6.2.1-6.2.2排列与排列数-2023-2024学年高二数学新教材（人教A版2019选择性）（原卷版）

6.2.16.2.2排列与排列数[核心素养·学习目标]课程目标学科素养A.理解并掌握排列、排列数的概念,能用列举法、树状图法列出简单的排列.B.掌握排列数公式及其变式,并能运用排列数公式熟练地进行相关计算.C.掌握有限制条件的排列应用题的一些常用方法,并能运用排列的相关知识解一些简单的排列应用题.1.数学抽象：排列的概念2.逻辑推理：排列数的性质3.数学运算：运用排列数解决计数问题4.数学建模：将计数问题转化为排列问题重点：理解排列的定义及排列数的计算难点：运用排列解决计算问题课前预习课前预习预习01排列、排列数与排列数公式排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Aeq\o\al(m,n)表示排列数公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)…(n－m＋1)，这里n，m∈N＋，并且预习02全排列、阶乘的概念及相关性质1.(1)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列．(2)n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示．(3)阶乘的相关应用：①规定：0！＝；②排列数公式的另一种形式：Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)．2．排列数的性质①Aeq\o\al(m,n)＝nAeq\o\al(m－1,n－1)；②Aeq\o\al(m,n)＝．知识讲解知识讲解知识点01排列1、定义：一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做个不同元素中取出个元素的一个排列。排列定义的两个要素：一是“取出元素”，二是“将元素按一定顺序排列”2、相同排列：两个排列相同，当且仅当排列的元素相同，且元素的排列顺序也相同。3、对排列概念的两个关注点：（1）顺序性：每一个排列不仅与选取的元素有关，而且还与元素的排列顺序有关，选取的元素不同或虽元素相同但元素的排列顺序不同时叫做不同的排列，只有当两个排列的元素完全相同且元素的顺序完全一样时才是相同的排列。（2）选排列与全排列：在定义中规定，如果，一般称为选排列；如果，则称为全排列。知识点02排列数1、定义：从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示。2、全排列：个不同的元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，且阶乘：正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示。3、排列数公式：特别的：（且）；规定：知识点03有限制条件排列问题常见类型1、解有“相邻元素”的排列问题的方法对于某些元素必须相邻的排列，通常采用“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起参与排列，再考虑这个整体内部各元素间的顺序。2、解有“不相邻元素”的排列问题的方法对于某些元素不相邻的排列，通常采用“插空法”，即先排不受限制的元素，使每两个元素之间形成“空”，然后将不相邻的元素进行“插空”。【大招总结】大招1判断一个具体问题是否为排列问题的思路大招2树形图的画法（1）确定首位，以哪个元素在首位为分类标准进行确定首位．（2）确定第二位，在每一个分支上再按余下的元素，在前面元素不变的情况下定第二位并按顺序分类．（3）重复以上步骤，直到写完一个排列为止．大招3简单的排列问题对于简单的排列问题，其解题思路可借助分步乘法计数原理进行，即采用元素分析法或位置分析法求解．大招4排列数公式的选择（1）排列数公式的乘积形式适用于计算排列数．（2）排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算．大招5相邻问题相邻问题捆绑法大招6不相邻问题不相邻问题插空法大招7定序问题定序问题先选后排大招8间接法间接法正难则反典型例题典型例题题型01排列的概念【例1】下列问题是排列问题的是（

）A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C．集合的含有三个元素的子集有多少个？D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？【答案】D【解析】A中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题；B中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题；C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题；D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题．故选：D【变式】下面问题中，是排列问题的是（

）A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数B．从40人中选5人组成篮球队C．从100人中选2人抽样调查D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合【答案】A【解析】根据排列及排列数的定义，可得：对于A中，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数，符合排列的定义，是排列问题；对于B中，从40人中选5人组成篮球队，与顺序无关的问题，不是排列问题；对于C中，从100人中选2人抽样调查，与顺序无关的问题，不是排列问题；对于D中，从1，2，3，4，5中选2个数组成集合，与顺序无关的问题，不是排列问题.故选：A.题型02画树形图写排列【例2】从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来．【解析】从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本，分给甲、乙、丙三人，每人一本，相当于从4个不同的元素中任意取出3个元素，按“甲、乙、丙”的顺序进行排列，每一个排列就对应着一种分法，所以共有（种）不同的分法．不妨给“语文、数学、英语、物理”编号，依次1，2，3，4，画出树形图如图．由树形图可知，按甲、乙、丙的顺序分的分法为：语数英

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物英数【变式】写出下列问题的所有排列：（1）北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？（2）A、B、C、D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有多少种不同的排列方法？【解析】(1)列出每一个起点和终点情况，如图所示.故符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种.(2)因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可从B、C、D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图.所以符合题意的所有排列是：BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA共14种.题型03简单的排列问题【例3】10名学生排成两排照相，每排5人，共有多少种不同的排列方式？【解析】将第一排的5个位置从左至右编号，号码分别为1到5；再将第二排的5个位置从左至右编号，号码分别为6到10．这样，问题就转化为：10名学生排在编号为1到10的十个位置上，共有多少种不同的排法？这时，完成一个排列可以分为以下十个步骤：第一步：确定坐在1号位上的学生，有10种方法；第二步：确定坐在2号位上的学生，有9种方法；……第k步：确定坐在k号位上的学生，有11—k种方法；……第十步：确定坐在10号位上的学生，有1种方法．根据乘法原理，不同的排法数为．【变式】（1）有5个不同的科研小课题，从中选3个安排高二年级的3个课外兴趣小组参加，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？（2）有5个不同的科研小课题，高二年级的3个课外兴趣小组报名参加，每组限报一个，共有多少种不同的报名方法？【解析】（1）从5个不同的课题中选出3个，安排课外兴趣小组来参加，对应于从5个元素中取出3个元素的一个排列．因此，共有种不同的安排方法．（2）每个小组都可从5个不同的课题中选报一个，因此第一小组有5个不同的课题可以选择，第二小组也有5个不同的课题可以选择，第三小组仍然有5个不同的课题可以选择，根据分步乘法计数原理，一共有种不同的报名方法．题型04排列数公式的应用【例4】求证：(1)；(2)．【解析】（1）证明：.（2）证明：.【变式】规定，其中，m为正整数，且，这是排列数（n，m是正整数，且）的一种推广.（1）求的值.（2）排列数的两个性质①，②（n，m是正整数，且）是否都能推广到（，m是正整数）的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，请说明理由.【解析】（1）.（2）性质①，②均可推广，推广的形式分别是：①，②（，m是正整数）事实上，在①中，当时，左边，右边，等式成立；当时，左边右边，因此（，m是正整数）成立.在②中，当时，左边右边，等式成立；当时，左边右边，因此（，m是正整数）成立.题型05相邻问题【例5】某学校高二（1）班上午安排语文、数学、英语、体育、物理门课，要求第一节不安排体育，语文和数学必须相邻，则不同的排课方法共有（）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】B【解析】先考虑第一节安排体育课，语文和数学必须相邻，则将数学与语文捆绑，形成一个大元素，将这个大元素与英语、物理课进行排序，共有种排法；接下来只考虑语文和数学必须相邻的情形，只需将数学与语文捆绑，形成一个大元素，将这个大元素与其余门课进行排序，共有种排法.由间接法可知，不同的排法种数为种.故选：B.【变式】甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（

）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种【答案】B【解析】若甲站在排头，则丙和丁相邻，则共有种方法，若甲站在排尾，则丙和丁相邻，则共有种方法，则共有：种方法.故选：B.题型06不相邻问题【例6】某小组两名男生和两名女生邀请一名老师排成一排合影留念，要求两名男生不相邻，两名女生也不相邻，老师不站在两端，则不同的排法共有（

）A．48种 B．32种 C．24种 D．16种【答案】B【解析】当老师从左到右排在第二或第四位时，共有种排法，当老师从左到右排在第三位时，共有种排法，于是共有种排法.故选：B.【变式】亚运会火炬传递，假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（

）A．288种 B．360种 C．480种 D．504种【答案】C【解析】先安排甲乙以外的个人，然后插空安排甲乙两人，所以不同的传递方案共有种.故选：C题型07定序问题【例7】在8所高水平的高校代表队中，选择5所高校进行航模表演.如果、为必选的高校，并且在航模表演过程中必须按先后的次序（、两高校的次序可以不相邻），则可选择的不同航模表演顺序有_______.【答案】1200.【解析】从8所高校中选出5所，除去、还需要选3所，选法是种，当、两高校不相邻时，不同的表演顺序有，当、两高校相邻时，不同的表演顺序有，因此可选择的不同航模表演顺序有种.故答案为：1200.【变式】期中安排考试科目9门，语文，数学，英语三门课的前后顺序已经确定，则期中考试不同的安排顺序有______种．【答案】60480【解析】解法一：空位法．语文，数学，英语的前后顺序已经确定，先排除了语文，数学，英语之外的6科，总共有种排法，剩下三个位置给语文，数学，英语，因为它们的顺序确定，只有一种方法，故共有60480种排法．解法二：插空法．语文，数学，英语的前后顺序已经确定，先排语文，数学，英语，只有一种排法，然后再让剩下6科逐个插空，总共有种排法．解法三：除法．9门课程任意排，总共有种排法．语文，数学，英语有种排法．因为语文，数学，英语的前后顺序已经确定，所以总共有种排法．故答案为：60480题型08间接法【例8】某人根据自己爱好，希望从中选2个不同字母，从中选3个不同数字编拟车牌号，要求前3位是数字，后两位是字母，且数字2不能排在首位，字母和数字2不能相邻，那么满足要求的车牌号有（

）A．198个 B．180个 C．216个 D．234个【答案】A【解析】当2在首位时，在任选两个数在余下两个数字位上全排有，从任选两个字母在字母位上全排有；当2与Z相邻时，即2在数字位的最后，Z在字母位的最前面，再从任选两个数在余下两个数字位上全排有，从任选一个字母放在字母位的最后有；所以当2在首位和2与Z相邻的情况共有种，而任选3个数字在数字位全排，任选2个字母在字母位全排共有种，所以满足要求的车牌号有种.故选：A【变式】小李和父母、爷爷奶奶一起排队去做核酸，5人排成一列（他们之间没有其他人）.若小李的父母至少有一人与他相邻，则不同排法的总数为（

）A．84 B．78 C．108 D．96【答案】A【解析】爷爷奶奶和父母中的一人，三人成列有种，队列有4个空，小李与父母中另一人相邻有种，再作为整体插入队列中有种，所以共有种；爷爷奶奶两人成列有种，队列有3个空，小李与父母都相邻有种，再作为整体插入队列中有种，所以共有种；综上，共有种.故选：A强化训练强化训练1．张老师与甲､乙等5名学生毕业合照，要求照相时师生站成一排，则张老师必须站排头或排尾，且甲与乙站在一起的概率为（

）A． B． C． D．2．甲、乙、丙等6人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法有（

）A．128种 B．96种 C．72种 D．48种3．甲，乙、丙、丁等6人排成一排，甲、乙相邻，丙、丁不相邻，共有排法（

）A．72种 B．36种 C．144种 D．108种4．如图所示，将四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为（

）

A．120 B．96 C．72 D．485．“缤纷艺术节”是西大附中的一个特色，学生们可以尽情地发挥自己的才能，某班的五个节目（甲､乙､丙､丁､戊）进入了初试环节，现对这五个节目的出场顺序进行排序，其中甲不能第一个出场，乙不能第三个出场，则一共有（

）种不同的出场顺序.A．72 B．78 C．96 D．1206．将5个1，5个2，5个3，5个4，5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入1个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2，设第行的所有数的和为（，2，3，4，5），为，，，，中的最小值，则m的最大值为（

）A．8 B．9 C．10 D．117．某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（

）A．108种 B．90种 C．72种 D．36种8．某校王老师带着2名女生和3名男生去参加数学建模比赛，比赛结束要进行拍照留念，若王老师不站在两端，2名女生相邻，则不同的站法共有（

）A．120种 B．144种 C．158种 D．186种9．某中学的3名男生和2名女生参加数学竞赛，比赛结束后，这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（

）A．若要求2名女生相邻，则这5名同学共有48种不同的排法B．若要求女生与男生相间排列，则这5名同学共有24种排法C．若要求2名女生互不相邻，则这5名同学共有72种排法D．若要求男生甲不在排头也不在排尾，则这5名同学共有72种排法10．已知某种产品的加工需要经过5道工序，则下列说法正确的是（

）A．若其中某道工序不能放在最后，有96种加工顺序B．若其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，有72种加工顺序C．若其中某2道工序必须相邻，有48种加工顺序D．若其中某2道工序不能相邻，有36种加工顺序11．在高二元旦晚会上，有个演唱节目，个舞蹈节目．以下有关排列组合问题中正确的是（

）A．有种不同的节目演出顺序B．当个舞蹈节目接在一起时，有种不同的节目演出顺序C．当要求每个舞蹈节目之间至少安排个演唱节目时，有种不同的演出顺序D．若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗歌朗诵和快板个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有种不同的节目演出顺序12．甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，下列结论正确的是（

）A．不同的站队方式共有种B．若甲和乙相邻，则不同的站队方式共有种C．若甲、乙、丙站一起，则不同的站队方式共有种D．甲不在两端，则不同的站队方式共有种13．用1，2，3，4，5，6写出没有重复数字的六位数中，满足相邻的数字奇偶性不同的数有个.14．身高各不相同的六位同学A、B、C、D、E、F站成一排照相，A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共