2024年中考数学复习（全国版）一次不等式组（考点精析）（解析版）

一次不等式C组）

本考点内容以考查依据题意列不等式并解决问题、不等式组表示取值范围为主，，体现了不

等式的工具性，年年考查，是广大考生的得分点，分值为6-10分左右。预计2024年各地中

考还将继续考查这两个知识点，重要题型有解不等式（组）、不等式含参、不等式相关的应

用题以及不等式的性质，为避免丢分，学生应扎实掌握.

一、不等式的概念、性质及解集表示

1.不等式：一般地，用符号（或（或）连接的式子叫做不等式.能

使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.

2.不等式的基本性质

理论依据式子表示

不等式的两边同时加上（或减去）同

性质1一个数（或式子），不等号的方向不若a>b,贝！土。土。

变

不等式两边同时乘以（或除以）同一若,c>0,则QC>或

性质2ab

个正数，不等号的方向不变—>—

cc

不等式两边同时乘以（或除以）同一若,c<0,则QCvbe或

性质3ab

个负数，不等号的方向改变—<—

cc

注意：不等式的性质是解不等式的重要依据，在解不等式时，应注意：在不等式的两边同时

乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变.

3.不等式的解集及表示方法

（1）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这

个范围就是不等式的解集.

（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数

轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解.

二、一元一次不等式及其解法

1.一元一次不等式：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高

次数是L这样的不等式叫一元一次不等式.

资料整理

2.解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数

化为1（注意不等号方向是否改变）.

三、一元一次不等式组及其解法

1.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一

元一次不等式组.

2.一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这

个一元一次不等式组的解集，求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.

3.一元一次不等式组的解法：先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些一元一

次不等式的的解集的公共部分即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解.

4.几种常见的不等式组的解集：设a<6,a,6是常数，关于x的不等式组的解集的四种

情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）：

不等式组

数轴表示解集口诀

（其中a<6）

x>a

•1x>b同大取大

x>baZ

x<a

•x<a同小取小

x<bah

x>a

«__a<x<b大小、小大中间找

x<bih

x<aLA

•无解大大、小小取不了

x>bzb

考情总结：一元一次不等式（组）的解法及其解集表示的考查形式如下：

（1）一元一次不等式（组）的解法及其解集在数轴上的表示；

（2）利用一次函数图象解一元一次不等式；

（3）求一元一次不等式组的最小整数解；

（4）求一元一次不等式组的所有整数解的和.

四、列不等式（组）解决实际问题

列不等式（组）解应用题的基本步骤如下：

①审题；②设未知数；③列不等式（组）；④解不等式（组）；⑤检验并写出答案.

资料整理

考情总结：列不等式(组)解决实际问题常与一元一次方程、一次函数等综合考查，涉及的

题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等.列不等式时，要抓住关键词，

如不大于、不超过、至多用连接，不少于、不低于、至少用“三”连接.

一❷真题精讲一

考向一不等式的定义及性质

(1)含有不等号的式子叫做不等式.

(2)不等式两边同乘以或除以一个相同的负数，不等号要改变方向，在运用中，往往会因

为忘记改变不等号方向而导致错误.

1.(2020•河北中考)语句“X的1与x的和不超过5”可以表示为()

8

xx8x

A.—Pxw5B.—Fx-5C.....-5D.—Fx=5

88x+58

【答案】A

【分析】x的1即Lx,不超过5是小于或等于5的数，由此列出式子即可.

88

【解析】“x的1与x的和不超过5”用不等式表示为LX+XW5.故选A.

88

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运

算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式.

2.(2020•浙江杭州•中考真题)若a>b,贝I]()

A.a-l,bB.b+l、aC.a+1>b-1D.a-1>b+1

【答案】C

【分析】举出反例即可判断A、B、D,根据不等式的传递性即可判断C.

【解析】解A、a=0.5,b=0.4,a>b,但是a-l<b,不符合题意；

B、a=3,b=1,a>b,但是b+1va,不符合题意；

C、­/a>b,a+1>b+1,-.-b+l>b-1,.,.a+1>b-1,符合题意；

D、a=0.5,b=0.4,a>b,但是a-lvb+1,不符合题意.故选：C.

【点睛】此题考查不等式的性质，对性质的理解是关键.

考向二一元一次不等式的解集及数轴表示

(1)一元一次不等式的求解步骤：去分母一去括号一移项-合并同类项一系数化为1.

(2)进行“去分母”和“系数化为1”时，要根据不等号两边同乘以(或除以)的数的正

资料整理

负，决定是否改变不等号的方向，若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论.

3.（2023•湖北宜昌•统考中考真题）解不等式二一>x-l,下列在数轴上表示的解集正确

的是（）.

A.B..

Y3*''『-•3~II-

C-»-»-»-1•tt>TTTT.,,,

【答案】D

【分析】按去分母、去括号、移项、合并同类项，未知数系数化为1的步骤求出解集，再把

解集在数轴上表示出来，注意包含端点值用实心圆点，不包含端点值用空心圆点，即可求解.

【详解】解：l+4x>3x-3

4x-3x>-3-l

x>—4,

解集在数轴上表示为

故选：D.

【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法及解集在数轴上的表示方法，掌握解法及表示方

法是解题的关键.

4.（2020•辽宁盘锦•中考真题）不等式4x+1>x+7的解集在数轴上表示正确的是（）

【答案】A

【分析】先将不等式移项、合并同类项、系数化为1求得其解集，再根据“大于向右，小于

向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则即可判断答案.

【解析】解：解不等式：4x+l>x+7,移项得：4x-x>7-l合并同类项得：3x>6

资料整理

系数化为1得：x>2,数轴上表示如图所示，」——I——J————।——1—►故选：A.

-101234

【点睛】本题主要考查解一元一次不等式及再数轴上表示不等式解集的能力，掌握“大于向

右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则是解题的关键.

考向三一元一次不等式组的解集及数轴表示

不等式解集的确定有两种方法：

（1）数轴法：在数轴上把各个不等式解集表示出来，寻找公共部分并用不等式表示出来；

（2）口诀法："大大取大小小取小，大小小大中间找，大大小小取不了.”

r3%—]'x+]

5.（2023・湖北・统考中考真题）不等式组4~）的解集是（）

[x+4>4x-2

A.1<x<2B.x<1C.x>2D.1<x<2

【答案】A

【分析】先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大

小小找不到（无解）”求出不等式组的解集.

3x-l>x+1①

【详解】解:

x+4>4x—2(2)

解不等式①得：%>1,

解不等式②得：x<2,

二不等式组的解集为IV尤<2,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键.

-7x-14<0®

6.（2023・湖南•统考中考真题）解不等式组：q）公，并把它的解集在数轴上表

2（x+3）>x+4②

示出来.

-3-2-10123

【答案】不等式组的解集为：-2<x<2.画图见解析

[分析]先解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，从而可得答案.

7x-14V0①

【详解】解：，

2(x+3)>x+4②

资料整理

由①得：x<2,

由②得：2x+6>x+4,

x>—2,

在数轴上表示其解集如下:

----i—6—J-----1---1।---->

-3-2-10123

二不等式组的解集为：-2<”2.

【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，掌握不等

式组的解法与步骤是解本题的关键.

考向四一元一次不等式（组）的整数解问题

此类问题的实质是解不等式（组），通过不等式（组）的解集，然后写出符合题意的整数解

即可.

I%>m+3

7.（2023・四川眉山・统考中考真题）关于x的不等式组,。/1的整数解仅有4个，

[5x-2<4x+l

则加的取值范围是（）

A.-5<m<-4B.-5<m<-4C.-4<m<-3D.-4<m<-3

【答案】A

【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出机的范

围即可.

详解解：<c丁]科，

[5x-2<4x+l②

由②得：x<3,

解集为m+3<x<3,

由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2,1,0,-1,

-2-机+3<—1,

-55加<-4；

故选：A.

资料整理

【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和

掌握，能根据不等式组的解集得到-2<m+3<-1是解此题的关键.

8.（2023•黑龙江・统考中考真题）关于尤的不等式组1+5有3个整数解，则实数冽的取

值范围是.

［答案］-3<m<-2/—2>m>-3

［分析］解不等式组，根据不等式组有3个整数解得出关于m的不等式组，进而可求得加的

取值范围.

【详解】解：解不等式组尸5>：得：_5<x<m+l,

fx+5>0

•••关于x的不等式组［有3个整数解，

.■.这3个整数解为-4,-3,-2,

.,.-2w加+1v—1,

解得:-3m<—2,

故答案为：-30冽〈-2.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，正确得出关于加

的不等式组是解题的关键.

*<4

9.（2023•重庆・统考中考真题）若关于x的一元一次不等式组2，至少有2个整数

2x-a>2

a.—\4

解，且关于y的分式方程--+--=2有非负整数解，则所有满足条件的整数。的值之和

y-22-y

是.

【答案】4

（分析］先解不等式组，确定。的取值范围a56,再把分式方程去分母转化为整式方程，

解得了=三，由分式方程有正整数解，确定出。的值，相加即可得到答案.

x+3_

【详解】解：F&①

2x-a>2（2）

解不等式①得：x<5,

资料整理

解不等式②得：X>1+^,

.•・不等式的解集为1+>XW5,

V不等式组至少有2个整数解，

1+-<4,

2

解得：a<6;

a—14

•.・关于y的分式方程--+--=2有非负整数解，

V-22-y

二.-1-4=2（一）

解得：>=a彳—1，

即包工0且纥L,

22

解得：〃之1且aw5

a的取值范围是1waw6,且

「.a可以取：1,3,

「.1+3=4,

故答案为：4.

【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关

键.

5x+2>3（x-l）

10.（2023・四川凉山•统考中考真题）不等式组13的所有整数解的和是

-x-1<7一一x

【答案】7

【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再确定整数解，最后求

和即可.

5%+2>3(%-1)①

【详解】解:113

—x—17——x(2)

由①得：5x—3x>—3—2,

2x>—5,

解得：x>-g;

资料整理

由②得：x-2<14-3x,

整理得：4%<16,

解得：xs4,

二不等式组的解集为：

.•.不等式组的整数解为：-2,-1,0,1,2,3,4;

-2+（-1）+0+1+2+3+4=7,

故答案为：7

【点睛】本题考查的是求解一元一次不等式组的整数解，熟悉解一元一次不等式组的方法与

步骤是解本题的关键.

5x-2<3（x+l）,

11.（2023•山东,统考中考真题）解不等式组：］3x-2x-2.

----->x+----

I32

【答案】X<|

【分析】分别求出各个不等式的解，再取各个解集的公共部分，即可.

【详解】解：解5x-2<3（x+l）得：x<|,

解左言—+辞得：x<|,

2

二不等式组的解集为

【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的基本步骤，是解题的关

键.

考向五求参数的值或取值范围

求解此类题目的难点是根据不等式（组）的解的情况得到关于参数的等式或不等式，然后求

解即可.

12.（2023・内蒙古•统考中考真题）关于x的一元一次不等式x-1<m的解集在数轴上的表示

如图所示，则他的值为（）

-101234

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

【分析】先求出不等式的解集，然后对比数轴求解即可.

资料整理

［详解］解：龙一1sWt解得XV机+1,

由数轴得：m+l=3,

解得：m=2,

故选：B.

【点睛】题目主要考查求不等式的解集及参数，熟练掌握求不等式解集的方法是解题关键.

13.（2023・四川遂宁•统考中考真题）若关于x的不等式组的解集为x>3,

［5x>3x+2a

则«的取值范围是（）

A.a>3B.a<3C.a>3D.a<3

【答案】D

［分析】分别求出各不等式的解集，再根据不等式组的解集是x>3求出。的取值范围即可.

【详解】解：［:匚i）>u①

解不等式①得：尤>3,

解不等式②得：x>a,

•.•关于x的不等式组"T的解集为x>3,

5x>3x+2a

aw3,

故选：D.

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找;

大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

x—-1--x>—--2,--

14.（2023•山东聊城•统考中考真题）若不等式组2-3的解集为xNm,则加的取值

2x-m>x

范围是.

【答案】m>-1

【分析】分别求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集即可求解.

xT>x-2①

【详解】解：2-3

2x-mNx②

解不等式①得：x>-l,

资料整理

解不等式②得：x>m,

•不等式组的解集为：x>m,

加N—1.

故答案为：m>-\.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式的解求参数的取值范围，熟练掌握解

不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解

题的关键.

2x+l>X+Q①

15.（2023・四川宜宾・统考中考真题）若关于x的不等式组x,5所有整数解的和

-+1>-x-9②

122

为14,则整数。的值为.

【答案】2或-1

【分析】根据题意可求不等式组的解集为a-l<x±5,再分情况判断出。的取值范围，即可

求解.

【详解】解：由①得：x>a-l,

由②得：xw5,

二不等式组的解集为：a-l<x<5,

.•.所有整数解的和为14,

①整数解为：2、3、4、5,

—ci—lv2,

解得：2wQ<3,

二。为整数，

a=2.

②整数解为：-1,0,1,2、3、4、5,

/.—2wQ—1V—1,

解得：-l<a<0,

为整数，

a=-1.

综上，整数。的值为2或-1

故答案为：2或-1.

资料整理

【点睛】本题考查了含参数的一元一次不等式组的整数解问题，掌握一元一次不等式组的解

法，理解参数的意义是解题的关键.

考向六一元一次不等式C组）的应用

求解此类题目的难点是建立”不等式（组）模型"，通过求解不等式（组）的解集并与实际

相结合即可.

16.（2023•内蒙古赤峰•统考中考真题）某集团有限公司生产甲乙两种电子产品共8万件，

准备销往东南亚国家和地区.已知2件甲种电子产品与3件乙种电子产品的销售额相同：3

件甲种电子产品比2件乙种电子产品的销售多1500元.

（1）求甲种电子产品与乙种电子产品销售单价各多少元？

⑵若使甲乙两种电子产品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种电子产品多少

件？

【答案】（1）甲种电子产品的销售单价是900元，乙种电子产品的单价为600元；（2）至少销售

甲种电子产品2万件

【分析】（1）设甲种电子产品的销售单价x元，乙种电子产品的销售单价V元，根据等量关

系：①2件甲种电子产品与3件乙种电子产品的销售额相同，②3件甲种电子产品比2件乙

种电子产品的销售多1500元，列出方程组求解即可；

（2）可设销售甲种电子产品。万件，根据甲、乙两种电子产品的销售总收入不低于5400万

元，列出不等式求解即可.

【详解】（1）解：设甲种电子产品的销售单价是x元，乙种电子产品的单价为V元.

根据题意得：LI"I’

\3x-2y=1500

,fx=900

解得：“n；

答：甲种电子产品的销售单价是900元，乙种电子产品的单价为600元.

（2）解：设销售甲种电子产品“万件，则销售乙种电子产品（8-0）万件.

根据题意得：900a+600（8-a）＞5400.

解得：aN2.

答：至少销售甲种电子产品2万件.

【点睛】本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，

资料整理

找到符合题意的不等关系及等量关系.

17.(2023•内蒙古通辽•统考中考真题)某搬运公司计划购买4,2两种型号的机器搬运货物,

每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每

台B型机器搬运500吨货物所需天数相同.

(1)求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？

(2)每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器

共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最

省钱的采购方案.

［答案］(1)每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨；(2)当购买A型机器

人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元.

【分析】(1)设每台8型机器每天搬运x吨，则每台/型机器每天搬运(x-10)吨，根据题

意列出分式方程，解方程、检验后即可解答；

(2设公司计划采购/型机器加台，则采购2型机器(30-间台，再题意列出一元一次不等

式组，解不等式组求出切的取值范围，再列出公司计划采购Z型机器加台与采购支出金额

w的函数关系式，最后利用一次函数的增减性求最值即可.

【详解】(1)解：设每台8型机器每天搬运x吨，则每台/型机器每天搬运(x-10)吨，

由题意可得：/空=迎，解得：尤=100

x-10x

经检验，x=100是分式方程*=迎的解

x-10x

每台/型机器每天搬运尤-10=100-10=90吨

答：每台/型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨

(2)解：设公司计划采购/型机器加台，则采购2型机器(30-切)台

90m+100（30-m）>2880

由题意可得:，解得:4<m<12,

1.5加+2（30-加）v55

公司采购金额：w=1.5m+2(30-m)=-0.5m+60

/-0.5<0

二卬随机的增大而减小

.,.当加=12时，公司采购金额w有最小值，即w=-0.5xl2+60=54,

资料整理

当购买A型机器人12台，8型机器人18台时，购买总金额最低是54万元.

【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，理

解题意正确列出分式方程、不等式组和一次函数解析式是解答本题的关键.

18.（2023・湖南怀化•统考中考真题）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种

客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰

好坐满.

（1）求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？

（2）若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，

则有哪几种租车方案？

（3）在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，5种客车租金每辆300元，应该怎样

租车才最合算？

【答案】（1）原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1200人

（2）共有3种租车方案，方案一：租用A种客车18辆，则租用8种客车7辆；方案二：租用A

种客车19辆，则租用B种客车6辆；方案三：租用A种客车20辆，则租用5种客车5辆，

（3）租用A种客车20辆，则租用3种客车5辆才最合算

【分析】（1）设原计划租用A种客车x辆，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解；

（2）设租用A种客车。辆，则租用B种客车（25-。）辆，根据题意列出一元一次不等式组，

解不等式组即可求解；

（3）分别求得三种方案的费用，进而即可求解.

【详解】（1）解：设原计划租用A种客车x辆，根据题意得，

45x+30=60（x-6）,

解得：x=26

所以60x（26-6）=1200（人）

答：原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1200人；

（2）解：设租用A种客车“辆，则租用B种客车（25-°）辆，根据题意，得

25-a<7

'45a+60（25-a”1200

解得：18waw20,

资料整理

为正整数，贝I］。=18,19,20,

二共有3种租车方案，

方案一：租用A种客车18辆，则租用8种客车7辆，

方案二：租用A种客车19辆，则租用3种客车6辆，

方案三；租用A种客车20辆，则租用B种客车5辆，

（3）,二A种客车租金为每辆220元，3种客车租金每辆300元，

种客车越少，费