2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数培训课件

2.4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数二、对数求导法三、由参数方程所确定的函数的导数四、相关变化率

一、隐函数的导数如果当x一般地，设有二元方程所确定的隐函数就不能用显式表达出来。例如，隐函数可显化为2.4在某区间内任取一值时，确定的y值与之对应，相应地总有满足该方程的那么就说方程在该区间内确定了一个隐函数由表示的函数,称为显函数.问题：隐函数不易显化或不能显化时如何求导？隐函数求导方法:

两边对

x

求导(注意y=y(x))(含导数的方程)2.4解

要把方程中的y看作x的函数所确定的隐函数的导数例1求由方程在方程两边同时对x求导，得解得解

在所给的方程两边同时对x求导，得所确定的隐函数的例2

求由方程（1）

解得因此得二阶导数2.4

在所给的方程两边同时对x求导，得在求时，也可以在（1）两端同时对x求导，得（1）

解得2.4解

将方程两边分别对x求导，得2.4例3

已知曲线的方程为点

处的切线方程。求其在易知点在所给曲线上，由导数的几何意义知，所求切线的斜率为从而于是所求的切线方程为二、对数求导法2.4方法:(1)在方程两边取（自然）对数;适用范围:(1)含有复杂的乘、除、乘方、开方的函数；(2)幂指函数。(2)利用隐函数的求导方法求出导数.解

这是幂指函数，为了求出它的导数，先在例4

求的导数。上式两边对x求导，注意到y是x的函数，得于是2.4两边取对数，得如果对于一般的幂指函数除了像上例那样利用2.4都可导，对数求导法求出导数外，还可以把幂指函数表示为利用复合函数求导法则直接求出导数解

在两边取对数，得上式两边对x求导，得解得2.4例5

设求解

在两边取对数，得上式两边对x求导，得解得2.4例6

求的导数。三、由参数方程所确定的函数的导数（2）一般地，若参数方程确定了y与x之间的函数关系，则称此函数为由参数方程所确定的函数。例如消去参数问题:

消参困难或无法消参时如何求导?2.4并且此反函数能与函数构成复合函数，在中，2.4如果函数在某个定义区间上具有单调、连续的反函数由参数方程（2）所确定的函数就可以看作是由函数与复合而成的函数假设均可导，且

则根据复合函数的求导法则与反函数的求导法则，有2.4即（3）（3）式就是参数方程所确定的函数的导数公式。已知注意:对谁求导?2.4如果还具有二阶导数，那么从（3）式还可得到函数的二阶导数即2.4的函数的导数。例7

求由参数方程所确定解

2.4点处的切线方程。例8

求曲线在t=0相应的解

当t=0时，曲线上的相应点M0的坐标曲线在M0点切线的斜率为于是曲线在M0点的切线方程为化简得为2.4解

的二阶导数。例9

求由参数方程所确定的函数2.4上例中在求时，要注意是关于t

的表达式，必须把t

看作中间变量，用复合函数求导法求实际上，求可以由新的参数方程按照公式(3)来计算四、相关变化率且变量x设都是可导函数，的关系，以便从其中一个变化率求出另一个变化相关变化率问题就是研究这两个变化率之间2.4与变量y之间存在某种联系，从而变化率间也存在着一定关系。这两个相互依赖的变化率称为相关变化率.率。四、相关变化率2.4相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对

t求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率上式两边对t

求导，得到变化率的关系式2.4例10

一梯子长5m，上端靠墙，下端着地，梯子顺墙下滑。当梯子下端离墙4m时，沿着地面以3m/min的速度离墙。问梯子上端沿墙下降的速度是多少？解

上端为梯子下端为则因梯子长度为5m，故有关系式如图建立坐标系。设在时刻t，代入上式，得到2.4例10

一梯子长5m，上端靠墙，下端着地，梯子顺墙下滑。当梯子下端离墙4m时，沿着地面以3m/min的速度离墙。问梯子上端沿墙下降的速度是多少？当x=4时，y=3，已知于是即梯子上端下降的速度为利用相似三角形可得2.4例11

图中是一个高为4m、底半径为2m的圆锥容器。假设以2m3/min的速度将水注入该容器，求水深3m时水面的上升速度。解

这样V

与h

满足方程用V,r,h

分别表示时刻t

时水的这里r不是独立变量，体积、水面半径和水的深度，则上式两边对t

求导，得2.4例11

图中是一个高为4m、底半径为2m的圆锥容器。假设以2m3/min的速度将水注入该容器，求水深3m是水面的上升速度。故将代入上式得到即水深3m时，水面的上升速度为内容小结1.隐函数求导法：方程两边对x求导，注意y=y