2023-2024学年河南省南阳市八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

2023-2024学年河南省南阳市唐河县八年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.16的立方根是（）

A.8B.4C.V16D.±V16

2.下列各式计算正确的是（）

A.（-a2b）3=a6b3B.(a_1)2=a2_]

C.a-a3+a4=2a4D.26(4a-1)=Sab+2b

3.估算，方+2的值是在（）

A.5和6之间B.6和7之间C.7和8之间D.8和9之间

4.如图，甲、乙、丙三个三角形和左侧A4BC全等的是（）

C

A,甲和乙B.甲和丙C.乙和丙D.只有丙

5.A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏.他们所站的位围成一个AyIBC,在他们中间放一个木凳，谁先抢

到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△48。的（）

A.三边垂直平分线的交点B.三边中线的交点

C.三个内角角平分线的交点D.三边高的交点

6.五根小木棒，其长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是

7.乐乐爸爸的公司今年1-7月份的销售额在七个月之内增长率的变化状况如图所示.从图上看出，下列结

论正确的是（）

A.1-6月份销售额在逐渐减少B.在这七个月中，1月份的销售额最大

C.这七个月中，每月的销售额不断上涨D.这七个月中，销售额有增有减

8.如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与8C交于

点、E,分别以点E和点C为圆心、大于：EC的长为半径作弧，两弧相交

于点P,作射线A尸交8c于点。.若48=45。，=贝UABAE

的度数为（）

A.15°

B.25°

C.30°

D.35。

9.如图，在边长为2。的正方形中央剪去一边长为（a+2）的小正方形（a>2）,将剩余部分剪开，密铺成一

个平行四边形，则该平行四边形的面积为（）

/、

________

2a

A.3a之一4B.2a2+4aC.3a之—4a—4D.3a2+4a+4

10.勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股

四，则弦五”的记载.如图1是由边长均为1的小正方形和取△ABC构成的，可以用其面积关系验证勾股定

理.将图1按图2所示“嵌入”长方形LWJK,则该长方形的面积为（）

4

D

M

图1图2

A.120B.110C.100D.90

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.因式分解：—M—4炉+4ab=

12.在期末体育考核中，成绩分为优秀、合格、不合格三个档次，初二(3)班有52名学生，达到优秀的有

14人，合格的有25人，则这次体育考核中，不合格人数的频率是一

13.若％+y=2,则代数式久2一y2+4y的值等于

14.如图，在等边三角形A5C中，47=9,点。在AC上，且4。=3,点。和

点E分别在ASBC±,OD=OE,/DOE=60。，则A。的长是一

15.如图，△ABC中，AB=12,AC=16,BC=20.将△ABC沿射线5M折叠，使点A与BC边上的点。

重合，E为射线上一个动点，当△CDE周长最小时，CE的长为.

三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题8分)

计算：

(1)7(-2)2-)一35-|<3-2|；

(2)20232_2022x2024.

17.(本小题10分)

(1)化简：(2x—y)2—(x—2y)(x+2y)+(6x2y+8xy2)+2y；

(2)已知尤是，7的整数部分，y是，7的小数部分，求(y-，7尸+2的平方根.

18.(本小题9分)

如图，在四边形ABCD中，AABC=90°,CA平分NBCD,且CA=CD,过点。作DE14C于点E.

(1)求证：CB=CE；

(2)若力B=2,BC=1.5,求的长.

19.(本小题8分)

对垃圾进行分类投放，能有效提高对垃圾的处理和再利用，减少污染，保护环境，为了调查同学们对垃圾

分类知识的了解程度，增强同学们的环保意识，普及垃圾分类及投放的相关知识，某校数学兴趣小组的同

学设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取部分同学进行问卷测试，把测试成绩分成

“优、良、中、差”四个等级，绘制了如图不完整的统计图:

垃圾分类知识及投放情

况测试成绩阚形统计图

根据以上统计信息，解答下列问题:

(1)求成绩是“优”的人数占抽取人数的百分比；

(2)求本次随机抽取问卷测试的人数；

(3)请把条形统计图补充完整；

(4)扇形统计图中成绩是“良”的圆心角的度数是°.

20.(本小题10分)

如图，四边形A8CD为某工厂的平面图，经测量48=BC=4D=80爪，CD=SOv^m,MzXBC=90°.

(1)求ND4B的度数；

(2)若直线48为工厂的车辆进出口道路(道路的宽度忽略不计)，工作人员想要在点。处安装一个摄像头观

察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为80m,求被监控到的道路长度为多少m?

21.(本小题10分)

阅读与思考：下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务.

x年x月x日星期日

用等面积法解决问题

周末，我对本学期所学的内容进行了回顾与整理，发现数学中有许多方法是可以互相迁移的.

比如我们在学习整式乘法时，借助如图I所示的边长为(a+6)的正方形，用两种不同的方法表示这

个正方形的面积，可以得到乘法公式①.

(图1)(图2)

再比如学习三角形的内容时，我遇到了同样可以用等面积法解决的问题.如图2,在心△ABC中，

ZC=90°,AC=3,BC=4,AB=5,求点C到A2的距离.我们也可以利用等面积法求得点C到

AB的距离为②.

总结：等面积法是一种重要的数学解题方法，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，不仅可

以使解题思路清晰，过程简洁，而且还能体现知识间的相互联系.

任务:

(1)请你补全小宇日记中不完整的部分：①,②;

(2)尺规作图：在图2中作NC4B的角平分线，交于点。(保留作图痕迹，不写作法)；

(3)在(2)的条件下，直接写出线段C。的长度.

22.(本小题10分)

数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别为。、方的两个正方形纸片和长为人宽为6的

长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如：由图2可得(a+6)(2a+b)=2a2+3ab+b2,

(2)用9张边长为。的正方形纸片，12张长为6、宽为a的长方形纸片，4张边长为b的正方形纸片拼成一

个大正方形，则这个大正方形的边长为；

(3)先计算(a+26)(2a-6),再用图形的面积解释它的正确性.

23.(本小题10分)

已知：4AOB=60。.小新在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为120。(即NDPE=120。)的角尺来作

乙4OB的角平分线.

(1)如图1,他先在边OA和上分别取。。=OE,再移动角尺使PD=PE,然后他就说射线OP是N20B

的角平分线.试根据小新的做法证明射线OP是N40B的角平分线；

(2)如图2,小新在确认射线OP是乙40B的角平分线后，一时兴起，将角尺绕点P旋转了一定的角度，他

认为旋转后的线段和PE仍然相等.请问小新的观点是否正确，为什么？

(3)如图3,在(2)的基础上，若角尺旋转后恰好使得。P〃。巳请判断线段。。与OE的数量关系，并说明

理由.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：•••(VI⑥3=16,

•­•16的立方根是枳石，

故选：C.

根据立方根的定义即可求解.

本题主要考查了立方根，掌握立方根的定义是解题的关键.

2.【答案】C

【解析】解：4(-a2b尸=—a6b3,故本选项不符合题意；

B.(a-I)2=a2-2a+1,故本选项不符合题意；

C.a-a3+a4-2a4,故本选项符合题意；

D.2/?(4a-1)=8ab—2b,故本选项不符合题意.

故选：C.

选项A根据积的乘方运算法则判断即可；选项3根据完全平方公式判断即可；选项C根据同底数塞的乘法

法则以及合并同类项法则判断即可；选项。根据单项式乘多项式的运算法则判断即可.

本题考查了整式的混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键.

3.【答案】C

【解析】解：因为下<Y羽，

所以5<AA27<6,

所以，^7+2的值是在：7和8之间.

故选：C.

首先得出，下的取值范围，进而得出答案.

此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出最接近的有理数是解题关键.

4.【答案】C

【解析】解：根据SAS可以判断△ABC与乙中的三角形全等.

根据A4S或A&4可以判断小A8C与乙中的三角形全等.

故选：C.

利用全等三角形的判定方法一一判断即可.

本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定，属于中考常考题型.

5.【答案】A

【解析】解：利用线段垂直平分线的性质得：三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点距离相等，所以要

放在三边垂直平分线的交点上.

故选：A.

为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可

知，要放在三边垂直平分线的交点上.

本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用，利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培

养.想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键.

6.【答案】C

【解析】解：A、72+242=252,152+2024242,故A不正确；

B、72+242=252,152+202力242,故B不正确；

C、72+242=252,152+202=252,故C正确；

D、72+2024252,242+1524252,故。不正确.

故选：C.

欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.

本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股

定理的逆定理加以判断即可.勾股定理的逆定理：若三角形三边满足。2+炉=。2,那么这个三角形是直

角三角形.

7.【答案】C

【解析】解：由折线统计图可知，1〜7月份销售额的增长率始终是正数，即1-7月份销售额在增加，故

选项A、B、。不合题意；

这七个月中，每月的销售额不断上涨，C说法正确，故本选项符合题意.

故选：C.

这七个月中，销售额的增长率始终是正数，则每月的销售额不断上涨，据此即可判断.

本题考查折线统计图的运用，折线统计图表示的是事物的变化情况，注意在图形中纵轴表示的是增长率，

只有增长率是负数，才表示销售额减少.

8.【答案】A

【解析】解：由题意可知，AP是EC的垂直平分线，

•••AD1BC,DE=CD,

・•・△ADE之△ADC(S/S),

•••Z-EAD=Z.CAD,Z.C=Z.AEDf

•••Z-EAC=2/.CAD,

•••Z.C=2乙CAD,

Z.C=Z-EAC=Z.AED,

・・・△/EC是等边三角形，

・•.Z.C=Z.EAC=^AED=60°,

在△ABC中，ZB=45°,zC=60°,

・••/.BAC=180°-45°-60°=75°,

・••乙BAE=75°-60°=15°.

故选：A.

由题意可知，AP是EC的垂直平分线，证明△4DE之△ADC(SZS),进而证明△/EC是等边三角形，求出

乙C=Z.EAC=Z.AED=60°,利用三角形内角和定理即可求解.

本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角

形的性质与判定是解题的关键.

9.【答案】C

【解析】解：该平行四边形的面积为(2a)2-(a+2)2=4a2-a2-4a-4=3a2-4a-4,

故选：C.

直接用大正方形的面积，减去小正方形的面积，进行计算即可.

本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼接前后的图形的面积相等列式是解题的关键.

10.【答案】B

【解析】解：延长A8交KL于点0,

延长AC交于点P,如图2所示:

则四边形AOLP是矩形，

・•・乙B0F=^BAC=90°,

,•・四边形5CG厂是正方形，

BC=BF,Z.CBF=90°,

••・乙ABC+40BF=90°,

又•・•/?/:△48C中，/.ABC+/-ACB=

90°,

Z.OBF=Z.ACB,

在AOBF和AACB中，

ABAC=乙BOF

/-ACB=乙OBF,

、BC=BF

•­•AOB尸丝△4CB(A4S),

AC=OB,

同理：AACB^APGCQAAS),

PC=AB,

AB+OB=PC+AC,

即。4=AP,

矩形AOLP是正方形，边长4。=AB+。8=AB+AC=3+4=7,

KL=3+7=10,LM=4+7=11,

长方形ZJWJK的面积为：10x11=110,

故选：B.

延长AB交KZ于点O,延长AC交LW于点P,证AOBF名△4CB(A4S),得AC=OB,同理

PGC(AAS),得PC=AB,再证矩形AOLP是正方形，边长4。=7,则KL=10,LM=11,即可解决问

题.

本题考查了勾股定理、矩形的性质、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅

助线构造三角形全等是解题的关键.

11.【答案】—(<2—26)2

【解析】解：原式=一(42一4ab+4b2)

=一(a—26产

故答案为：-(a-2b产

先提取号，再根据完全平方公式分解因式即可得出答案.

本题考查了因式分解-运用公式法，掌握。2±2仍+炉=(a±b)2是解题的关键.

12.【答案】0.25

【解析】解：根据题意，不合格人数为52-14-25=13,

二不合格人数的频率是13+52=0.25,

故答案为;0.25.

先求出不合格人数，再根据频率计算公式：频率=频数十总数求解即可.

本题考查频率，熟记频率计算公式是解题关键.

13.【答案】4

【解析】解：x+y=2,

x2—y2+4y=(x+y)(x—y)+4y

=2(%-y)+4y

=2x—2y+4y

=2x+2y

-2(x+y)

=2x2

=4,

故答案为：4.

先根据平方差公式进行计算，再代入求出即可.

本题考查了平方差公式，能熟记公式是解此题的关键，注意：(a+b)(a-6)=a2-b2.

14.【答案】6

【解析】解：•••AC=9,点。在AC上，AO=3,

：.CO=AC-AO=9-3=6,

•••△ABC是等边三角形，

/-A=zC=60°,

AAADO=180°-zx-^AOD=120°-^AOD,

•••/.DOE=60°,

.­.Z.COE=180°-乙DOE-Z.AOD=120°-/.AOD,

Z.ADO=Z.COE,

在△4£»。和小COE中，

AADO=乙COE

Z-A=Z-C,

OD=OE

△力。。义△COEQAAS),

AD=CO=6,

故答案为6.

由力C=9,AO=3,得CO=6,由等边三角形的性质得乙4=NC=60。，而乙DOE=60。，可推导出

AADO=^COE=120°-^LAOD,因为。。=OE,所以△ADOgACOE,贝耐。=C。=6,于是得到问题

的答案.

此题重点考查等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质等知识，证明△

ADO^LCOE是解题的关键.

15.【答案】10

【解析】解：由题意可知，A、。两点关于射线对称，

•••ChCDE=CD+DE+CE,

•••CD为定值，

要使ACDE周长最小，即。E+CE最小，

4C与射线的交点，即为使△CDE周长最小的点E,

•••AB=12,AC=16,BC=20.且122+162=202,

AB2+AC2=BC2,

.•.△4BC为直角三角形，

.­.ABAC=乙BDE=ACDE=90。，

AB=BD=12,

•••CD=BC-BD=8,

设CE=x,则AE=DE=16—x,

RtzXCDE中，CE2=DE2+CD2,

即/=(16—x)2+82,

x=10,

CE=10.

故答案为：10.

根据翻折的性质及勾股定理的逆定理可得△ABC为直角三角形，设CE=x,贝|2E=DE=16-x,然后再

由勾股定理可得答案.

此题考查的是翻折变换、勾股定理的逆定理及轴对称性质，掌握其性质是解决此题关键.

16.【答案】解：(1)原式=2-(一|)一(2—O

3「

=2+]-2+

=-3-+-2-/-3-

2，

(2)原式=20232-(2023-1)(2023+1)

=20232-20232+1

=1.

【解析】(1)根据算术平方根，立方根以及绝对值的定义进行计算即可；

(2)根据平方差公式进行计算即可.

本题考查平方差公式，实数的运算，掌握平方差公式的结构特征以及绝对值的定义是正确解答的关键.

17.【答案】解：(l)(2x—y)2—(%—2y)(x+2y)+(6x2y+8xy2)+2y

=4%2—4xy+y?_12+4y2+3/十4盯

=6x2+5y2；

(2)•・・％是，7的整数部分，y是的小数部分，

•,•%=2,y=V-7—2,

•--±J(y-d

=±J(AA7-2->A7)2+2

=±J(-27

=±4,

即(y-")x+2的平方根是±4.

【解析】(1)根据完全平方公式、平方差公式和多项式除以单项式将题目中的式子展开，然后合并同类项

即可；

(2)根据x是，7的整数部分，y是，7的小数部分，可以得到久=2,y=77-2,然后即可求得⑶-

«尸+2的平方根.

本题考查整式的混合运算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式

和完全平方公式的应用.

18.【答案】(1)证明：•••C4平分NBCD,

•••/-ACB=Z.DCE,

DE1AC,

・•・乙DEC=Z.DEA=90°,

•••乙ABC=90°,

•••Z-ABC=乙DEC,

在△ABC和△DEC中，

V.ABC=乙DEC

Z.ACB=乙DCE,

£A=CD

.-.AABC^ADEC(AAS),

•••CB=CE；

(2)解：由(1)知△ABC之△OEC,

CB=CE,AB—DE,

•・•AB=2,BC=1.5,

CE=1.5,DE=2,

在RtAABC中，由勾股定理得力C=7AB2+BC2=V22+1.52=2.5,

AE=AC-CE=2.5-1.5=1,

在RtADEA中，由勾股定理得4D=UAE?+DE2=7W+2?=岳.

【解析】(1)根据A4s证得△ABC和△DEC全等即可；

(2)由△ABC之ADEC得CB=CE=1.5,AB=DE=2,由勾股定理求出AC的长，即可求出AE的长，在

Rt△DEA中由勾股定理即可求出AD的长.

本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，勾股定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定

定理.

19.【答案】126

【解析】解：(1)72°+360°=20%,

即“优”的人数占抽取人数的百分比为20%；

(2)40+20%=200(人)，

即抽取检测的人数为200人；

(3)“中”的人数为：200—40—70—30=60(人),

画图如下：

(4)扇形统计图中成绩是“良”的圆心角的度数是360。x券=126°,

故答案为：126.

(1)根据“优”所对的圆心角度数除以360。即可求解；

(2)用“优”的人数除以其所占比例即可求解；

(3)用总人数减去“优”、“良”、“差”的人数即可求出“中”的人数，据此画图即可；

(4)总人数乘以“良”的人数和所占的比例即可.

本题考查了条形统计图和扇形统计图，求扇形圆心角度数和画条形统计图的知识.根据“优”所对的圆心

角度数求出该项人数所占比例是解答本题的关键.

20.【答案】解:(1)连接AC,

vAB=BC=AD=80m,Z.ABC=90°

.•.△2BC是等腰直角三角形，

AC=AB2+BC2=V802+802=80/2(m),"AB=45°,

•••CD=807-3m,

在小ACD中，AD2+AC2=802+(8072)2=(80<3)2=CD2,

.•.△4CD是直角三角形，

.­.ZCXD=90",

•••4DAB=90°+45°=135°；

(2)过点。作DE1AB于E,作点A关于OE的对称点「连接DR

由轴对称的性质，得：DF=DA=80m,AE=EF,

由(1)知,4BAD=135",

•­.^DAE=45°,

△力DE是等腰直角三角形,

AE=DE=号AD=40AAi(何，

AF=2AE=80/2(m),

・•・被监控到的道路长度为80Jim.

【解析】(1)根据等腰直角三角形的性质得出AC,进而利用勾股定理逆定理解答即可；

(2)根据轴对称的性质和勾股定理解答即可.

本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、轴对称的性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知

识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键.

21.【答案】(a+b)2—a2+2ab+b2~(a+b)2=a2+2ab+b2

【解析】解：(1)补全小宇日记中不完整的部分：①(a+6)2=a2+2ab+/>2,

②点C到A3的距离为争=£,

故答案为：(a+b)2=a2+2ab+b2,②弓;

(2)如图所示，线段AD即为所求；

(图2

(3)过。作DE148于E,

•••4。平分NB4C,"=90。，

CD=DE,

•・,AD=AD,

Rt△ACD=7?tAAED(HL),

•••AE=AC=3,

BE=2,

DE2+BE2=BD2,

CD2+22=(4—8)2,

CD=I，

故线段CD的长度为宗

(1)①根据完全平方公式即可得到结论；②根据三角形的面积公式即可得到结论；

(2)根据角平分线的作法作出图形即可；

(3)过。作DE14B于E,根据角平分线的性质得到CD=DE,根据全等三角形的判定和性质得到AE=

AC=3,根据勾股定理即可得到结论.

本题考查了作图-基本作图，完全平方公式，三角形的面积公式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正

确地作出图形是解题的关键.

22.【答案】(a+b)2=(a—b)2+4a63a+2b

【解析】解：(I)、•从整体看，大正方形的边长为a+6,

•••大正方形的面积为：(a+6)2；

•••组成看，大正方形由一个小正方形和四个长方形组成，

二大正方形的面积为：(a-b)2+4ab.

(a+bp=(a—b)2+4ab.

故答案为：(a+6)2=(a-6)2+4ab；

(2)「大正方形的面积为：9a2+12ab+4b2=(3a+2b)2,

大正方形的边长为：3a+2b；

(3)(a+23)(2a—Z?)=2a2-ab+4ab-2b2=2a2+3ab—2b2；

如图：四边形A8CQ的面积即可表示：似+28)(261-6)的计算结果.

(1)从整体看，大正方形的边长为a+6,那么可表示出大正方形的面积为：(a+b)2；从组成看，大正方形

由一个小正方形和四个长方形组成，可表示为：(a-b)2+4ab,让它们相等即可；

(2)易得大正方形的面积为9a2+12防+4炉，符合完全平方公式，可表示为(3a+26)2,那么边长为：

3a+2b；

(3)用第一个括号里的每一项，去乘另一个括号里的每一项，最后把所得的积相加即可；根据(1)、(2)可得

图形从整体看边长为：（。+2/））和（2。-力），从组成看：由2a