2022-2023学年江西省南昌市高一下学期期末调研检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2江西省南昌市2022-2023学年高一下学期期末调研检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满（为虚数单位），则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以.故选：B.2.已知量，，若，则（）A. B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗若，则，解得.故选：C.3.若表示三个不同的平面，l表示直线，则下列条件能推出的是（）A.， B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由图可知，面，面，面与面不平行，选项A错误；面，面，面与面不平行，选项B错误；根据线面垂直的性质可知，选项C正确；面面，面面，面与面不平行，选项D错误.故选：C.4.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，则.故选：B.5.设时刻，时针和分针所夹的角为，则（）A.0 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为时针每12小时转动，所以每小时转，即钟表的一大格的夹角是，而时刻，时针和分针相差2.5个大格，所以时刻，时针和分针所夹的角的度数是，则.故选：C.6.一个封闭的玻璃圆锥容器AO内装水若干如图a所示，此时水面与AO形交于点B，将其倒置后如图b所示，水面与AO还是相交于点B，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可得圆锥的体积等于水的体积的倍，设圆锥的底面圆的半径为，图中，水面圆的半径为，设，则，则，所以，解得，即.故选：A.7.某景区准备在两座山峰的山顶之间建设索道，要预先测量这两个山顶之间的距离.设两座山峰的山顶分别为，它们对应的山脚位置分别为，在山脚附近的一块平地上找到一点，（所在的平面与山体垂直），使得是以为斜边的等腰直角三角形，现从处测得到两点的仰角分和，若到的距离为1千米，则两个峰顶的直线距离为（）A.千米 B.千米 C.千米 D.千米〖答案〗A〖解析〗在等腰直角中，，在中，，则，在中，，则，如图，线段上取点，使得，因为，所以四边形为平行四边形，又，所以四边形为矩形，则，所以，即两个峰顶的直线距离为千米.故选：A.8.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割比的为0.618，这一数值恰好等于，则（）A. B. C. D.1〖答案〗D〖解析〗因为，所以.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数（为虚数单位），则下列说法中正确的有（）A.z的虚部为 B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗对于A，因为，所以z的虚部为，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，因为一个复数的辐角有无数多个，故错误，故C错误；对于D，因为，所以，故D正确.故选：BD.10.如图，在平面直角坐标系中，圆O与x轴的正半轴相交于点，过点，作x轴的平行线与圆O相交于不同的B，C两点，且B点在C点左侧，设，，下列说法正确的是（）A若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗AB〖解析〗由题意可知，若，则，则，故A，B正确；若，则，故C错误；若，则，所以，故D错误.故选：AB.11.函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位，再将横坐标扩大为原来的2倍得到的图象，则下列说法正确的有（）A. B.C. D.是的一个对称中心〖答案〗ACD〖解析〗由图可知函数得周期，所以，故A正确；则，又，所以，所以，则，又，所以，故B错误；则，将的图象向左平移个单位，得，再将横坐标扩大为原来的2倍得，，则，故C正确；因为，所以是的一个对称中心，故D正确.故选：ACD.12.由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体1如图1，沿着和分别作上底面的垂面，垂面经过棱的中点，则两个垂面之间的几何体2如图2所示，若，则（）A. B.C.平面 D.几何体2的表面积为〖答案〗ABC〖解析〗将几何体1与几何体2合并在一起，连接，记，易得，对于A，因为在正四棱台中，，是的中点，所以，又是的中点，，所以，则，，又，所以，所以四边形是平行四边形，则，同理：，所以四形边是边长为菱形，在边长为的正方形中，，因为是的中点，所以，，所以，故A正确；对于B，因为在正四棱台中，面面，又面面，面面，所以，又，所以，故B正确；对于C，在四边形中，由比例易得，由对称性可知，而，所以，则，即，而由选项B同理可证，所以，因为在正方形中，，而，所以，因为面，所以面，对于D，由选项A易知四边形是边长为的正方形，上下底面也是边长为的正方形，四边形是边长为的菱形，其高为，所以几何体2是由4个边长为2正方形和8个上述菱形组合而成，所以其表面积为，故D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，，则在方向上的投影数量是__________.〖答案〗〖解析〗因为，，所以，，所以，则在方向上的投影数量是.故〖答案〗为：.14.请写出复数的一个平方根___________（只需写出其中一个）.〖答案〗（或，〖答案〗不唯一）〖解析〗依题意，设复数的平方根为，则，所以，解得或，所以复数的平方根为或.故〖答案〗为：（或，〖答案〗不唯一）.15.在长方体中，，，则异面直线，所成的角的余弦值为___________.〖答案〗〖解析〗如图，连接，因为且，所以四边形为平行四边形，所以，则或其补角即为异面直线，所成角的平面角，在中，，由余弦定理得，即异面直线，所成的角的余弦值为.

故〖答案〗为：.16.中，，延长至，使得，则的最大值为________.〖答案〗〖解析〗设，则，因为，所以，又，所以，由，得，在中，由正弦定理，得，在中，由正弦定理，得，则，由，得，则当时，取得最大值，为.故〖答案〗为：.四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数，.（1）求；（2）若，且，求，y值.解：（1）由题意可得：.（2）因为，即，可得，解得，所以.18.化简求值.（1）；（2）.解：（1）由题意可得：（2）因为，整理得，所以.19.如图，三棱锥中，平面为的中点，，.（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的体积.解：（1）因为为的中点，，所以，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，因为平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）因为，所以三棱锥的高为，，故.20.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，BE与AC，AF分别相交于M，N两点.（1）若，求λ；（2）若，求.解：（1）以为基底向量，则，因为，所以，又因为∥，则存在唯一实数，使得，即，可得，解得，所以实数的值为.（2）由（1）可得，因为∥，则，可得，由题意可得：，则，所以.21.古语云：“积善之家，必有余兴”.扇是扇风的，有“风生水起”走好运之意，“扇”与“善”字谐音，佩戴扇形玉佩，有行善积德之意.一支考古队在对某古墓进行科考的过程中，发现一枚扇形玉佩，但因为地质原因，此扇形玉佩已经碎成若干块，其中一块玉佩碎片如图1所示，通过测量得到数据，，AB=2.（图1中破碎边缘呈锯齿形状）（1）求这个扇形玉佩半径；（2）现又找到一块比较规则的三角形碎片，如图2所示，其三边长分别为，，1，且该三角形碎片有两边是原扇形边界的一部分，请复原该扇形玉佩的具体参数（圆心角.弧长、面积）.解：（1）如图，设扇形的圆心为，连接，在中，由余弦定理可得：，因为，可得，在中，因为，则，即，可得，所以这个扇形玉佩的半径为.（2）设扇形的圆心角为，因为，可得，所以扇形的圆心角为，弧长为，面积为.22.小波到一个广告公司去应聘包装设计师职位，考官给大家出了一道题目：某礼品厂生产一种棱长为a的正四面体形状的礼品（如图）.请你为它设计一个包装盒，形状随意，可提出不同方案供考官选择（不考虑包装盒材料的质量、厚度、重量及接缝处损耗）（1）小波给出了长方体和圆柱两个设计方案（如图），请分别计算这两个包装盒的表面积；（2）考虑到礼品各面易碎，礼品较大，包装盒体积不能太大，但礼品各面与包装盒表面之间需要有填充物，请你帮小波设计一个方案.（需要面图表示，并配以简单说明理由）解：（1）如图，对于正四面体，过顶点作底面的垂线，垂足为，延长交于点，可知平面，点为的中点，为的中心，，由平面，则，可得：，对于长方体设计方案可知：长方体的长、宽、高分别为，所以其表面积；对于圆柱体设计方案可知：圆柱的底面半径为，高为，所以其表面积.（2）由（1）可知：对于长方体设计方案，体积为；对于圆柱体设计方案可知，体积为；如图，以正方体的设计方案，则正方体的棱长为，体积为，因为，，故体积较小，此时四面体在正方体内不易晃动，且方便运输和管理.江西省南昌市2022-2023学年高一下学期期末调研检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满（为虚数单位），则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以.故选：B.2.已知量，，若，则（）A. B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗若，则，解得.故选：C.3.若表示三个不同的平面，l表示直线，则下列条件能推出的是（）A.， B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由图可知，面，面，面与面不平行，选项A错误；面，面，面与面不平行，选项B错误；根据线面垂直的性质可知，选项C正确；面面，面面，面与面不平行，选项D错误.故选：C.4.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，则.故选：B.5.设时刻，时针和分针所夹的角为，则（）A.0 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为时针每12小时转动，所以每小时转，即钟表的一大格的夹角是，而时刻，时针和分针相差2.5个大格，所以时刻，时针和分针所夹的角的度数是，则.故选：C.6.一个封闭的玻璃圆锥容器AO内装水若干如图a所示，此时水面与AO形交于点B，将其倒置后如图b所示，水面与AO还是相交于点B，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可得圆锥的体积等于水的体积的倍，设圆锥的底面圆的半径为，图中，水面圆的半径为，设，则，则，所以，解得，即.故选：A.7.某景区准备在两座山峰的山顶之间建设索道，要预先测量这两个山顶之间的距离.设两座山峰的山顶分别为，它们对应的山脚位置分别为，在山脚附近的一块平地上找到一点，（所在的平面与山体垂直），使得是以为斜边的等腰直角三角形，现从处测得到两点的仰角分和，若到的距离为1千米，则两个峰顶的直线距离为（）A.千米 B.千米 C.千米 D.千米〖答案〗A〖解析〗在等腰直角中，，在中，，则，在中，，则，如图，线段上取点，使得，因为，所以四边形为平行四边形，又，所以四边形为矩形，则，所以，即两个峰顶的直线距离为千米.故选：A.8.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割比的为0.618，这一数值恰好等于，则（）A. B. C. D.1〖答案〗D〖解析〗因为，所以.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数（为虚数单位），则下列说法中正确的有（）A.z的虚部为 B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗对于A，因为，所以z的虚部为，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，因为一个复数的辐角有无数多个，故错误，故C错误；对于D，因为，所以，故D正确.故选：BD.10.如图，在平面直角坐标系中，圆O与x轴的正半轴相交于点，过点，作x轴的平行线与圆O相交于不同的B，C两点，且B点在C点左侧，设，，下列说法正确的是（）A若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗AB〖解析〗由题意可知，若，则，则，故A，B正确；若，则，故C错误；若，则，所以，故D错误.故选：AB.11.函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位，再将横坐标扩大为原来的2倍得到的图象，则下列说法正确的有（）A. B.C. D.是的一个对称中心〖答案〗ACD〖解析〗由图可知函数得周期，所以，故A正确；则，又，所以，所以，则，又，所以，故B错误；则，将的图象向左平移个单位，得，再将横坐标扩大为原来的2倍得，，则，故C正确；因为，所以是的一个对称中心，故D正确.故选：ACD.12.由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体1如图1，沿着和分别作上底面的垂面，垂面经过棱的中点，则两个垂面之间的几何体2如图2所示，若，则（）A. B.C.平面 D.几何体2的表面积为〖答案〗ABC〖解析〗将几何体1与几何体2合并在一起，连接，记，易得，对于A，因为在正四棱台中，，是的中点，所以，又是的中点，，所以，则，，又，所以，所以四边形是平行四边形，则，同理：，所以四形边是边长为菱形，在边长为的正方形中，，因为是的中点，所以，，所以，故A正确；对于B，因为在正四棱台中，面面，又面面，面面，所以，又，所以，故B正确；对于C，在四边形中，由比例易得，由对称性可知，而，所以，则，即，而由选项B同理可证，所以，因为在正方形中，，而，所以，因为面，所以面，对于D，由选项A易知四边形是边长为的正方形，上下底面也是边长为的正方形，四边形是边长为的菱形，其高为，所以几何体2是由4个边长为2正方形和8个上述菱形组合而成，所以其表面积为，故D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，，则在方向上的投影数量是__________.〖答案〗〖解析〗因为，，所以，，所以，则在方向上的投影数量是.故〖答案〗为：.14.请写出复数的一个平方根___________（只需写出其中一个）.〖答案〗（或，〖答案〗不唯一）〖解析〗依题意，设复数的平方根为，则，所以，解得或，所以复数的平方根为或.故〖答案〗为：（或，〖答案〗不唯一）.15.在长方体中，，，则异面直线，所成的角的余弦值为___________.〖答案〗〖解析〗如图，连接，因为且，所以四边形为平行四边形，所以，则或其补角即为异面直线，所成角的平面角，在中，，由余弦定理得，即异面直线，所成的角的余弦值为.

故〖答案〗为：.16.中，，延长至，使得，则的最大值为________.〖答案〗〖解析〗设，则，因为，所以，又，所以，由，得，在中，由正弦定理，得，在中，由正弦定理，得，则，由，得，则当时，取得最大值，为.故〖答案〗为：.四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数，.（1）求；（2）若，且，求，y值.解：（1）由题意可得：.（2）因为，即，可得，解得，所以.18.化简求值.（1）；（2）.解：（1）由题意可得：（2）因为，整理得，所以.19.如图，三棱锥中，平面为的中点，，.（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的体积.解：（1）因为为的中点，，所以，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，因为平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）因为，所以三棱锥的高为，，故.20.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，BE与AC，AF分别相交于M，N两点.（1）若，求λ；（2）若，求.解：（1）以为基底向量，则，因为，所以，又因为∥，则存在唯一实数，使得，即，可得，解得，所以实数的值为.（2）由（1）可得，因为∥，则，可得，由题意可得：，则，所以.21.古语云：“积善之家，必有余兴”.扇是扇风的，有“风生水起”走好运之意，“扇”与“善”字谐音，佩戴扇形玉佩，有行善积德之