高中一轮复习理数课时跟踪检测（五十九）两个基本计数原理排列与组合

课时跟踪检测（五十九）两个基本计数原理、排列与组合一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·启东中学检测)从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为________．解析：分两类：甲、乙中只有1人入选且丙没有入选，甲、乙均入选且丙没有入选，计算可得所求选法种数为Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,7)＝49.答案：492．椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1的焦点在x轴上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为________．解析：因为焦点在x轴上，所以m>n.以m的值为标准分类，由分类加法计数原理，可分为四类：第一类：m＝5时，使m>n，n有4种选择；第二类：m＝4时，使m>n，n有3种选择；第三类：m＝3时，使m>n，n有2种选择；第四类：m＝2时，使m>n，n有1种选择．故符合条件的椭圆共有10个．答案：103．(2017·常州调研)某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有________种．解析：按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法．因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4＝960(种)．答案：9604．某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教(每地1名教师)，其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有________种．解析：依题意，就甲是否去支教进行分类计数：第一类，甲去支教，则乙不去支教，且丙也去支教，则满足题意的选派方案有Ceq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(4,4)＝240(种)；第二类，甲不去支教，且丙也不去支教，则满足题意的选派方案有Aeq\o\al(4,6)＝360(种)，因此，满足题意的选派方案共有240＋360＝600(种)．答案：6005．将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，则甲、乙在同一路口的分配方案共有____种．解析：不同的分配方案可分为以下两种情况：①甲、乙两人在一个路口，其余三人分配在另外的两个路口，其不同的分配方案有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝18(种)；②甲、乙所在路口分配三人，另外两个路口各分配一个人，其不同的分配方案有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝18(种)．由分类加法计数原理可知不同的分配方案共有18＋18＝36(种)．答案：366．把座位编号为1,2,3,4,5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为________(用数字作答)．解析：先将票分为符合条件的4份，由题意，4人分5张票，且每人至少一张，至多两张，则三人每人一张，一人2张，且分得的票必须是连号，相当于将1,2,3,4,5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号．在4个空位插3个板子，共有Ceq\o\al(3,4)＝4种情况，再对应到4个人，有Aeq\o\al(4,4)＝24种情况，则共有4×24＝96种情况．答案：96二保高考，全练题型做到高考达标1．从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为________．解析：在8个数中任取2个不同的数共有8×7＝56(个)对数值，但在这56个对数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即满足条件的对数值共有56－4＝52(个)．答案：522．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有________个．解析：当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2Aeq\o\al(3,4)个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,4)个偶数．故符合条件的偶数共有2Aeq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,4)＝120(个)．答案：1203．将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有________种．解析：第一步，为甲校选1名女老师，有Ceq\o\al(1,2)＝2(种)选法；第二步，为甲校选2名男教师，有Ceq\o\al(2,4)＝6(种)选法；第三步，为乙校选1名女教师和2名男教师，有1种选法，故不同的安排方案共有2×6×1＝12(种)．答案：124．有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是________种．解析：据题意可先摆放2本语文书，当1本物理书在2本语文书之间时，只需将2本数学书插在前3本书形成的4个空中即可，此时共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,4)种摆放方法；当1本物理书放在2本语文书一侧时，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)种不同的摆放方法，由分类计数原理可得共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)＝48(种)摆放方法．答案：485．(2018·海门中学检测)将A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排列数有________种．解析：(排序一定用除法)五个元素没有限制全排列数为Aeq\o\al(5,5)，由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，故除以这三个元素的全排列Aeq\o\al(3,3)，可得这样的排列数有eq\f(A\o\al(5,5),A\o\al(3,3))×2＝40(种)．答案：406．从6名同学中选派4人分别参加数学、物理、化学、生物四科知识竞赛，若其中甲、乙两名同学不能参加生物竞赛，则选派方案共有________种．解析：特殊位置优先考虑，既然甲、乙都不能参加生物竞赛，则从另外4个人中选择一个参加，有Ceq\o\al(1,4)种方案，然后从剩下的5个人中选择3个人参加剩下3科，有Aeq\o\al(3,5)种方案，故共有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,5)＝4×60＝240(种)方案．答案：2407.如图所示，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种．解析：按区域分四步：第一步，A区域有5种颜色可选；第二步，B区域有4种颜色可选；第三步，C区域有3种颜色可选；第四步，D区域也有3种颜色可选．由分步计数原理，共有5×4×3×3＝180(种)不同的涂色方法．答案：1808．在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________．解析：不相邻问题插空法.2位男生不能连续出场的排法共有N1＝Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(2,4)＝72(种)，女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N2＝Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,3)＝12(种)，所以出场顺序的排法种数为N＝N1－N2＝60.答案：609．(1)已知Ceq\o\al(n－1,n＋1)＝Aeq\o\al(2,n－1)＋1，求n；(2)若Ceq\o\al(m－1,8)>3Ceq\o\al(m,8)，求m.解：(1)由Ceq\o\al(n－1,n＋1)＝Aeq\o\al(2,n－1)＋1得eq\f(n＋1n,2)＝(n－1)(n－2)＋1.即n2－7n＋6＝0.解得n＝1，或n＝6.由Aeq\o\al(2,n－1)知，n≥3，故n＝6.(2)原不等式可化为eq\f(8！,m－1！9－m！)>eq\f(3×8！,m！8－m！)，解得m>eq\f(27,4).因为0≤m－1≤8，且0≤m≤8，所以1≤m≤8.又m是整数，所以m＝7或m＝8.10．(2018·海门中学检测)从5名男生和3名女生中选5人担任5门不同学科的课代表，分别求符合下列条件的方法数：(1)女生必须少于男生；(2)女生甲担任语文课代表；(3)男生乙必须是课代表，但不担任数学课代表．解：(1)先从8名学生中任选5名，共有Ceq\o\al(5,8)(种)选法，其中女生比男生多的情况有：选2名男生和3名女生，共有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(3,3)(种)选法，所以女生少于男生的选法为Ceq\o\al(5,8)－Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(3,3)(种)；再让选出的5名学生分别担任5门不同学科的课代表，有Aeq\o\al(5,5)(种)方法．由分步计数原理知，共有(Ceq\o\al(5,8)－Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(3,3))·Aeq\o\al(5,5)＝5520(种)不同的方法．(2)从剩余7人中选出4人分别担任另4门不同学科的课代表，共有Ceq\o\al(4,7)·Aeq\o\al(4,4)＝840(种)不同的方法．(3)先安排男生乙，即从除数学外的另4门学科中选1门让男生乙担任其课代表，再从剩下的7人中选4人担任另外4门学科的课代表，共有Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,7)＝3360(种)不同的方法．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知△ABC三边a，b，c的长都是整数，且a≤b≤c，如果b＝25，则符合条件的三角形共有________个．解析：根据三边构成三角形的条件可知，c<25＋a.第一类：当a＝1，b＝25时，c可取25，共1个值；第二类，当a＝2，b＝25时，c可取25,26，共2个值；……当a＝25，b＝25时，c可取25,26，…，49，共25个值；所以三角形的个数为1＋2＋…＋25＝325.答案：3252．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有________种．解析：如图，从10个点中任取4个点的组合数为Ceq\o\al(4,10)＝210，其中四点共面的可分为三类：(1)4点在同一个侧面或底面的共4组，即4×Ceq\o\al(4,6)＝60(种)；(2)每条棱的中点与它对棱的三点共面的有6种；(3)在6个中点中，四点共面的有3种．则4点不共面的取法共有210－(60＋6＋3)＝141(种)．答案：1413．从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？解：(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有Ceq\o\al(3,4)种情况；第二步，在5个奇数中取4个，有Ceq\o\al(4,5)种情况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，有Aeq\o\al(7,7)种情况．所以符合题意的