浙江培优联盟2024年高二4月联考数学试题含答案

浙江培优联盟2023学年第二学期高二4月

数学试题

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合A={x\-l<x<2],B={-1,0,2,3}，则An^=（)

A.{-1,0,1}B.{-1,0,2}c.{-1,1}D.{-1,0,1,2}

1+i

2.已知复数2=——，其中i是虚数单位，则z的虚部为（）

2-i

3311

A.一B.——C.1D.——

5555

3.在等比数列｛4｝中，公比q=2且％+%=1，则2=（）

84

A.-B.-C.8D.4

33

,22

4.过点（4,-J3）且与双曲线亍-a=1有相同渐近线的双曲线方程是（)

22222222

A.匕-土=1B,土-匕=1C.匕-土=1D,土-匕=1

129129912912

5.下列求导运算正确的是（）

A.(e?)=2eB.[(2%+7：)2]，=2(2X+7)

"I1-lnx

C.(cos2x)=2sin2x

一x2

6.韩愈的《师说》中写道：“李氏子蟠，年十七，好古文，六艺经传皆通习之，不拘于时，学于余.余嘉

其能行古道，作《师说》以贻之.”六艺具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某

校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节课程，连排六节，则“数”排在前两

节，“书”不排在首尾两节的排课方法种数为（）

A.84B.96C.168D.204

7.（%+1严=a。+%（%+2）+〃2（%+2）2+…+Q］o（%+2）i°,则％=（）

A.180B.-180C.45D.-45

8.圆锥的底面半径为G，高为2,点C是底面直径AB所对弧的中点，点。是母线尸3的中点，则异面直

线AB与CD所成角的余弦值及CD与底面所成角的正弦值分别为（）

4MV285V57V2854M2M屈2晒

A.-----,------B.----,------C.-----,------D.----,------

1919191919191919

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/（xhgd—4x,贝U（）

A.有3个零点B.在原点处的切线方程为_y=-x

C./（x）的图象关于点（0,0）对称D.“X）在［0,3］上的最大值为4

10.设数列｛%,｝是各项均为正数的等比数列，则（

A.。3，。5，。7是等比数列

C.｛1g4｝是等比数列D.是等比数列

〔初

11.抛物线y2=2px（p〉0）的焦点为尸，抛物线上一点P。/）到焦点F的距离为2,过焦点F的直线/

与抛物线交于A3两点，下列说法正确的是（）

A.p=lB.若直线/的倾斜角为石，则|A3|=8

411

C.D.若衣=2丽,A在x轴的上方，则直线AB的斜率为2后

网W

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（2x—3）5展开式中d项的系数是.

13.袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1个球，则3次中恰有2次抽到黄球的概

率是.

14.若函数〃x）=（根必一》卜工在［1,3］上存在单调递增区间，则根的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

已知等差数列｛凡｝的前“项和为S“，满足/+%=4,S5=15.等比数歹!j｛bn｝满足bj=力10=3b9.

(1)求｛4｝,加“｝的通项公式；

(2)若c.=a,j%,求数列｛c.｝的前〃项和北.

16.(15分)

在△ABC中，a,瓦＜:分别是角C的对边，且满足百a-J^ccos3+0sinC=0.

(1)求角C的大小；

(2)若c=2G,D为AB的中点且|CD|=JL求△ABC的面积.

17.(15分)

在三棱柱ABC—4月。］中，A5=AC=1,A44。,男。，平面43。,后是片。的中点.

(1)证明：直线4片，平面A3。；

(2)求平面与平面A41G。夹角的正弦值•

18.（17分）

22[

已知椭圆。：二+==1(。〉6〉0)的离心率为一，右焦点为圆。：/+丫2=。2,过/且垂直于X轴

ab2

的直线被圆0所截得的弦长为.

(1)求C的标准方程；

(2)若直线/:y=履-2与曲线C交于两点，求△。45面积的最大值.

19.(17分)

一般地，设函数/(x)在区间句上连续，用分点a=/<西<••<%<玉:••<xn=》将区间[a,可分

成几个小区间，每个小区间长度为Ax(Ax=X]-XjJ,在每个小区间上任取一点。(，=1,2,，

作和式Sn=t/(。加=t/(。)(七-%)-

i=li=l

如果Ax无限接近于0(亦即〃-+oo)时，上述和式S,无限趋近于常数S,那么称该常数S为函数/(x)

在区间句上的定积分，记为S=1/(x)<h.当〃x)20时，定积分J：/(x)d%的几何意义表示由曲线

y=f(x),两直线x=a,x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积.如果/(x)是区间句上的连续函数,

并且P(x)=/(x),那么1/(x)<k=E(x)|：=RS)—R(a).

(1)求1⑹+x浒；

(2)设函数/(x)=ln(x+l),g(x)=xf'(x)(x>0).

①若/(x)2zng(x)恒成立，求实数机的取值范围；

nn

②数列｛%,｝满足q=,利用定积分几何意义，证明：

i=2i=\

浙江培优联盟2023学年第二学期高二4月

数学试题参考答案

1.B2.B3.A4.B5.D6.C7.C8.D

1.解：集合A={x|—lWx<2},8={—1,0,2,3},则Afi5={—1,0,2},选B.

1+i_（l+i）（2+i）_l+3i-l-3i-3

2.解:z=,Z=的虚部为-选民

2-i（2-i）（2+i）5

1[8

3.解:由+。2=1，可得3%=1,即所以=—>选A.

v2222

4.解:因为所求双曲线与双曲线^--匕=1有相同的渐近线，所以设其方程为二—=1（/w0）,又点

434

A2/_/o\222

（4,—6）在双曲线上，所以——L"=t,解得％=3,则双曲线方程为土—上=1,选B.

5.解：卜2）'=0,错误；[（2%+7）2]'=2（2X+7）・2=4（2X+7）,错误；

（cos2x）'=-sin2x•（2x）'=-2sin2x,错误；

14yl*粤,正确.选口.

IXJX'X

6.解：“数”排在前两节，“书”不排在首尾两节的排课方法可以分两类：

①“数”排在第一节，“书”排在第二、三、四、五节，则有4A：种排法；

②“数”排在第二节，“书”排在第三、四、五节，则有3A：种排法.

故“数”排在前两节，“书”不排在首尾两节的排法共有7A：=168种，故选C.

7.解：（x+l）i°=（x+2—l）i°,因为（x+2—1尸的展开式通项为Ck（x+2）i°f<—l）"

当10—r=2,即厂=8时，。2=60=45,选C.

8.解：设底面圆心为O,分别以0c所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系（图略），则

C（V3,0,0）,JB（0,V3,0）,P（0,0,2）,D0,—,1,所以赤=（0,6,0）,丽=-73,—,1

I2JI2,

_OBCD_V57

cos〈AB,CL^i=cos（OB,CD^

一网间-19

评选。・

设CD与底面所成的角为e,则sine=£1当

ME

9.AC10.ABD11.BCD

9.解：对于A,/（%）=-^x3-4x=0,贝（JX]=0,%=26,£=-2G，正确;

对于B,/'(%)=/一4,左=/'(0)=—4,〃x)的图象在原点处的切线方程为y=-4x,错误；

对于C,由/(%)为奇函数，可知/(x)的图象关于点(0,0)对称，正确；

对于D,r(x)=/—4=(x+2)(x—2),/(x)在［0,2］上单调递减，在［2,3］上单调递增，又

y(0)=0,/(3)=-3,所以在［0,3］上的最大值为0,错误.

故选AC.

10.解：设等比数列｛4｝的首项为q,公比为q(qwO).

对于A,&5=)一=a；q,ci^*^7—)=a；q,

所以4；=%/7，则%,%,。7成等比数列，正确；

3

对于B,因为智=射，所以｛才｝是等比数列，正确；

an

对于C,不妨取等比数列｛4｝为4=1,则Iga,=0,不是等比数列，错误；

1

对于D,因为牛=&=！，所以是等比数列，正确.

±%+1qU一

an

故选ABD.

11.解：对于A,1+"=2,p=2,错误.

2

y=x—1,

对于B,（方法一）直线/的方程为y=x—1,由WX02-6X+1=0.

设A（X，%），则$/=芯+/+P=8.

(方法二)过焦点厂(1,0)的弦长|4同=言一，直线/的斜率为1,贝Ijsina=1

，.二|A_B|=1=8,正确.

2

对于C,设过点P的直线方程为y=k(x-1),代入抛物线方程，得左2(x—1)2=4x,

化简后为左2必一(2左2+4)x+左2=0.设4(占,%),3(%,〉2)，则有X1%2=L

根据抛物线性质可知，IA川=%+1,\BF\=X2+1,

11M+1+x,+1x,+x+2%]+X,+2十也

-----1-----=—i-------乙=9-------——*乙=1,正确.

|AF|\BF\(x1+l)(x2+1)%1+x2+xrx2+1玉+々+2

对于D,过A,3分别向准线作垂线，交于点A,3',过3作5CLAA于点C(图略)，不妨设年创=1,

Be

则|BB,|=1,|AF|=|AA,|=2,*AABC中，tan/84c=——=20,/.直线AB的斜率为2后，正确.故

AC

选BCD.

544

12.72013.——14.——,+00

12515

12.解：C：乂(2x)3x(-3)2=720/.

3

13.解：袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1个球，每次取到黄球的概率［=5,

.­.3次中恰有2次抽到黄球的概率P=C；xx［1—|］=t.

14.解：/(x)=(mx2,则/'(%)二1,/+2相1一%一1).

函数在区间［1,3］上存在单调递增区间，只需1(%)>0在区间［1,3］上有解,

即mx2+2如一%-1>0在区间［1,3］上有解，

所以.〉在区间口'3】上有解‘所以"〉［)•

令x+1=fJe［2,4］,则1=————=」—=—^—r.

22

L」/+2X(x+i)-iz-it_l

t

令g(/)="；，所以g⑺在［2,4］上单调递增，所以g⑺max=g(4)=?,

「+1]44(4

即—，所以加〉一，所以实数机的取值范围是一,+8

<x2+2xJ

15.解：(1)设｛4｝的公差为〃,帆｝的公比为，

〃]+%+2d=4,

5%+3^=15,

%=i,

解得4

d=I,.,,a=n.

又由＜

解得

(2)由题意得%="X3'T,

.-.7；,=1x3°+2x31+3x32+••­+«x3,i-1©,

则37；,=1x3*+2x32+■••+(«-^xS^+nxS"@.

①一②，得—27；=1+1x31+1x3?+…+1X3"T—〃X3"

x3",

4=！+也二』又3"

”44

16.解：(1)43a-VSccosB+bsmC=0,

由正弦定理可得JWsinA-GsinCcosB+siiiBsinC=0.

又因为在AABC中，有sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以6(sinBcosC+cosBsinC)-V3sinCcosB+sinBsinC=0,

化简得V3sinBcosC+sinBsinC=0.

因为0<3<乃，所以sinBwO,

所以J》cosC+sinC=0,于是tanC=-6.

因为0<C<〃，所以c=上.

3

(2)由。为AB的中点，可得AD=3。=

又ZADC+NBDC="，所以cosZADC+cosZBDC=0,

从而可得/+02=10.

又cosC-----------------，所以ub=2,

lablab

可得SAABC=l^sinC=；.

17.(1)证明：由gCL平面A3C,A3u平面ABC,得A3,3c.

因为A3,AC,CgnAC=C,所以AB，平面AB。.

又因为A4〃A3,所以4片J.平面AgC.

(2)解:以C为原点，直线C4为x轴，直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

(以4为原点，相应给分)

则C（0,0,0）,A（L0,0）,5（LL0）.

又3c=应,5四=明=6,

所以Cg=1,4（0,0,1）,£[0,0,；）而=（1,0,0）,

贝U羽=函=（-1,-1,1）,AE=1―1,0,£|,荏=（0,1,0）.

设平面AEB的法向量为加=（芯，%/1）,

\m-AB=Q,一/、

则＜_____.即1令玉=1,得加=（1,0,2）.

m-AE=0,一七+~zi=°，

（I2

设平面A41G。的法向量为"=（%2，%，Z2），

则_____.即V2令%=1,得〃=（0,1,1）.

n-A4]=0,[~x2-%+22=0，

设平面AEB与平面AAQC的夹角为，,

八m•n2V10.八V15

贝miUlcose=Iif=~]=----~r=------，所以sin9=------，

口忖V5xV255

J15

故平面AEB与平面441cle夹角的正弦值为七一.

18.解：(1)设椭圆C的半焦距为c(c>0),过尸且垂直于x轴的直线被圆。所截得的弦长为26，则

2y1a~-c2=273.

又/-Z?2=c~e=—,

2

a=2,

解得「

w=百，

-2,2

所以C的标准方程为—+^-=1.

43

（2）设4（尤1，%）,8（%2，＞2），

y=kx-2,

联立直线/与椭圆的方程]必,2可得（4/b2

C3+一16日+4=0,

[43

91

所以再+Z==T—=16（12/-3）〉0,得上2〉一.

J十^vKJ-r^vK4

2

又原点到直线AB的距禺d二—/，

.E'J

22

所以AB=Jl+上?_%2|=Jl+左Jq+%J-4X1X2

3+442

/-1\AH\，_4V3A/4F-1

所以ZAOB—|A5d—2,

令j4/—l=/（/〉0）,贝1J4左2=1+』，

所以SAA°B=*=3WW芈了=6,当且仅当/=

2时，等号成立，