押广东广州卷第11-16题（因式分解、科学记数法、一元二次方程、三角形计算、圆的计算、几何图形旋转）（解析版）

押广东广州卷第11-16题押题方向一：因式分解3年广东广州卷真题考点命题趋势2022年广东广州卷第12题因式分解从近年广东广州中考来看，因式分解是近几年的常考题，比较简单；预计2024年广东广州卷还将继续重视对因式分解的考查。1．（2022·广东广州·中考真题）分解因式：【答案】【分析】直接提取公因式3a即可得到结果．【详解】解：．故答案为：【点睛】本题考查因式分解，解本题的关键是熟练掌握因式分解时有公因式要先提取公因式，再考虑是否可以用公式法．考查因式分解，解本题的关键是熟练掌握因式分解时有公因式要先提取公因式，再考虑是否可以用公式法．1．分解因式：．【答案】【分析】本题考查了因式分解，直接提公因式即可求解．【详解】解：，故答案为：．2．分解因式：．【答案】【分析】本题考查了提公因式进行分解因式，先把公因式提出来，即可作答．【详解】解：依题意，故答案为：3．因式分解：．【答案】【分析】此题主要考查了提取公因式法与公式法的综合运用，正确运用平方差公式是解题关键．首先提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可．【详解】解：原式．故答案为：．4．分解因式：．【答案】【分析】本题考查了因式分解．直接利用提公因式法分解即可．【详解】解：，故答案为：．5．因式分解：．【答案】【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是能够综合运用提公因式和公式法．6．因式分解：．【答案】【分析】先提取公因式m后继续应用平方差公式分解即可．【详解】解：．故答案为：【点睛】本题考查了因式分解，解决本题的关键是明确将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．7．分解因式：．【答案】【分析】首先提取公因式a，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．【详解】解：==．故答案为：．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．8．分解因式：．【答案】【分析】根据提公因式法，完全平方式进行计算即可．【详解】解：原式．故答案为：．【点睛】本题考查了分解因式，掌握分解因式的方法有提公因式法、公式法是解题关键．押题方向二：科学记数法3年广东广州卷真题考点命题趋势2023年广东广州卷第11题科学记数法从近年广东广州中考来看，科学记数法是常考题，比较简单；预计2024年广东广州卷还将继续重视对科学记数法的考查。1．（2023·广东广州·中考真题）近年来，城市电动自行车安全充电需求不断攀升．截至2023年5月底，某市已建成安全充电端口逾280000个，将280000用科学记数法表示为．【分析】运用科学记数法知识对280000进行改写．【解答】解：，故答案为：．【点评】此题考查了科学记数法的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识．科学记数法是中考高频考点，我们不仅要记住它的基本形式，更要记住表达式中a的取值范围；还要注意n，当表示一个绝对值大于10的数，n是正整数；当表示一个绝对值小于1的数时，指数为负整数。注意：1）单位的统一，尤其是带“万”或者“亿”的问题：含有万、亿等单位的数，用科学记数法表示时，要先还原成原数，再用科学记数法表示，最后按要求取近似值。2）用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。（如：4.0×104的有效数字是4，0）。1．龙行龘龘，前程朤朤，生活䲜䲜，截止至2024年2月10日晚上8时，中央广播电视总台2024年春节联欢晚会“竖屏看春晚”直播播放量达到4.23亿次，将4.23亿用科学记数法表示为．【答案】【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，据此解答即可．【详解】解：4.23亿，故答案为：．2．2022年全年国内生产总值约为1210000亿元．1210000可用科学记数法表示为．（数据来源于《中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报》）【答案】【分析】根据科学记数法的表示形式进行解答即可．【详解】解：1210000可用科学记数法表示为：，故答案为：．【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示形式为（，a为整数）的形式，n的绝对值与小数点移动的位数相同是解题的关键．3．经文化和旅游部数据中心测算，今年春节假期全国国内旅游出游308000000人次，同比增长，数据308000000用科学记数法表示为．【答案】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：数据308000000用科学记数法表示为．故答案为：．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．《2023年广东省国民经济和社会发展统计公报》显示，2023年末，广东省常住人口12706万人，将127060000用科学记数法表示为．【答案】【分析】本题考查科学记数法，将127060000写成的形式即可，其中，n的值与小数点移动位数相同．【详解】解：，故答案为：．5．今年春节电影《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生》、《熊出没•逆转时空》在网络上持续引发热议，根据猫眼专业版数据显示，截至月日时，年春节档新片总票房突破亿元，创造了新的春节档票房纪录，则其中数据亿用科学记数法表示为．【答案】【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，理解定义是关键．绝对值大于的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少，据此可以解答．【详解】解：．故答案为：．6．据统计，2023年珠海山姆会员店的总销售额达到25亿，排全球第七，“25亿”用科学记数法表示为．【答案】【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可．【详解】解：25亿；故答案为：．押题方向三：一元二次方程3年广东广州卷真题考点命题趋势2021年广东广州卷第14题一元二次方程与函数从近年广东广州中考来看，一元二次方程经常会考查判别式、根与系数的关系，比较简单；预计2024年广东广州卷还将继续重视对一元二次方程的考查。1．（2021·广东广州·中考真题）一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数上的两个点，若，则（填“＜”或“＞”或“＝”）．【答案】＞【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根则求出m的取值范围，再由反比例函数函数值的变化规律得出结论．【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，∴，∴，∴点、是反比例函数上的两个点，又∵，∴，故填：>．【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据一元二次方程有两个相等的实数根求出m值，再由反比例函数的性质求解．1.一元二次方程的根的判别式：熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；根据方程有实数根，则且求解即可；2.一元二次方程根与系数的关系，根据关于的一元二次方程两根满足求解即可1．一元二次方程有两个相等的实数根，则．【答案】【分析】根据题意得，进行计算即可得．【详解】解：方程有两个相等实数根，，，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的个数与根的判别式的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的个数与根的判别式的关系．2．已知一元二次方程的两根为，则．【答案】【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据关于的一元二次方程两根满足求解即可．【详解】根据题意得．故答案为：．3．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是．【答案】且【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义，以及根的判别式，得出不等式，解不等式即可求解．掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．【详解】解：根据题意得且，解得：且．∴的取值范围为且．故答案为：且．4．已知a是方程的一个实数根，则的值为．【答案】【分析】根据一元二次方程的解的定义，将a的值代入已知方程，即可求得的值，从而求得的值．【详解】解：∵a是方程的一个实数根，∴，即，∴．故答案为：2023．【点睛】本题主要考查一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．5．若关于的一元二次方程的一个根为．则．【答案】【分析】根据一元二次方程的定义及根的意义，得到，根据题意求解即可．【详解】解：将代入得，整理得，解得或当时，原方程二次项系数为零，不满足题意，，故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及一元二次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键．6．反比例函数的图象上有一点，且a、b是方程的两根，则．【答案】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后根据点在反比例函数的图象上求出即可．【详解】解：a、b是方程的两根，则有，又∵点在反比例函数的图象上，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．7．若关于的方程有两个不相等的实数根，则抛物线的顶点在第象限．【答案】四【分析】根据方程有两个不相等的实数根得到a的取值范围，结合顶点判断即可得到答案；【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴，解得：，∴，，∴抛物线的顶点在第四象限，故答案为：四；【点睛】本题考查一元二次方程判别式与根的情况及抛物线的顶点，解题的关键是熟练掌握方程有两个不等的实数根及抛物线顶点坐标．8．反比例函数的图象经过点，其中m、n是一元二次方程的两个根，则．【答案】【分析】先把点代入反比例函数，再根据根与系数的关系求出即可．【详解】∵点在反比例函数的图象上，∴，∵m，n是方程的两根，∴，即．故答案为：．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及一元二次方程根与系数的关系，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．9．一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数上的两个点，若，则（填“”或“”或“”）．【答案】【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根则求出m的取值，再由反比例函数的性质得出结论．【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根，，，反比例函数经过一、三象限，又，，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据一元二次方程有两个相等的实数根求出m值，再由反比例函数的性质求解．押题方向四：三角形中计算问题3年广东广州卷真题考点命题趋势2023年广东广州卷第15题三角形中计算问题从近年广东广州中考来看，三角形中计算问题是常考题，比较简单；预计2024年广东广州卷还将继续重视对三角形中计算问题的考查。1．（2023·广东广州·中考真题）如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，，，则点到直线的距离为．【分析】过作于，由角平分线的性质得到，由勾股定理求出，由三角形面积公式得到，因此，即可得到点到直线的距离．【解答】解：过作于，是的角平分线，于，于，，，，的面积，，，点到直线的距离为．故答案为：．【点评】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，勾股定理，关键是由三角形的面积得到．考查角平分线的性质，三角形的面积，勾股定理，三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线性质是解题的关键．1．如图，在中，，点D为边的中点，，则°．【答案】【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理，先证明是等腰三角形，，得到，再由等腰三角形三线合一得到答案．【详解】解：在中，，∴是等腰三角形，∴∵点D为边的中点，∴故答案为：2．如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，四边形的面积为60，，则中边上的高为．【答案】【分析】本题主要考查角平分线性质定理以及三角形面积公式，根据角平分线性质定理得出，证明，得出，由面积公式求出，再根据勾股定理得出，最后再根据面积公式求出中边上的高．【详解】解：∵是的角平分线，且，分别是和的高，∴，∴，∴，又，∴，即，∵，∴，在中，由勾股定理得，，设中边上的高为，则有：，解得，，即中边上的高为，故答案为：．3．如图，中，E是边上的中点，点D、F分别在上，且，，若，，则的长为．【答案】3【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线性质是解题的关键．先证明点是的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到的长，然后利用三角形的中位线求出长，进而求解即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴∴,∴点是的中点，，D，E分别是，边上的中点，，，故答案为：3．4．如图，点为菱形的边上一点，且，，点为对角线上一动点，若的周长最小值为6，则．【答案】/【分析】本题考查了菱形的性质，轴对称—最短路径问题，勾股定理逆定理，锐角三角函数，推出是直角三角形是解题关键．连接、，根据菱形好轴对称的性质，得到，进而求出，再利用勾股定理逆定理，推出是直角三角形，再求正弦值即可．【详解】解：如图，连接、，四边形是菱形，，，，点和点关于对称，，，，的周长，的周长最小值为6，，，，，，是直角三角形，，，，故答案为：5．如图，为等边三角形，点D为外的一点，，，，则的面积为．【答案】【分析】将绕点顺时针旋转得到，得出是等边三角形，根据得出，进而勾股定理求得，即可求解．【详解】解：如图所示，∵为等边三角形，将绕点顺时针旋转得到，则∴，∴是等边三角形，∵∴∴，过点作于点∵∴∵，∴在中，∴解得：（负值舍去）∴故答案为：．6．如图，已知正方形的边长为2，E为的中点，F是边上的一个动点，连接，将沿折叠得，若延长交边于点M，则的取值范围．【答案】【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，一点到圆上一点距离的最值问题，勾股定理，先由正方形的性质得到，则由勾股定理得到；由折叠的性质可得，则点H在以点E为圆心，半径为1的圆上运动，据此可得当点H在上时，有最小值，最小值为；当点F运动到点D时，有最大值，利用勾股定理求出最大值即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接，∵正方形的边长为2，E为的中点，∴，∴，由折叠的性质可得，∴点H在以点E为圆心，半径为1的圆上运动，∴当点H在上时，有最小值，最小值为；∵点F在上运动，∴当点F运动到点D时，有最大值，∴，∴，故答案为：．7．如图，在中，，点到线段的距离为．以点为圆心，以2为半径作优弧，交于点，交于点，点在优弧上从点开始移动，到达点时停止，连接，则面积的取值范围是．【答案】【分析】本题考查了勾股定理以及直线与圆的位置关系，由勾股定理可求出，再根据面积法可求出点到线段的距离；由图易知的边最小高为M在D时，最大高为M在过O垂直于的直线上，求出最小高和最大高，进而求出的面积为S的取值范围．【详解】解：在中，，∴，，∴，设点到线段的距离为，又∴，∴点到线段的距离为；如图：Ⅰ．由图可知，的边最小高为M在D时，∵，∴，∴，∴的面积为S的最小值．Ⅱ．在过点O且垂直于的直线上时，的边的高最大，∴的边的高最大值为，∴的面积为S的最大值为．∴取值范围为：．故答案为：；．8．如图，在中，，，为斜边的中点，为形外一点，，①若，则；②若，，则的值为．【答案】4【分析】（1）直接利用斜边上的中线和勾股定理求解即可；（2）将绕点旋转90度得到，连接，过点作，旋转结合勾股定理求出的长，根据四边形的内角和，结合旋转推出，利用含30度角的直角三角形的性质，求出的长，勾股定理求出的长，用求出的长．【详解】（1）连接，∵，，为斜边的中点，∴，∵为斜边的中点，∴，；故答案为：；（2）∵，，∴为等腰直角三角形，将绕点旋转90度得到，连接，过点作，则：，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，，∴，∴；故答案为：4．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，斜边上的中线，勾股定理，旋转等知识点，综合性质强，难度较大，属于填空题中的压轴题，解题的关键是通过旋转构造特殊三角形．押题方向五：圆中计算问题3年广东广州卷真题考点命题趋势2022年广东广州卷第51题求弧长从近年广东广州中考来看，圆中计算问题是必考题，难度一般；预计2024年广东广州卷还将继续重视对圆中计算问题的考查。2021年广东广州卷第16题圆的综合1．（2022·广东广州·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧的长是（结果保留）【答案】【分析】如图，连接OD，OE，证明可得再证明可得再利用弧长公式进行计算即可．【详解】解：如图，连接OD，OE，∵∴∵与边AB相切于点D，∴∴的长故答案为：．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，切线的性质，三角形的内角和定理的应用，弧长的计算，求解是解本题的关键．2．（2021·广东广州·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与交于点K，连结HG、CH．给出下列四个结论．（1）H是FK的中点；（2）；（3）；（4），其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号）．【答案】（1）（3）（4）．【分析】由正方形的性质可证明，则可推出，利用垂径定理即可证明结论（1）正确；过点H作交BC于N，交AD于M，由三角形面积计算公式求出，再利用矩形的判定与性质证得，并根据相似三角形的判定与性质分别求出，，则最后利用锐角三角函数证明，即可证明结论（2）错误；根据（2）中结论并利用相似三角形的性质求得，即可证明结论（3）正确；利用（1）所得结论并由勾股定理求出FH，再求得DK，即可证明结论（4）正确．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴，．又∵，∴．∴．∵，∴，∴，∴，∴，即H是FK的中点；故结论（1）正确；（2）过点H作交BC于N，交AD于M，由（1）得，则．∵，∴．∵四边形ABCD是正方形，，∴．∴四边形ABNM是矩形．∴，．∵，∴．即．∵，∴．∵，∴．∴．即．解得．则．∵，．∵，，∴．∴．∴．∴与不全等，故结论（2）错误；（3）∵，∴．即．解得．由（2）得，．∴；故结论（3）正确；（4）由（1）得，H是FK的中点，∴．由勾股定理得．∴；故结论（4）正确．故答案为：（1）（3）（4）．【点睛】本题考查了正方形的综合问题，掌握特殊四边形、相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质是解题的关键．1）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；2）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角；3）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化。比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等；4）注意圆的相关知识和相似、三角函数、勾股定理结合解决相关计算问题。1．若圆锥的侧面积为，底面圆半径为3，则该圆锥的母线长是．【答案】4【分析】根据圆锥的侧面积，列出方程求解即可．【详解】解：∵圆锥的侧面积为，底面半径为3，．解得：，故答案为：4．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，解题关键是熟记圆锥的侧面积公式，列出方程进行求解．2．圆锥的侧面积为，母线长为5．则这个圆锥的底面半径为．【答案】4【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【详解】解：设底面半径为，则底面周长，圆锥的侧面积，∴．故答案为：4．【点睛】本题考查了圆锥的底面半径，利用圆锥侧面积公式求解是解题的关键．3．如图，在中，，点O在边上，以O为圆心，3为半径的圆恰好过点C，且与边相切于点D，交边于点E，则劣弧的长是(结果保留π)．【答案】【分析】如图，连接，由是切线，可得，由等边对等角可得，则，，根据，计算求解即可．【详解】解：如图，连接，∵是切线，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了切线的性质，等边对等角，平行线的判定，弧长．熟练掌握切线的性质，等边对等角，平行线的判定，弧长是解题的关键．4．如图，是的直径，点在圆上．将沿翻折与交于点．若的度数为，则．

【答案】【分析】如图：作D关于的对称点E，连接,则，然后再根据的度数为可知，然后再根据圆周角定理、邻补角性质可得，最后运用弧长公式即可解答．【详解】解：如图：作D关于的对称点E，连接,则，∵的度数为，∴，∴∴，∴，∴的长度为，∴的长度为．

故答案为．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、弧长公式等知识点，求得的度数是解答本题的关键．5．如图是相同的边长为的菱形组成的网格，已知，点均在小菱形的格点（网格线的交点）上，且点在上，则的长为．【答案】【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式，先根据网格找到圆心的位置，求出的半径及所对圆心角的度数，再利用弧长公式计算即可求解，根据网格找到圆心的位置是解题的关键．【详解】解：如图，取格点，连接，由网格可得，，，，∵，∴，，∴为等边三角形，∴，∴，，∴，，∴点为所作圆的圆心，半径为，∴的长为，故答案为：．6．如图，中，，点是边上的一点，与、分别相切于点、，点为上一点，连，，若四边形是荾形，则图中阴影部分面积是．【答案】【分析】根据菱形的性质得到，根据圆周角定理得到，根据切线的性质得到，，求出，根据直角三角形的性质、扇形面积公式计算，得到答案．【详解】解：四边形是菱形，，由圆周角定理得：，与、分别相切于点、，，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查的是切线的性质，菱形的性质、扇形面积计算、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、弧长公式是解题的关键．7．如图，在平行四边形中，，，，点为线段的中点．动点从点开始沿边以的速度运动至点，动点从点开始沿边以的速度运动至点．点、同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．作点关于直线的对称点，在点从点运动到点的过程中，点的运动路径长为．【答案】【分析】连接，延长交于点，设交于点，证明得出，进而得出当点点运动到点时，点运动到点，此时与重合，则与点重合，则的运动轨迹为，根据弧长公式即可求解．【详解】解：如图所示，连接，延长交于点，设交于点∵在平行四边形中，，，，点为线段的中点．∴，，∴∴，∵，∴，∴，∵∴∴是等边三角形，∵动点从点开始沿边以的速度运动至点，动点从点开始沿边以的速度运动至点∴∵∴∴∴∵，∴∴∴，过点O，∴点是的外心，∴，∵点关于直线的对称点，∴，∴当点点运动到点时，点运动到点，此时与重合，则与点重合，则的运动轨迹为∴点的运动路径长为故答案为：．8．抖空竹是中国传统文化苑中一株灿烂的花朵，是国家级的非物质文化遗产之一，可见于全国各地，天津、北京、辽宁、吉林、黑龙江等地尤为盛行．如图，、分别与相切于点、，延长、交于点．若，的直径为，则图中的长为．（结果保留）【答案】【分析】连接，，先求出的度数，最后利用弧长公式求解答案即可．【详解】解：如图所示，连接，，，分别与相切于点，，，由四边形内角和为可得，．的长．故答案为：．【点睛】本题考查了切线的性质，弧长的计算，求出的度数是解题的关键．9．如图，等边内接于，，D为上一动点，过点B作射线的垂线，垂足为E．（1）的半径长为；（2）当点D由点C沿运动到点A时，点E的运动路径长为．【答案】【分析】（1）连接，过点作于点，在中，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解；（2）取的中点，连接，，，则，延长交于点，根据，得出点在上运动了，进而根据弧长公式进行计算即可求解．【详解】解：（1）如图所示，连接，过点作于点，则，∵为等边三角形，∴，∴，取的中点，连接，，，则，∵，∴在上运动，∵，∴，延长交于点，∵，∴当点D由点C沿运动到点A时，点在上运动了，∴点E的运动路径长为．故答案为：；．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理，直角所对的弦是直径，求弧长，熟练掌握以上知识是解题的关键．押题方向六：几何图形中的旋转问题3年广东广州卷真题考点命题趋势2022年广东广州卷第16题几何图形中的旋转问题从近年广东广州中考来看，几何图形中的旋转问题是常考题型，小压轴有一定的难度；预计2024年广东广州卷还将继续重视对几何图形中的旋转问题的考查。1．（2022·广东广州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'，连接PP'，CP'．当点P'落在边BC上时，∠PP'C的度数为；当线段CP'的长度最小时，∠PP'C的度数为【答案】120°/120度75°/75度【分析】如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′．利用全等三角形的性质证明∠BEP′＝90°，推出点P′在射线EP′上运动，如图1中，设EP′交BC于点O，再证明△BEO是等腰直角三角形，可得结论．【详解】解：如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′．∵△BPP′是等边三角形，∴∠ABE＝∠PBP′＝60°，BP＝BP′，BA＝BE，∴∠ABP＝∠EBP′，在△ABP和△EBP′中，∴△ABP≌△EBP′（SAS），∴∠BAP＝∠BEP′＝90°，∴点P′在射线EP′上运动，如图1中，设EP′交BC于点O，当点P′落在BC上时，点P′与O重合，此时∠PP′C＝180°－60°＝120°，当CP′⊥EP′时，CP′的长最小，此时∠EBO＝∠OCP′＝30°，∴EO＝OB，OP′＝OC，∴EP′＝EO＋OP′＝OB＋OC＝BC，∵BC＝2AB，∴EP′＝AB＝EB，∴∠EBP′＝∠EP′B＝45°，∴∠BP′C＝45°＋90°＝135°，∴∠PP′C＝∠BP′C－∠BP′P＝135°－60°＝75°．故答案为：120°，75°．【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．考查旋转的性质，矩形菱形正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．1．如图，在中，，，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接交于点，则与的周长之和为

【答案】55【分析】根据将绕点顺时针旋转，得到，可得，，，从而得到为等边三角形，得到，在中，利用勾股定理得到，所以与的周长之和，即可解答．【详解】绕点顺时针旋转，得到，∴，，，∴为等边三角形，，，∴与的周长之和，故答案为：55．【点睛】本题考查了旋转的性质，解决本题的关键是由旋转得到相等的边．2．如图，在矩形中，点P在边上，连接，将绕点P顺时针旋转90°得到，连接．若，，，则．

【答案】2【分析】过点作于点F，则，可证，于是．设，，，解得，于是．【详解】解：过点作于点F，则，∵，∴．又，∴.∴．设，矩形中，，，，，解得，∴．故答案为：2

【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；根据勾股定理构建方程求解是解题的关键．3．如图，绕点逆时针旋转，得到（点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点），点恰好落在边上，则的度数为．

【答案】105【分析】由旋转的性质可知，，，再根据等腰三角形点性质及三角形内角和定理，得到，然后根据平行四边形和平行线的性质，即可求出的度数．【详解】解：由旋转的性质可知，，，，，，，，，，故答案为：105．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形点性质，三角形内角和定理，平行四边形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．4．如图，中，，，，点，分别在，上，．把绕点旋转得到(点、分别与点、对应)，点落在线段上．若平分，则．

【答案】【分析】先根据勾股定理求出的长，再由相似三角形的判定定理得出，由，可得，再由点在的平分线上，得出，故，．在中根据勾股定理可知，故可得出的值，