【高中同步培优】平面向量专题通关9讲（学生版）

目录TOC\o"1-3"\h\u第1讲平面向量的概念 2考点一向量与数量的区别 2考点二向量的几何表示 3考点三向量相关概念的辨析 4考点四相等向量与平行向量 5第2讲平面向量的线性运算 7考点一向量的加法运算 8考点二向量的减法运算 9考点三向量的数乘 10考点四向量线性运算的实际运用 12第3讲平面向量的共线定理、数量积 13考点一共线定理 14考点二共线定理的应用 15考点三向量的数量积 16考点四向量的夹角 17考点五向量的模长 18考点六向量的投影 18考点七向量的综合运用 19第4讲平面向量的基本定理及坐标表示 20考点一向量基底的选择 21考点二向量的基本定理 22考点三线性运算的坐标表示 23考点四数量积的坐标表示 24考点五向量与三角函数综合运用 25第5讲平面向量在几何和物理中的运用 26考点一向量在几何中的运用 26考点二向量在物理中的运用 28第6讲正、余弦定理 30考点一正余弦定理的选择 30考点二边角互换 31考点三三角形的面积 32考点四判断三角形的形状 33考点五三角形个数的判断 34考点六最值问题 34第7讲正、余弦定理的实际运用 35考点一距离测量 36考点二高度测量 37考点三角度测量 40考点四几何中的正余弦定理 41考点五三角函数与解三角形 43第8讲平面向量及其应用章末测试（基础） 44第9讲平面向量及其应用章末测试（提升） 50第1讲平面向量的概念【考点梳理】考点一向量的概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.2.数量：只有大小没有方向的量称为数量.考点二向量的几何表示1.有向线段具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.以A为起点、B为终点的有向线段记作eq\o(AB,\s\up6(→))，线段AB的长度叫做有向线段eq\o(AB,\s\up6(→))的长度记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.2.向量的表示(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))，eq\o(c,\s\up6(→))).考点三：.模、零向量、单位向量向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小，称为向量eq\o(AB,\s\up6(→))的长度(或称模)，记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.考点四：相等向量与共线向量1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.(1)记法：向量a与b平行，记作a∥b.(2)规定：零向量与任意向量平行.2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.【考点精讲】考点一向量与数量的区别【例1】（2021·全国·高一课时练习）有下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.其中，不是向量的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点精练】1．（2021·安徽·定远县育才学校高一月考）以下选项中，都是向量的是（）A．正弦线、海拔 B．质量、摩擦力C．△ABC的三边、体积 D．余弦线、速度2．（2021·山西临汾·高一月考）下列各量中是向量的为（）A．海拔 B．压强 C．加速度 D．温度3．（2021·上海·高一课时练习）给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度.其中是向量的有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个考点二向量的几何表示【例2】（2021·全国·高一课时练习）在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：（1），使||＝4，点A在点O北偏东45°；（2），使＝4，点B在点A正东；（3），使＝6，点C在点B北偏东30°.【考点精练】1．（2021·全国·高一课时练习）如图的方格由若干个边长为1的小正方形组成，方格中有定点A，点C为小正方形的顶点，且，画出所有的向量.2（2021·浙江·高一课时练习）老鼠由A向东北方向以的速度逃窜,猫由B向东南方向以的速度追.问题:猫能追上老鼠吗?为什么?3．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，已知向量，求作向量．4．（2021·上海·高一课时练习）已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．考点三向量相关概念的辨析【例3】（2021·上海·高一课时练习）给出如下命题：①向量的长度与向量的长度相等；②向量与平行，则与的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点精练】1．（2021·云南隆阳·高一期中）下列说法错误的是（）A．长度为0的向量叫做零向量B．零向量与任意向量都不平行C．平行向量就是共线向量D．长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量2．（2021·江苏·南京二十七中高一期中）下列命题中正确的有（）A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．若和是都是单位向量，则C．若，则与的夹角为0°D．零向量与任何向量共线3．（2021·浙江·杭州市富阳区场口中学高一月考）下列说法错误的是（）A．向量与向量长度相等B．单位向量都相等C．向量的模可以比较大小D．任一非零向量都可以平行移动4．（2021·上海·高一课时练习）下列命题中，正确的是A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则考点四相等向量与平行向量【例4】（2021·全国·高一课时练习）如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中，（1）与向量相等的向量；（2）与向量共线的向量；（3）与向量平行的向量.【考点精练】1．（2021·上海·高一课时练习）如图，、、分别是的边、、的中点，写出与共线（平行）的向量.2（2021·全国·高一课时练习）在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），判断是否存在下列关系的向量：（1）是共线向量的有______；（2）方向相反的向量有______；（3）模相等的向量有______.3（2021·全国·高一课时练习）如图所示，和是在各边的处相交的两个全等的等边三角形，设的边长为，图中列出了长度均为的若干个向量则：（1）与向量相等的向量有_______；（2）与向量共线，且模相等的向量有________；（3）与向量共线，且模相等的向量有_______第2讲平面向量的线性运算【考点梳理】考点一向量加法的定义及其运算法则1.向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.2.向量求和的法则向量求和的法则三角形法则已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，则向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a平行四边形法则以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线eq\o(OC,\s\up6(→))就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则考点二向量加法的运算律交换律a＋b＝b＋a结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)技巧：向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系区别联系三角形法则(1)首尾相接(2)适用于任何向量求和三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半考点三：相反向量1.定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.2.性质(1)零向量的相反向量仍是零向量.(2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.(3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.考点四：向量的减法1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.2.几何意义：在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则向量a－b＝eq\o(BA,\s\up6(→))，如图所示.3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.考点四向量数乘的定义实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)λa(a≠0)的方向特别地，当λ＝0时，λa＝0.，当λ＝－1时，(－1)a＝－a.考点五向量数乘的运算律1.(1)λ(μa)＝(λμ)a.(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.2.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.【题型归纳】考点一向量的加法运算【例1-1】（2021·全国·高一课时练习）已知向量如图，求作向量.【例1-2】（2021·全国·高一课时练习）化简：①＋；②＋＋；③＋＋＋＋.【考点精练】1．（2021·全国·高一课时练习）化简．（1）．（2）．2．（2021·全国·高一课时练习）如图，在中，为重心，点分别是,,的中点，化简下列各式：(1);(2);(3).3．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知向量，求作和向量.考点二向量的减法运算【例2-1】（2021·全国·高一课时练习）如图，已知向量，，求作向量.【例2-2】（2021·全国·高一课时练习）化简下列式子：（1）；（2）．【考点精练】1．（2021·山西临汾·高一月考）化简（）A． B． C． D．2．（2021·河北邢台·高一月考）如图，在中，点为上一点，则（）A． B． C． D．3．（2021·广东·江门市新会第二中学高一月考）（多选）下列各式结果为零向量的有（）A． B．C． D．考点三向量的数乘【例3-1】（2021·全国·高一课时练习）化简：（1）；（2）；（3）；（4）.【例3-2】（2021·安徽·定远县育才学校高一月考（文））如图，解答下列各题．（1）用表示；（2）用表示；（3）用表示；（4）用表示．.【考点精练】1．（2021·湖南·长沙市湘郡长德实验学校高一月考）化简（1）；（2）2．（2021·全国·高一课时练习）（1）化简：．（2）已知向量为，未知向量为向量，满足关系式，求向量．3．（2021·云南·罗平县第二中学高一月考）如图，四边形ABCD中，已知.（1）用，表示；（2）若，，用，表示.4．（2021·全国·高一专题练习）如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC=BA，在OB上取点D，使，DC与OA交点为E，设，用，表示向量，.考点四向量线性运算的实际运用【例4-1】（2021·全国·高一课时练习）如图，两条绳子悬挂一个重量为G的物体，已知每条绳子用力为4N，两条绳子的夹角为90°，则________.【例4-2】（2021·全国·高一课时练习）已知正方形的边长为1，，，，则等于（）A．0 B． C． D．【考点精练】1．（2021·全国·高一课时练习）一艘船在水中航行，水流速度与船在静水中航行的速度均为.如果此船实际向南偏西方向行驶，然后又向西行驶，你知道此船在整个过程中的位移吗?2．（2021·全国·高一课时练习）一架飞机向南飞行100，又向西飞行100，则此飞机飞行的路程为_________，位移的大小为_________.3．（2021·云南玉溪·高一期末）在矩形中，，E为的中点，则（）A． B． C． D．4．（2021·全国·高一课时练习）若向量表示“向东航行1km”，向量表示“向北航行km”，则向量表示（）A．向东北方向航行2kmB．向北偏东30°方向航行2kmC．向北偏东60°方向航行2kmD．向东北方向航行(1＋)km第3讲平面向量的共线定理、数量积【考点梳理】考点一向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.考点二两向量的夹角与垂直1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.2.垂直：如果a与b的夹角是eq\f(π,2)，则称a与b垂直，记作a⊥b.考点三向量数量积的定义非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0.考点四投影向量在平面内任取一点O，作eq\o(OM,\s\up6(→))＝a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq\o(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则eq\o(OM1,\s\up6(→))与e，a，θ之间的关系为eq\o(OM1,\s\up6(→))＝|a|cosθe.考点五平面向量数量积的性质设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则(1)a·e＝e·a＝|a|·cosθ. (2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a∥b时，a·b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a||b|，a与b同向，,－|a||b|，a与b反向.))特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)|a·b|≤|a||b|.考点六平面向量数量积的运算律1.a·b＝b·a(交换律).2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律).3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).【考点精讲】考点一共线定理【例1-1】（2021·全国·高一课时练习）判断下列各小题中的向量,是否共线（其中是两个非零不共线向量）．（1）；（2）；（3）．【例1-2】（2021·上海·高一课时练习）设是不共线的两个非零向量.（1）若，求证：三点共线；（2）若与共线，求实数的值；（3）若，且三点共线，求实数的值.【考点精练】1．（2021·全国·高一课时练习）如图，在中，，分别是，的中点，，，．（1）用，表示，，，，；（2）求证：，，三点共线．2．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知两边的中点分别为M，N，在延长线上取点P，使，在延长线上取点Q，使.求证：P，A，Q三点共线.3．（2021·安徽黄山·高一期末）设为的重心，为的重心，过作直线分别交线段，(不与端点重合)于，.若，.（1）求证为定值；（2）求的取值范围.考点二共线定理的应用【例2】（2021·上海市奉贤中学高一期中）设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（）A． B． C． D．【考点精练】1（2021·山西省长治市第二中学校高一期末）已知的三个顶点､､及平面内一点满足，则与的面积比为（）A． B． C． D．2．（2021·江西新余·高一期末（理））若点是所在平面内的一点，点是边靠近的三等分点，且满足，则与的面积比为（）A． B． C． D．3．（2021·甘肃省会宁县第一中学高一期末）已知是的边的中点，点在上，且满足，则与的面积之比为（）A． B． C． D．考点三向量的数量积【例3】（1）（2021·全国·高一课时练习）若与是相反向量，且=3，则等于（）A．9 B．0 C．-3 D．-9（2）（2021·江西·九江一中高一月考）已知向量、满足，与的夹角为，则（）A． B． C． D．【考点精练】1．（2021·江西·宜春九中高一月考）中，，，，为斜边的中点，则（）A．1 B．1 C．2 D．22．（2021·安徽·合肥艺术中学高一月考）如图，是边长为4的正方形，若，且为的中点，则（）A．3 B．4 C．5 D．63．（2021·全国·高一课时练习）正三角形边长为，设，，则_____.4．（2021·安徽·淮北一中高一月考）已知是的斜边上的高，在延长线上，，若的长为2，则______.考点四向量的夹角【例4】（2021·上海·高一课时练习）设和是两个单位向量，其夹角是，求向量与的夹角.【考点精练】1．（2021·吉林·延边二中高一月考）已知，，.（1）求与的夹角；（2）若，且，求.2．（2021·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高一月考）已知，，，求：（1）与的夹角；（2）与的夹角的余弦值．3．（2021·江苏南通·高一期末）如图，菱形的边长为，，，．求：（1）；（2）．考点五向量的模长【例5】（1）（2021·湖北·大冶市第一中学高一月考）若向量与的夹角为60°，，，则（）A．2 B．4 C．6 D．12（2）（2021·上海·高一课时练习）已知向量，的夹角为，，，则等于（）A．7 B．6 C．5 D．4（3）（2021·河北·正定中学高一月考）已知平面向量，则的最大值（）A． B． C． D．【考点精练】1．（2021·全国·高一课时练习）设为单位向量，且＝1，则|+2|＝（）A． B． C．3 D．72．（2021·全国·高一课时练习）已知平面向量，，，则的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．53．（2021·全国·高一课时练习）已知，则（）A． B． C．13 D．21考点六向量的投影【例6】（2021·北京·中国农业大学附属中学高一期末）已知为单位向量，，则在方向上的投影的数量为（）A． B．2 C． D．【考点精练】1．（2021·全国·高一课时练习）已知向量，满足，且，则在方向上的投影为（）A．3 B．-3 C．- D．2．（2021·广东高州·高一期末）已知向量，，是与方向相同的单位向量，则在上的投影向量为（）A． B． C． D．3．（2021·广东·东莞市光明中学高一月考）已知为一单位向量，与之间的夹角是120°，而在方向上的投影向量为，则________．4．（2021·河北·张家口市第一中学高一月考）已知，，，且是与方向相反的单位向量，则在上的投影向量为______.考点七向量的综合运用【例7】（2021·上海·高一课时练习）设是两个非零向量，则下列命题为真命题的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则存在实数λ，使得 D．若存在实数λ，使得，则【考点精练】1．（2021·全国·高一课时练习）若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形2．（2021·广东·东莞市光明中学高一月考）下列命题中，不正确的是（）A． B．C． D．与共线3．（2021·四川自贡·高一期末（理））已知是所在平面内的一动点，且，则点的轨迹一定通过的（）．A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心4．（2021·全国·高一专题练习）已知点在△所在平面内，且，则点依次是△的（）A．重心外心 B．重心内心 C．外心重心 D．外心内心第4讲平面向量的基本定理及坐标表示【考点梳理】考点一：平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.考点二平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.考点三平面向量的坐标表示1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).，在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).考点三平面向量加、减运算的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，数学公式文字语言表述向量加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和向量减法a－b＝(x1－x2，y1－y2)两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.考点四平面向量数乘运算的坐标表示已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.考点五平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.，则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线.注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.考点六：平面向量数量积的坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.则a·b＝x1x2＋y1y2.(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq\r(x2＋y2).若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).技巧：向量夹角问题的方法及注意事项(1)求解方法：由cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))直接求出cosθ.(2)注意事项：利用三角函数值cosθ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)判断θ的值时，要注意cosθ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cosθ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.【题型归纳】考点一向量基底的选择【例1】（2021·全国·高一课时练习）下列向量组中，能作为基底的是（）A． B．C． D．【考点精练】1．（2021·北京顺义·高一期末）下列各组向量中，可以作为基底的一组是（）A．，B．，C．，D．，2．（2021·湖北武汉·高一期中）下列各组向量中，可以作为平面向量基底的是（）A．， B．，C． D．，3．（2021·浙江温州·高一期末）已知，，，则下列各组向量中，不可以作为平面内所有向量的一组基底的是（）A． B． C． D．考点二向量的基本定理【例2】（1）（2021·辽宁·抚顺市第六中学高一期末）在平行四边形中，与交于点，是的中点，若，，则等于（）A． B． C． D．（2）（2021·山西·孝义五中高一月考）如图，在中，，，若，则的值为（）A． B． C． D．（3）（2021·重庆·西南大学附中高一月考）如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，，则的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点精练】1．（2021·安徽·蚌埠田家炳中学高一月考）已知AD，BE分别为的边BC，AC上的中线，设，则（）

A． B．C． D．2．（2021·浙江·金乡卫城中学高一月考）在中，是的中点，是的中点，过点作一直线分别与边，交于，，若，，则（）A． B．C． D．3．（2021·河南商丘·高一期末）已知，是不共线的向量，在平面直角坐标系中，，，若三点共线，则（）A． B． C． D．考点三线性运算的坐标表示【例3】（2021·全国·高一课时练习）向量，，下列结论正确的是（）A． B．C． D．【考点精练】1．（2021·河南·高一期末）已知向量，，则下列结论正确的是（）A． B．C．向量，的夹角为 D．在方向上的投影是2．（2021·广东·东莞市光明中学高一月考）已知，，且，点在线段的延长线上，则点的坐标为（）A． B． C． D．3．（2021·山东任城·高一期中）若向量，，与共线，则实数k的值为（）A． B． C．1 D．24．（2021·山西临汾·高一月考）已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是，则顶点D的坐标为（）A． B． C． D．考点四数量积的坐标表示【例4】（1）（2021·全国·高一课时练习）已知向量＝（1，2），＝（m，1），且向量满足，则向量在方向上的投影为（）A． B． C．2或 D．2或（2）（2021·全国·高一课时练习）已知均为单位向量，且，则的取值范围是（）A．[0，1] B．[1，1]C．[] D．[0，]（3）（2021·全国·高一课时练习）已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2，AD=1，梯形所在平面内一点P满足=2，则=（）A．- B．-1C．-2 D．-2【考点精练】1.（2021·江西·九江一中高一期中）向量在向量上的射影为（）A． B． C． D．2．（2021·山东莱西·高一期末）在等腰梯形中，，，，为的中点，为线段上的点，则的最小值是（）A．0 B． C． D．13．（2021·北京·中国农业大学附属中学高一期末）已知正方形的边长为2，点是边上的动点，则的值为___________；的最大值为___________．4．（2021·安徽·合肥艺术中学高一月考）设平面内三点，，.（1）求；（2）设向量与的夹角为，求；（3）求向量在上的投影向量考点五向量与三角函数综合运用【例5】（2021·辽宁·建平县实验中学高一月考）已知两个向量，满足，.（1）若与垂直，求的值；（2）若，求的值；（3）设，将图像上所用点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，再把所得函数图像上的所有点，向右平移个单位，得到函数的图像.求当时值域.【考点精练】1（2021·福建·永泰县三中高一月考）在平面直角坐标系xOy中，已知向量，，（1）若，求的值；（2）若的夹角为，求x的值.2．（2021·陕西·高新一中高一月考）若向量，，其中．记函数，若函数的图象上相邻两个对称轴之间的距离是．（1）写出函数的解析式．（2）若对任意，恒成立，求实数m的取值范围．（3）求实数a和正整数n，使得，在上恰有2021个零点．3．（2021·宁夏·吴忠中学高二期末（文））设向量，，．（1）若，求的值；（2）设函数，求的值域第5讲平面向量在几何和物理中的运用【考点梳理】考点一向量方法解决平面几何问题的步骤用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.(3)把运算结果“翻译”成几何关系.考点二向量方法解决物理问题的步骤用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题.(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.技巧：(1)用向量法求长度的策略①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解.②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝eq\r(x2＋y2).(2)用向量法解决平面几何问题的两种思想①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解.②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.【考点精讲】考点一向量在几何中的运用【例1】（1）（2021·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高一月考）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形（2）（2021·全国·高一课时练习）设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则点P的轨迹经过的（）A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心（3）（2021·福建·福州三中高一期中）已知正三角形的边长为，是边上的动点含端点，则的取值范围是（）A． B． C． D．（4）（2021·四川省南充高级中学高一期中（文））为所在平面内一点，，，则的面积等于（）A． B． C． D．【考点精练】1．（2021·福建三明·高一期末）中，若，，点满足，直线与直线相交于点，则（）A． B． C． D．2．（2021·江苏淮安·高一期末）已知点P是边长为1的正方形的对角线上的一点，则的最小值为（）A． B． C． D．3（2021·重庆·高一期末）在四边形中，，，，，，，分别为，的中点，则（）A． B． C． D．4．（2021·广东·广州市真光中学高一期中）设为内部的一点，且，则的面积与的面积之比为（）A． B． C．2 D．35．（2021·四川省成都市玉林中学高一期末（文））如图所示，半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于，的任意一点，若为半径的中点，则的值是（）A．2 B． C． D．考点二向量在物理中的运用【例2】（1）（2021·福建省永春第一中学高一期中）一质点在平面上的三个力的作用下处于平衡状态，已知成角，且的大小分别为和，则的大小为（）A． B． C． D．（2）（2021·河北·石家庄二中高一期中）在水流速度的自西向东的河中，如果要使船以的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（）A．北偏西， B．北偏西，C．北偏东， D．北偏东，【考点精练】1．（2021·全国·高一课时练习）(多选题)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是（）A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变2．（2021·全国·高一课时练习）物体受到一个水平向右的力及与它成60°角的另一个力的作用.已知的大小为2N，它们的合力F与水平方向成30°角，则的大小为（）A．3N B． C．2N D．3．（2021·浙江·永嘉中学高一期中）如图为一个空间探测器的示意图，、、、是四台喷气发动机，、的连线与空间一个固定坐标系的轴平行，每台发动机开动时，都能向探测器提供推力，但不会使探测器转动，开始时，探测器以恒定的速率向正方向平动，要使探测器改为正偏负的方向以原来的速率平动，则可（）A．先开动适当时间，再开动适当时间B．先开动适当时间，再开动适当时间C．开动适当时间D．先开动适当时间，再开动适当时间4．（2021·福建三明·高一期中）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个旅行包.当两人提起重量为的旅行包时，夹角为，两人用力大小都为，若，则的值为（）A．30° B．60° C．90° D．120°5．（2021·北京东城·高一期末）一条河流的两岸平行，一艘船从河岸边的A处出发到河对岸．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设船行驶方向与水流方向的夹角为，若船的航程最短，则（）A． B． C． D．第6讲正、余弦定理【考点梳理】考点一．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容(1)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(2)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(4)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(6)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)考点二：角形常用面积公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．考点三：解三角形一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.【考点精讲】考点一正余弦定理的选择【例1】根据下列条件进行求解（1）．（2021·云南省南涧县第一中学高一月考）在中，内角，，所对的边分别为，，.若，，，则（2）（2021·山西·晋中市新一双语学校高一月考（理））在三角形中，，则大小为（3）（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学高一期末）在中，若则（4）（2021·广东·东莞市光明中学高一月考）在中，已知，，，则________．【考点精练】1．（2021·山西·晋中市新一双语学校）在三角形中，，则大小为（）A． B． C． D．2．（2021·全国·高一课时练习）在△ABC中，若a=3，b=，A=，则角C的大小为（）A． B． C． D．3．（2021·全国·高一单元测试）已知中，内角所对的边分别，若，，，则（）A． B． C． D．4．（2021·天津红桥·高一学业考试）在中，若，，，则∠B=（）A． B．C． D．5．（2021·新疆·新和县实验中学高一期末）在中，若，，，则等于（）A．105° B．60°或120° C．15° D．105°或15°6．（2021·全国·高一课时练习）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若C＝60°，a＝5，b＝8，则△ABC的周长为（）A．20 B．30 C．40 D．25考点二边角互换【例2】（1）（2021·全国·高一单元测试）在△ABC中，若sin2A＝sin2B+sin2C，则∠A＝（）A．45° B．75° C．90° D．60°（2）．（2021·吉林·延边二中高一期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则角的大小为（）A． B． C． D．（3）（2021·全国·高一课时练习）在△ABC中，角A，C的对边分别为a，c，C=2A，cosA=，则的值为（）A．2 B． C． D．1（4）（2021·贵州师大附中高一月考）已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则______【考点精练】1．（2021·新疆新源·高一期末）已知是三边长，若满足，则（）A． B． C． D．2．（2021·重庆第二外国语学校高一月考）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的值为（）A． B． C． D．3．（2021·福建·泉州科技中学高一月考）已知在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则（）A． B． C． D．4（2021·全国·高一课时练习）在中，角，，的对边分别为，，.若，则角的度数为___.考点三三角形的面积【例3】（1）（2021·江西·南昌县莲塘第一中学高一月考（文））在钝角中，已知，，，则的面积是（）A． B． C． D．（2）（2021·全国·高一课时练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则的外接圆直径为（）A． B．60 C． D．【考点精练】1．（2021·山西·晋中市新一双语学校）在中，，则的面积是（）A． B． C． D．2．（2021·全国·高一课时练习）在△ABC中，AB=2，BC=5，△ABC的面积为4，则cos∠ABC等于（）A． B．± C．- D．±3．（2021·全国·高一课时练习）△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若△ABC的面积是，，a＝2c，则b＝（）A．2 B．4 C．6 D．84．（2021·山东省潍坊第四中学高一开学考试）三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x2-8x-20=0一个实数根，则该三角形的面积是（）A．24 B．48 C．24或8 D．8考点四判断三角形的形状【例4】（2021·全国·高一课时练习）在中，若，则的形状一定是（）A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【考点精练】1．（2021·全国·高一课时练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的形状是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形2（2021·内蒙古包头·高一期末）的内角的对边分别为.已知，则的形状是（）A．直角三角形 B．等腰三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形3．（2021·湖北·大冶市第一中学高一月考）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(b+a+c)(a+b－c)=3ab，2cosAsinB=sinC，则△ABC是（）A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形考点五三角形个数的判断【例5】（2021·四川省绵阳江油中学高一期中（理））中，已知下列条件：①；②；③；④.其中满足上述条件的三角形有两解的是（）A．①④ B．①② C．①②③ D．③④【考点精练】1．（2021·贵州·威宁民族中学高一月考）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则满足条件的的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．无数多个2．（2021·广东·铁一中学高一月考）根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（）A．，有两解 B．，有唯一解C．，无解 D．，有唯一解3．（2021·全国·高一课时练习）（多选）已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，，若满足条件的三角形有两个，则x的值可能为（）A．1 B．1.5 C．1.8 D．2考点六最值问题【例6】（1）（2021·全国·高一课时练习）已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是（） B． C． D．（2）（2021·全国·高一单元测试）设的内角所对的边分别为，，，则面积的最大值是____【考点精练】1．（2021·全国·高一课时练习）在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若a2=b2+bc，且A∈(60°，90°)，则取值范围是____.2．（2021·全国·高一课时练习）在中，a，b，c为角A，B，C的对边，且，则B的取值范围是___________.3．（2021·广东·东莞市第二高级中学高一月考）是钝角三角形，内角，，所对的边分别为，，，，，则最大边的取值范围是_________．4．（2021·全国·高一课时练习）若，，为钝角三角形的三边长，求实数a的取值范围.5．（2021·全国·高一课时练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足cosC+cosAcosB=2sinAcosB．（1）求cosB的值;（2）若a+c=2，求b的取值范围第7讲正、余弦定理的实际运用【考点梳理】考点一．几个专业术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：坡角与坡比坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡比(坡度)，即i＝eq\f(h,l)＝tanθ考点二距离问题类型图形方法两点间不可到达的距离余弦定理两点间可视不可到达的距离正弦定理两个不可到达的点之间的距离先用正弦定理，再用余弦定理考点三高度问题类型简图计算方法底部可达测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tanC.底部不可达点B与C，D共线测得CD＝a及C与∠ADB的度数.先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值.点B与C，D不共线测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数.在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值.【考点精讲】考点一距离测量【例1】（2021·全国·高一课时练习）如图，在河岸一侧取A，B两点，在河岸另一侧取一点C，若AB=12m，借助测角仪测得∠CAB=45°，∠CBA=60°，则C处河面宽CD为（）A．6（3+）m B．6（3-）mC．6（3+2）m D．6（3-2）m【考点精练】1．（2021·天津市第四十一中学）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是，则河流的宽度等于（）A． B．C． D．2．（2021·四川·树德中学）为测量两塔塔尖之间的距离，某同学建立了如图所示的几何模型.若平面，平面，，，，，，则塔尖之间的距离为（）A． B． C． D．3．（2021·云南玉溪）在中，，是线段上的点，，若的面积为，则取到最大值时，的长度为（）A． B． C． D．考点二高度测量【例2】（2021·河南）二七罢工纪念塔位于郑州市二七广场，是为纪念京汉铁路工人大罢工中牺牲的烈士，发扬“二七”革命传统文化精神而修建的纪念性建筑物.某校为庆祝建党周年，组织学生参观二七罢工纪念塔.同学们在参观过程中，对纪念塔的塔高产生了兴趣，为测量塔的高度，甲同学在二七广场地测得纪念塔顶端仰角为，乙同学在二七广场地测得纪念塔顶端的仰角为，塔底为（，，在同一水平面上，平面），量得米，，则纪念塔的高（）A．米 B．米 C．米 D．米【考点精练】1．（2021·贵州·中央民族大学附属中学贵阳市实验学校）如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿坡角为的斜坡向上走到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，且A，B，P，C，Q在同一平面，则山的高度为（参考数据：取）（）A． B． C． D．2．（2021·全国）江西南昌的滕王阁，位于南昌沿江路赣江东岸，始建于唐永徽四年（即公元653年），是古代江南唯一的皇家建筑．因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，流芳后世，被誉为“江南三大名楼”之首（另外两大名楼分别为岳阳的岳阳楼与武汉的黄鹤楼）．小张同学为测量滕王阁的高度，选取了与底部水平的直线，将自制测量仪器分别放置于，两处进行测量．如图，测量仪器高，点与滕王阁顶部平齐，并测得，，则小张同学测得滕王阁的高度为（）A． B． C． D．3．（2021·河南）江西南昌的滕王阁，位于南昌沿江路赣江东岸，始建于唐永徽四年（即公元653年），是古代江南唯一的皇家建筑.因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，流芳后世，被誉为“江南三大名楼”之首（另外两大名楼分别为岳阳的岳阳楼与武汉的黄鹤楼）.小张同学为测量滕王阁的高度，选取了与底部水平的直线，将自制测量仪器分别放置于，两处进行测量.如图，测量仪器高m，点与滕王阁顶部平齐，并测得，m，则小张同学测得滕王阁的高度约为（参考数据）（）A．50m B．55.5mC．57.4m D．60m4．（2021·江苏·泰州中学高一期中）泰州基督教堂，始建于清光绪二十八年，位于泰州市区迎春东路185号，市人民医院北院对面，总建筑面积2500多平方米.2017年被认定为省四星级宗教活动场所.小明同学为了估算泰州基督教堂的高度，在人民医院北院内找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算泰州基督教堂的高度为（）A． B． C． D．考点三角度测量【例3】（2021·北京·清华附中高一期中）如图，是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔，．若某科研小组在坝底点测得，坝底至塔顶距离米，则大坝的坡角的余弦值为（）．A． B． C． D．【考点精练】1．（2021·江西南昌·高一期中）两座灯塔和与海岸观察站的距离相等，灯塔在观察站北偏东，灯塔在观察站南偏东，则灯塔在灯塔的（）A．北偏东 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏西2．（2021·江西·南昌市豫章中学）如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为，向山顶前进到达B处，又测得C对于山坡的斜度为，若，山坡对于地平面的坡度为，则等于（）A． B． C． D．3．（2021·全国·高一课时练习）如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（）A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东80° D．南偏西80°4．（2021·全国·高一专题练习）为解决我校午餐拥挤问题，高一某班同学提出创想，计划修建从翔字楼四楼直达北院食堂二楼的空中走廊“南开飞云”，现结合以下设计草图提出问题：已知A，D两点分别代表食堂与翔宇楼出入口，C点为D点正上方一标志物，AE对应水平面，现测得，设，则（）A． B． C． D．考点四几何中的正余弦定理【例4】（2021·全国）在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在中，角，，的对边分别为，，且______，作，连接围成梯形中，，，求四边形的面积.【考点精练】1．（2021·江苏如皋）如图，在平面四边形中，，，．（1）若，求的面积；（2）若，，且为锐角，求角A的大小．2．（2021·河南·洛阳市第一高级中学）在中，内角的对边长分别为，若.（1）求角的大小；（2）若，求边上的中线的最大值.3．（2021·内蒙古·乌海市第一中学）如图所示，在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c．满足，且，D在AC上，．（1）若，求；（2）若，求AC的长．4．（2021·湖北省直辖县级单位）如图，在平面四边形中，，，．（1）求；（2）若，求．考点五三角函数与解三角形【例5】（2021·广东·石门高级中学）已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，求．【考点精练】1．（2021·江西师大附中高一月考）已知向量，，函数.（1）求函数的零点；（2）若钝角的三内角的对边分别是，，，且，求的取值范围.2．（2021·浙江温州）已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在锐角中，设角、、所对的边分别是、、，若且，求的取值范围.3．（2021·浙江·路桥中学）已知函数，将的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象，且在区间内的最大值为.（1）求的值；（2）在锐角中，若，求的取值范围第8讲平面向量及其应用章末测试（基础）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）1．（2021·全国·高一课时练习）在△ABC中，若A=60°，BC=4，AC=4，则角B的大小为（）A．30° B．45°C．135° D．45°或135°2．（2021·宁夏·海原县第一中学）已知向量满足，则（）A．4 B．3 C．2 D．03．（2021·吉林·延边二中高一期中）在中，斜边长为2，O是平面外一点，点P满足，则等于（）A．2 B．1 C． D．44．（2021·河北定州·高一期中）在中，角所对的边分别为，已知，则（）A． B．或 C． D．或5．（2021·全国）若非零向量满足，，则与的夹角为（）A． B． C． D．6．（2021·安徽·寿县第一中学高一月考）在中，角的对边分别是向量向量，且满足则角（）A． B． C． D．7．（2021·广东·广州大学附属中学）如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（）A． B．C． D．8．（2021·福建省厦门集美中学高一月考）已知在中，，，点沿运动，则的最小值是（）A． B． C．1 D．3二、多选题（每题至少有2个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）9．（2021·江苏·镇江市实验高级中学高一月考）已知向量，则（）A． B．C． D．10．（2021·吉林·延边二中高一月考）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，且，则A． B． C． D．11．（2021·全国·高三专题练习（理））已知向量(2，1)，(1，﹣1)，(m﹣2，﹣n)，其中m，n均为正数，且()∥，下列说法正确的是（）A．a与b的夹角为钝角B．向量a在b方向上的投影为C．2m+n=4D．mn的最大值为212．（2021·全国·高一课时练习）已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（）A．若，则一定是等边三角形B．若，则一定是等腰三角形C．若，则一定是等腰三角形D．若，则一定是锐角三角形三、填空题（每题5分，共20分）13．（2021·全国·高一课时练习）已知为单位向量，且，若，则__.14．（2021·福建·福清西山学校高三月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若＝，则的值是________．15．（2021·辽宁·东港市第三中学高一期末）在山顶铁塔上处测得地面上一点的俯角，在塔底处测得点的俯角，已知铁塔部分高米，山高_______．16．（2021·湖北）如图，在凸四边形ABCD中，，，若，则四边形ABCD面积的最大值为________．四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．（2021·全国·高一课时练习）已知，（1）求；（2）设，的夹角为θ，求cosθ的值;（3）若向量与互相垂直，求k的值.18．（2021·浙江·高一单元测试）已知