押成都卷第24题 （方程（组）、不等式（组）与函数的实际应用）（解析版）-备战2024年中考数学

押成都卷第24题押题方向一：方程（组）、不等式（组）与函数的实际应用3年成都真题考点命题趋势2023年成都卷第24题方程组、不等式与一次函数性质从近年成都中考来看，方程、不等式与函数的实际应用考查内容主要以方程、不等式基本应用为主，结合一次函数的增减性解决相关问题，整体难度中等，是很多同学B卷相对容易拿分的考点；预计2024年成都卷还将重视方程（组）、不等式（组）与函数的实际应用的考查。2022年成都卷第24题不等式与一次函数2021年成都卷第26题一元一次方程与不等式1．（2023·四川成都·中考真题）年月日至月日，第届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买，两种食材制作小吃．已知购买千克种食材和千克种食材共需元，购买千克种食材和千克种食材共需元．(1)求，两种食材的单价；(2)该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买种食材千克数不少于种食材千克数的倍，当，两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．【答案】(1)种食材单价是每千克元，种食材单价是每千克元(2)种食材购买千克，种食材购买千克时，总费用最少，为元【分析】（1）设种食材的单价为元，种食材的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）设种食材购买千克，则种食材购买千克，根据题意列出不等式，得出，进而设总费用为元，根据题意，，根据一次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：设种食材的单价为元，种食材的单价为元，根据题意得，，解得：，答：种食材的单价为元，种食材的单价为元；（2）解：设种食材购买千克，则种食材购买千克，根据题意，解得：，设总费用为元，根据题意，∵，随的增大而增大，∴当时，最小，∴最少总费用为（元）【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键．2．（2022·四川成都·中考真题）随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是，乙骑行的路程与骑行的时间之间的关系如图所示．(1)直接写出当和时，与之间的函数表达式；(2)何时乙骑行在甲的前面？【答案】(1)当时，；当时，(2)0.5小时后【分析】（1）根据函数图象，待定系数法求解析式即可求解；（2）根据乙的路程大于甲的路程即可求解．【详解】（1）由函数图像可知，设时，，将代入，得，则，当时，设，将，代入得解得（2）由（1）可知时，乙骑行的速度为，而甲的速度为，则甲在乙前面，当时，乙骑行的速度为，甲的速度为，设小时后，乙骑行在甲的前面，则解得答：0.5小时后乙骑行在甲的前面【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，立即题意是解题的关键．3．（2021·四川成都·中考真题）为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．（1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；（2）由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，现在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？【答案】（1）38吨；（2）3个【分析】（1）设每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数为x，则A型为x+7，由每天需要处理生活垃圾920吨列出方程求解即可；（2）设至少需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．则B型为5-y，根据两种需要处理的生活垃圾和不低于910吨列不等式求解即可．【详解】解：（1）设每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数为x，则A型为x+7，由题意得：10x+12（x+7）=920，解得：x=38，答：每个B型点位每天处理生活垃圾为38吨数；（2）设至少需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．则B型为5-y．由题意得（12+y）(38+7-8)+（10+5-y）（38-8）≥920-10解得：y≥，∵y为整数∴至少需要增设3个A型点位，答：至少需要增设3个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．【点睛】本题考查一元一次方程以及一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出关系式是解题关键．方程（组）的应用题以实际问题为背景，一般为生活中常见的分析决策问题，且情境真实、贴近学生生活。程（组）的应用题考查数学抽象和数学建模以及阅读能力，让学生学会把实际问题转化成数学问题，用数学符号建立方程（组）、不等式等表示数学问题中的数量关系，并设计出适当的解决问题的方案，培养应用意识和模型思想，提高解决实际问题能力。建立方程、不等式、函数模型解决问题的一般步骤：①阅读，弄清问题背景和基本要求；②分析，寻找问题的数量关系，找到与其相关的知识；③建模，由分析得出的相关知识建立方程模型、不等式(组)模型或函数模型；④解题，求解上述建立的方程、不等式或函数，结合实际确定最优方案。1．（2024·河南漯河·一模）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以龙的十二生肖专属汉字“辰”为名．设计灵感以中华民族龙图腾的代表性实物，突出呈现吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某网店从工厂购进大号、中号两种型号的“龙辰辰”，已知每个大号“龙辰辰”进价比中号“龙辰辰”多15元，2个大号“龙辰辰”和1个中号“龙辰辰”共150元．(1)求大号、中号两种型号的“龙辰辰”的进价．(2)该网点准备购进两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过中号的一半．中号“龙辰辰”定价60元，大号“龙辰辰”的定价比中号多．当购进大号“龙辰辰”多少个时，销售总利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)大号的“龙辰辰”的进价为55元，中号的“龙辰辰”的进价为元(2)当购进大号“龙辰辰”20个时，销售总利润最大，最大利润是元．【分析】此题考查了一次函数、一元一次不等式、一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是解题的关键．（1）设大号的“龙辰辰”的进价为x，则中号的“龙辰辰”的进价为元，根据2个大号“龙辰辰”和1个中号“龙辰辰”共150元列方程，解方程即可得到答案；（2）设购进大号“龙辰辰”m个，则中号“龙辰辰”的个数为个，销售总利润为元，得到，再根据题意求出，根据一次函数的性质即可得到答案．【详解】（1）解：设大号的“龙辰辰”的进价为x，则中号的“龙辰辰”的进价为元，则解得，则，答：大号的“龙辰辰”的进价为55元，中号的“龙辰辰”的进价为元；（2）解：设购进大号“龙辰辰”m个，则中号“龙辰辰”的个数为个，销售总利润为元，则，∵大号“龙辰辰”的个数不超过中号的一半∴，∴，∵中，，∴w随着m的增大而增大，∴当时，w取得最大值，此时，∴当购进大号“龙辰辰”20个时，销售总利润最大，最大利润是元．2．（2024·广东汕头·一模）李叔叔批发甲乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示，品名甲蔬菜乙蔬菜批发价/（元/kg）零售价/（元/kg）(1)若他批发甲乙两种蔬菜共花180元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解）(2)若他批发甲乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜．①求m与n的函数关系式；②若他批发甲种蔬菜不超过乙种蔬菜的3倍，求他全部卖完蔬菜后能获得的利润的最大值，【答案】(1)甲蔬菜，乙蔬菜(2)①；②他全部卖完蔬菜后能获得的利润的最大值为176元【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用：（1）设批发甲蔬菜，乙蔬菜，根据批发甲蔬菜和乙蔬菜两种蔬菜共，用去了元钱，列方程求解；（2）①根据总价等于单价×数量，由甲、乙两种蔬菜总价和为m，即可得出m与n的函数关系；②设利润为W元，先列不等式求出，再求出，据此根据一次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设批发甲蔬菜，乙蔬菜，由题意得：，解得：，乙蔬菜，答：批发甲蔬菜，乙蔬菜；（2）解：①设批发甲种蔬菜，则批发乙蔬菜，由题意得：，∴m与n的函数关系为：；②设利润为W元，由题意得，，解得，∴W随n的增大而增大，∴当时，m有最大值，最大值为∴他全部卖完蔬菜后能获得的利润的最大值为176元．3．（2024·山东青岛·一模）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往两地，两种货车载重量及到两地的运输成本如下表：货车类型载重量（吨/辆）运往A地的成本（元/辆）运往B地的成本（元/辆）甲种161200900乙种121000750(1)求甲、乙两种货车各用了多少辆；(2)如果前往地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往地．设甲、乙两种货车到两地的总运输成本为元，前往地的甲种货车为辆．求当为何值时，最小？最小值是多少．【答案】(1)甲种货车用10辆，则乙种货车用14辆(2)当时，w最小，最小值为22700元【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程，不等式与一次函数关系式是解题的关键．（1）设甲种货车用x辆，则乙种货车用辆．根据题意列一元一次方程即可求解；（2）先根据表格信息列出w与t之间的函数解析式，根据所运物资不少于160吨列出不等式，求得t的范围，然后根据一次函数的性质求得最小值即可．【详解】（1）解：设甲种货车用x辆，则乙种货车用辆，根据题意，得，解得，∴，答：甲种货车用10辆，则乙种货车用14辆；（2）解：根据题意，得，∵∴∵，∴w随t的减小而减小．∴当时，w最小，最小值为（元）．4．（2024·四川泸州·二模）近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，泸县某中学把足球和篮球列为该校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球．若购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元．(1)篮球、足球的单价各是多少元？(2)根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个，要求购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，请求出最省钱的一种购买方案．【答案】(1)篮球的单价是110元，足球的单价是80元．(2)该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱．【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用等知识点，根据题意正确列出方程组和不等式成为解题的关键．（1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，根据等量关系“购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元”列出方程组求解即可；（2）设该校购买m个篮球，则购买个足球，根据购买的总费用不超过9200元列出不等式求解即可．【详解】（1）解：设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，依题意得：，解得：．答：篮球的单价是110元，足球的单价是80元．（2）解：设该校购买m个篮球，则购买个足球，购买篮球和足球的总费用依题意得：，解不等式①得：．解不等式①得：．∴m的取值范围为：，∵购买篮球和足球的总费用，，∴y随m的增大而增大，∴当时，最省钱，∴该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱．答：该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱．5．（2023·山东日照·中考真题）要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为，，的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计．

(1)设制作A种木盒x个，则制作B种木盒__________个；若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材__________张；(2)该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数；(3)包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润．【答案】(1)，(2)制作A种木盒100个，B种木盒100个；使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板50张(3)A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元【分析】（1）根据题意即可求解；（2）根据题意可得，制作一个A种木盒需要长、宽均为的木板5个，制作一个B种木盒需要长、宽均为的木板1个，长为10cm、宽为的木板4个；甲种方式可切割长、宽均为的木板4个，乙种方式可切割长为10cm、宽为的木板8个；列关系式求解即可；（3）先根据（2）中数据求得总成本金额，根据利润=售价-成本列式，根据一次函数的性质进行求解即可．【详解】（1）解：∵要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，制作A种木盒x个，故制作B种木盒个；∵有200张规格为的木板材，使用甲种方式切割的木板材y张，故使用乙种方式切割的木板材张；故答案为：，．（2）解：使用甲种方式切割的木板材y张，则可切割出个长、宽均为的木板，使用乙种方式切割的木板材张，则可切割出个长为、宽为的木板；设制作A种木盒x个，则需要长、宽均为的木板个，制作B种木盒个，则需要长、宽均为的木板个，需要长为、宽为的木板个；故解得：，故制作A种木盒100个，制作B种木盒100个，使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张，（3）解：∵用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元，且使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张，故总成本为（元）；∵两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元，即，解得：，故的取值范围为；设利润为，则，整理得：，∵，故随的增大而增大，故当时，有最大值，最大值为，则此时B种木盒的销售单价定为（元），即A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一次函数的性质，一元一次不等式组的应用，根据题意找出等量关系进行列式是解题的关键．6．（2024·浙江宁波·一模）根据以下素材，探索完成任务．如何设计采购方案？素材1为了迎接9月末至10月初在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣已知一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元．素材2小明在该店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣共花费130元．素材3已知明信片的进价5元/套，吉祥物钥匙扣的进价18元/个．为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售．临近期中考试，某老师打算提前给学生准备奖品，在该店同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，本次交易商家-共获得600元销售额．其中售出吉祥物钥匙扣不少于15个．问题解决任务1假设明信片的售价为x元/套，钥匙扣的售价为y元/个，请协助解决右边问题．问：_______（用含的代数式表示）任务2基于任务1的假设和索材2的条件，请尝试求出吉祥物钥匙扣和明信片的售价．任务3【拟定设计方案】请结合素材3中的信息，帮助该老师完成此次促销活动中可行的购买方案．在这些购买方案中，哪种方案商家获利最高．【答案】任务1：；任务2：吉祥物钥匙扣的售价为30元，明信片的售价为10元；任务3：购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24套商家获利最高．【分析】本题考查一元一次方程，二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题．任务1：根据一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元，得；任务2：根据小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣与共花费130元，得，可解得答案；任务3：设购买吉祥物钥匙扣m个，明信片n张，得：，由是非负整数，可求出的值，再计算每种方案商家的利润，比较可得答案．【详解】解：任务1：一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元，．故答案为：．任务2：由素材2，得，解得，（元），答：吉祥物钥匙扣的售价为30元，明信片的售价为10元．任务3：设购买吉祥物钥匙扣个，明信片套，根据题意，得，．是非负整数，，吉祥物钥匙扣每件利润为（元），明信片每套利润为（元），购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24套，商家获利元；购买吉祥物钥匙扣20个，明信片12套，商家获利元；购买吉祥物钥匙扣25个，明信片0套，商家获利元；购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24套商家获利最高．7．（2023·江苏连云港·中考真题）目前，我市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基础、年为计算周期设定了如下表的三个气量阶梯：阶梯年用气量销售价格备注第一阶梯（含400）的部分2.67元若家庭人口超过4人的，每增加1人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加．第二阶梯（含1200）的部分3.15元第三阶梯以上的部分3.63元(1)一户家庭人口为3人，年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为__________元；(2)一户家庭人口不超过4人，年用气量为，该年此户需缴纳燃气费用为元，求与的函数表达式；(3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气？（结果精确到）【答案】(1)534(2)(3)26立方米【分析】（1）根据第一阶梯的费用计算方法进行计算即可；（2）根据“单价×数量=总价”可得y与x之间的函数关系式；（3）根据两户的缴费判断收费标准列式计算即可解答．【详解】（1）∵，∴该年此户需缴纳燃气费用为：（元），故答案为：534；（2）关于的表达式为（3）∵，∴甲户该年的用气量达到了第三阶梯．由（2）知，当时，，解得．又∵，且，∴乙户该年的用气量达到第二阶梯，但末达到第三阶梯．设乙户年用气量为．则有，解得，∴．答：该年乙户比甲户多用约26立方米的燃气．【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．8．（2024·河南许昌·一模）近日，许昌以其厚重的文化底蕴，吸引了不少外地游客游览打卡．在曹魏古城景区，游客们穿上汉服，戴上簪花，穿梭于亭台楼榭之间，与古城相映成趣．景区内某汉服商店计划购进一批汉服用于出租，已知购买1件A型汉服和4件B型汉服共550元；购买2件A型汉服和3件B型汉服共需600元(1)求A，B两种类型汉服的单价．(2)该商店计划购买两种类型汉服共100件，且A型汉服的数量不少于B型汉服数量的2倍．请计算该商店购买两种类型汉服各多少件时费用最少．并求出最少费用．【答案】(1)A类型汉服的单价为每件150元，B类型汉服的单价为每件100元(2)购买B类型汉服33件，购买A类型汉服为77件，总花费最少为13350元．【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，以及一次函数的实际应用．（1）设A类型汉服的单价为每件x元，B类型汉服的单价为每件y元，列出二元一次方程组求解即可．（2）设总费用为w，购买B类型汉服a件，则购买A类型汉服为件，根据题意得出，再列出w关于a的一次函数，根据一次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设A类型汉服的单价为每件x元，B类型汉服的单价为每件y元，根据题意有：，解得：，故A类型汉服的单价为每件150元，B类型汉服的单价为每件100元．（2）设总费用为w，购买B类型汉服a件，则购买A类型汉服为件，且，则，根据题意有：，整理得：，∵，∴w随着a的增大而减小，则当a取最大值33时，w取的最小值．当时，．故购买B类型汉服33件，购买A类型汉服为77件，总花费最少为13350元．9．（2024·辽宁·模拟预测）每年4月23日是世界图书日，某校以图书日为契机，开展“创建书香班级”实践体验系列活动．七（1）班决定购买甲、乙两种图书共50册，甲种图书每册12元，乙种图书每册15元．相关资料表明：甲、乙两种图书的借阅率分别为85%、90%．(1)若七（1）班购买这两种图书共用去678元，则甲、乙两种图书各购买多少册？(2)若要使这批图书的总借阅率不低于87%，则甲种图书最多购买多少册？(3)在（2）的条件下应如何选购图书，使购买图书的费用最低？并求出最低费用．【答案】(1)购买甲种图书24册，乙种图书26册(2)甲种图书至多购买30册(3)购买甲种图书30册，乙种图书20册，即可满足这批图书的总借阅率不低于87%，又使购买图书的费用最低，其最低费用为660元【分析】本题考查一次函数的性质、二元一次方程组、一元一次不等式等知识，解题的关键是学会设未知数，构建方程组或不等式或一次函数解决问题，属于中考常考题型．（1）设购买甲种图书册，则乙种图书册，列出方程组即可解决问题．（2）根据使这批图书的总借阅率不低于，列出不等式即可解决问题．（3）设购买两种图书的费用之和为，则，利用一次函数的性质即可解决问题．【详解】（1）解：设购买甲种图书册，则乙种图书册，由题意得：，解得，答：购买甲种图书24册，乙种图书26册．（2）解：设甲种图书购买册，由题意得：，解得．答：甲种图书至多购买30册．（3）设购买两种图书的费用之和为，则，在此函数中，随的增大而减小所以当时，取得最小值，其最小值为（元）答：购买甲种图书30册，乙种图书20册，即可满足这批图书的总借阅率不低于，又使购买图书的费用最低，其最低费用为660元．10．（2024·云南昆明·一模）繁花歌舞团准备采购甲、乙两种道具，某商场对甲种道具的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种道具按40元/件的价格出售，设繁花歌舞团购买甲种道具x件，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示：(1)求出当和时，y与x的函数关系；(2)若繁花歌舞团计划一次性购买甲、乙两种道具共120件，且甲种道具数量不少于乙种道具数量的，乙种道具不少于35件，如何分配甲、乙两种道具的购进量，才能使繁花歌舞团付款总金额w（元）最少？【答案】(1)当时，函数解析式为，当时，(2)购进甲种道具85件，购进乙种道具35件，才能使延长歌舞团付款总金额最少【分析】本题主要考查一次函数的应用，不等组的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．（1）设当时，函数解析式为，当时，函数解析式为，利用待定系数法可求解；（2）设购进甲种道具a件，则购进乙种道具件，根据“甲种道具数量不少于乙种道具数量的，乙种道具不少于35件”求得，然后结合（1）及题意列出付款总金额w（元）与甲种道具a件的函数关系式，可进行求解．【详解】（1）解：设当时，函数解析式为，则把点代入得：，解得：，∴当时，函数解析式为，当时，函数解析式为，则把点，代入得：，解得：，∴当时，；（2）解：设购进甲种道具件，则购进乙种道具件，由题知，，解得：．当时，；∵，∴随的增大而减小，则当时，当时，．即：当时，付款总金额最少，最少付款总金额为4990元．此时乙种道具为（件）．答：购进甲种道具85件，购进乙种道具35件，才能使延长歌舞团付款总金额最少．11．（2023·湖南·中考真题）为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共个班级参加．(1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积分，负一场积分．某班级在场比赛中获得总积分为分，问该班级胜负场数分别是多少？(2)投篮得分规则：在分线外投篮，投中一球可得分，在分线内含分线投篮，投中一球可得分，某班级在其中一场比赛中，共投中个球只有分球和分球，所得总分不少于分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个分球？【答案】(1)该班级胜负场数分别是场和场；(2)该班级这场比赛中至少投中了个分球．【分析】（1）设胜了场，负了场，根据场比赛中获得总积分为分可列方程组，求解即可．（2）设班级这场比赛中投中了个分球，则投中了个分球，根据所得总分不少于分，列出相应的不等式，从而可以求出答案．【详解】（1）解：设胜了场，负了场，根据题意得：，解得，答：该班级胜负场数分别是场和场；（2）设班级这场比赛中投中了个分球，则投中了个分球，根据题意得：，解得，答：该班级这场比赛中至少投中了个分球．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式．12．（2024·江西抚州·一模）某公司欲订购一种纪念品在五一期间回馈老客户，工厂接到此订单后计划通过引进一条新生产线来完成任务．根据以往经验，一名熟练工人比一名普通工人每小时制作的纪念品数量多5件，且一名熟练工人制作120件纪念品与一名普通工人制作80件纪念品所用的时间相同．(1)求一名熟练工人和一名普通工人每小时分别能制作多少件纪念品？(2)新生产线的目标产能是每小时生产200件纪念品，该工厂计划在本地招聘n名普通工人，并从其他生产线上调用m名熟练工人共同完成新生产线的任务，请用含n的代数式表示m；(3)该工厂在做市场调研时发现，一名普通工人每天工资为120元，一名熟练工人每天工量为150元，而且从其他生产线上调用的熟练工人不超过10人，则在（2）的条件下，该工厂如何安排工人，才能使支付的工资最少？【答案】(1)一名熟练工人和一名普通工人每小时分别能完成15个纪念品、10个纪念品(2)与的函数关系式是(3)招聘普通工人5人，调用熟练工人10人时，支付工资的总费用最少【分析】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．（1）根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以求得一名熟练工人和一名普通工人每小时分别能完成多少个纪念品，注意分式方程要检验；（2）根据（1）中的结果和题意，可以得到含n的代数式表示m；（3）然后根据一次函数的性质，即可得到该企业如何招聘工人，使得工人工资的总费用最少．【详解】（1）解：设一名普通工人每小时完成个纪念品，则一名熟练工人每小时完成个纪念品，，解得，经检验，是原分式方程的解，，即一名熟练工人和一名普通工人每小时分别能完成15个纪念品、10个纪念品；（2）解：由题意可得，，则，即与的函数关系式是；（3）解：设工人工资的总费用为元，，随的增大而增大，从其他生产线上调用的熟练工人不超过10人，，即，解得，当时，取得最小值，此时，，答：招聘普通工人5人，调用熟练工人10人时，支付工资的总费用最少．13．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：信息一工程队每天施工面积（单位：）每天施工费用（单位：元）甲3000乙2000信息二甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．(1)求的值；(2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工20天，且完成的施工面积不少于?求该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用?【答案】(1)300(2)该段时间内体育中心至少需要支付元施工费用【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，解题的关键是，找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系得出关于的函数关系式．（1）根据“甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等”得出分式方程，解方程即可得出答案；（2）设甲工程队施工天，则乙工程队单独施工天，根据“完成的施工面积不少于”列出不等式，得出，设该段时间内体育中心需要支付元施工费用，得出关于的函数关系式，由一次函数的性质即可得出答案．【详解】（1）解：根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，的值是；（2）解：设甲工程队施工天，则乙工程队单独施工天，由题意得：，解得：，设该段时间内体育中心需要支付元施工费用，则，即，，随着的增大而增大，当时，取得最小值，最小值，该段时间内体育中心至少需要支付元施工费用．14．（2024·重庆九龙坡·一模）走洛克之路，赏人间仙境．洛克之路是甘南旅游网红自驾线路，起点为迭部县扎尔那，终点为卓尼县扎古录，全程共105千米．甲、乙两人分别驾车从迭部县扎尔那和卓尼县扎古录出发，沿洛克之路自驾旅游，3小时后两人相遇，相遇后甲、乙继续往目的地行驶并走完全程，乙走完全程所用时间是甲走完全程所用时间的1.5倍．(1)甲、乙两人单独走完全程各需多少小时？(2)风干牦牛肉是甘南特色小吃．甲购买了种牦牛肉，乙购买了种牦牛肉，甲购买的袋数比乙的2倍少5袋，已知种牦牛肉价格为每袋35元，种牦牛肉价格为每袋50元，计算发现乙购买牦牛肉花费更多．问乙最多购买了多少袋牦牛肉？【答案】(1)甲、乙两人单独走完全程各需5小时，小时；(2)乙最多购买了8袋牦牛肉．【分析】本题考查了分式方程的实际应用等知识，（1）设甲走完全程用时小时，根据题意列出分式方程，即可求解；（2）设乙购买了袋牦牛肉，根据题意列出不等式，即可求解．【详解】（1）解：设甲走完全程用时小时，根据题意得：，解得：，经检验，为所列分式方程根且符合题意，，答：甲、乙两人单独走完全程各需5小时，7.5小时．（2）解：设乙购买了袋牦牛肉，根据题意得：，解得：，的最大整数解为．答：乙最多购买了8袋牦牛肉．15．（2024·山东德州·一模）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用6240元购进甲灯笼与用8400元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价；(2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．销售部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价为x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元．①求出y与x之间的函数解析式；②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？【答案】(1)甲种灯笼26元，乙种灯笼35元(2)①；②乙种灯笼的销售单价为65元时，一天获得利润最大【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的实际应用：（1）设设每对甲种灯笼的进价x元，每对乙种灯笼的进价元，根据用6240元购进甲灯笼与用8400元购进乙灯笼的数量相同，列分式方程可解；（2）①利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式；②由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案．【详解】（1）解：设每对甲种灯笼的进价x元，每对乙种灯笼的进价元，

两边同乘得：，解得：，经检验：为该分式方程的解，且符合题意．

答：甲种灯笼26元，乙种灯笼35元；（2）解：①，故y与x的函数解析式为

②，∴函数在对称轴时有最大值．

∵销售部门规定其销售单价不高于每对65元，

∴乙种灯笼的销售单价为65元时，一天获得利润最大．16．（2024·江苏扬州·一模）某商店销售一种进价为40元/件的商品，经市场调查发现，该商品的周销售量（件）与售价（元/件）按一定的规律变化，下面是一段时间销售统计得到的周销售量（件）与售价（元/件）的数据：售价（元/件）…45505560…周销售量（件）…1101009080…(1)求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)商店店主想要获得周销售利润最大，应当将售价定为多少元/件？(3)由于原材料上涨，该商品进价提高了元/件，物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求的值．【答案】(1)(2)当售价是70元/件时，周销售利润最大(3)【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题，注意∶数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．(1)依题意设解方程组即可得到结论；(2)根据题意求出周利润的函数表达式，再求出顶点式，即可得到答案；(3)根据题意求出降价后的周利润的函数表达式，再求出函数的对称轴，与65比较，最后求出当求出最大的利润，再令最大利润等于1400，解得最后答案即可；【详解】（1）解：由题意设，则：，解得：，，当时，当时，，经检验：关于的函数解析式为；（2）设周销售利润为，则，当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元；（3）根据题意得，