浙江省杭州市2023年中考一模数学试题

浙江省杭州市2023年中考一模数学试题

阅卷人

-------------------、单选题

得分

1.在一2,V3,2中，是无理数的是（

A.-2B.3C.V3D.2

2.某物体如图所示，它的主视图是（）

Q

3.据统计，2022年杭州市GDP达1.88万亿元，数据1.88万亿元用科学记数法表示为（）

A.1.88x1011（元）B.1.88x1012（元）

C.11.8X1011（元）D.0.188xIO%元）

4.在同一副扑克牌中抽取3张“方块”，4张“梅花”，5张“红桃”，将这12张牌背面朝上，从中任意抽取1

张，是“方块”的概率为（）

A-IB'IC.金D.j

5.山茶花是温州市的市花、品种多样，“金心大红”是其中的一种，某兴趣小组对30株“金心大红”的花径

进行测量、记录，统计如下表。

株数（株）79122

花径（cm）6.56.66.76.8

这批“金心大红”花径的众数为（）

A.6.5cmB.6.6cmC.6.7cmD.6.8cm

6.验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距无（米）的对应数据如下表.根据表中数

据，可得y关于x的函数表达式为（)

近视眼镜的度数y（度）2002504005001000

镜片焦距X（米）0.500.400.250.200.10

xV

B0y=c.D

-Too'x-^=400

7.照相机成像应用了一个重要原理，用公式｝=：+。力表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表

示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离.已知f,V,则;1=（）

A.卢B,千C,乌D./

f-vfvv-ffv

8.如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OCLOB,点A,B,C,D,。在同一平面内）.已知

AB=a,AD=b,ZBCO=x,贝1点A到0C的距离等于（）

acosx+bcosxC.asinx+bcosx.D.acosx+bsinx

9.如图，已知BC是。。的直径，半径OALBC,点D在劣弧AC上（不与点A,点C重合），BD与

0A交于点E.设NAED=a,ZAOD=p,贝！I()

A.3a+p=180°B.2a+p=180°

C.3a-p=90°D.2a-[3=90°

10.在平面直角坐标系中，已知a手b,设函数y=（%+a）（x+h）的图像与x轴有M个交点，函数

y=（ax+l）（bx+1）的图像与x轴有N个交点,则（)

A.知=%—1或"='+1B.M=N-1或M=N+2

C."=可或”=村+1D.M=1\^M=N-1

阅卷人二、填空题

得分

11.因式分解：4-a2=.

12.某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x,第二次算得另外n个数据的平均数为y,则这

m+n个数据的平均数等于。

13.如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为lOon,底面圆半径为4cm,则这个冰淇

淋外壳的侧面积等于cm2（结果保留兀）.

14.已知一次函数y=久一3与、=kx（k是常数，k丰4）的图像的交点坐标是（2,-1）,则方程组

漓解是-------------

15.如图，。。分别切/BAC的两边AB,AC于点E,F,点P在优弧EDF上.若NBAC=66。，则

16.如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把ABCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点

F处，连接DF.若点E,F,D在同一条直线上，AE=2,则DF=,BE=.

解答题

17•化简：含一昌一1

圆圆的解答如下:

4x2

l=4x-2(x+2)-(x2-4)=-x?+2x圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案.

X2-4X-2

18.某工厂生产某种产品，3月份的产量为5000件，4月份的产量为10000件.用简单随机抽样的方法分

别抽取这两个月生产的该产品若干件进行检测，并将检测结果分别绘制成如图所示的扇形统计图和频数

直方图(每组不含前一个边界值,含后一个边界值).已知检测综合得分大于70分的产品为合格产品.

某工厂3月份生产的某种产品检测

情况的扇形统计图

(1)求4月份生产的该产品抽样检测的合格率;

(2)在3月份和4月份生产的产品中，估计哪个月的不合格件数最多？为什么？

19.如图，在△ABC中，AC<AB<BC.

(1)已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P,连结AP,求证：乙APC=2乙B；

(2)以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q,连结AQ,若乙4QC=3乙8,求

ZB的度数.

20.设函数yi=勺,函数y2=k2x+b(ki,ki,b是常数，k#0,k2#0).

(1)若函数yi和函数y2的图象交于点A(l,m),点B(3,1),

①求函数yi,y2的表达式：

②当2Vx<3时，比较yi与y2的大小(直接写出结果).

(2)若点C(2,n)在函数yi的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D,点

D恰好落在函数yi的图象上，求n的值，

21.如图，已知正方形ABCD的边长为1,正方形CEFG的面积为Si，点E在CD边上，点G在BC的

延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2,且Si=S2.

（1）求线段CE的长；

（2）若点H为BC边的中点，连结HD,求证：HD=HG.

22.设二次函数=2久2+bx+c（b,c是常数）的图像与x轴交于A,B两点.

⑴若A,B两点的坐标分别为（1,0）,（2,0）,求函数以的表达式及其图像的对称轴.

（2）若函数丫1的表达式可以写成yi=2（久-/I,—2（h是常数）的形式，求b+c的最小值.

（3）设一次函数、2=%-血（m是常数）.若函数丫1的表达式还可以写成丫1=2（久一m）（久一加一2）的

形式，当函数y=为一丫2的图像经过点（而，。）时，求与一小的值.

23.如图，已知锐角A/BC内接于。O,OO1BC于点D,连结AO.

（1）若乙BAC=60°.

①求证：OD=

②当04=1时，求AABC面积的最大值；

（2）点E在线段OA上，OE=OD,连接DE,设乙4BC=znZOED,乙ACB=n乙OED（m、n是正

数），^Z.ABC</.ACB,求证：m—7i+2=O

答案解析部分

L【答案】C

【知识点】无理数的概念

【解析】【解答】解：•••-2,1,2是有理数，国是无理数，

故答案为：C.

【分析】无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数、圆周率兀都是无理数；据此判断即可.

2.【答案】A

【知识点】简单组合体的三视图

【解析】【解答】解：根据主视图就是从正面看物体所得到的图形可知：选项A所表示的图形符合题

思9

故答案为：A.

【分析】根据主视图就是从正面看物体所得到的平面图形，观察已知几何体可得答案。

3.【答案】B

【知识点】科学记数法表示大于10的数

【解析】【解答】解：数据1.88万亿元用科学记数法表示为1.88XIO"元.

故答案为：B.

【分析】科学记数法的表示形式为axl(P的形式，其中七间＜10,n为整数.确定n的值时，要看把原数

变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正整

数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，据此判断即可.

4.【答案】A

【知识点】概率公式

【解析】【解答】解：一共有12种等可能的结果，从中任意抽取1张，是“方块”的有3种，

...从中任意抽取1张，是“方块”的概率为亮=

故答案为：A.

【分析】利用方块的张数除以总张数即得结论.

5.【答案】C

【知识点】众数

【解析】【解答】解：由表格中的数据可得，

这批“金心大红”花径的众数为6.7,

故答案为：C.

【分析】众数就是一组数据中出现次数最多的数，利用表中数据可得出这批“金心大红”花径的众数。

6.【答案】A

【知识点】待定系数法求反比例函数解析式

【解析】【解答】解：由表格数据可知xy=100是恒量，故函数表达式是：'=当的反比例函数。

【分析】由观察得到xy=100是恒量，故可判定y与x成反比关系。

7.【答案】C

【知识点】分式的加减法

【解析】【解答】解：=：+

.1_11

・1-v-f

故答案为：c.

【分析】根据:=:+■"/）可得*:4再利用分式的减法计算方法求解即可。

8.【答案】D

【知识点】解直角三角形的其他实际应用

【解析】【解答】解：作AGLOC交OC于点G,交BC于点H,如图，

:四边形ABCD为矩形，AD=b,

；.NABH=90°,AD=BC=b,

VOBXOC,

AZ0=90°,

XVZHCG+ZGHC=90°,ZAHB+ZBAH=90°,ZGHC=ZAHB,ZBCO=x,

；.NHCG=/BAH=x,

在RtAABH中，

VcosZBAH=cosx=瑞，AB=a,

，AH=盛，

***tanZBAH=tanx=,

.*.BH=atanx,

CH=BC-BH=b-atanx,

在RSCGH中，

*.*sinZHCG=sinx=需,

GH=(b-a-tanx)-sinx=bsinx-atanxsinx,

二•AG二AH+HG=—^―+bsinx-atanxsinx,

cosx

n■2

二，一+bsinx-asm久,

cos%cosx

=bsinx+acosx.

故答案为：D.

【分析】作AGLOC交OC于点G,交BC于点H,由矩形性质得NABH=90。，AD=BC=b,根据等角的

余角相等得NHCG=NBAH=X,在RtAABH中，根据锐角三角函数余弦定义cosx=弟得AH=熹，

/irjcuoA

根据锐角三角函数正切定义tanx=器得BH=a-tanx,从而可得CH长，在RSCGH中，根据锐角三角

函数正弦定义sinx二等得GH二bsinx-atanxsinx,由AG=AH+HG计算即可得出答案.

9.【答案】D

【知识点】余角、补角及其性质；圆周角定理

【解析】【解答】VOAXBC,

JNAOB=NAOC=90°,

・・・NDBC=90。-ZBEO

=90。-ZAED

=90。-a,

・・・NCOD=2NDBC

180°-2a,

VZAOD+ZCOD=90°,

.\p+180o-2a=90°,

A2a-p=90°,

故答案为：D.

【分析】根据直角三角形两锐角互余性质，用a表示NCBD,进而由圆心角与圆周角关系，用a表示

ZCOD,最后由角的和差关系得结果.

10.【答案】C

【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax八2+bx+c的性质

【解析】【解答】对于函数y=(x+a)(x+b),当y=0时，函数与x轴两交点为(一a,0)、(一b,

0),

・.・aWb,所以有2个交点，故M=2

对于函数y=(ax+l)(bx+1)

@a^b^0,交点为(一：，0)(—：，0)，此时N=2nM=N

②a=0,,交点为(一压,0)，止匕时N=lnM=N+l

③b=0,aK0,交点为(一J,。)，止匕时N=1=M=N+1

综上所述，M=N或M=N+1

故答案为：C.

【分析】先根据函数y=(x+a)(x+b)的图像与x轴有M个交点解得M=2,再对a,b分情况讨论，

求得答案.

11.【答案】(2+a)(2-.a)

【知识点】因式分解-公式法

【解析】【解答】解:4-a2=(2+a)(2-a).

故答案为：(2+a)(2-a).

【分析】观察此多项式的特点：有两项，都能写成平方形式且两项的符号相反，因此利用平方差公式分

解因式.

mx+ny

.【答案】

12m+n

【知识点】平均数及其计算

【解析】【解答】解：个数据的平均数为x,

.x2+x2+---...+xm_

m

即X1+X2+.......+xm=mx,

又•••!!个数据的平均数为y,

•及+及+=v

n

即yi+yz+.......+yn=ny,

.•.这m+n个数据的平均数为：上+初+……+以+匕+为+……+为=”等

m+nm+n

故答案为:

m+n

【分析】根据平均数的公式分别算出m个数据的总和为mx,n个数据的总和为ny,再由平均数的公式

计算即可得出答案.

13.【答案】40兀

【知识点】圆锥的计算

【解析】【解答】解：•••底面圆的半径为4cm,

二底面圆的周长为8兀cm,即圆锥侧面展开图扇形的弧长为8兀cm,

,这个冰淇淋外壳的侧面积得x10x8;r=407r（cm?）,

故答案为：40m

【分析】圆锥的侧面积=3r（l为圆锥侧面展开图扇形的弧长，r母线长）进行计算即可.

14.【答案】

【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用

【解析】【解答】解：•••一次函数y=x—3与丫=卜％*是常数，kHO）的图像的交点坐标是（2,-1）,

•••方程喉I解需二二

故答案为：=J]

【分析】方程组二的解即为直线y=久-3与、=入交点的坐标.

15.【答案】57

【知识点】圆周角定理；切线的性质

【解析】【解答】连接OF、OE,

c

D

TAB、AC为切线，：.0E1AB,OFLAC，/-FOE=360°-90°-90°-66°=114°,故

ZFPE1=|zFOF=57°°o故答案为：57o

【分析】连接切点是常作的辅助线，同弧所对的圆周角是其圆心角的一半。

16.【答案】2；V5-1

【知识点】矩形的性质；翻折变换(折叠问题)；相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：•・•四边形ABCD是矩形

：.AD=BC,Z.ADC=LB=£.DAE=90°

,・,把ABCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处

：.CF=BC,乙CFE=CB=90°,EF=BE

：.CF=AD,ZCFD=90°

：.Z.ADE+乙CDF=乙FCD+乙CDF=90°

：./LADE=(FCD

/-ADE=乙FCD

在△ADE和△FCD中，AD=FC

^DAE=MFD=90°

C.LADE=△FCD(ASA)

：.DF=AE=2

9：/LAFE=MFD=90°

：.Z.AFE=乙DAE=90°

V^AEF=4DEA

/.△AEF—△DEA

.AE_EF明AE_EF

^DE=AE91DF+EF=AE

,2_EF

解得EF=“一1或EF=-遥一1<0（不符题意，舍去）

贝IJBE=EF=通一'

故答案为：2,V5—1.

【分析】先根据矩形的性质得到AD=BC,^ADC=ZB=^DAE=90。，再根据折叠的性质得到

CF=BC,4CFE=ZB=90°,EF=BE,然后根据全等三角形的性质得到DF=AE=2；最后

根据相似三角形的性质即可得BE的值.

17.【答案】解：圆圆的解答错误，

正确解法：骂一£—1

_4x2(%+2)(%—2)(%+2)

~(x—2)(%+2)(%—2)(%+2)(%—2)(%+2)

_4%—2%—4—%2+4

一(%—2)(x4-2)

_2%—%2

-(%—2)(x4-2)

_X

~~x+2'

【知识点】分式的加减法

【解析】【分析】直接将分式通分，利用同分母分式减法法则进行计算即可.

18.【答案】(1)解：(132+160+200)+(8+132+160+200)xl00%=98.4%,

答：4月份生产的该产品抽样检测的合格率为98.4%；

(2)解：估计4月份生产的产品中，不合格的件数多，

理由：3月份生产的产品中，不合格的件数为5000x2%=100,

4月份生产的产品中，不合格的件数为10000X(1-98.4%)=160,

V100<160,

估计4月份生产的产品中，不合格的件数多.

【知识点】频数(率)分布直方图；扇形统计图

【解析】【分析】(1)由条形统计图中70分以上的频数和除以抽取总件数，再乘以100%即得结论；

(2)分别计算出3、4月份不合格的件数，再判断即可.

19.【答案】证明：因为点P在AB的垂直平分线上，所以PA=PB,所以NPAB=/B,所以

/APC=NPAB+NB=2NB.⑵以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q,连结AQ,

若乙4QC=3ZB,求ZB的度数.【答案】解：根据题意，得BQ=BA,所以/BAQ=/BQA,设/B=x,所

以NAQC=NB+NBAQ=3x,所以NBAQ=NBQA=2x,在AABQ中，x+2x+2x=180°,解得x=36。，即

ZB=36°.

(1)证明：♦.•点P在AB的垂直平分线上，所以PA=PB,

；.NPAB=NB,

ZAPC=ZPAB+ZB=2ZB.

(2)解：根据题意，得BQ=BA,

ZBAQ=ZBQA,

设NB=x,

ZAQC=ZB+ZBAQ=3x,

ZBAQ=ZBQA=2x,

在AABQ中，x+2x+2x=180°,

解得x=36°,即/B=36°.

【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质

【解析】【分析】(1)由线段垂直平分线的性质可得PA=PB,利用等边对等角可得NPAB=NB,根据三

角形外角的性质即可求解；

(2)由作图可知BQ=BA,利用等边对等角可得/BAQ=/BQA,则NB=x,ZAQC=ZB+ZBAQ=3x,

ZBAQ=ZBQA=2x,在AABQ中，利用三角形内角和列出方程并解之即可.

20.【答案】(1)解：①由题意，得ki=3xl=3,

函数yi=-

x

:函数yi的图象过点A(l,m),

m=3,

,口工+/口3—ko+b,

由题思，得

1=3k2+b,

解得卜2=f

b=4,

y2=x+4.

②yi<y2.

(2)解：由题意，得点D的坐标为(-2,n-2),

/.-2(n-2)=2n,

解得n=l.

【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题

【解析】【分析】(1)①将点B的坐标代入反比例函数解析式，可求出ki的值；再求出m的值，可得到

点A的坐标；将点A,B的坐标代入一次函数解析式，建立关于k,b的方程组，解方程组求出k,b的

值，可得到两函数解析式；②利用反比例函数和一次函数的性质，可得到2Vx<3时，比较yi与y2的大

小.

(2)利用点的坐标平移规律：上加下减，左减右加，可得到点D的坐标，再将点D代入函数yi的解

析式，可得到关于n的方程，解方程求出n的值.

21.【答案】解：设CE=x(0<x<l),则DE=1—x,因为Si=S2,所以x2=l—x,解得*=与1(负根舍

去)，即CE=§11⑵若点H为BC边的中点，连结HD,求证：=HG.【答案】证明：因为点H为

BC边的中点，所以CH=1所以HD=2^,因为CG=CEXI=，点H,C,G在同一直线上，所以

HG=HC+CG■+述T=匹,所以HD=HG

Z22

(1)解：设CE=x(0<x<l),贝ljDE=l-x,因为S产S2,所以x2=l—x,

解得x=与ll(负根舍去)，

即CE=®1

2

(2)证明：・・,点H为BC边的中点，

ACH=1所以HD=^,

VCG=CE=^-1,点H,C,G在同一直线上，

.•.HG=HC+CG=J+■T=匹,所以HD=HG

乙NN

【知识点】矩形的性质；正方形的性质

【解析】【分析】(1)设CE=x(0<x<l),贝ljDE=l-x,可得Si=x2,S2=l-x,根据Si=S2建立方程并解之

即可；

(2)由线段的中点可得CH=J,利用勾股定理求出HDwJ,从而求出HG=HC+CG=李，即得HD=HG.

NNN

22.【答案】(1)解：由题意，二次函数为=2/+b£+c(b,c是常数)经过(1,0),(2,0),

.(2+b+c=0

••l4+2b+c=0'

解得F=

lc=4

・••抛物线的解析式丫1=2/_6%+4=2(%-1)(%-2).

...图像的对称轴是直线％=—?=—卓".

2a2x22

(2)解：由题意，得%=2%2—4fix+2f12—2,

2

\*y1=2%+bx+c,

/.b=-4h,c=2h2—2

b+c=2h2—4/i—2=2(/i—l)2—4,

・・・当九=1时，b+c的最小值是一4.

(3)解：由题意，得y=yi—丫2=2(%—m)(%—m—2)—(x—m)=(x—m)[2(x—m)—5]

因为函数y的图像经过点Qo,0),

所以(%o-m)[2(x0-m)-5]=0,

所以％0—771—0,或比0—771=工

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数户ax八2+bx+c的性质

【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出函数丫1的表达式，再求其对称轴即可；

(2)由y1=2(%-h)2—2=2x2—4hx+2h2—2=2x2+bx+c,根据对应系数相等可得b=-4h,

c=2h2-2,可得b+c=2/i2—4/1—2,利用二次函数的性质即可求解；

(3)由、=月一=(%-6)[2(%-根)-5],将点(%。，0)代入可得(%。一税)[2(%0-TH)—5]=0,继

而得解.

ZBOD=|ZBOC=lx2ZBAC=60°,所以OD=ToB=*OA②作AF'BC,垂足为点F,所以

AF<AD<AO+OD=|,等号当点A,O,D在同一直线上时取到由①知，BC=2BD=g,所以△ABC的面

积=鼻5”三鼻曰*盘=擀遮即4ABC面积的最大值是确旧.⑵点E在线段OA上，OE=OD,连接

ZZZ44

DE,设N4BC=mZOED,乙ACB=n^OED(m、n是正数)，若ZABC<Z/CB,求证：m-n+2=0

【答案】解：设NOED=NODE=a,ZCOD=ZBOD=p,因为△ABC是锐角三角形，所以

ZAOC+ZAOB+2ZBOD=360°,即(巾+n)a+S=180°(*)又因为NABC</ACB,所以

ZEOD=ZAOC+ZDOC=2ma+p因为NOED+NODE+NEOD=18。。，所以2(zn+l)a+°=180°

(**)由(*),(**),得TH+九=2(m+1),即m—n+2=0

(1)解：①证明：连接OB,OC,

E

•・,弧BC二弧BC,ODXBC

.\ZODB=90o,ZBOD=|ZBOC=ZBAC=60°,BC=2BD,

.,.ZOBD=90o-60°=30°,

.,.OD=1OB=1OA；

®VBC为定值，

；.△ABC的面积最大，就是BC边上的高最大，

.•.当AD过点O时，AD最大，

12

：-AD=4。+。。=1+2=当

.•.BD=OBsin60°=^f,

2

.\BC=2BD=V3

ABC的最大面积为［x遮x最=举

ZZ4

(2)解：设NOED=x,则NABC=mx,ZACB=nx,

.,.ZBAC=180°-ZABC-ZACB=180°-mx-nx=|ZBOC=ZDOC,

•弧AC=MAC,

NAOC=2NABC=2mx,

NAOD=NCOD+NAOC=180°-mx-nx+2mx=180°+mx-nx,

VOE=OD,

.\ZAOD=180°-2x,

180°+mx-nx=180°-2x,

/.m-n+2=0

【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理

【解析】【分析】(1)①连接OB,OC,利用圆周角定理和垂径定理可证得NODB=90。，BC=2BD,可求

出/BOD的度数，利用三角形的内角和定理求出NOBD=30。，利用30。角所对的直角边等于斜边的一

半，可证得结论；②由BC为定值，可知△ABC的面积最大，就是BC边上的高最大，可得到当AD过

点。时，AD最大，可得到AD的长，利用解直角三角形求出BD的长，可得到BC的长，然后利用三角

形的面积公式求出△ABC的面积的最大值.

(2)设/OED=x,则NABC=mx,ZACB=nx,可表示出NBAC的度数，利用圆周角定理表示出

ZAOC,NAOD的度数，利用OE=OD,可表示出NAOD的度数，据此利用NAOD的度数的度数可得

到方程，然后可证得结论.

试题分析部分

1、试卷总体分布分析

总分：41分

客观题（占比）20.0(48.8%)

分值分布

主观题（占比）21.0(51.2%)

客观题（占比）10(43.5%)

题量分布

主观题（占比）13(56.5%)

2、试卷题量分布分析

大题题型题目量（占比）分值（占比）

填空题6(26.1%)7.0(17.1%)

解答题7(30.4%)14.0(34.1%)

单选题10(43.5%)20.0(48.8%)

3、试卷难度结构分析

序号难易度占比

1普通(65.2%)

2容易(21.7%)

3困难(13.0%)

4、试卷知识点分析

序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号

1平均数及其计算1.0(2.4%)12

2科学记数法表示大于10的数2.0(4.9%)3

3二次函数图象上点的坐标特征2.0(4.9%)22

4分式的加减法4.0(9.8%)7,17

5矩形的性质4.0(9.8%)16,21

6