2023-2024学年九年级上入学数学考试试卷及答案解析

2023-2024学年九年级上入学考试数学试卷

一、选择题（本大题共16个小题：1-10题每题3分，11-16题每题2分.共42分.在每小题

给出的四个黄项中，只有一个选项符合题意）

1.（3分）近些年来我国基建发展迅速，下列分别是“北京市”、“上海市”、“石家庄市”、“天

津市”的地铁标志.其中是中心对称图形的是（）

2.（3分）关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是

（）

A.尤>-1B.x<-1C.xW2D.-l<x<^2

3.（3分）小明为了计算nABCD的面积,画出一些垂线段，如图所示，这些线段不能表示

a

4.（3分）若一=M则A/可以是（）

b

CL—3d+33aa3

A.——B.-----c.—D.—

b-3b+33bb3

5.（3分）如图，已知4B_L8。，CDLBD,若用“HL”判定和RtZXCDB全等,

则需要添加的条件是（）

C.BD=DBD.AB=CD

6.（3分）对于①龙-3xy=x（1-3y）,②（尤+3）（x-1）=x2+Zr-3,从左到右的变形，表

述正确的是（）

A.都是因式分解B.都是乘法运算

C.①是因式分解，②是乘法运算D.①是乘法运算，②是因式分解

7.（3分）如图，EP过nABC。对角线的交点。，交于点E,交8C于点立下列结论:

①OE=OF；®ZABC^ZADC；③△AOE0△C。。；@S^ABFE=SAABC.

其中正确的有（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

8.（3分）在复习不等式的性质时，张老师给出以下两个说法：

①不等式一定不成立，因为不等式两边同时除以a,会出现1>2的错误结论;

②如果a>6,c>d,那么一定会得到a-c>6-出

下列判断正确的是（）

A.①J,②义B.①X,②XC.①J,②JD.①X,②J

9.（3分）嘉琪在分式化简运算中每一步运算都在后面列出了依据，所列依据错误的是（）

..ct2ct—3b

化间：百一丁丁

解：原式=&+宣

a+2a—35g、考八

丁厂…①通分

3a—3b

…②合并同类项

a-b

=华普…③提公因式

CL—U

=3…④约分

A.①B.②D.④

10.（3分）如图给出了四边形A8CO的部分数据，若使得四边形A3。为平行四边形，还

需要添加的条件可以是（

A3D

2

A.BC=3B.CD=2C.BD=5D.BD=3

11.（2分）如图，平移图形①，与图形②可以拼成一个等边三角形,则图中a的度数是（）

12.（2分）如图，直线与y2=/：2x+b的交点坐标为（1,2）,则使不等式

攵2x+b成立的x取值范围是（）

A.x>lB.x>2C.x<2D.x<1

13.（2分）在正方形网格中，MfN,P,。均是格点，NAOB的位置如图所示，贝lj至!JNA05

的两边距离相等的格点是（）

O

A.点MB.点NC.点尸D.点。

14.（2分）在4义4的正方形网格中，点A,B,。均为小正方形的顶点，老师要求同学们

作边AC上的高.现有的工具只有无刻度的直尺和圆规，两同学提供了如下两种方案,

对于方案I,II,下列说法正确的是（）

方案n

①以点B为圆心适当长为半①按如图方式取点p,

径画弧,交AC于点。，E;点p为小正方形的顶点;

②分别以点D,E为圆心，大于②连接BP交边AC于

长为半径画弧，两弧交

:DE点Q.

于点F;BQ即为所求.

③链接BF,变边AC于点G.

BG即为所求.

A.I可行、II不可行B.I不可行、II可行

C.I、II都可行D.I、II都不可行

15.（2分）嘉嘉和琪琪相约去看电影，他们的家分别距离电影院1800米和2400米，两人

分别从家中同时出发，已知嘉嘉和琪琪的速度比是2：3,结果嘉嘉比琪琪晚4分钟到达

电影院.设嘉嘉的速度为v米/每分钟，则根据题意所列方程正确的是（）

1800240018002400

A.+4-B.+4-3

2v3vV-v

2

1800240018002400

C.-2+4D.-3+4

V-VV-v

32

16.（2分）老师设计了“谁是卧底”游戏，用合作的方式描述下面的题目：

“如图，在△ABC中，ZC=30°，点。是AC的中点，交于E；点。在

ED匕OA^OB,。。=2,OE=4”，

甲说：CE=12；

乙说：CB=20；

丙说：△A08为等边三角形；

丁说：过点。作。尸_LC8,可以求出8P=10.

若四个描述中，只有“卧底”的描述是错误的.则“卧底”是（）

A.甲B.乙

C.丙D.四个人都不是卧底

二、填空题（本大题共3个小题；第17、18小题各3分，第19小题每空2分，共10分.

把答案写在题中横线上）

17.（3分）因式分解：4a2b-b=.

18.（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，将折线ABC向右平移得到折线。EF则折线

ABC在平移过程中扫过的面积是.

19.（4分）如图①，有若干个边长为1的正方形和顶角为a（0。<a<90°）且腰长为1

的等腰三角形，将它们按照图②的方式拼接在一起，围成一圈且中间能形成一个正〃边

形.若力=5,则。=；设所围成的正多边形的周长为c,请写出c与a之间

的关系式为.

三、解答题（本大题共7个小题，共68分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算

步骤.）

20.（8分）已知实数x与3的差的一半小于x的2倍与1的和；

（1）列出不等式;

（2）解该不等式，求尤的非正整数值.

4

21.18分）已知分式4Kz2）十自r解答下列问题:

（1）化简分式A；

（2）分式A的值能等于-2吗？请说明理由.

22.（8分）发现：差为2的两个正整数的积与1的和总是一个正整数的平方.

验证：（1）9X7+1的结果是哪个正整数的平方？

（2）差为2的两个正整数中，设较小的一个为%写出这两个正整数的积与1的和，并

说明和是一个正整数的平方.

延伸：（3）差为4的两个正偶数，它们的积与常数。的和是一个正整数的平方，求a.

23.（8分）如图，四边形A8C。的对角线AC,BD交于点O,已知。是AC的中点，AE=

CF,DF//BE.

（1）求证：OD=OB.

（2）求证：四边形是平行四边形.

24.(10分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(-1,1),B(-4,2),C(-

3,3).

(1)平移△ABC,若点A的对应点Ai的坐标为(3,-1),画出平移后的△AiBiCi.

(2)将△ABC以点(0,2)为旋转中心旋转180°画出旋转后对应的282c2.

(3)已知将△ALBICI绕某一点旋转可以得到282c2,则旋转中心是.

(4)若将△?1222c2继续平移5个单位得到△A3B3C3,点、P,。分别是A2c2,83c3的中

25.（12分）为增强学生的环保意识，维护校园环境.某学校购进绿色和蓝色两种分类垃圾

桶，购买绿色垃圾桶花费了1800元，购买蓝色垃圾桶花费了1500元，且购买绿色垃圾

桶数量是购买蓝色垃圾桶数量的2倍，已知购买一个蓝色垃圾桶比购买一个绿色垃圾桶

多花12元.

（1）求购买一个绿色垃圾桶、一个蓝色垃圾桶各需多少元？

（2）学校打算按（1）中单价再次购买绿色和蓝色两种垃圾桶共50个，且购买蓝色垃圾

桶的数量不低于绿色垃圾桶的一半，则学校应如何购买两种垃圾桶总费用最低？最低费

用是多少？

26.(14分)八年级同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展了如

下数学探究活动：将两个全等的等腰三角形AABC(AB=AC)和CAD=AE)按

图1所示方式摆放，其中点C和点。重合.

图2

B

C(D)

图3图4

(1)当NBAC=/D4E=60°时.

@AABC固定不动，将△ADE绕点A逆时针旋转120°,连接BE.过点A作AF±BE

于点尸，如图2所示，则/EBC°,AF与BE的数量关系

是

②△ABC固定不动，将△AOE绕点A顺时针旋转30°,连接BE,过点A作于

点、F,如图3所示，求此时/EBC的度数及A尸与8E的数量关系.

(2)当时N54C=/ZME=90°时，/XABC固定不动，如图4所示方式摆放.将△ADE

绕点A旋转，连接BE.过点A作AFL8E于点E在旋转过程中，当NEBC=15°时,

直接写出AF与8E的数量关系

2023-2024学年九年级上入学考试数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共16个小题：1-10题每题3分，11-16题每题2分.共42分.在每小题

给出的四个黄项中，只有一个选项符合题意）

1.（3分）近些年来我国基建发展迅速，下列分别是“北京市”、“上海市”、“石家庄市”、“天

津市”的地铁标志.其中是中心对称图形的是（）

A.

解：A.该图不是中心对称图形，故不符合题意；

B.该图是中心对称图形，故符合题意；

C.该图不是中心对称图形，故不符合题意；

D.该图不是中心对称图形，故不符合题意；

故选：B.

2.（3分）关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是

（）

-1012

A.尤＞-1B.x＜-\C.xW2D.-1＜尤＜W2

解：由数轴知该不等式组的解集为-1.

故选：B.

3.（3分）小明为了计算。ABC。的面积，画出一些垂线段，如图所示，这些线段不能表示

□ABCD的高的是（）

A.BFB.GHC.DED.BD

解：:从平行四边形一条边上任意一点向对边引一条垂线,这点到垂足之间的线段叫做

平行四边形的高,

由图可知，并不垂直于8点的对边CQ,

:.BD不能表小nABCZ)的IWJ,

故选：D.

a

4.（3分）若］〃/b），贝UM可以是（)

a—3CZ.+33aa3

A.——B.-----C.—D,京

b-3b+33b

CLCL—3__

解：人力百故A不符合题意;

aa+3

仄尹EP故8不符合题思;

CL3CL

c>-=—,故C符合题意；

b3b

aa?

D、—,故。不符合题意;

bbA

故选：C.

5.（3分）如图，已知AB_L8。，CDLBD,若用“HL”判定RtAABD和RtACDB全等,

则需要添加的条件是（）

ZCC.BD=DBD.AB=CD

解：'：AB±BD,CDLBD,

；./ABD=NCDB=90°,

A.AD=CB,BD=DB,符合两直角三角形全等的判定定理HL能推出RtZsAB。和Rt

△全等，故本选项符合题意;

B.ZA=ZC,ZABD=ZCDB,BD=DB,符合两直角三角形全等的判定定理44S,不

是两直角三角形全等的判定定理故本选项不符合题意；

C.NABD=/CDB,BD=DB,不符合两直角三角形全等的判定定理，不能推出RtAABD

和Rtz\CDB全等，故本选项不符合题意；

D.AB=CD,ZABD=ZCDB,BD=DB,符合两直角三角形全等的判定定理SAS,不

是两直角三角形全等的判定定理HL故本选项不符合题意；

故选：A.

6.（3分）对于①尤-3孙=尤（1-3y）,②（x+3）（尤-1）=/+2r-3,从左到右的变形，表

述正确的是（）

A.都是因式分解

B.都是乘法运算

C.①是因式分解，②是乘法运算

D.①是乘法运算，②是因式分解

解：①尤-3孙=x（1-3y）,从左到右的变形是因式分解；

②（尤+3）（x-1）=/+2x-3,从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；

所以①是因式分解，②是乘法运算.

故选：C.

7.（3分）如图，跖过口ABC。对角线的交点。，交于点E,交BC于点?下列结论:

®OE=OF；

@ZABC=ZADC；

@AAOE^ACO£）；

@S^ABFE—SAABC.

其中正确的有（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

解：：四边形ABCD是平行四边形，

；.AO=CO=%C,AD//BC,ZABC^ZADC,故②正确，

：.ZDAO^ZBCA,ZAEO^ZCFO,

：.AAEO^ACFO(AAS),

：.OE=OF；故①正确，

无法得出故③错误,

AAEO^ACFO,

S四边形ABFE=Sz^4BC；

故④正确；

故选：B.

8.（3分）在复习不等式的性质时，张老师给出以下两个说法：

①不等式。>2。一定不成立，因为不等式两边同时除以小会出现1>2的错误结论;

②如果a>b,c>d,那么一定会得到a-c>b-d；

下列判断正确的是（）

A.①②XB.①X,②XC.①②JD.①X,②J

解：①不等式。>2a,当a<0时成立，故①错误，

②例如3>2,5>1,贝!|3-5<2-1,故②错误，

故选：B.

9.（3分）嘉琪在分式化简运算中每一步运算都在后面列出了依据，所列依据错误的是（)

..CL2ct—3b

ZL化间：----------

a-bb-a

解：原式=&+制

a+2a—3b

…①通分

a-b

=用学…②合并同类项

…③提公因式

CL—D

=3…④约分

A.①B.②C.③D.④

Aa2a-3b

解：------....

a-bb-a

_a+2a—3b

-a—b丁a—b

=笔要…①分式的基本性质

=祚卷…②合并同类项

=峥卫…③提公因式

=3…④约分

故选：A.

10.（3分）如图给出了四边形A8CD的部分数据，若使得四边形ABC。为平行四边形，还

需要添加的条件可以是（）

C.BD=5D.BD=3

解：VZADB=ZCBD=25°，

J.DA//BC,

,:BC=3,ZM=3,

：.DA=BC,

四边形ABCD是平行四边形,

符合题意;

VCD=2,AB=2,

：.AB=CD,

但是，由AB=C。，BD=DB,乙4。8=/。8。不能证明△A3。与△CDS全等,

与CB不一定相等,

四边形ABCD不一定是平行四边形,

故B不符合题意;

由8。=。8=5,NADB=/CBD或BD=DB=3,/AZ)8=NC8。都不能证明△ABO与

△CDB全等,

：.AD与CB不一定相等,

四边形ABCD不一定是平行四边形,

故C不符合题意，。不符合题意,

故选：A.

11.（2分）如图，平移图形①，与图形②可以拼成一个等边三角形,则图中a的度数是（)

160°

A］，\

A.110°B.120°C.140°D.150°

解：・・,三角形是等边三角形，

A

ZA=ZB=60°,

・・・Na=540°-60°-60°-（180°-70°）-160°=150°

故选：D.

12.（2分）如图，直线=与”=①计/?的交点坐标为（1,2),则使不等式匕i+〃V

出+。成立的X取值范围是（）

咛/

X

/。1\1

A.x>\B.x>2C.x<2D.x<l

解：•直线yi=%ix+a与y2=42x+b的交点坐标为（1,2）,

•••使不等式kix+a<kix+b成立的x取值范围是x<l,

故选：D.

13.（2分）在正方形网格中，M,N,P,。均是格点，NAOB的位置如图所示，贝IJ至IJNA05

的两边距离相等的格点是（）

A.点MB.点NC.点尸D.点。

解：由图可知，

OA=OB,AM=BM,OM=OM,

：.AOAMmAOBMCSSS）,

：.ZAOM=ZBOM,

...点/在/4。8的角平分线上，点P、Q、N不在/AO8的角平分线上

点M到ZAOB的两边的距离相等，

0

14.（2分）在4X4的正方形网格中，点A,B,C均为小正方形的顶点，老师要求同学们

作边AC上的高.现有的工具只有无刻度的直尺和圆规，两同学提供了如下两种方案，

对于方案I,II,下列说法正确的是（）

①以点B为圆心适当长为半①按如图方式取点P,

径画弧,交AC于点。，E;点P为小正方形的顶点;

②分别以点D,E为圆心，大于②连接BP交边AC于

:DE长为半径画弧，两弧交点Q.

于点F;BQ即为所求.

③链接BF,变边AC于点G.

BG即为所求.

A.I可行、II不可行B.I不可行、II可行

C.I、II都可行D.I、II都不可行

解：方案I是过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法，故方案I可行；

方案II是根据网格线的特征作图，故方案II可行；

故选：C.

15.（2分）嘉嘉和琪琪相约去看电影，他们的家分别距离电影院1800米和2400米，两人

分别从家中同时出发，已知嘉嘉和琪琪的速度比是2：3,结果嘉嘉比琪琪晚4分钟到达

电影院.设嘉嘉的速度为v米/每分钟，则根据题意所列方程正确的是（）

1800240018002400

A.+4=-B.+4=-3

2v3vV2V

1800240018002400

——

C.-2+4D.-3+4

V3VV2V

解：：嘉嘉的速度为v米/每分钟，嘉嘉和琪琪的速度比是2：3,

，琪琪的速度为：万米/每分钟，

,〜,18002400

由题意可得：----=——+4,

v-V

2

故选：D.

16.（2分）老师设计了“谁是卧底”游戏，用合作的方式描述下面的题目：

“如图，在△ABC中，ZC=30°,点。是AC的中点，交于E；点。在

ED上,OA=OB,OD=2,OE=4”，

甲说：CE=12；

乙说：CB=20；

丙说：△AOB为等边三角形；

丁说：过点。作。凡LCB,可以求出8尸=10.

若四个描述中，只有“卧底”的描述是错误的.则“卧底”是（）

C.丙D.四个人都不是卧底

解：连接0C,作OFLBC于点尸,

在RtZXCDE中，ZDCE=3Q°,

：.CE=2DE=12,ZOEF=60°,所以甲对；

*：AD=DC,EDLAC,

：.OA=OC,

•：OA=OB,

：.OB=OC,

丁OFLBC,

：.CF=FB,

在RtZXO庄中，NOE尸=60°,

ZEOF=30°,

1

：.EF=*)E=2,

：.CF=CE-EF=10,

：.CB=20,所以乙对；

：.BE=20-12=8,

：.BF=^BC=10,所以丁对；

在RtZXCOE中，CE=12,DE=6,由勾股定理可得CD=6遍,

.'.AC=2CZ)=12V3,

过B作5MLic于“点，

VZC=30°,BC=20,

1

BM=^BC=10,CM=陋BM=10V3,

J.AM^AC-CM=2小

在RtAABM中，

由勾股定理可得：A2=7AM2+BM2=4V7,

在RtZ\C。。中，CD=6®0D=2,

由勾股定理可得：C0=y/CD2+DO2=4V7,

：.C0=0A=0B=45

，AB=AO=OB,

...△AO8为等边三角形，丙对，

故四人都不是卧底，

所以。选项说法正确，

故选：D.

二、填空题(本大题共3个小题；第17、18小题各3分，第19小题每空2分，共10分.

把答案写在题中横线上)

17.(3分)因式分解：4a2b-b=6(2。+1)(2a-1).

解：4crb-b

=b(4(72-1)

=b(2a+l)(2a-1),

故答案为：b(2a+l)(2a-1).

18.(3分)如图，在平面直角坐标系xOy中，将折线ABC向右平移得到折线DEF,则折线

ABC在平移过程中扫过的面积是12.

解：•..折线ABC向右平移得到折线QEF,

四边形ABED和四边形BCFE都为平行四边形，

折线ABC在平移过程中扫过的面积=S0ABED+MBCFE=A33E+C33E=BE(AO+C。)

=8E・AC=[3-(-1)]X[2-(-1)]=12.

故答案为：12.

19.（4分）如图①，有若干个边长为1的正方形和顶角为a（0。<a<90°）且腰长为1

的等腰三角形，将它们按照图②的方式拼接在一起，围成一圈且中间能形成一个正n边

形.若〃=5,则a=72。；设所围成的正多边形的周长为c,请写出。与a之间的

360°

关系式为

a

图①图②

解：•..当〃=5时，正多边形的每个内角都为-=108。，两个正方形的两个直

角内角、多边形的1个内角与a形成一个周角,

.•.当〃=5时,a=360°-90°-90°-108°=72°,

•・•正多边形的周长为c,边长为1,

正多边形是正c边形,

・••正C边形的每个内角为：360°-90°-90°-a=180°-a,

(180-a)=180°(c-2),

360°

c=----

a

故答案为：72°,c=喑

三、解答题（本大题共7个小题，共68分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算

步骤.）

20.（8分）已知实数x与3的差的一半小于x的2倍与1的和;

1

⑴列出不等式—93）31

（2）解该不等式，求x的非正整数值.

1

解：（1）根据题意得，-（x-3）<2x+L

1

故答案为：5（尤-3）<2x+l；

1

(2)一(x-3)<2x+l,

2

x-3<4x+2,

x-4xV2+3,

-3x<5,

一我.

・•・力的非正整数值为-1.

4丫

21.(8分)已知分式A：(-—x+2)+六，解答下列问题：

x-2Z-x

(1)化简分式4

(2)分式A的值能等于-2吗？请说明理由.

—4x

解：(1)(-----—x+2)4-75——

x-22-x

=4(久2)(*2)_2_久

为一2x

2

—_4_-_X__+__4_X_-_4•2-x

x—2x

_-x(x-4~).2~x

x—2x

=x-4；

(2)分式A的值不能等于-2,

理由：令x-4=-2,

解得尤=2,

当x=2时，原分式无意义，

分式A的值不能等于-2.

22.(8分)发现：差为2的两个正整数的积与1的和总是一个正整数的平方.

验证：(1)9X7+1的结果是哪个正整数的平方？

(2)差为2的两个正整数中，设较小的一个为％写出这两个正整数的积与1的和，并

说明和是一个正整数的平方.

延伸：(3)差为4的两个正偶数，它们的积与常数。的和是一个正整数的平方，求a.

解：(1)：9X7+1=64=82,

...9X7+1是8的平方；

(2)和为(〃+2)Xn+1,

*•,(〃+2)义〃+1=层+2九+1=(n+1)

，原式为正整数(n+1)的平方；

(3)设较小的正偶数为2公

：.2k(2A+4)+a=4l3+Sk+a=4(F+2A+*),

由配方法可知。=4,

原式=4(后+2A+1)=[2(Z+1)]2,

综上：a=4.

23.(8分)如图，四边形ABC。的对角线AC,BD交于点0,已知。是AC的中点，AE=

CF,DF//BE.

(1)求证：OD=OB.

(2)求证：四边形ABCD是平行四边形.

；.OE=OF,

'：DF//BE,

：.NOEB=NOFD,

在△BOE和△。。尸中，

NOEB=乙OFD

/.BOE=乙DOF,

.0E=OF

:.△BOE"ADOF(44S),

OD=OB,

(2)证明：'：OA^OC,OD=OB,

...四边形ABCD是平行四边形.

24.(10分)如图，在平面直角坐标系中，ZvlBC的顶点A(-1,1),8(-4,2),C(-

3,3).

(1)平移△ABC,若点A的对应点Ai的坐标为(3,-1),画出平移后的△AiBiCi.

(2)将△ABC以点(0,2)为旋转中心旋转180°画出旋转后对应的282c2.

(3)已知将△A181C1绕某一点旋转可以得到282c2,则旋转中心是(2,1).

(4)若将282c2继续平移5个单位得到383c3,点P,Q分别是A2c2,B3c3的中

(2)如图，282c2即为所求；

(3)如图，旋转中心是。(2,1)；

故答案为:(2,1)；

:将222c2继续平移5个单位得到323c3,

：.PP'=5,

:。是83c3的中点，

：.P'。为△4323c3的中位线，

：.P'。=%3囱=孚，

,：PQ^PP'+P'Q（当且仅当「、P'、。共线时取等号），

即PQW5+乎，

...P。的最大值是5+孚.

故答案为：5+4^.

25.（12分）为增强学生的环保意识，维护校园环境.某学校购进绿色和蓝色两种分类垃圾

桶，购买绿色垃圾桶花费了1800元，购买蓝色垃圾桶花费了1500元，且购买绿色垃圾

桶数量是购买蓝色垃圾桶数量的2倍，已知购买一个蓝色垃圾桶比购买一个绿色垃圾桶

多花12元.

（1）求购买一个绿色垃圾桶、一个蓝色垃圾桶各需多少元？

（2）学校打算按（1）中单价再次购买绿色和蓝色两种垃圾桶共50个，且购买蓝色垃圾

桶的数量不低于绿色垃圾桶的一半，则学校应如何购买两种垃圾桶总费用最低？最低费

用是多少？

解：(1)设绿色垃圾桶的单价是次元，蓝色垃圾桶的单价是(x+12)元，

18001500

依题意得:-------=2x--------

x%+12

解得：x=