2024年山东省淄博市临淄区中考一模数学试题（解析版）

2023-2024学年度第二学期期中质量检测

初四数学试题

本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟.考试结束后.

注意事项：

1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、班级、姓名、考试号、座号填写在答题卡

和试卷规定位置.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区

域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案.严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修

改.

4.保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记.

5.评分以答题卡上的答案为依据.不按以上要求作答的答案无效.

一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确

的选项填在下面的表中.每小题4分，满分40分，错选、不选、多选，均记0分.）

1.某体育场有10000个座位，10000用科学记数法表示为（）

A.IxlO4B.O.lxlO5C.10xl04D.10xl03

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法进行解答即可.

【详解】根据科学记数法的表示形式a*10",l<o<10,可确定a=l,〃值等于原数的整数位数减1,可

确定〃=4,

.•.10000用科学记数法表示为：1x104.

故选：A

正五边形

其中是轴对称图形但不是中心对称图形的共有（）

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A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】C

【解析】

【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可.

【详解】解：正方形和圆既是中心对称图形，也是轴对称图形；等边三角形是轴对称图形，不是中心对称

图形；正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，

故选：C.

【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，解题的关键是掌握中心对称图形和轴对称图形的

概念，把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫

做中心对称图形；如果一个平面图形沿一条直线折叠直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对

称图形.

3.下列运算正确的是（）

34325

A.a-cr=aB.3a—a=3C.aa=aD.（/）=a

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查了同底数幕的运算法则，合并同类项，解题的关键是掌握同底数塞相乘（除），底数

不变，指数相加（减）；幕的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方；合并同类项，

字母和相同字母指数不变，只把系数相加减.据此逐个判定即可.

23

【详解】解：A、a-a=a,故A正确，符合题意；

B、3。一。=2。，故B不正确，不符合题意；

C、故C不正确，不符合题意；

D、故D不正确，不符合题意；

故选：A.

4.一组数据3,3,4,6,8,9的中位数是（）

A.4B.5C.5.5D.6

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：数据3,3,4,6,8,9的中位数是：（4+6）+2=5,故选B.

考点：中位数；统计与概率.

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x+3〉0

5.不等式组〈0,八的解集在数轴上表示正确的是（）

2x-4<0

【答案】C

【解析】

【分析】根据解不等式组的一般步骤解不等式组，求出不等式组的解集即可判断.

x+3〉0

【详解】解：

2x—4W0

解①得，x>-3,

解②得，xW2,

不等式组的解集是-3<xW2,表示在数轴上如下:

-3-2-1012

故选：c.

【点睛】此题考查的是解不等式组，掌握解不等式组的一般步骤、解集的取法和用数轴表示解集是解决此

题的关键.

6.如图，直线。〃6,若Nl=24。，ZA=46°,则/2等于（）

A.46°B.70°C.40°D.30°

【答案】B

【解析】

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【分析】如详解中图，先根据对顶角相等得出的度数，再由三角形外角的性质得出/3,即可由平

行线的性质求出N2的度数.

【详解】如图，

A

VZ1=24°,

ZADB=Z1=24°.

•••/3是△ABO的外角，

Z3=ZA+ZADB=46°+24°=70°.

•.•直线。〃6,Z3=70°,

.*.Z2=Z3=70°.

故选B.

【点睛】本题考查对顶角的性质、三角形外角的性质、平行线的性质，证法不唯一，属于基础题，难度较

小，需要熟练掌握基本知识.

k

7-设点A（xi,yi）和点B（X2,y2）是反比例函数y=—图象上的两点，当xi<X2<0时，yi>y2,则一次函数

x

y=-2x+k的图象不经过的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】如图1,根据当xi<x2<0时，yi>y2可知：反比例函数y='图象上，y随x的增大而减小，得k

x

>0；如图2,再根据一次函数性质：-2<0,所以图象在二、四象限，由k>0得，与y轴交于正半轴，得

出结论.

【详解】解：•.,当xi<X2<0时，yi>y2,

...反比例函数丫=&图象上，y随x的增大而减小，

x

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.••图象在一、三象限，如图1,

；.k>0,

...一次函数y=-2x+k的图象经过二、四象限，且与y轴交于正半轴,

...一次函数y=-2x+k的图象经过一、二、四象限，如图2,

故选C.

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质，知道：①当k>0,双曲线的两支分别位于第

一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；②当k<0,双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每

一象限内y随x的增大而增大；反之也成立；③一次函数y=kx+b中，当k>0,图象在一、三象限；k<

0,图象在二、四象限：b>0时，与y轴交于正半轴，当b<0时，与y轴交于负半轴.

8.甲、乙两人沿着总长度为10km的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走

完全程.设乙的速度为xkm/h,则下列方程中正确的是（

10101010八.10101010八.

A.------------=12B.------------=0.2C.------------=12D.------------=0.2

x1.2x1.2xx1.2xxx1.2%

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意可直接进行求解.

【详解】解：由题意得：电—里=0.2；

x1.2%

故选D.

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【点睛】本题主要考查分式方程的应用，熟练掌握分式方程的应用是解题的关键.

9.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF,若AB=4,BC=2,那么线段EF的长

为（）

2^/5

D.

5

【答案】B

【解析】

【详解】解：连接AF,根据折叠的性知AF=CF,AC±EF,OA=OC,由AD=2,CD=4,根据勾股定理可

求得AC=[AD。+CD?=2行，所以0C=6,然后根据矩形的性质可得△COFs^CDA,因此根据相

似的性质可得史=空，代入数值可得好="，可求得OF=心，所以EF=2OF=布.

CDAD422

故选B.

【点睛】本题考查折叠变换，勾股定理，相似三角形的性质及判定的应用，掌握性质定理正确推理论证是

解题关键.

10.如图，四边形A6C。内接于口。，AC为直径，/ABC的平分线5。交AC于点E,点/在的延

长线上，AF=BC.有如下五个结论：①AD=C。；@UABE^ODBC；③AExCE=BExDE；④

L1,

AB+BC=42BD-.⑤四边形ABC。的面积为aA。？，则上列说法中正确的个数为（)

A.2个B.3个C.4个D.5个

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【答案】C

【解析】

【分析】由直径所对的圆周角等于90。可得出NA5C=NADC=90。，由已知条件可得出

ZABD=ZDBC=|ZABC=45°,由同弧所对的圆周角相等即可得出NAB。=NACD,进而

ZACD=ZDAC,即可判断①，证明口43£8口。8。可判断②，证明口人七^阻力后。可判断③，

DDAF^ODCB(SAS)可得出FDA=ZBDC,DF=DB,证明AFDB为等腰直角三角形，即可判断④，

根据S四边形ABCD=^OADC+^OABC即可判断⑤.

【详解】解：:AC为直径,

NA5C=NADC=90°,

；5。为/ABC的角平分线，

NABD=NDBC=-ZABC=45°,

2

"?ZABD=ZACD,

ZACD=45°,

：.ZDAC=45°,

AD=CD,

故①正确，

ZBAE=ZBDC,

又,/ZABE=ZDBC=-NABC

2

:.UABE困DBC,

故②正确，

NBAE=ZCDE,

又,：/AEB=NDEC

：.UAEB^UDEC,

.AEBE

，,1)E~~CE，

即AECE=DEBE,

故③正确，

由①知DA=DC,

•；NFAD=NBCD,且AE=C3,

第7页/共27页

.­.CDAF^ODCB(SAS),

ZFDA=ZBDC,DF=DB

：.ZADB+NBDC=90°,

ZFDA+ZADB=90°,

：.AFDB为等腰直角三角形，

•*-FB=6BD，

即AF+AB=BC+AB=42BD，

故④正确，

•S四边形形⑺=^OADC+S口ABC

=-ADDC+-ABBC

22

11

=-AD92+-ABBC

22

故⑤错误，综上①②③④正确，

故选：C.

【点睛】本题主要考查了等角对等边，相似三角形的判定以及性质，全等三角形的判定以及性质，圆周角

定理以及圆内接四边形的性质等知识，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键，

二、填空题(每小题4分，共20分)

11.点4(-3,3)关于了轴对称的点A的坐标是.

【答案】(3,3)

【解析】

【分析】平面直角坐标系中任意一点A(x,y),关于y轴的对称点是(-尤，＞),从而可得出答案.

【详解】根据轴对称的性质，得点A(-3,3)关于y轴对称点的坐标4(3,3).

故答案是：(3,3).

【点睛】本题主要考查关于y轴对称的点坐标的关系，解题的关键是掌握点关于y轴对称的坐标规律.

12.因式分解：X3-X2-12X=.

【答案】x(x-4)(x+3)

【解析】

【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式X,再利用十字相乘法分解因式即可得到答案.

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【详解】解：X3-X2-12X

=x^x2-冗-12)

=x(x-4)(x+3),

故答案为：x(x-4)(x+3).

13.如图，按照程序计算，若输出y的值是1,则输入x的值是

3

【答案】一:

4

【解析】

【分析】本题主要考查了解二元一次方程以及解分式方程，根据输出y的值是1,代入上一步程序，得出

x3

+3%+3=1或—二1,然后分别解出入,根据程序分析得出正确的值即可.

X+1X

【详解】解：・・•输出y的值是1,

Y3

・••上一步计算为：/+3%+3=1或-=1,

x+1X

当%2+3%+3=1时，解得：l二一1,或X二一2,

V-l<0,-2<0,

・,•不符合程序判断条件，

Y33

当一-二1时，解得：%=(经检验，是原方程的解)

x+1x4

4

•••符合程序判断条件.

,3

故答案为：一二.

4

14.若实数内〃分别满足+2023〃，+2024=0，川+2023〃+2024=0且m中〃，则工+工的值为

mn

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…心、2023

【答案】一二二

2024

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握“若一元二次方程

bc

ox?+bx+c=0(aw0)的两个根分另为X],x^,则玉+%=——，xx=—

a12a

直接利用根与系数的关系求解即可.

【详解】解：,/实数m,"分另ij满足nr+2023/n+2024=0，n2+2023〃+2024=0.

相和〃是_?+2023x+2024=0的两个根,

m+n=-2023,mn=2024,

11m+n2023

mnmn2024

2023

故答案为:

2024

15.如图，小明同学在观察图案中的排列方式时，通过研究每个图案中它们数量的规律，发现

第w个图案中的个数是“◎”的个数的2倍，则〃的值为

◎

0*0

QQ*0

0*0O***O'

品0*0*0©*0*0*0*©

第1个图案第2个图案第3个图案第4个图案

【答案】n

【解析】

【分析】本题考查的是图形类的规律探究，一元二次方程的解法，先归纳得到第"个图案中“◎”的个数为

n(n-\-W

3n,第〃个图案中的个数为一―再建立方程求解即可.

2

【详解】解：：图案中的个数依次为：3,6,9,

•••第”个图案中“◎”的个数为3〃，

•.•图案中“★”的个数依次为：1,3,6,10,…•一

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“(”+1)

...第〃个图案中的个数为

2

由题意得：—L--=2x3〃,

2

解得：71=11（不符合题意的根舍去），

故答案为：11；

三、解答题（第16,17,18,19题每题10分；第20,21题每题12分，第22,23题每题13

分；满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（1）先化简，再求值：（2a—1）（"1）—（6—3a）,其中。=1—JL

-4x+y=-3

（2）解方程组:

2x-5y=-3

x=1

【答案】（1）a2+l，4-2V2；（2）〈

"=1

【解析】

【分析】本题主要考查二元一次方程组的求解及二次根式的运算：

（1）先计算平方差，再进行去括号，合并同类项即可，然后把“的值代入化简以后的式子中求值即可.

（2）按照代入消元法解方程组即可.

【详解】解：（1）（2a—1）（。一1）—（/—3。）

=—3a+1—<7"+3a

=4+1

ci—\—V2

...原式="+1=(1—及丁+1=4—2拒

-4x+y=-3①

(2)]/

⑵-5y=-3②

由①得：y=4x-3③，

把③代入②得：2x-5(4x-3)=-3,

解得：x=l,

把x=1代入③得y=4x1-3=1,

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X—\

・・・方程组的解为11

"=1

17.网络技术的发展对学生学习方式产生巨大的影响，某校为了解学生每周课余利用网络资源进行自主学习

的时间，在本校随机抽取若干名学生进行问卷调查，现将调查结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据图

表中的信息解答下列问题.

组学习时间频数（人

别x（h）数）

A0<x<l8

B1<%<224

C2<x<332

D3<x<4n

E4小时以上4

（1）表中的“=,扇形统计图中2组对应的圆心角为°；

（2）请补全频数分布直方图；

（3）该校准备召开利用网络资源进行自主学习的交流会，计划在£组学生中随机选出两人进行经验介

绍，已知E组的四名学生中，七、八年级各有1人，九年级有2人，请用画树状图法或列表法求抽取的两

名学生都来自九年级的概率.

【答案】（1）12,108

（2）见解析（3）—

6

【解析】

【分析】本题考查利用画树状图法或列表法求概率，还考查了扇形统计图以及频数分布直方图；熟练掌握

运算公式（①各部分扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比x360。，②百分比=该组频数+总数）是解本

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题的关键.

（1）根据A组的频数和百分比求出总人数，再利用。组的百分比求出〃的值，利用360。乘以B组所占的

百分比求解即可；

（2）由频数分布表能作出频数分布直方图.

（3）画树状图，能求出抽取的两名学生都来自九年级的概率.

【小问1详解】

解：8-10%=80,7?=15%X8O=12,

8组对应的圆心角=—x360°=108°,

80

故答案为：12,108；

【小问2详解】

解：如图所示:

共12种可能，抽取的两名学生都来自九年级的有2种可能，

：.P（两个学生都是九年级）=/=!，

答：抽取的两名学生都来自九年级的概率为:.

6

18.根据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，现规定在以下情境中的速度不得超过15m/s,在

一条笔直公路3。的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m,N£>=90。，现探测到一辆轿车从B

点匀速向。点行驶，测得NABD=31°,2秒后到达C点，测得NACD=50°.

科学计算器按键顺序计算结果（已取近似

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值)

sin31

0.5

=

cos31

0.9

=

tan31

0.6

=

sin50

0.8

=

cos50

0.6

=

tan50

1.2

一

A

BCD

(1)求BC的距离.(结果精确到Im)

(2)通过计算，判断此轿车是否超速.

【答案】(1)20m

(2)没有超速

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形的应用：

(1)在与RtZXACD中，利用锐角三角函数定义求出3。与CD的长，由8。—CD求出的

长即可；

(2)根据路程除以时间求出该轿车的速度，即可作出判断.

【小问1详解】

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解：在Rt^ABO中，AD=24m,ZB=31°,

tan31°=—,即5D=Z=4o(m),

BD0.6')

:在RtZkACD中，AD=24m,NACD=50°,

4n24

tan50°=—,即CD=一=20(m),

CD1.2,)

BC=BD-CD=40-20=20(m),

则BC的距离为20m；

【小问2详解】

解：根据题意得：20-4-2=10(m/s)<15(m/s),

此轿车没有超速.

19.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y='的图象与一次函数丁=左(％-2)的图象交于48两点,

X

其中A点坐标为(3,2).

(1)求反比例函数与一次函数的解析式及B点坐标；

(2)根据图象直接写出不等式一〉人(x-2)的解集；

(3)若点C在y轴上，且满足口48。的面积为10,求点C的坐标.

【答案】(1)y=-,y=2x-4,5(-1,-6)

X

(2)%<-1或0<x<3

(3)(0,1)或(0,-9)

【解析】

【分析】本题考查待定系数法求解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积.

(1)采用待定系数法，把点A(3,2)代入函数丁='和丁=左(％-2),即可求出机和上的值，从而得到反

x

比例函数和一次函数的解析式.解两个函数构成的方程组，即可得到交点坐标，从而解答；

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（2）根据图象，不等式的的解集就是反比例函数的图象位于一次函数图象上方时横坐标尤的取值范围；

（3）先求出一次函数y=2x—4图象与y轴的交点“（0,-4）,过点A（3,2）作AEy轴于点E,过点

8（—1,—6）作BbLy轴于点F,得至UAE=3,BF=1,设C点的坐标为（0,%），则

0知=|%-（-4）|=七+4],根据%BC=S3MC+ZBMC即可得到方程，求解即可.

【小问1详解】

解：：点A（3,2）在反比例函数y=-和一次函数y=左卜-2）的图象上；

2=y,2=%（3-2）,

解得：m=6,k=2,

.♦•反比例函数的解析式为>=9,

X

一次函数的解析式为y=2x—4；

'6r

y――fx=3x,=—1

解方程组广X，得广12

y=2x-45=2[%=-6

经检验，4I—.,2—/均是方程组的解，

lx=2〔为=-6

反比例函数与一次函数图象的另一交点B的坐标为（-1,-6）；

【小问2详解】

由图象可知，不等式—2）的解集是X<—1或0<%<3；

【小问3详解】

第16页/共27页

...点M的坐标为（0,-4）,

过点A（3,2）作AE，y轴于点E,过点8（-1,—6）作，y轴于点F,

AE=3,BF=1

设C点的坐标为（0,无），

,,CM=|yc-（-4）|=|yc+4|

口

•••SABC=SaAMC+SDBMC=^CM.AE+^CM.BF=10

—x3x+4+—x1x+4=10,

.•.|先+4|=5,

解得Vc=1或/=—9，

.•.点c的坐标为（0,1）或（0,-9）.

20.如图，口48。内接于口。，A3是直径，DO1BC,延长OO到点E,使得N8=NE,连接AD,AE,

OA=2,OE=4.

（1）求证：AE是口。的切线;

（2）求sin/CAD.

⑵叵

【答案】（1）见解析

7

【解析】

【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，切线的判定定理，勾股定理解三角形及求正弦值，理解题

意，熟练掌握运用相似三角形的判定和性质及切线的判定定理是解题关键.

（1）根据相似三角形的判定得出口。。560。4石，再由其性质及切线的判定定理即可证明；

（2）根据相似三角形的性质得出。。=1,再由勾股定理及三角形中位线的性质确定AC=2。。=2,利用

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正弦函数的定义求解即可.

【小问1详解】

;在口和口。AE中

/B=NE,NDOB=ZAOE,

：^ODB^OOAE,

：.NOAE=ZODB,

0D1BC,

：.ZODB=90°,

/OAE=90°

AE是口。的切线；

【小问2详解】

由(1)^nODB^OAE,

ODOBOD2

----------，即an----二一，

OAOE24

OD=1,

在7?也0。8中，由勾股定理得：OD2+DB2=OB2

DB=^OB~-OD~=@一俨=73

ODLBC,0。经过口。的圆心，

CD—DB=V3,

-O,。分别是AB,的中点,

AC=2OD=2,

...在R/0ACD中，AD=yjAC2+CD2=^22+(73)2=J7,

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21.如图，在以。为圆心，1为半径的四分之一圆弧组成的扇形中，点尸在弧A3上运动（不与端点A3重

合），连接尸0,作PQ垂直于半径。4,垂足为Q,设NPQ4=Na.

（1）设尸。的长度为V,y是角1的函数吗？请说明理由；

（2）若及△P0Q的面积为S,请回答下列问题：

①当点P在弧上运动时，随着角a的逐渐变大，S的变化规律为（横线处填“逐渐变大”“逐

渐变小”“先变大再变小”“先变小再变大”）；

②求面积S关于角a的表达式，并写出角a的取值范围；

③当S取最大值时，请直接写出角a的值.

【答案】（1）是，理由：对于变量a的每一个值，P。的长度，都有唯一确定的值与之对应

（2）①先变大再变小；②S=！cosa-sina,00<Za<90°；③45°

2

【解析】

【分析】本题考查函数的定义，三角形的面积.

（1）由函数的定义可直接判断，对于变量a的每一个值，尸。的长度y都有唯一确定的值与之对应，故y

是a的函数；

（2）①随着角a的逐渐变大，S的变化规律为先变大再变小：②先求出底。。，再求高尸。即可；③当S取

最大值时，即当点尸运动到弧的中点，此时Na=45°.

【小问1详解】

解:是.

..•对于变量a的每一个值，尸。的长度y都有唯一确定的值与之对应

y是a的函数；

【小问2详解】

①先变大再变小，因为尸在A时，面积为0,往8方向运动时，面积逐渐变大，到达8时，面积为0,故先

变大再变小；

故答案为：先变大再变小

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②在R出尸0Q中,

,/OQ=OPcosa=cosa,PQ=OPsin«=sin«

S=-OQ-PQ=^costz-sintz

0°<Z<z<90°

③当S取最大值时，Na=45°.

理由：设点C为OP的中点，连结QC,过点Q作OP的垂线，垂足为连接Q".

B\、

|

oQ4

..•点。为OP的中点，PQ-LOQ

OC=CQ

S=~POHQ<-POCQ

.•.当点尸运动到弧A3的中点，使得HQ与CQ重合时，S的值最大此时，HQ=HO,HQLOH

.♦・口。HQ为等腰直角三角形

；.Na=45°.

22.如图，在边长为6的菱形ABCQ中，ZBCD=60°,连接3D,点E,尸分别是边AB,BC上的动

点，且AE=5尸，连接。E,DF,EF.

（1）如图①，当点E是边A3的中点时，求NEL甲的度数；

（2）如图②，当点E是边上任意一点时，NEDR的度数是否发生改变？若不改变，请证明：若发生

改变，请说明理由；

（3）若点尸是线段3。上的一个动点，连接PR,求PP+Y3。尸的最小值.

2

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【答案】（1）60°

（2）不改变，见解析（3）3方

【解析】

【分析】（1）由菱形ABC。可得42=20=0）=40=6,/BAD=NBCD=60°,从而

△BCD是等边三角形，根据''三线合一”可得NEZM=LNAD3=30°,AE=\AB,进而证得点F是

22

边的中点，从而NBDF=-NBDC=30°,根据ZEDF=ZEDB+ZBDF即可解答；

2

（2）由（1）得到△46。，△BCD是等边三角形，从而40=3。，ZDAB=ZDBC=60°,进而证

得□ADE义口BDF（SAS）,得到ZADE=ZBDF,从而NEDF=ZADB=60°；

（3）过点P作尸GLAD于点G,连接尸/，过点P作于点G',交BD于点P',则

GP=DPsinZADB=—DP，因此PF+、2DP=PF+GP，当点RP，G三点共线，且

22

RGJ_A。时，PP+GP有最小值，最小值为尸G的长，过点。作。于点"尸E+火。尸的

2

最小值即为。”的长，在RtACDH中通过解直角三角形即可解答.

【小问1详解】

•.•四边形ABC。是菱形，边长为6,

AB=BC=CD=AD=6,ABAD=NBCD=60°,

AABD,△BCD是等边三角形，

ZADB=60°,

•••点E是边AB的中点，

ZEDB=-ZADB=-x60°=30°,AE=-AB,

222

,/AE=BF,

：.BF=-AB=-BC

22

...点尸是边BC的中点，

NBDF=-ZBDC=-x60°=30°,

22

ZEDF=ZEDB+NBDF=300+30°=60°；

【小问2详解】

NEDR的度数不改变，证明如下：

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由(1)得到AABD,/\BCD是等边三角形,

Z.AD=BD,NDAB=NDBC=60°,

,/AE=BF,

：.UADE^jBDF(SAS),

：.ZADE=ZBDF,

NEDF=ZBDE+NBDF=NBDE+NADE=ZADB=60°；

【小问3详解】

如图，过点尸作尸GLAD于点G,连接PF,过点尸作EG'LA。于点G',交BD于点、P,

'：ZADB=60°,

在RtADPG中，GP=DP-sinZADB=DP-sin60°=—DP

2

/•PF+—DP=PF+GP

2

，当点F,P,G三点共线，且EGJLAD时，尸歹+G尸有最小值，最小值为PG的长，过点。作

DHLBC于点、H,

•.•四边形ABC。是菱形，

DH=FG',

：.PF+—DP的最小值即为的长，

2

•••DHIBC,△BCD是等边三角形，

；•DH=CD-sinC=CD-sin60°=373，

PF+^-DP的最小值为373.

【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定及性质，三角形全等的判定及性质，垂线段最短，解直

角三角形.正确作出辅助线，综合运用相关知识，采用转化思想是解题的关键.

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23.已知抛物线丁=依2+加；一3(。。0)与无轴交于点4-1,0),点3(3,0),与y轴交于点C.

备用图1备用图2

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图，若直线下方的抛物线上有一动点过点M作》轴平行线交于N,过点M作

的垂线，垂足为H,求△“；的周长的最大值；

(3)若点P在抛物线的对称轴上，点Q在无轴上，是否存在以B,C,P,。为顶点的四边形为平行四

边形，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由;

(4)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在，轴正半轴上是否存

在一点歹，使得当经过点歹的任意一条直线与新抛物线交于S,T两点时，总有」y+工为定值？若

FS2FT2

存在，求出点f坐标及定值，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)y=x2-2x-3

⑵回

4

(3)存在，。点的坐标为(2,0),(4,0),(-2,0)

(4)存在，定点*+/的值为4

【解析】

【分析】(1)把4-L0),点5(3,0)代入丁=依2+笈—3,得出关于。、方的二元一次方程组，解方程组

求出。、。的值，即可得答案；

(2)根据抛物线解析式求出点C坐标，利用待定系数法求出直线解析式，设”(加，加2—2m-3),则

N(m,m—3),根据MN〃y,MHLBC及B、C两点坐标得出是等腰直角三角形，利用加表示

出丛HMN的周长，利用二次函数的性质求出最大值即可得答案；

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(3)根据抛物线解析式求出对称轴为直线x=l,点尸坐标为(l,s),点。坐标为Q«,0),根据平行四边形

对角线中点的坐标相同，令BC、BP、3。为对角线三种情况，列方程组求出s、/的值即可得答案；

(4)根据平移规律得出新的抛物线解析式为y=V,设ST的解析式为>=履+6,7(々，为)，

则歹(0/)，联立抛物线与直线ST的解析式得必-履=0,利用