,理由如下：

设点P的坐标为（①，一$2+5，+力，过点。作PD〃沙轴，交直线于点。，则点。的坐标为（①，-yZ

PD——-+4—(--+4)=----X2+2X,

4224

S^PBC=qPD・OB=x8"(—^-a;2+2a:)=—x2-h8x——(x—4)2+16.

v-l<0,

当c=4时，△PBC的面积最大，最大面积是16.

•/0<a;<8,

,存在点P,使△PBC的面积最大，最大面积是16.

［题目⑹（2023秋・福清市期中）如图，抛物线y=-x2-bx+c与2轴交于A（—4,0）,B两点，与沙轴交于点。

（0,—4）,作直线AC.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为线段AC上的一个动点,过点P作，轴的垂线交抛物线于点。，连接当四边形ADBP的

面积最大时.

①求证:四边形0cp。是平行四边形；

②连接AD,在抛物线上是否存在Q,使NADP=/DPQ,若存在求点Q的坐标;若不存在说明理由.

[c=—4

7

则抛物线的表达式为：y=—/—54一4①；

⑵①证明：由抛物线的表达式知，点石（一1,0）,则AB=3,

由点力.、（7的坐标得,直线AC的表达式为：y——x—4,

设点D（x,—4）,则点P[x,—x—4）,

则PD=—/—46,

四边形ADBP的面积=1xABxPD=yx3x（-J;2-4T）,

,•,号V0,故四边形ADBP的面积有最大值，

此时x=—2,

则点O、P的坐标分别为：（一2,2）、（一2,-2）;

由点P、D的坐标得:PD=4=CO,

则OCHPD,

则四边形OCPD是平行四边形；

②解：由点_4、P、。的坐标知，△4RD为等腰直角三角形，

则/ADP=45°,则直线的表达式为：y=±+4,

•/ZADP=ZDPQ,

则PQ〃皿

则直线PQ的表达式为：9=（2+2）—2=2②，

联立①②得：一丁—5劣—4=a;,

解得：力=—3+逐（不合题意的值已舍去），

则点Q的坐标为：（-3+-x/5,—3+J5）,

当点Q和点力重合时，也符合题意，

则点。（一4,0）,

综上，点Q的坐标为：（-3+,—3+或（一4,0）.

题目0（2023•临淄区一模）如图，抛物线^=+/_劣—4与力轴交于点A和昂与g轴交于点。.

⑴求A、B、C三点坐标；

（2）如图1,动点P从点A出发,在线段上以每秒1个单位长度向点B做匀速运动，同时，动点Q从点B

出发,在线段BC上以每秒0个单位长度向点。做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运

动，连接PQ,设运动时间为t秒，问P、Q两点运动多久后△PBQ的面积S最大，最大面积是多少？

（3）如图2,点D为抛物线上一动点，直线AO交v轴于点E,直线BD交g轴于点F,求%的值.

Ur

8

【解答】解：(1)令"=0,即有：-^-x2—x—4=0,

利用因式分解法，求得：/i=-2,g=4,

结合图形，可知4—2,0)、B(4,0),

令6=0,g=-x—x—4二-4,

则有。点坐标为：。(0,—4),

即结果为:A(-2,0)、B(4,0),C(0,-4);

(2)vA(-2,0),B(4,0),C(0,-4),

・・.AO=2、BO=4=CO,

••.△BOC是等腰直角三角形，4B=4O+BO=2+4=6,

BC=VOC2+BO2=^42+42=4V2,

过Q点作QN±AB于N点,如图，

根据运动的特点，可得：AP=£,BQ=V2t,

BP=6—力，

---AB=6,BC=4&

0<t<^-=4

♦.力的取值范围为：72

.•△BOC是等腰直角三角形,

•.Z05(7=45°,

：QN±AB,

\ZQNB=90°,

•.NNQB=NOBC=45°,

•.△QNB是等腰直角三角形，QN=BN,

：BQ=V2t,BQ=VBN2+NQ2,QN=BN,

\QN=BN=t,

...SAPBQ=yXBPXQN=1(6-t)t=9(t-3)2V

•・・0V力＜4,

.•.当t=3时，$步瓦2有最大值，最大值为今，

运动t=3秒时，S”有最大值，最大值为今；

12

(3)根据题意，设点。的坐标为：D(m,

设直线AD的解析式为：y=+b,

<_2k+b=0

,12

.km+b=-z-m-m-4

•,乙,

'b=m-4

<i_m-4

解得k=2,

二nr4

即直线AD的解析式为：y一厂xtm-4

-

_m4-.=-.

人„y—z-x+m4m4

.•.令c=0,2,

点坐标为：(0,m—4),

vC(O,-4),

.•.CE=|m-4+4|=|m|,

v=m+2x—2(m+2)

同理可求出直线BD的解析式为：y2XN'mz,

=m

.入nyQ2x-2(m+2)=-2(m+2)

・・・F点坐标为：(0,-2m-4),

vC(0,-4),

CF—|—2m—4+4|=|2m|,

根据题意可知：若m=0,则可知E、F、O、C四点重合，

此时不符合题意，故mW0,

CEmm1

/.CF-l2ml-21ml-2,

即值为

题目0(2023秋・包河区期中)如图，已知抛物线y=—/+2。+3与，轴交于点A,B两点，与g轴交于点C,

点P是BC上方抛物线上的一动点，作PM，/轴于点河，点河的横坐标为t(O<t<3),交BC于点D

(1)求A,B的坐标和直线BC的解析式；

(2)连接BP,求△CFB面积的最大值；

(3)已知点Q也在抛物线上，点Q的横坐标为1+2,作轴于点F,交BC于点E,若P,。，Q,E为

顶点的四边形为平行四边形，求1的值.

【解答】解：⑴令0=0,则―/+26+3=0,

解得力］=-1,62=3,

.\A(-l,0),B(3,0);

令力=0,则g=3,

AC(O,3),

设直线的解析式为g=fcr+b,

3%+b=0

把B(3,0),C(0,3)代入解析式得:

b=3

10

k=-l

解得

b=3

・・・直线石。的解析式为y=-x+3;

(2)・・,点河的横坐标为九点P在抛物线夕=一/+22+3上，。在直线g=—c+3,

P(t,—F+21+3),D(t,—t+3),

PD———/+2力3——(——t+3)———力?+2力+3+力——3—■——/+3力，

Ss=^PD-OB=1(-i2+3i)x3=一和2—3。=-1(i-5)2+戋，

当t=1■时，S^CPB有最大值,最大值为,

Zo

ACPB面积的最大值为当；

O

(3)①如图所示，当四边形POEQ为平行四边形时，

・・・PM_L1轴，Q斤_L力轴，

：.PD//EQ,

・・・四边形PDEQ为平行四边形，

/.PD=QE,

•・•点Q的横坐标为力+2,点Q在抛物线y=-X2-\-2X+3上，石在直线y=—x+3,

Q(t+2,—i?—2t+3),E(t+2,—t+1),

QE——力2—2t+3—(—t+1)——F—2t+3+力-1=—F—t+2,

——力2+3力———力2——t+2,

解得力=.；

②如图所示，当四边形POQE为平行四边形时，

同①得出QE=—t+1—(—力2—2t+3)=廿+力—2,

—1+30—力—2,

解得£尸石⑤，益="1,

0<t<3,

.1+V5

."一2'

综上所述，t或个迤.

题目叵(2023秋・鲤城区校级期中)如图,抛物线y=ax2-2ax+c的图象与2轴分别交于点4B,与沙轴交

于点。(0,3),且50=8.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点石在线段OB上,过点石作力轴的垂线交抛物线于点P,连接P4,若P4LCE,垂足为点F,求。石

的长；

(3)在(2)的条件下,直线AP上方的抛物线上是否存在一点Q,使四边形AQPB面积最大,若存在，求出点

Q坐标，若不存在，说明理由.

【解答】解：⑴•・・抛物线与0轴交于点。(0,3),

即力=0时，0=3,

・，.c=3,

:.OB—OC—3,

・••点B的坐标为(3,0),

,:抛物线y—aa?—2ax+3的图象过点8(3,0),

・，・0=9。一6a+3,

解得：a=—1,

.,・抛物线的解析式为夕=一力2+2/+3;

⑵设P4交g轴于点。，如图1所示：

•：PA±CEf

・・・/EFA=4EOC=90°.

・・・4ADO=4CDF,

：.APAB=AOCE,

•・・PE_L力轴，

・・・/PEA=/EOC=9N,

・•.△PEA〜AEOC,

.PE=EA图1

"~OE~~OC,

设点E的坐标为(T,0),

则点P的坐标为3,—/+2：c+3),

.—a72+2a;+3_/+1

**x-3，

解得：a;i=/2=-1(不合题意舍去)，即OE的长为

(3)设点Q(力,—X2+2X+3),过点。作QF_L/轴，交AP于点F,如图2,

由⑵可得:点E得,0),

・••P(小得)，

抛物线y=-X2-\-2X+3当g=0时，

—/+2/+3=0,

解得:g=—1,g=3,

12

•e•4—1,o),

・•.AB=3—(—l)=4,

设直线AP解析式为：g=far+b,

Q(0=—k+b

把4-1,0),%,正)代入:殴=与+V

I164

f.3

解得：:，

直线4P解析式为：“=!”+年,

妆①卷”+卷)'

...QF=(-x2+2x+3)-(fx-k|-)=-x2+jx-^=-(x-1-)

...5四边形梁阳=52^+$4处8寺"杷弓入4乂得噜(^号

=5(5_247)

.♦.当x~8时，QF取最大值，四边形AQPB面积最大，此时48‘64.

题目①(2023秋・鹤山市期中)如图1在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与立轴交于4

B两点，点A在原点的左侧，点B的坐标为(4,0),与y轴交于点。(0,—4),点P是直线BC下方的抛物线

上一动点.

(1)求这个二次函数的解析式？

(2)当点P运动到什么位置时，四边形ABFC的面积最大？并求出此时点P的坐标和四边形ABPC的最

【解答】解：(1)将B、。两点的坐标代入得，

(16+4b+c=0

lc=-4,

fb=-3

解得：ic=-4,

所以二次函数的表达式为：y=X2—3X—4;

⑵如图，过点P作沙轴的平行线与BC交于点。，与OB交于点F,

P(x,X2-3X—4),设直线BC的解析式为：沙=krc+d,

fd=-4

则I4k+d=0,

(k=l

解得：fd=-4,

.♦.直线_8。的解析式为：夕=2—4,

则Q点的坐标为(x,a;—4);

当0=/-3c-4,

解得：21=-1,g=4,

AO=1,AB=5,

S四边形ABPC=5/^4^。+SABPQ+S&CPQ

=yAB-OC+yQF-BF+yQP-OF

=]x5x4+](4—x)[x—4—(X2—3X—4)]+-^-x[x—4—(re2—3a;-4)]

=—2/+8/+10

=—2（x—2）2+18,

当力=2时，四边形4BPO的面积最大，

此时P点的坐标为：（2,—6）,四边形4BPC的面积的最大值为18.

题目兀（2023秋・东丽区期中）如图所示,在平面直角坐标系中，抛物线沙=aa;2+法+c（aW0）的顶点坐标

为。（3,6）,并与沙轴交于点B（0,3）,点A是对称轴与立轴的交点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP,AP,求△4BP的面积的最大值；

（3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作NACD=30°交抛物线于点。，直接写出。点的坐标.

【解答】解：（1）抛物线顶点坐标为。（3,6）,

可设抛物线解析式为夕=a（x-3）2+6,

将B（O,3）代入可得a=—!，

O

1

y———X9+2/+3;

O

⑵连接PO,

14

设P(Tl,---^-?12+2?7,+3),

o

G-A

》ABP。一万九，

SA4PO=-^-n2+3n+-y，

SaABO=4，

2

•*-SMBP=S^BOP^~S^AOP—S^ABO=--^-n-\-^-n=―^-(n--y)+-^

**•当九=-^■时，SA45P的最大值为;

2o

⑶存在，设_D点的坐标为(力,—1~廿+2力+3),

过。作对称轴的垂线，垂足为G,

则DG—t—3,CG—6—(—~力?+2力+3)=-2t+3,

OO

•.•ZACD=30°,

2DG=DC,

在Rt/XCGD中，

CG^V3DG,

—3)=—2t+3,

o图②

.,.t—3+3A/3或t=3(舍)

n(3+3V3,-3).

题目电(2023-平远县一模)如图1,若二次函数y=ax2+bx+4的图象与2轴交于点A(-l,0)、B(4,0),

与y轴交于点。，连接AC.BC.

(1)求二次函数的解析式；

(2)若点P是抛物线在第一象限上一动点，连接PB、PC,当△PBC的面积最大时，求出点P的坐标；

(3)如图2,若点Q是抛物线上一动点,且满足/QBC=45°—乙48,请直接写出点Q坐标.

15

【解答】解：(1);二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点A(—1,0)、B(4,0),

.\a—6+4=0

*L16a+46+4=0，

“。(a=­1

解得一q,

.•・g=—/+31+4；

(2)如图，过点P作力轴的垂线，交BC于点N,

在y=—/+3力+4中，当力=0时，g=4,

AC(0,4),

设直线的解析式为g=for+4,

将点_B(4,0)代入y=far+4,

得4k+4=0,

/.k=-1,

・・・直线/C的解析式为沙=一力+4,

设P(x,—X2+3X+4),则N(x,—x+4),

PN=—+4—(—1+4)=—a?+4c,

S"BC=~~PN•OB-—砂+4/)X4——2(力一2尸+8,

：.当a=2时，的面积最大，

.-.F(2,6);

⑶设Q(m,—m2+3m+4),

①当点。在直线6C上方时，如图2,过点B作轴，过点Q作。交于河,

・・・BO=OC=4,

・・.ZOBC=45°,

・•.ZCBM=45°,

・•.ZCBQ=45°-AQBM,

•・・/QBC=45°—乙400,

・•.ZQBM=/ACO,

•・・ZAOC=ZQMB=90°f

・・・LAOC〜LQMB,

.OAPC

**7WQ-

.1=4

4—m—m2+3m+4图2

解得:m=3或m=4（舍）,

经检验，771=3是原方程的解，

・・・Q（3,4）;

②当点Q在直线上下方时，如图3,过点二轴交于N,

vZOBC=45°,ZQBC=45°-ZACO,

・•.ZQBN=AACO,

・・・ZAOC=ZQ7VB=90°,

・・・4Aoe〜AQNB,

.OA=AC

''~QN~~BN9

.・・1=4,

—m2+3m+44—■nz'

解得m=4（舍）或m=―|-,

经检验，rn=―是原方程的解，

综上所述：Q点坐标为（3,4）或（/热.

题目以（2023秋•天山区校级月考）如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=^+mx+九经过点A（3,0）,B

（0,-3）,点P是直线AB上的动点,过点P作c轴的垂线交抛物线于点河，设点P的横坐标为t.

（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式；

（2）若点P在第四象限,求线段最长时点P的坐标.

（3）连接AM.BAK求△ABM■面积最大值是多少？

【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b,

3k+b=0

把A（3,0）,B（0,—3）代入g=for+b得:

b=-3

解得[=1

[b=-3

・・・直线AB的解析式为g=c—3;

9+3m+n=0

把4（3,0）,B（0,—3）代入9=62+772N+打得:

解得

In=-3

.,・抛物线解析式为y=x2-2x—3;

(2)设P(t,t—3)(0V2V3),则M(t,1?—2t—3),

：.PM=t-3-(t2-2t-3)=-t2+3t=-(i--y)2+j

当力=,时，线段PM最长，最长为小

此时点P的坐标为(y.-y)；

⑶S2v1sM=SAPTV®+S"MA

--yFM•xP+(xA-Xp)

・•・线段PA/最长时，/XABM的面积最大，

1Q97

S^ABM=5x3x1=

/\ABM面积最大值是寻.

O

［题目|14〕(2023・白塔区一模)综合与探究

如图,在平面直角坐标系中，直线yb与c轴交于点人(4,0),与V轴交于点B,过A,B两点的抛物线

交力轴于另一点。，且OA=2OC,点F是直线AB下方抛物线上的动点，连接FA,FB.

(1)求抛物线解析式；

(2)当点F与抛物线的顶点重合时，△ABF的面积为3；

(3)求四边形FAOB面积的最大值及此时点F的坐标.

(4)在(3)的条件下，点Q为平面内沙轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内另一点使得以A,F,Q,

“为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q的坐标;若不存在，说明理由.

【解答】解：(1)把(4,0)代入y=*+b,得,

4+b=0,解得：b=4,

：.y=x-4,

当c=0时，y—0—4——4,

B(。，-4),

・・.44,。)，

:.OA=4f

・・・OA=2OC,

：.OC=2,

・・・C(—2,0),

设抛物线解析式为y=a(x-\-2)(T—4),

把8(0,-4)代入得:-4=a(O+2)(0-4),

解得：Q=/,

抛物线解析式为y=2■(力+2)(re-4)=-^-x2—x—4;

(2切=—4=](%一l)2-y,

二,点尸与抛物线的顶点重合，

F(1，-，

设抛物线对称轴与直线AB相交于石,如图，

・・・4(4,0),B(0,-4),

・・・直线4B解析式为：。=6一4,

则当力=1时，g=1—4=—3,

・•・石(1,—3),

：•S&ABF=y|y—3|x|4—0|=3,

故答案为：3;

⑶如图，过点F作F石〃g轴，交4B于点E,

设点F的横坐标为灯则FQ,-4),

・・,直线48的解析式为g=i—4,

E(t,t—4),

22

SABFA=-^-OA'EF=-1-X(4—0)X(t—4—^-t+t+4)=—t+4t,

VS^OA=^OA-OB=yX4x4=8,

t2+4i+8=-(i-2y+12(0<t<4),

...当t=2时，S四边彩尸4OB有最大值12,t—4=-4,

.•.此时点F的坐标为(2,-4).

⑷过作FE_Lrc轴于E,

•.•A(4,0),F(2,-4),

:.AE=2,EF=4,AF=2V5,

如图，①当AF为正方形AFMQ的边时，

1)有正方形AFM^Qy,

过Q作QN」多轴于Ni,

NAEF=NANQ产90°,/FAQ尸90°,

2EAF=NAQiNi,

,/AF^AQr,

：.△AEFW△QiNiA(?L4S),

ANi=EF=4,QiN尸AE=2,

Q(8,—2)；

2)有正方形AFQ昭时，

过Q?作于M,

同理可得4AEF空/\FN2Q2(AAS),

FN2=AE=2,Q2N2=EF=4,

Q2(6,-6);

②当AF为正方形AEMQ的对角线时，设AF与相交于P,

vA(4,0),F(2,-4),

，P(3,—2),

1)有正方形AQ3FM3时，过作Q3G_Lc轴于G,过昭作M3H±2轴于H,

易4AHM於AQ3GA,

AH=Q3G,M3H=AG,

设Q(4+a,b),则M)(4+b,—a),

4+a+4+b„

.2"

b-a=-9'

Qs（5,—3）,M3（l,—1）,

2）有正方形AQiFMi时，过Q4作，轴于H,

则Q3与昭重合，

.■.Q.（1,-1）,

综上，存在，当以A,F,Q,河为顶点的四边形是正方形时，点。的坐标Q（8,-2）,Q2（6,-6）,Q3（5,-3）,

Q/1,-1）.

题目亘（2023秋•和平区校级月考）如图，已知抛物线y=ax2+bx+5经过A（-5,0）,B（-4,—3）两点，与

c轴的另一个交点为C,顶点为。，连接CD.

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点P为该抛物线上一动点（与点B,。不重合），设点P的横坐标为t.

①当点P在直线B。的下方运动时,求APBC的面积的最大值及点P的坐标；

②该抛物线上是否存在点P,使得/P5C=/BCD?若存在，求出所有点P的坐标;若不存在，请说明理

由.

20

【解答】解：⑴将点A(—5,0)、1(—4,—3)代入抛物线g=Q/+6%+5,

f25a—5b+5=0

仔：(，

116a—4b+5=—3

解得:R,

该抛物线的表达式为：y—力之+6力+5…①；

⑵①令y=0,得/+61+5=0,

解得：/1=-1,宓2=-5,

・,•点(7(—1,0),

(_4k—I—d_

设直线BC的解析式为g=fcr+d,将点B、C的坐标代入得：

[—k+d=0

解得:[『，

(d=1

・・・直线石。的解析式为g=/+l…②，

如图1,过点P作g轴的平行线交BC于点G,

设点G（t,2+1）,则点P（t,F+6力+5）,

PG—t+1—（廿+6力+5）——1?—5力一4,

S"BC=JPG•（60—如）=[x（一廿一52—4）x3二—1■/一号力—6=—1~（力+4"）旺手,

S"BC有最大值，当t=―时，其最大值为年~,此时F（―,—牛）；

No24•••

②•：y=/+6力+5=(劣+3)2—4,

:.顶点D(—3,—4),

设直线与CD交于点

当点P在直线下方时,

・・・ZFBC=/BCD,

・・・点打在的中垂线上，

・・•线段BC的中点坐标为（号，-y）,过该点与垂直的直线的k值为-1,

设8。中垂线的表达式为：g=—力+馆,1号点（一—|-）代入上式得一多=—（―^-）+m,

解得：m=—4,

直线BC中垂线的表达式为：沙=一/—4…③，

f-kz+b'=0

设直线CD的解析式为g=k'c+，,把。（一1,0）,。（一3,—4）代入得：f-3k'+b'=-4

fk7=2

解得：ib'=2,

直线CD的解析式为：y=2a;+2…④，

联立③④得平—一4,

［。=26+2

解得：［"=一;,

ly=-2

:.点、H（—2,—2）,

［-4k"+b"=-3

设直线的解析式为y=A/G+b",则1-2k"+b”=-2,

fk〃二

.2

解得:1b"=-1,

直线的解析式为："=9/一1…⑤，

22

y=x2+6x+5

<=1-i

联立①⑤得(y^2x-i

(3

解得：1丫1=~?,iy2=-3（舍去），

故点F（一■;

当点P（P）在直线上方时，

NPBC=々BCD,

：.BP'//CD,

则直线BP'的表达式为：沙=2c+s,招■点B坐标代入上式并解得：s=5,

即直线BP的表达式为：夕=22+5…⑥，

联立①⑥并解得：C=0或一4（舍去一4）,

故点P（0,5）;

综上所述，点、P的坐标为P（—*,—亭）或（0,5）.

题目,（2023秋・越秀区校级月考）如图,抛物线y=^+bx+c与a;轴交于两点（点A在点B左

边），与V轴交于点。，直线?/=十2—2经过B、。两点，点P是抛物线上一动点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当抛物线上的点P的在BC下方运动时，求△BCP面积的最大值；

（3）连接OP,把△OCP沿着y轴翻折，使点P落在P'的位置，四边形CPOP'能否构成菱形，若能，求出点

P的坐标，如不能,请说明理由.

【解答】解：⑴对于直线9=1■/—2,

令2=0,则y=—2,

：.C(O,-2),

令沙=0,则0=-^-x—