2023-2024学年河南省南阳市高二（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河南省南阳市高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.函数f(x)=lA.1x B.1x+sinπ32.Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+aA.43 B.44 C.45 D.463.函数y=f(x)A.0<f′(4)<f′4.在一组样本数据(x1,y1)，( x2,y2)，A.−1 B.1 C.−125.已知数列{an}为等比数列，a2+A.22 B.±22 6.若正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8−A.22 B.24 C.26 D.287.刚考入大学的小明准备向银行贷款a元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款.小明与银行约定：每个月月末还一次款，分12次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为t.则小明每个月所要还款的钱数为元．(

)A.a(1+t)12 B.a8.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，七七数之剩二(除以7余2)，问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数p(p>1)满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，记数列A.16 B.22 C.23 D.25二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若数列{an}是等比数列，且anA.数列{an2}是等比数列 B.数列{an+1−an10.小明研究函数f(x)的图象与导函数，经查阅资料，发现f(x)具有下面的性质：若函数y=f(x)在(a,b)上的导函数为f′(x)，且f′(xA.f(x)=2x+1 11.已知等差数列{an}的公差d≠0，数列{bn}A.a3<b3 B.a5>b5

C.若a12.设数列{an}(n∈N*)为正项等比数列，q为公比，Tn为前nA.0<q<1 B.a17=1

C.T19三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知数列{an}的前5项依次为13,12,314.已知f(x)=12x15.垃圾分类是保护环境，改善人居环境、促进城市精细化管理、保障可持续发展的重要举措.某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类，对垃圾分类后处理垃圾x(千克)所需的费用y(角)的情况作了调研，并统计得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为y=0.62x2345y22.33.4m①变量x，y之间呈正相关关系；

②可以预测当x=10时，y的值为6.88；

③表中m的值为3.9；

④样本中心点为(16.已知数列{an}满足an+2+(−1)四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知曲线C：y=x3+x−2．

(1)求与直线y=4x−118.(本小题12分)

已知数列{an}的前n项和Sn=n2−20n．

(1)求证：{19.(本小题12分)

已知公差不为0的等差数列{an}，前n项和为Sn，且a1=1，_____．

现有条件：①S5=25；②a8=a2a3；③a5=3a20.(本小题12分)

为了了解高中学生课后自主学习数学时间x(分钟/每天)和他们的数学成绩y(分)的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据(表一)．

表一编号12345学习时间x3040506070数学成绩y65788599108(1)经分析，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请求出线性回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩.(参考数据：i=15xiyi=22820,i=15yi=435,x没有进步有进步合计参与周末自主学习35130165末参与周末自主学习253055合计60160220附：bP0.100.050.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.82821.(本小题12分)

设函数f(x)=x2，过点C1(1,0)作x轴的垂线l1交函数f(x)图象于点A1，以A1为切点作函数f(x)图象的切线交x轴于点C2，再过C2作x轴的垂线l2交函数f(x)图象于点A2，…，以此类推得点An，记An的横坐标为an22.(本小题12分)

在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”.如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1，3，2，第2次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a，b，c经过第n次“和扩充”后所得数列的项数记为Pn，所有项的和记为Sn．

(1)求P1、P2；

(2)若Pn≥2024，求n的最小值；

(3)是否存在实数a、b答案和解析1.【答案】A

【解析】解：根据题意，函数f(x)=lnx+cosπ3，

2.【答案】C

【解析】解：a1+a2+a3=6，a7+a9=16，

则3a2=6，2a83.【答案】C

【解析】解：根据题意，f′(4)的几何意义为y=f(x)在点B处切线的斜率，

f′(5)的几何意义为y=f(x)在点A处切线的斜率，

f(5)4.【答案】A

【解析】解：在一组样本数据(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)(5.【答案】C

【解析】解：∵数列{an}为等比数列，a2+a4+a6=8,1a2+1a4+1a6=2，

∴6.【答案】B

【解析】解：由题意可知，公比q>0，

S4，S8−S4，S12成等比数列，

则S4(S12−S8)=(S8−S4)27.【答案】D

【解析】解：根据等额本息还款法得，第一个月末所欠银行贷款为：a1=a(1+t)−x，

第二个月末所欠银行贷款数为：a2=a1(1+t)−x=a(1+t)2−x(18.【答案】B

【解析】解：因为二二数之剩一的数为2m+1的形式，三三数之剩一的数为3k+1的形式，其中m∈N，n∈N，

则数列{an}的项即为以上两类数的公共项，即为6n+1的形式，n∈N，

即an=6n+1，9.【答案】AC【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，

因为an>0(n∈N*)，所以q>0，

对于A，an+12an2=(an+1an)2=q2，所以数列{an2}是等比数列，故A正确；

对于B，当10.【答案】CD【解析】解：对于A，f(x)=2x+1，其导数f′(x)=2，则有f″(x)=0，不符合“凹函数”的定义，故A不符合题意；

对于B，f(x)=x3，定义域为R，其导数f′(x)=3x2，则f″(x)=6x，

在定义域R上f″(x)>011.【答案】BC【解析】解：等差数列{an}的公差d≠0，数列{bn}为正项等比数列，设公比为q，q>0，q≠1，

设a1=b1=t，t>0，由a9=b9，可得t+8d=tq8，

即有d=t8(q8−1)，

由a3−b3=t+2d−tq2=t−tq2+t4(q8−1)=t4(3+q8−4q2)，

设f(q)=3+q8−4q2，可得f′(q)=8q7−8q，

当q>1时，f′(q)>0，f(q)递增；当012.【答案】AB【解析】解：因为{an}是各项为正数的等比数列，q是其公比，Tn是其前n项的积，

所以q>0，Tn>0，

由T16=T17可得a17=1，故B正确；

由T15<T16=a16×T15，可得a16>1，

由T17>T18=a18×T17，可得a18<1，

因为{an}为正项等比数列，所以a18=q2a16⇒q2=a18a16<1，则0<q<1，故A正确；

因为T19=T17⋅a18⋅a19=T17⋅a17⋅a17⋅(q13.【答案】nn【解析】解：根据题意，数列{an}的前5项依次为13,12,35,23,57，即13，24，35，414.【答案】−2023【解析】解：因为f(x)=12x2+2xf′(2024)−2024lnx，

所以f15.【答案】①②【解析】解：对于①中，由y关于x的线性回归方程为ŷ=0.62x+0.68，可得0.62>0，

所以变量x，y之间呈正相关关系，所以①正确；

对于②中，由y关于x的线性回归方程为y=0.62x+0.68，

当x=10时，可得ŷ=0.62×10+0.68=6.88，所以②正确；

对于③中，由表格中的数据，可得x−=14(2+3+4+5)=72，y−=16.【答案】1

【解析】解：因为an+2+(−1)nan=2n−1，

当n为奇数时，an+2−an=2n−1，

即a3−a1=1，a5−a3=5，

a7−a5=917.【答案】解：(1)由y=x3+x−2，可得y′=3x2+1，

令3x2+1=4，

解得x=±1，

当x=1时，切点坐标为(1,0)，

则切线方程为y=4(x−1【解析】(1)根据导数的几何意义结合两直线平行的条件，可得切点坐标，进而得到直线方程；

(2)由18.【答案】(1)证明：因为Sn=n2−20n，

所以n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2−20n−(n−1)2+20(n−1)=2n−21，

当n=1时，a1=S1=−【解析】(1)结合和与项的递推关系先求出an，然后结合等差数列的定义即可证明；

(2)19.【答案】解：(1)设等差数列的公差为d，

选条件①：由S5=25可得，S5=5a1+5×42d=25，

又a1=1，解得d=2，

所以an=2n−1；

选条件②：由a8=a2a3可得，a1+7d=(a【解析】(1)结合所选条件，利用等差数列的通项公式及求和公式即可求解；

(2)先求出20.【答案】解：(1)x−=30+40+50+60+705=50，

y−=4355=87，又xi(i=1,2,3,…,5)的方差为15i=15【解析】(1)先求出平均数，利用最小二乘法求出回归方程，代入数据即可预测；

(2)根据题意计算出χ221.【答案】(I)证明：∵函数f(x)=x2，∴f′(x)=2x，

∴以点An−1(an−1,an−12)为切点的切线方程为y−an−12=2an−1(x【解析】(I)求导函数，可得以点An−1(an−1,an−12)为切点的切线方程，从而可得数列{an}22.【答案】解：(1)原数列有3项，经第1次拓展后的项数P1=3+2=5；

经第2次拓展后的项数P2=5+4=9