第8章 幂的运算（教师版）

2023-2024学年苏科版数学七年级下册章节知识讲练1.区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；2.了解图形平移的概念及性质；3.会用同底数幂的除法性质进行计算．掌握零指数幂和负整数指数幂的意义．掌握科学记数法．知识点01：同底数幂的乘法性质(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.【易错点剖析】（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.知识点02：幂的乘方法则(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.【易错点剖析】（1）公式的推广：(，均为正整数)（2）逆用公式：，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.知识点03：积的乘方法则(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.【易错点剖析】（1）公式的推广：(为正整数).（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：知识点04：同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）【易错点剖析】（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.知识点05：零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0）【易错点剖析】底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.知识点06：负整数指数幂任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）.引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立.（、为整数，）；（为整数，，）（、为整数，）.【易错点剖析】是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）.知识点07：科学记数法的一般形式（1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数，（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，.检测时间：120分钟试题满分：100分难度系数：0.53一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023秋•碑林区校级期末）下列计算，正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．a2+a3＝a5 C．（﹣a2）3＝﹣a6 D．a6÷（﹣a）3＝﹣a2解：A、a2•a3＝a5，原计算错误，不符合题意；B、a2与a3不属于同类项，不能合并，不符合题意；C、（﹣a2）3＝﹣a6，正确，符合题意；D、a6÷（﹣a）3＝﹣a3，原计算错误，不符合题意．故选：C．2．（2分）（2023秋•高州市期末）下列运算正确的是（）A．a3+a3＝a6 B．a6÷a2＝a3 C．a2•a3＝a6 D．（a2）3＝a6解：∵a3+a3＝2a3，∴选项A不符合题意；∵a6÷a2＝a4，∴选项B不符合题意；∵a2•a3＝a5，∴选项C不符合题意；∵（a2）3＝a6，∴选项D符合题意，故选：D．3．（2分）（2023•肥西县二模）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，将数0.000000076用科学记数法表示为（）A．7.6×10﹣8 B．7.6×10﹣9 C．7.6×108 D．7.6×109解：0.000000076用科学记数法表示为7.6×10﹣8．故选：A．4．（2分）（2023秋•东莞市期末）下列计算正确的是（）A．a9÷a3＝a6 B．a3•a3＝a9 C．（a3）3＝a6 D．（ab3）2＝ab6解：A．同底数幂的除法底数不变指数相减，a9÷a3＝a6，故A正确；B．同底数幂的乘法底数不变指数相加，a3•a3＝a6，故B错误；C．积的乘方等于乘方的积，（a3）3＝a9，故C错误；D．积的乘方等于乘方的积，（ab3）2＝a2b6，故D错误；故选：A．5．（2分）（2023春•扶风县期末）计算a2•a的正确结果是（）A．2a B．a2 C．a3 D．2a2解：a2•a＝a3．故选：C．6．（2分）（2023春•禅城区校级期中）若一个正方体的棱长为2×10﹣2米，则这个正方体的体积为（）A．6×10﹣6立方米 B．8×10﹣6立方米 C．2×10﹣6立方米 D．8×106立方米解：正方体的体积＝（2×10﹣2）3，＝8×（10﹣2）3，＝8×10﹣6，故选：B．7．（2分）（2023秋•雷州市期末）下列运算正确的是（）A．（a3）2÷a2＝a4 B．a2•a3＝a6 C．（2a）3＝6a3 D．a3+a3＝a6解：A、（a3）2÷a2＝a6÷a2＝a4，故原选项计算正确，符合题意；B、a2⋅a3＝a5，故原选项计算错误，不符合题意；C、（2a）3＝8a3，故原选项计算错误，不符合题意；D、a3+a3＝2a3，故原选项计算错误，不符合题意；故选：A．8．（2分）（2023春•六盘水期中）已知2a＝3，，则（a+3b+1）3的值是（）A．0 B．﹣1 C．1 D．2解：∵，∴8b＝（23）b＝23b＝，∵2a＝3，∴2a+3b＝2a•23b＝×3＝＝2﹣1，∴a+3b＝﹣1，∴原式＝（﹣1+1）3＝0．故选：A．9．（2分）（2023春•恩阳区期中）清代诗人袁枚创作了一首诗《苔》：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向．若苔花的花粉粒直径线约为0.0000084米，用科学记数法表示为（）A．0.84×10﹣5 B．8.4×10﹣6 C．84×10﹣7 D．8.4×10﹣8解：0.0000084米＝8.4×10﹣6米．故选：B．10．（2分）（2022秋•霍林郭勒市校级期末）下列计算正确的是（）A．m3•m3＝2m3 B．（m5）2＝m7 C．m2÷m＝m D．（m2n）3＝m6n解：m3•m3＝m6，因此A选项不符合题意，（m5）2＝m10，因此B选项不符合题意，m2÷m＝m，因此C选项符合题意，（m2n）3＝m6n3，因此D选项不符合题意，故选：C．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023秋•衡南县期末）若9a•27b÷81c＝9，则2a+3b﹣4c的值为2．解：9a•27b÷81c＝9，32a•33b÷34c＝32，32a+3b﹣4c＝32，∴2a+3b﹣4c＝2，故答案为：2．12．（2分）（2023秋•久治县期末）已知3a＝5，而（3b﹣4）0无意义，则3a+b＝20．解：∵（3b﹣4）0无意义，∴3b﹣4＝0，即：3b＝4，∴3a+b＝3a•3b＝5×4＝20，故答案为：20．13．（2分）（2023秋•雁峰区校级期末）若3x+4y﹣3＝0，则27x•81y＝27．解：∵3x+4y﹣3＝0，∴3x+4y＝3，∴27x•81y＝33x•34y＝33x+4y＝33＝27，故答案为：27．14．（2分）（2023秋•梨树县期末）遗传物质脱氧核糖核酸（DNA）的分子直径为0.00000023cm，用科学记数法表示0.00000023cm为2.3×10﹣7cm．解：0.00000023cm＝2.3×10﹣7cm．故答案为：2.3×10﹣7．15．（2分）（2023秋•江汉区期末）计算：（﹣0.125）99×8100＝﹣8；＝．解：（﹣0.125）99×8100＝（﹣0.125）99×899×8＝（﹣0.125×8）99×8＝（﹣1）99×8＝﹣1×8＝﹣8；＝＝＝＝．故答案为：﹣8；．16．（2分）（2023秋•盐池县期末）计算：|﹣5|＝2．解：原式＝8﹣1﹣5＝2；故答案为：2．17．（2分）（2022秋•临高县期末）已知am＝2，bm＝5，则（a2b）m＝20．解：（a2b）m＝（am）2•bm＝4×5＝20．故答案为：20．18．（2分）（2022秋•青羊区校级期末）若9m＝4，27n＝2，则32m﹣3n＝2．解：32m﹣3n＝32m÷33n＝9m÷27n＝4÷2＝2，故答案为：2．19．（2分）（2023春•汉寿县期中）已知2m＝3，2n＝6，则22m+n＝54．解：∵2m＝3，2n＝6，∴22m+n＝22m•2n＝（2m）2•2n＝32×6＝54．故答案为：54．20．（2分）（2023秋•蒸湘区校级月考）计算：﹣82005×（﹣0.125）2006＝﹣0.125．解：﹣82005×（﹣0.125）2006，＝﹣82005×（﹣0.125）2005×（﹣0.125），＝（8×0.125）2005（﹣0.125），＝﹣0.125．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023秋•碑林区校级期末）计算题：（1）；（2）（﹣2x2）3+x2•x4﹣（﹣3x3）2；（3）解方程：．解：（1）＝﹣1÷25×（﹣）﹣0.2＝﹣1××（﹣）﹣0.2＝﹣＝﹣＝﹣；（2）（﹣2x2）3+x2•x4﹣（﹣3x3）2＝﹣8x6+x6﹣9x6＝（﹣8+1﹣9）x6＝﹣16x6；（3），去分母，得12+2（x﹣1）＝4x﹣（x+1），去括号，得12+2x﹣2＝4x﹣x﹣1，移项，得2x﹣4x+x＝﹣1﹣12+2，合并同类项，得﹣x＝﹣11，系数化成1，得x＝11．22．（6分）（2023春•南城县期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：∵23＝8，∴（2，8）＝3（1）根据上述规定，填空：（3，81）＝4，（4，1）＝0，＝﹣2；（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的理由：设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，∴3x＝4，即（3，4）＝x，∴（3n，4n）＝（3，4）．请你尝试运用这种方法判断（3，7）+（3，8）＝（3，56）是否成立，若成立，请说明理由．解：（1）∵34＝81，∴（3，81）＝4；∵40＝1，∴（4，1）＝0；∵，∴．故答案为：4；0；﹣2．（2）成立，理由如下：设（3，7）＝x，（3，8）＝y，则3x＝7，3y＝8，∴3x+y＝3x⋅3y＝7×8＝56，∴（3，56）＝x+y，∴（3，7）+（3，8）＝（3，56）．23．（8分）（2023春•句容市月考）若am＝an（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m＝n，你能利用上面的结论解决下面的问题吗？试试看，相信你一定行！（1）如果2×8x×16x＝222，求x的值；（2）如果，求x的值；（3）已知p＝57，q＝75，用含p，q的式子表示3535＝p5q7．解：（1）∵2×8x×16x＝2×（23）x×（24）x＝21+3x+4x＝222，∴1+3x+4x＝22，解得：x＝3，（2）∵，∴，∵，∴x＝﹣2，（3）∵p＝57，q＝75，∴3535＝（357）5＝（57×77）5＝（57）5×（75）7，＝p5q7．故答案为：p5q7．24．（8分）（2023春•榕城区期末）定义一种幂的新运算：xa⊕xb＝xab+xa+b，请利用这种运算规则解决下列问题．（1）求22⊕23的值；（2）2p＝3，2q＝5，3q＝6，求2p⊕2q的值；（3）若运算9⊕32t的结果为810，则t的值是多少？解：（1）22⊕23＝22×3+22+3＝26+25＝64+32＝96；（2）当2p＝3，2q＝5，3q＝6时，2p⊕2q＝2pq+2p+q＝（2p）q+2p×2q＝3q+3×5＝6+15＝21；（3）∵9⊕9t＝810，∴9t+91+t＝810，9t+9×9t＝810，10×9t＝810，9t＝81，9t＝92，∴t＝2．25．（8分）（2023春•竞秀区期末）规定：如果两数a，b满足am＝b，则记为：（a，b）＝m．例如：因为23＝8，所以记为：（2，8）＝3．我们还可以利用该规定来说明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立，理由如下：设（3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5，故3m×3n＝3m+n＝3×5＝15，则（3，15）＝m+n，即（3，3）+（3，5）＝（3，15）．（1）根据上述规定，填空：（6，36）＝2；（2）计算（7，3）+（7，10）＝（7，30）；（3）如果（3，m+17）＝4，（9，m）＝n，那么（3，64）＝2n；（4）若（3n，2n）＝s，（3，2）＝t，请说明s与t的关系．（n为正整数）解：（1）令（6，36）＝m，∴6m＝36，∴m＝2，故答案为：2；（2）令（7，3）＝m，（7，10）＝n，∴7m＝3，7n＝10，∴7m×7n＝7n+m＝30，∴（7，3）+（7，10）＝m+n，∴m+n＝（7，30），∴（7，3）+（7，10）＝（7，30），故答案为：（7，30）；（3）∵（3，m+17）＝4，∴34＝m+17，解得m＝64，∵（9，m）＝n，∴9n＝m，∴9n＝32n＝64，故答案为：64；（4）∵（3n，2n）＝s，∴3ns＝2n，∵（3，2）＝t，∴3t＝2，∴3tn＝2n，∴3ns＝3tn，∴s＝t．26．（8分）（2023春•兴化市月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：①（4，16）＝2，（﹣3，81）＝4；②若（x，）＝﹣4，则x＝±2．（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的证明：设