数学（选修22）练习6.3数学归纳法活页作业21

活页作业(二十一)数学归纳法1．用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A．2 B．3C．5 D．6解析：当n取1,2,3,4时2n＞n2＋1不成立；当n＝5时，25＝32＞52＋1＝26.故第一个能使2n＞n2＋1的n值为5.答案：C2．用数学归纳法证明1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)＜n(n∈N＋，n＞1)时，第一步应验证不等式()A．1＋eq\f(1,2)＜2B．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＜2C．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＜3D．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＜3解析：∵n＞1且n∈N＋，∴n取的第一个值n0＝2.∴第一步应验证：1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＜2.答案：B3．设Sk＝eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,2k)，则Sk＋1为()A．Sk＋eq\f(1,2k＋2) B．Sk＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)C．Sk＋eq\f(1,2k＋1)－eq\f(1,2k＋2) D．Sk＋eq\f(1,2k＋2)－eq\f(1,2k＋1)解析：Sk＋1＝eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)＝Sk＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)－eq\f(1,k＋1)＝Sk＋eq\f(1,2k＋1)－eq\f(1,2k＋2).答案：C4．若f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n＋1)(n∈N＋)，则n＝1时f(n)是()A．1 B．eq\f(1,3)C．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3) D．以上答案均不正确解析：∵f(n)共有(2n＋1)项，∴当n＝1时，有2＋1＝3项，即f(1)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3).答案：C5．已知f(n)＝eq\f(1,n)＋eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n2)，则()A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)B．f(n)中共有(n＋1)项，当n＝2时，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)C．f(n)中共有(n2－n)项，当n＝2时，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)D．f(n)中共有(n2－n＋1)项，当n＝2时，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)解析：观察分母的首项为n，最后一项为n2，公差为1，∴项数为n2－n＋1.答案：D6．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝eq\f(n＋3n＋4,2)(n∈N＋)时第一步验证n＝1时，左边应取的项是______________.解析：当n＝1时，左边要从1加到n＋3，即1＋2＋3＋4.答案：1＋2＋3＋47．已知每项都大于零的数列{an}中，首项a1＝1，前n项和Sn满足Sneq\r(Sn－1)－Sn－1eq\r(Sn)＝2eq\r(SnSn－1)(n≥2)，则a81____________.解析：∵Sneq\r(Sn－1)－Sn－1eq\r(Sn)＝2eq\r(SnSn－1)，S1＝a1＝1，∴S2＝9，S3＝25，…，Sn＝(2n－1)2.利用数学归纳法可证明Sn＝(2n－1)2.∴a81＝S81－S80＝640.答案：6408．已知f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)，n∈N＋，用数学归纳法证明f(2n)＞eq\f(n,2)时，f(2n＋1)－f(2n)＝______________.解析：f(n)有n项，最后一项是eq\f(1,n)，f(2n)有2n项，最后一项是eq\f(1,2n)，f(2n＋1)有2n＋1项，最后一项是eq\f(1,2n＋1)，∴f(2n＋1)比f(2n)多出的项为eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)＋…＋eq\f(1,2n＋1).答案：eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)＋…＋eq\f(1,2n＋1)9．设a＞0，函数f(x)＝eq\f(ax,a＋x)，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N＋.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式．(2)用数学归纳法证明你的结论．(1)解：∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝eq\f(a,1＋a)，a3＝f(a2)＝eq\f(a,2＋a)，a4＝f(a3)＝eq\f(a,3＋a).猜想an＝eq\f(a,n－1＋a)(n∈N＋)．(2)证明：①当n＝1时，a1＝eq\f(a,1－1＋a)＝1.②假设当n＝k时猜想正确，即ak＝eq\f(a,k－1＋a)，则ak＋1＝f(ak)＝eq\f(a·ak,a＋ak)＝eq\f(a·\f(a,k－1＋a),a＋\f(a,k－1＋a))＝eq\f(a,k－1＋a＋1)＝eq\f(a,[k＋1－1]＋a).这说明，当n＝k＋1时猜想也正确．综上可由①②知，对于任何n∈N＋，都有an＝eq\f(a,n－1＋a).10．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N＋)，并用数学归纳法证明你的结论．解：当n＝1时，21＋2＝4＞12；当n＝2时，22＋2＝6＞22；当n＝3时，23＋2＝10＞32；当n＝4时，24＋2＝18＞42.由此可以猜想：2n＋2＞n2(n∈N＋)成立．用数学归纳法证明如下：①当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边＞右边．故原不等式成立．当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4.故左边＞右边.当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，故左边＞右边．②假设当n＝k(k≥3且k∈N＋)时，不等式成立，即2k＋2＞k2，那么当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2＞2k2－2.要证当n＝k＋1时结论成立，只需证2k2－2≥(k＋1)2，即证k2－2k－3≥0，即证(k＋1)(k－3)≥0.又因为k＋1＞0，k－3≥0，所以(k＋1)(k－3)≥0.所以当n＝k＋1时，结论成立．由①②可知，n∈N＋时，2n＋2＞n2.11．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除时，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形为()A．56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)B．34×34k＋1＋52×52kC．34k＋1＋52k＋1D．25(34k＋1＋52k＋1)解析：当n＝k时，34k＋1＋52k＋1可被8整除；当n＝k＋1时，34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34k＋1×34＋52k＋1×52＝56×34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)．答案：A12．在平面几何中，有边长为a的正三角形内任意一点到三边距离之和为定值eq\f(\r(3),2)a，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到4个面的距离之和为()A.eq\f(\r(4),3)a B．eq\f(\r(6),3)aC.eq\f(\r(5),4)a D．eq\f(\r(6),4)a解析：利用等体积法，四面体内一点和4个顶点连线将四面体分成4个四面体，这4个四面体体积之和等于大的四面体体积．答案：B13．用数学归纳法证明－1＋3－5＋…＋(－1)n·(2n－1)＝(－1)nn时，第二步中当n＝k＋1时，要证明的式子应为__________________________.解析：当n＝k＋1时，左边＝－1＋3－5＋…＋(－1)k＋1[2(k＋1)－1]＝－1＋3－5＋…＋(－1)k＋1(2k＋1)．答案：－1＋3－5＋…＋(－1)k＋1(2k＋1)＝(－1)k＋1(k＋1)14．设f(n)＝n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N＋)，则用数学归纳法证明f(n)能被9整除的过程中，f(k＋1)＝f(k)＋______________.解析：f(k＋1)＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋9k2＋27k＋27＝f(k)＋9k2＋27k＋27.答案：9k2＋27k＋2715．由下列不等式：1＞eq\f(1,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＞1,1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,7)＞eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,15)＞2，…，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．解：猜想第n个不等式，即一般不等式为1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)＞eq\f(n,2)(n∈N＋)．用数学归纳法证明如下：①当n＝1时，1＞eq\f(1,2)，猜想成立．②假设当n＝k时，猜想成立，即1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k－1)＞eq\f(k,2)，则当n＝k＋1时，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k－1)＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋…＋eq\f(1,2k＋1－1)＞eq\f(k,2)＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋…＋eq\f(1,2k＋1－1)＞eq\f(k,2)＋eq\f(2k,2k＋1)＝eq\f(k＋1,2)，即当n＝k＋1时，猜想也正确．所以对任意的n∈N＋，不等式成立．16．一种计算装置，有一个数据入口A和一个运算出口B，按照某种运算程序：①当从A口输入自然数1时，从B口得到eq\f(1,3)，记为f(1)＝eq\f(1,3)；②当从A口输入自然数n(n≥2)时，在B口得到的结果f(n)是前一个结果f(n－1)的eq\f(2n－1－1,2n－1＋3)倍．(1)当从A口分别输入自然数2,3,4时，从B口分别得到什么数？试猜想f(n)的关系式，并证明你的结论．(2)记Sn为数列{f(n)}的前n项和．当从B口得到16192575的倒数时，求此时对应的Sn的值．解：(1)由已知得f(n)＝eq\f(2n－3,2n＋1)f(n－1)(n≥2，n∈N＋)．当n＝2时，f(2)＝eq\f(4－3,4＋1)f(1)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,15).同理可得f(3)＝eq\f(1,35)，f(4)＝eq\f(1,63).猜想f(n)＝eq\f(1,2n－12n＋1).(*)用数学归纳法证明如下：①当n＝1,2,3,4时，由上面的计算结果知(*)成立．②假设n＝k(k∈N＋)时，(*)成立，即f(k)＝eq\f(1,2k－12k＋1)，那么当n＝k＋1时，f(k＋1)＝eq\f(2k－1,2k＋3)f(k)＝eq\f(2k－1,2k＋3)·eq\f(1,2k－12k＋1)，即f(k＋1)＝eq\f(1,[2k＋1－1][2k＋1＋1])，∴当n＝k＋1时，(*)也成立．综合①②可知，对所有的n∈N＋，f(n)＝eq\f(1,2n－12n＋1)恒成立．(2)由(1)可得eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,16192575)＝eq\f(1,2×2012－1×2×2012＋1)，∴n＝2012.∵f(n)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))，∴S2012＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1