湖北省武汉青山区2023-2024学年中考适应性考试数学试题含解析

湖北省武汉青山区2023-2024学年中考适应性考试数学试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.已知方程X2-5X+2=0的两个解分别为W、4，则%+%2-西马的值为（）

A.-7B.-3C.7D.3

2.下列二次根式，最简二次根式是（)

A，瓜B.£C.713D.Vol

3.下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（)

A[JB.*C.曦"D.繇

4.下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

6.如图是一个正方体的表面展开图，如果对面上所标的两个数互为相反数，那么图中x的值是（).

A.—3B.3C.2D.8

7.下列四个图形中，是中心对称图形的是（）

A.B.C.D

8.我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.如图，一位母亲在

从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（）

9.若一个正多边形的每个内角为150。，则这个正多边形的边数是（）

A.12B.11C.10D.9

10.如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，沿CE折叠△CDE,点D恰好落在AC的中点F处，若CD=由,

A.1B.73C.2D.273

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

3

11.如图△ABC中，ZC=90°,AC=8cm,AB的垂直平分线MN交AC于D,连接BD,若cos/BDC=g,则BC的

12.三角形的每条边的长都是方程式—6》+8=0的根，则三角形的周长是.

k

13.如图，矩形ABCD中，AB=2AD,点A（0,1）,点C、D在反比例函数y=—（k>0）的图象上，AB与x轴的正半轴

x

相交于点E,若E为AB的中点，则k的值为.

AZ）2

14.如图，已知O为△ABC内一点，点D、E分别在边AB和AC上，且一=一,DE〃BC,设OB=b、OC=C>

AB5

那么。E（用Z?、c表示）.

B

15.为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之

间赛一场）.现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为.

16.已知。。的半径为5,由直径AB的端点B作。O的切线，从圆周上一点P引该切线的垂线PM,M为垂足，连

接PA,设PA=x,则AP+2PM的函数表达式为,此函数的最大值是一,最小值是.

三、解答题（共8题，共72分）

l1r-

17.（8分）⑴计算：|,一1|+（2017—兀）°一（z）-i—3tan30°+我；

⑵化简：（。并在2,,4,5这四个数中取一个合适的数作为a的值代入求值.

"—33

18.（8分）如图（1）,已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE±BC,垂足为点E,GF±CD,垂足为点F.

（1）证明与推断：

①求证：四边形CEGF是正方形；

②推断：一上的值为：

BE

（2）探究与证明：

将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转a角（0°<a<45°）,如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系,

并说明理由：

（3）拓展与运用：

正方形CEGF在旋转过程中，当B,E,F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H.若AG=6,

GH=20,贝!|BC=.

图⑴图⑵图⑶

19.（8分）甲、乙、丙3名学生各自随机选择到A、82个书店购书.

（1）求甲、乙2名学生在不同书店购书的概率；

（2）求甲、乙、丙3名学生在同一书店购书的概率.

20.（8分）有一项工作，由甲、乙合作完成，合作一段时间后，乙改进了技术，提高了工作效率.图①表示甲、乙合

作完成的工作量y（件）与工作时间t（时）的函数图象.图②分别表示甲完成的工作量y甲（件）、乙完成的工作量y

乙（件）与工作时间t（时）的函数图象.

（1）求甲5时完成的工作量；

（2）求y甲、y乙与t的函数关系式（写出自变量t的取值范围）；

（3）求乙提高工作效率后，再工作几个小时与甲完成的工作量相等？

21.（8分）如图，AC是O的直径，点B是O内一点，且BA=BC,连结BO并延长线交。于点D,过点C

作30的切线CE,且BC平分NDBE.

（1）求证：BE=CE；

（2）若。的直径长8,sin/BCE=1，求BE的长.

22.（10分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线与F,

且AF=BD,连接BF。求证：D是BC的中点；如果AB=AC,试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。

BI）

23.（12分）（1）解方程：x2-5x-6=0；

x+4<3（%+2）

(2)解不等式组：《x-1x

-----<—

I23

24.如图，△ABC内接与。O,AB是直径，。。的切线PC交BA的延长线于点P,OF〃BC交AC于AC点E,交

PC于点F,连接AF.

判断AF与。O的位置关系并说明理由；若。。的半径为4,AF=3,求AC

的长.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、D

【解析】

由根与系数的关系得出Xl+X2=5,X1・X2=2,将其代入X|+X2-X1・X2中即可得出结论.

【详解】

解：•方程x2-5x+2=0的两个解分别为Xi,X2,

；.X1+X2=5,X1«X2=2,

故选D.

【点睛】

本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系得出Xi+X2=5,XI・X2=2.本题属于基础题，难度不

大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键.

2、C

【解析】

根据最简二次根式的定义逐个判断即可.

【详解】

A.&=2后，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

B.F=也,不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

V22

c.Ji与是最简二次根式，故本选项符合题意；

D.疯1=巫，不是最简二次根式，故本选项不符合题意.

10

故选C.

【点睛】

本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解答此题的关键.

3、D

【解析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【详解】

A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选D.

【点睛】

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中

心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

4、C

【解析】

分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

详解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；

D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误.

故选：C.

点睛：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后

可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

5、C

【解析】

化简二次根式，并进行二次根式的乘法运算，最后合并同类二次根式即可.

【详解】

原式=36一2短；6-手=手.

故选C.

【点睛】

本题主要考查二次根式的化简以及二次根式的混合运算.

6、D

【解析】

根据正方体平面展开图的特征得出每个相对面,再由相对面上的两个数互为相反数可得出x的值.

【详解】

解：“3”与“-3”相对,“y”与“-2”相对,“x”与“-8”相对,故x=8,故选D.

【点睛】

本题主要考查了正方体相对面上的文字，解决本题的关键是要熟练掌握正方体展开图的特征.

7、D

【解析】

试题分析：根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可.

解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；

B、不是中心对称图形，故本选项错误；

C、不是中心对称图形，故本选项错误；

D、是中心对称图形，故本选项正确；

故选D.

考点：中心对称图形.

8、C

【解析】

由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为：1x73+3x72+2x7+6=510,

故选：C.

点睛：本题考查记数的方法，注意运用七进制转化为十进制，考查运算能力，属于基础题.

9、A

【解析】

根据正多边形的外角与它对应的内角互补，得到这个正多边形的每个外角=180。-150°=30°,再根据多边形外角和为360

度即可求出边数.

【详解】

•.•一个正多边形的每个内角为150°,

,这个正多边形的每个外角=180。-150°=30°,

,这个正多边形的边数=吗=1.

30

故选：A.

【点睛】

本题考查了正多边形的外角与它对应的内角互补的性质；也考查了多边形外角和为360度以及正多边形的性质.

10、B

【解析】

由折叠的性质可得C0=CF=G，DE=EF,AC=2也，由三角形面积公式可求EF的长，即可求AACE的面积.

【详解】

解：•••点尸是AC的中点，

1

：.AF=CF=-AC,

2

,将ACDE沿CE折叠到△CFE,

；.CD=CF=6,DE=EF,

：.AC=2^3,

在RfAACZ）中，AD=^AC2-CD2=1.

,**SAADC=SAAEC+SACDE9

111

:.一xADxCD=-XACXEF+-xCDxDE

222

••.1x73=273EF+&DE,

：.DE=EF=1,

：.SAAEC=；x2百xl=73.

故选5.

【点睛】

本题考查了翻折变换，勾股定理，熟练运用三角形面积公式求得OE=EF=1是解决本题的关键.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、4

【解析】

3

试题解析：VcosZBDC=-,可

，设。C=3x,BD=5x,

又VMN是线段AB的垂直平分线，

*.AD=DB=5x,

XVAC=8cm,

/.3x+5x=8,

解得，x=l,

在RtABDC中，CD=3cm,Z）B=5cm,

BC=SIDB2-CD2=A/52-32=4.

故答案为：4cm.

12、6或2或12

【解析】

首先用因式分解法求得方程的根，再根据三角形的每条边的长都是方程V—6%+8=0的根，进行分情况计算.

【详解】

由方程V—6%+8=0,得工=2或L

当三角形的三边是2,2,2时，则周长是6；

当三角形的三边是1,1,1时，则周长是12；

当三角形的三边长是2,2,1时，2+2=1,不符合三角形的三边关系，应舍去；

当三角形的三边是1,1,2时，则三角形的周长是1+1+2=2.

综上所述此三角形的周长是6或12或2.

1Q3+v5

j.J、------

2

【解析】

解：如图，作。尸，y轴于尸，过3点作x轴的平行线与过C点垂直与x轴的直线交于G,CG交x轴于K,作

轴于77,I•四边形ABCD是矩形，：.ZBAD^90°,：.ZDAF+ZOAE=90°,,：ZAEO+ZOAE^9Q°,：.ZDAF=ZAEO,

,：AB=2AD,E为AB的中点，：.AD=AE,在AAO尸和AEA。中，VZDAF=ZAEO,ZAFD=ZAOE=90°,AD=AE,

/.△ADF^A£AO(AAS),：.DF=OA=1,AF=OE,.*.£)(1,k\：.AF^k-1,同理；AAOE^/XBHE,4ADF咨dCBG,

：.BH=BG=DF=OA=1,EH=CG=OE=AF=k-1,Z.0K=2(A:-1)+l=2k-1,CK=k-2,：.C{2k-1,k-2),：.(2k

-1)(JI-2)=lk,解得后=1±正，的=3-6,'：k-l>Q,故答案为

2222

点睛：本题考查了矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征.图象上的点（x,j）的横纵坐标的积是定值公即

xy-k.

22

14、——b+—c

55

【解析】

An2

根据丁==,DE〃BC,结合平行线分线段成比例来求DE.

AB5

【详解】

2

四55DE〃BC,

2

AB--

AE「5

一

ACDE

­C

AEB

AE

•；OB=b，OC=C

；•BC=OC-OB=C-Z?

：.DE=-CC-b\

5

2

故答案为：DE=-CC-b\

【点睛】

本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.

15、-x(x-1)=1

2

【解析】

【分析】赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，X个球队比赛总场数为(x-1),即可列方程.

2

【详解】有X个队，每个队都要赛(X-1)场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：

—X(X-1)=1,

2

故答案为Lx(X-1)=1.

2

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.

185

16、——x2+x+20(0<x<10)一不存在.

54

【解析】

先连接BP,AB是直径，BP1BM,所以有，NBMP=NAPB=90。，又NPBM=NBAP,那么有△PMBsapAB,于

PR21Q2_2]02—X21

是PM：PB=PB：AB,可求——=-------,AP+2PM=x+----------=——x2+x+20(0<x<10),

AB1055

再根据二次函数的性质，可求函数的最大值.

【详解】

如图所示，连接PB,

VZPBM=ZBAP,NBMP=NAPB=90。，

/.△PMB^APAB,

APM：PB=PB：AB,

]()2_2i

AP+2PM=x+---------=——X2+X+20(0<X<10),

55

■:a=—<0,

5

...AP+2PM有最大值，没有最小值,

.4ac-b~85

••y最大值=---------------=—

4a4

85

(0<x<10)?—，不存在.

4

【点睛】

考查相似三角形的判定与性质，二次函数的最值等，综合性比较强，需要熟练掌握.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)-2(2)a+3,7

【解析】

(1)先根据绝对值、零次方、负整数指数累、立方根的意义和特殊角的三角函数值把每项化简，再按照实数的运算法

则计算即可；

(2)先根据分式的运算法则把+化简，再从2,3,4,5中选一个使原分式有意义的值代入计

a"-6a+93—aa2-9

算即可.

【详解】

a(a-3)2.4—2

(2)原式=[

。一3a2—9

a2a-2

ci-2+-3)

ci—3a—2

=Q+3,

Va^—3,2,3,，a=4或a=5,

取a=4,则原式=7.

【点睛】

本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握特殊角的三角函数值、负整数指数幕、分式的运算法则是解

答本题的关键.

18、(1)①四边形CEGF是正方形；②及；(2)线段AG与BE之间的数量关系为AG=J^BE；(3)36

【解析】

(1)①由GELBC、GFLCD结合/BCD=90可得四边形CEGF是矩形，再由NECG=45即可得证；

②由正方形性质知/CEG=/B=90、NECG=45，据此可得*=3、GE//AB,利用平行线分线段成比

例定理可得；

(2)连接CG,只需证ACGs^BCE即可得；

(3)证AHGsCHA#—,设BC=CD=AD=a,知AC=0a，由任=必得AH=2a、

ACAHCHvACAH3

ZT1_710.AGAH一相

DH=—asCH=------a，由——■=-—可得a的值.

33ACCH

【详解】

(1)①•••四边形ABCD是正方形，

.•.NBCD=90。，ZBCA=45°,

VGE±BC,GF±CD,

.•.ZCEG=ZCFG=ZECF=90。，

，四边形CEGF是矩形，ZCGE=ZECG=45°,

.•.EG=EC,

•••四边形CEGF是正方形；

②由①知四边形CEGF是正方形，

.•.ZCEG=ZB=90°,ZECG=45°,

——CG=0,GE〃AB,

CE

•AG-CG-J2

BECE

故答案为0；

(2)连接CG,

AD

由旋转性质知NBCE=NACG=a,

在RtACEG和RtACBA中，

CEV2CBV2

=----、-----,

CG2CA2

CECB

.,.△ACG^ABCE,

BECB

线段AG与BE之间的数量关系为AG=V2BE；

(3)VZCEF=45°,点B、E、F三点共线,

.•.ZBEC=135°,

VAACG^ABCE,

.•.ZAGC=ZBEC=135°,

.".ZAGH=ZCAH=45°,

VZCHA=ZAHG,

/.△AHG^ACHA,

.AGGHAH

"AC~AH~CH'

设BC=CD=AD=a,贝!|AC=0a,

则由患黑嗔书，

2

/.AH=—a,

3

1/--------------

贝！］DH=AD-AH=§a,CH=yJcD2+DH2=

2

右一a

AGAH6=3_

~AC~~CH^42a历，

-----a

解得：a=36\即BC=3j?,

故答案为3君.

【点睛】

本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练

掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.

19、（1）P=-;（2）P=-.

24

【解析】

试题分析：依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事

件的概率.

试题解析：（1）甲、乙两名学生到A、B两个书店购书的所有可能结果有：

从树状图可以看出，这两名学生到不同书店购书的可能结果有AB、BA共2种，

41

所以甲乙两名学生在不同书店购书的概率P（甲、乙2名学生在不同书店购书）=-=-；

82

（2）甲、乙、丙三名学生AB两个书店购书的所有可能结果有：

从树状图可以看出，这三名学生到同一书店购书的可能结果有AAA、BBB共2种，

21

所以甲乙丙到同一书店购书的概率P（甲、乙、丙3名学生在同一书店购书）.

84

点睛：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,

适合于两步完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

，工

20?0<?<272r…

20、(1)1件；(2)y甲=30t(0<t<5)；丫乙=<'；(3)一小时；

[60?-80(2<?<5)3

【解析】

(1)根据图①可得出总工作量为370件，根据图②可得出乙完成了220件，从而可得出甲5小时完成的工作量；(2)

设y甲的函数解析式为y=kx+b,将点(0,0),(5,1)代入即可得出y甲与t的函数关系式；设y乙的函数解析式为y=mx

(0<t<2),y=cx+d(2<t<5),将点的坐标代入即可得出函数解析式；(3)联立y甲与改进后y乙的函数解析式即可得出

答案.

【详解】

(1)由图①得，总工作量为370件，由图②可得出乙完成了220件，

故甲5时完成的工作量是1.

(2)设y用的函数解析式为y=kt把点(5,1)代入可得：k=30

故y甲=30t(0WS5)；

乙改进前，甲乙每小时完成50件，所以乙每小时完成20件，

当0<t<2时，可得y乙=20t；

f2c+d=40

当2〈饪5时，设y=ct+d,将点(2,40),(5,220)代入可得：仁，

5c+d=220

c=60

解得：

d=-80

故y乙=60t-80(2<t<5).

'20Z(0<Z<2)

综上可得：y甲=30t(0<t<5)；丫乙=

60/-80(2<?<5)

y=30f

(3)由题意得:

y=60?-80

Q

解得：t=:;,

3

Q2

故改进后2-2=一小时后乙与甲完成的工作量相等.

33

【点睛】

本题考查了一次函数的应用，解题的关键是能读懂函数图象所表示的信息，另外要熟练掌握待定系数法求函数解析式的

知识.

21、(1)证明见解析；(2)BE=—

6

【解析】

(1)先利用等腰三角形的性质得到瓦)，AC,利用切线的性质得CELAC,贝！|CE〃BD,然后证明N1=N3得到

BE=CE；

⑵作比F5c于尸，如图，在RtAOBC中利用正弦定义得到BC=5,所以然后在RtABEF中

通过解直角三角形可求出BE的长.

【详解】

(1)证明：BA=BC,AO=CO,

.-.BD±AC,

•.•CE>0O的切线，

.-.CE±AC,

.-.CE//BD,

BC平分ZDBE,

:.N2=N3,

:.Z\=Z3,

.-.BE=CE；

（2）解：作EFLBC于F,如图，

0的直径长8,

,-.CO=4.

.八./c40c

sin/3=sinx2=—=,

5BC

..BC=5,

BE=CE,

BF=-BC=-,

22

EF4

在Rt二BEF中，sin/3=sin/1==—

BE5

设EF=4x,则BE=5x,

.-.BF=3x,即3x=。，解得X=3,

26

BE=5x=—.

6

25

故答案为(1)证明见解析；(2)BE=—.

6

【点睛】

本题考查切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径•若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直

关系•简记作：见切点，连半径，见垂直•也考查了解直角三角形.

22、(1)详见解析；(2)详见解析

【解析】

(1)根据两直线平行，内错角相等求出NAFE=NDCE,然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，再根据全等

三角形的性质和等量关系即可求解；

(2)由(1)知AF平行等于BD,易证四边形AFBD是平行四边形，而AB=AC,AD是中线，利用等腰三角形三线

合一定理，可证ADJ_BC,即NADB=90。，那么可证四边形AFBD是矩形.

【详解】

(1)证明：VAF/7BC,

:.ZAFE=ZDCE,

；点E为AD的中点，

:.AE=DE,

在4AEF^ADEC中，

ZAFE=ZDCE

<ZAEF=ZDEC,

AE=DE

/.△AEF^ADEC(AAS),

.\AF=CD,

VAF=BD,

/.CD=BD,

.,.D是BC的中点；

(2)若AB=AC,则四边形AFBD是矩形.理由如下：

VAAEF^ADEC,

.\AF=CD,

VAF=BD,

/.CD=BD；

；AF〃BD,AF=BD,

，四边形AFBD是平行四边形，

VAB=AC,BD=CD,

/.ZADB=90°,

平行四边形AFB