2023年全国硕士研究生招生考试试题及答案解析(数学二)

2023年全国硕士研究生招生考试数学试题(数学二)

一、选择题:1〜10小题,每小题5分，共50分,下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目

要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置.

(l)y=xln[e+「]的斜渐近线方程是()

1

(A)y=x+e(B)v=x+_

e

1

(C)y=x(D)j=x-_

_______<0

(2)函数/(x)=Jl+Y的原函数为(

(1+Dcosx.x>0

In0+x2_x)x〈0In+x2-xl,x<0

(A)尸(X)=<(B)尸(x)=<

(x+1)cosx-sinx,x>0(x+1)cosx-sinx,x>0

InQ+x?_%)x<0In

(C)F(x)=<(D)F(x)=

(x+l)sinx+cosx,x>0(x+l)sinx+cosx,x>0

⑶设数列｛x｝,｛匕｝满足X]=X=；,X,

:加=sinX"/M=y；，当〃38时()

(A)xn是yn的高阶无穷小(B)匕是X"的高阶无穷小

(C)x”是匕的等价无穷小(D)x”是yn的同阶但非等价无穷小

⑷已知微分方程V+W+力=0的解在(-叫+s)上有界，则的取值范围为()

(A)a<O.b>0(B)a>0,b>0

(C)a=0,b>0(D)a=0,b<0

⑸设函数y=/(x)由4确定，贝1()

(A)/(x)连续，/，(0)不存在(B)/'(0)不存在，/(x)在x=0处不连续

(C)/'(x)连续，/(0)不存在(D)/〃(0)存在,/“(X)在x=0处不连续

(6)若函数/(a)=J1在(/=%处取得最小值，则先)

1

(A)-________(B)-ln(ln2)

ln(ln2)

1

(C)-----(D)In2

In2

⑺设函数/(x)=(7+0。"若/(%)没有极值点，但曲线歹二/(x)有拐点，则a的取值范围是()

(A)[0,1)(B)[l,+oo)

(C)[1,2)(D)[2,+00)

*

(A

(8)设48为〃阶可逆矩阵，£为〃阶单位矩阵，M*为矩阵M的伴随矩阵，则

O%

_B*4、[Z8*产、

(A)(B)

oz*8*,0I叫*

Z*—B*4*、_^B'

(C)(D)

0叩

JI半*7

2

(9)二次型/(x15x2,x3)=(X1+X2)+(X]+%)2—4(%-飞)2的规范形为()

(A)y,+yl(B)yf-yf

(c)乂2+只一4只(D)弁+货Y

(10)己知向量％=a2线性表示，也可由

P1，02线性表示，则丫=(

3(3)

(A)k,kGR(B)k5,kRR

10

\7

(C)k1,keR(D)k,kqR

12J

二、填空题:11〜16小题，每小题5分，共30分.

■2

(11)当x-0时，函数/(%)=ax+bx1+ln(l+x)与g(x)=e"-cosx是等价无穷小，则

(12)曲线歹=JF43,tdt的弧长为

(13)设函数z=z(x,y)由片+xz=2x-y确定，则，J二________.

商(LD

(14)曲线3x3=y5+2俨在x=1对应点处的法线斜率为.

23

(15)设连续函数/(%)满足：/(%+2)-/(x)=xf(x)dx=0则J/(x)公=.

一ax.+X,=]

134/01

x+ax^+M=0

(16)已知线性方程组112八有解，其为常数，若1a1=4则，

%+2%2+%=0

ax{+bx2-2

lai

12a=.

ab0

三、解答题：17〜22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(17)(本题满分10分)

设曲线L：y=y(x)(x>e)经过点(/,0),£上任一点尸(x,y)到y轴的距离等于该点处的切

线在y轴上的截距，

(I怵D

(U)在上上求一点，使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，并求此最小面积.

(18)(本题满分12分)

x2

求函数/(x,y)=泥叩+下的极直

(19乂本题满分12分)

已知平面区域D=J(x,j)|0<y<―.x>1

Xyjl+x2

(I)求。的面积.

(II)求。绕X轴旋转所成旋转体的体积.

3

(20)(本题满分12分)

设平面有界区域D位于第一象限，由曲线/+/一切=1，一+y一9=2与直线y=JTx，y=0

围成，计算俨公

(21)(本题满分12分)

设函数/(x)在[-a,可上具有2阶连续导数，证明：

(1)若/(0)=0,则存在]e(—a,a),使得/"©=2[/仅)+/(—a)].

a

(II)若/(x)在(—a,a)内取得极值，则存在T|€(—a,a)使得|/〃(r|)|2)|/(a)—/(—a)].

(22乂本题满分12分)

(为+%+/\

设矩阵/满足：对任意玉，%,%均有/X]=2X_X+X

1x2x3

、%)I2-37

(I)求/；

(II)求可逆矩阵尸与对角矩阵A,使得pT4P=A.

2023年答案及解析(数学二)

一、选择题:1〜10小题,每小题5分，共50分,下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目

要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置.

(1)

【答案】⑻

xln(e+_)

【解析】k=lim_=lim______x」=limln(e+___)=1

%—>COX%—>00XX->00X—1

b=lim(j-kx)=lim[xln(e+)~x]=limx[ln(e+)-1]

X—>00X—>00X-lJooX-l

=limxta[l+______]=lim____=_

X—>00e(x-1)j8e(x-1)e

1

所以斜渐近线方程为y=x+—.

e

(2)【答案】(D)

【解析】当x<0时，

Jf(x)dx=j*,=in(x+Jl+£)+q

yj1+x

当x>0时，

jf(x)dx=j(x+l)cosxdx=j(x+l)dsinx=(x+l)sinx-jsinxdx

=(x+1)sinx+cosx+C2

原函数在(一00,+8)内连续，则在X=0处

limln(x+Jl+工2)+£_q,lim(x+1)sinx+cosx+C2=1+C2

0一%-0+

所以G=i+j，令G=C，则G=i+c，故

ln(x+Jl+)2)+1+C,x<0

jf(x)dx-<，结合选项，令。=0,则/(x)的一个原函数为

(x+l)sinx+cosx+C,x>0

ln(^/l+x2x)1,x<0

/(%)=++

(x+l)sinx+cosx,x>0

⑶【答案】⑻

2.

【解析】在0,，中,_x<sinx

71

2

故x,=sinx>

〃+1nn

71

1

1

n

=>lim乜.=0.故yn是xn的高阶无穷小.

8Xn

⑷【答案】(C)

【解析】微分方程y"+ay'+by^0的特征方程为V+ak+b=Q,

当△=/—46>0时，特征方程有两个不同的实根%,%,则%,%至少有一个不等于零,

x

若q,J都不为零，则微分方程的解歹=x+C2e-^在(-oo,+oo)无界;

当△=/—46=0时，特征方程有两个相同的实根，入i,2=—；，

5

若JW。，则微分方程的解>=。1”寸+。2沅万'在(一叫+8)无界;

当△=/—46<0时，特征方程的根为\,2=—；土收^，

a(£"4丁x+C收x),

则通解为〉=”2"2stnJ

此时，要使微分方程的解在(—8,+8)有界，则。=0,再由△="-46<0,知6>0.

(5)【答案】(C)

x=3tdysin/+/cosr

【解析】D当/>0时，代小皿'五二—3—；

x=tdysint-tcost

当，<0时,

y=-tsint"dx1

Aznxrxr才sm，

当r=0时，因为/(0)=hmf1(})----fL(°2)=lim_=0n；

+v73+x3+3t

小小r/(x)-/(°)」sin，

j(0)=hm'/'_=lrim_______0

一1J%.0-x3-t

所以/(0)=0.

2)lim/"(x)=limsm*cos/=o=/，(o);lim1(x)=lim-sm'」c°s'=0=1(0)；

%.o+go+3o-o-3

所以吧/'(x)=/'(°)=°,即/'(x)在x=0连续.

3)当，=0时，因为/"(0)—lim/'("A1(°)_limsm*cos/_2

+3X.0+X3339

r”-sin//cos/

f(0)=hm、/、/=hm____________=_2

—-x_>o-x3-t

所以/"(o)不存在.

⑹【答案】(A)

H-co

”、r+oo11111

【解析】当a〉0时/(a)=1,公7=——=———--

".拈》广(Inx1a〔(In2ya

/，/、11lnln2111M1

所以/6)=一而讨^一而可.怎=—怎而邛+J=n'即加:一由.

■6

⑺【答案】(C)

【解析】f(x)=(%2+a^x,f'(x)=^x2+a+2xV,/'(x)=6:2+4x+a+2\ex,由于/(x)无极

值点，所以4—4a<0,即。之1；由于/(x)有拐点，所以16—4(。+2)>0,即。<2；综上所述

ae[1,2).

⑻【答案】(D)

【解析】结合伴随矩阵的核心公式，代入(D)计算知

(AE\叩*_A*B*、_44*8*+卜户*、

I。B,°叩「0I俨*>

"啊E_口8*+口悭*)伸||/E0、

=1那阳，故(D)正确.

~0臼hE0

7HFld

(9)【答案】⑻

【解析】由已知/(%，马，%)=2x；—3x；-3x；++2为％+8X2X3,

<211)

则其对应的矩阵幺=1-34

14_3

X-2-1-1

由/E—Z卜-1入+3_4='(九+7)0—3)=0,得/的特征值为3,—7,0

-1-41+3

故选(B).

(10)【答案】(D)

【解析】设厂=玉％+%2a2=%生+为也

贝IjX1%+x2a2—%P1—y2P2=0

<12_2_np003)

又(cti，a2，一口厂—隹)=21—5ofo10_1

31_9_10011

7\

故(玉衣2，乂/2),=c(-3,l,-l,iy,ceJ?

所以尸=-cp1+邛2=c(-l,-5,-8f=-c(l,5,8f=k(l,5,8^,keR.

二、填空题:11〜16小题，每小题5分，共30分.

(11)【答案】-2

7

"x)za,toAaxbx2+x-x2(x2)

I解析】由吧得fl/------+----------Z-+o

=1可得

婷

JO-COSX2222

l+x+o(^)-l--x+o(x)

13

a+l=0,b——=_,即Q=—1,6=2,ab=—2.

22

4

(12)【答案】3+4兀

【解析】y=邓_、2,由弧长公式可得/=『#+ydx_J/^4_x2dxx=2sin，2jj4cos2tdt

714

=4jjl+cos2z^=_.K.

3

(13)【答案】・工

【解析】两边同时对X求导得：e.—+z+x.-=2-0①

dx&c

dzd2

两边再同时对x求导得:--y+—+—+x.②

dxdx

将x=l,y=l代入原方程得ez+z=l^z=Q,

代入①式得e。.巴+0+竺=2n竺=1.

班班dx

代入②式得e°」+e°.玄+1+1+%=0=白=二

W2

(14)【答案】$

【解析】两边对x求导：9x2=5y4-y'+6y2-y'①

当x=l时，代入原方程得3=/+2/ny=i

9

将x=1/=1代入①式得9=5y，+6y'二"。/口,

11

所以曲线在x=l处的法线斜率为-

(15)【答案】1

323

【解析】j/(x)dx=£/(%)<&+J,/(x)dx

21

=+[/(x+2)dx

■8

2]

=j+j[/(x)+x]dx

2[]

=+j/(x)公+jxdx

=ffMdx+fxdx

JoJo

=0+1

2

1

(16)【答案】8

【解析】由已知«/)=r(46)«3<4,故|44=。

a01

aIIa011a1

1a1

即|44=122a+2.(U广1a1I2a^2.4-0

a

b012a2b0

ab0

lai

故12a=8.

ab0

三、解答题：17〜22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(17)【解析】(I)曲线/在点尸(xj)处的切线方程为y_y=y，(x-x)，令X=0,则切线

在y轴上的截距为y=y—町/,则X二y-xyj即1，解得y(x)=x(。一Inx),其中C

yf--y=-i

X

为任意常数.

又天(*)=0，则。=2，故y(x)=x(2-Inx).

(II)设曲线上在点(x,x(2-lnx))处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，此时切线方程为

Y-x(2-Inx)=(1-Inx)(X-x).

令y=0,则------；令X=0,则丫=、.

lnx_l

[1X

故切线与两坐标轴所围三角形面积为S(x)=XY=,——.%=——,

22lnx_12(lnx_l)

则S(x)="In=3).令s，Q)=o,得驻点X=2.

2(lnx_l)2

9

333

当e<x<e?时，S'(x)<0；当x〉灰时，S'(x)〉0,故S(x)在x=e?处取得极小值，同时也取

3

最小值，且最小值为S(e2)=e3-

(18)

cosy

'f=e+x=0

【解析】,〃=nSinj)=0得驻点为：(-e」,E)其中左为奇数；(~e,E),其中左为

偶数.

fxx=1

则<f^=emsy(_srny)

xecosysin2y+xecosy(-cosy)

A=f"=1

JXX,

2

代入(-e」,左兀)，其中左为奇数，得<B=f；y=0,AC-B<0,故(-e」,E)不是极值点;

C=f=-e--

Jyy

[A=f"=1

JXX

代入(-e,E),其中左为偶数，得〈B=f^=0,ZC—台2〉o且/>o,故(—e,Mr)是极小值点,

C=f"=e2

Jyy

f(-e,Arn)=-_为极小值.

(19)【解析】(I)由题设条件可知:

S=-8L_dx—

=ln(V2+l);

JlXyjl+X2

/J]+72

(ii)旋转体体积v=1兀/公=兀/\iydx=兀/)i

x+xdx=Ti(1-

(20)【解析】本题目采用极坐标进行计算

■10

冗L2171I211

八l-sinocoso.rd0=(*丁daRLsinOcose.,、g

JoJ1一r2(3cos20+sin20)JoJ〔(3cos20+sin20)r

、l_sin0cosQ、l-sinQcos0'

兀1l♦71]

f7___________,__.InrW-sinecosedQ=r，______„__.In^dQ

(3cos20+sin20).iJo(3cos20+sin20)

[冗]冗]

=_In2.产_____________dQ=In2.f7_________dtan0

2Jo(3+ta/?20).cos20J0(3+taw20)

=Lin2._Larctanj71

In2

2/°邓

(21)

【解析】(I)证明：/(x)=/(0)+/'(0)x+/婴，=/，(0)》+冬2始,11介于0与¥之间，

则/⑷=/(0)。+'；：)"，°<小<。①

/(")=/，(0)(—a)+。<外<o②

2

①+②得:/■)+/(-。)=笈[/'9)+尸'(％)]③

又/"(x)在竹2，q]上连续，则必有最大值河与最小值加，即

m<f"^<M-m<f"^<M-从而加〈/"附)]。2)vM；

由介值定理得：存在012^[]<=(-«，«)-有,S'；/代入③得：

/(«)+/(“)=a2r位),即/〃位)=八"/")

(II)证明：设/(幻在%=%6(-凡4)取极值，且/(x)在x=/可导，则/'(%)=0.

22

又/(X)=/(X。)+/'(X。)(X—X。)+L^L(x-x0)=/(x0)+与a(X_X0)，Y介于0与X之间,

贝I]/(—a)=/(%)+47)(―a—%)2,—a<%<0

11

/(a)=/(x°)+(a—%)2,0〈力<a

从而\f⑷-/(—。)|=(«-/)2/"他)一；«+/j/"(%)

-y(a-xo)2/"(丫2)|+夏卜+%)2/"(%)]

又『(x)连续,设M=max|T(Yi>!|/〃a2)|,则

11°

022

|/(«)-f(