黄金卷06-【赢在高考黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考Ⅱ卷专用）含解析

【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考II卷专用）黄金卷06（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知复数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．3．已知数列满足：对任意的，总存在，使得，则称为“回旋数列”．以下结论中正确的个数是（

）①若，则为“回旋数列”；②设为等比数列，且公比q为有理数，则为“回旋数列”；③设为等差数列，当，时，若为“回旋数列”，则；④若为“回旋数列”，则对任意，总存在，使得．A．1 B．2 C．3 D．44．已知平面向量，，满足，，且．若，则（

）A． B． C． D．5．三位同学参加某项体育测试，每人要从跑、引体向上、跳远、铅球四个项目中选出两个项目参加测试，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（

）A． B． C． D．6．已知为第三象限角，若，则（

）A． B． C． D．7．如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（

）

B． C． D．8．已知定义在上的函数满足，且，为的导函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知函数的最小正周期是，把它图象向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数，下列正确的是（

）A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称C．函数在区间上单调递减 D．函数在上有3个零点10．用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合.若抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过C上的点反射，再经过C上另一点反射后，沿直线射出，则（

）

A．C的准线方程为B．C．若点，则D．设直线AO与C的准线的交点为N，则点N在直线上11．如图，棱长为2的正方体中，，，，，则下列结论中正确的是（

）

A．存在y，使得B．当时，存在z使得∥平面AEFC．当时，异面直线与EF所成角的余弦值为D．当时，点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍12．已知，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若随机变量，且，则．14．若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则.15．已知直线与圆相切，且交椭圆于两点，若，则．16．已知椭圆，的上顶点为A，两个焦点分别为，离心率为，过且斜率为的直线与交于两点，四边形的面积为，则四边形的周长是．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。17．设正项数列的前项和为，若．(1)求数列的通项公式；(2)若不等式对任意正整数均成立，求的取值范围．18．在中，内角，，的对边分别为，，，且.(1)求；(2)若内一点P满足，，，，记，求的值.19．气象部门定义：根据24小时内降水在平地单位面积上的积水深度来判断降雨强度．其中小雨，中雨，大雨，暴雨）．为了了解某地的降雨情况，气象部门统计了该地20个乡镇的降雨情况，得到当日24小时内降雨量的频率分布直方图如图．

(1)若以每组的中点代表该组数据值，求该日这20个乡镇的平均降雨量；(2)①根据图表，估计该日24小时内降雨强度为暴雨的乡镇的个数；②通过降雨强度按分层抽样抽取5个乡镇进行分析．据以往统计数据，降雨过后，降雨强度为大雨的乡镇不受损失的概率为，降雨强度为暴雨的乡镇不受损失的概率为，假设降雨强度相互独立，求在抽取的5个乡镇中，降雨过后恰有1个乡镇不受损失的概率．20．如图，在四棱锥中，，，M为棱AP的中点．(1)棱PB上是否存在点N，使平面PDC?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(2)若平面平面ABCD，，，求二面角的正弦值．21．已知双曲线C：的离心率为，F为C的左焦点，P是C右支上的点，点P到C的两条渐近线的距离之积为．(1)求C的方程；(2)若线段PF与C的左支交于点Q，与两条渐近线交于点A，B，且，求．22．已知函数.(1)判断函数的单调性；(2)已知函数，其中，若存在，证明：.【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考II卷专用）黄金卷06（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出集合，进而结合交集的定义求解即可.【详解】因为，，所以.故选：D.2．已知复数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，化简已知等式可求得，由复数模长运算可求得结果.【详解】设，由得：，，整理可得：，，（当且仅当时取等号），的最小值为.故选：B.3．已知数列满足：对任意的，总存在，使得，则称为“回旋数列”．以下结论中正确的个数是（

）①若，则为“回旋数列”；②设为等比数列，且公比q为有理数，则为“回旋数列”；③设为等差数列，当，时，若为“回旋数列”，则；④若为“回旋数列”，则对任意，总存在，使得．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，结合题意中的“回旋数列”，对每项进行验证或者举特例即可【详解】①由可得，由可得，取即可，则为“回旋数列”，故①正确；②当时，，，由可得，故当时，很明显不成立，故不是“回旋数列，②错误”；③是等差数列，故，，因为数列是“回旋数列”，所以，即，其中为非负整数，所以要保证恒为整数，故为所有非负整数的公约数，且，所以，故③正确；④由①可得当时，为“回旋数列”，取，，显然不存在,使得，故④错误故选：B4．已知平面向量，，满足，，且．若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量的垂直和数量积的坐标表示求出，再用坐标公式求模即可.【详解】设，则，可得，所以.故选:A5．三位同学参加某项体育测试，每人要从跑、引体向上、跳远、铅球四个项目中选出两个项目参加测试，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出三个同学选择两个项目的试验的基本事件数，再求出有且仅有两人选择的项目完全相同的事件含有的基本事件数，即可列式作答.【详解】三个同学选择两个项目的试验的基本事件数有个，它们等可能，有且仅有两人选择的项目完全相同的事件含有的基本事件数有个，所以有且仅有两人选择的项目完全相同的概率.故选：C6．已知为第三象限角，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据同角三角函数以及的范围得出的值，然后根据诱导公式以及两角和的正弦，即可得出答案.【详解】由已知可得，所以.又，所以，解得.又为第三象限角，所以，，.所以，.故选：A.7．如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（

）

B． C． D．【答案】A【分析】作出辅助线，求出正六棱台的侧高，从而求出正六棱台的侧面积，再求出正六棱台的下底面面积，圆柱的侧面积和底面积，相加得到该花灯的表面积.【详解】正六棱柱的六个侧面面积之和为，正六棱柱的底面面积为，如图所示，正六棱台中，，过点分别作垂直于底面于点，连接相交于点，则分别为的中点，过点作⊥于点，连接，则为正六棱台的斜高，其中，，，由勾股定理得，故，

所以正六棱台的斜高为，故正六棱台的侧面积为，又正六棱台的下底面面积为，所以该花灯的表面积为．故选：A．8．已知定义在上的函数满足，且，为的导函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数，利用的奇偶性和单调性求得正确答案.【详解】设，，所以是奇函数.当时，，则，所以在上单调递增，则在上单调递增，不等式即，所以，所以不等式的解集为.故选：D【点睛】关键点睛：本题的关键点有两点，一个是函数的奇偶性，奇偶性可以转化为来进行判断；一个是构造函数法，有关和的不等关系式，在解题过程中可以考虑利用构造函数法，然后结合导数来进行求解.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．在的展开式中，各项系数的和为1，则（

）A． B．展开式中的常数项为C．展开式中的系数为160 D．展开式中无理项的系数之和为9．已知函数的最小正周期是，把它图象向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数，下列正确的是（

）A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称C．函数在区间上单调递减 D．函数在上有3个零点【答案】AC【分析】根据周期及奇函数的性质求出，再利用正弦函数性质逐项判断即可.【详解】因为函数的最小正周期是，所以，则，把它图象向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为，因为为奇函数，所以，，即，，因为，所以，，所以，对于A，，所以函数的图象关于直线对称，故A正确；对于B，，所以函数的图象不关于点对称，故B错误；对于C，当时，，函数在上单调递减，所以函数在区间上单调递减，故C正确；对于D，由，得，即，令，解得，又，所以或，所以函数在上有2个零点，分别为，，故D错误.故选：AC.10．用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合.若抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过C上的点反射，再经过C上另一点反射后，沿直线射出，则（

）

A．C的准线方程为B．C．若点，则D．设直线AO与C的准线的交点为N，则点N在直线上【答案】AD【分析】根据抛物线的几何性质，可判定A正确；设直线，联立方程组，结合韦达定理，可判定B错误；根据，求得，可判定C错误；由，联立方程组得到，结合，可判定D正确.【详解】由题意，抛物线，可得焦点，准线方程为，所以A正确；由抛物线的光学性质可知，直线经过焦点F，且斜率不为0，设直线，联立方程组，整理得，可得，所以，所以B错误；若点，则，所以，所以，，所以，所以C错误；又由直线，联立方程组，解得，由，得，所以，所以点N在直线上，所以D正确.故选：AD.

11．如图，棱长为2的正方体中，，，，，则下列结论中正确的是（

）

A．存在y，使得B．当时，存在z使得∥平面AEFC．当时，异面直线与EF所成角的余弦值为D．当时，点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍【答案】BD【分析】建系，利用空间向量处理位置关系、异面直线夹角以及点到面的距离.【详解】如图建立以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴的空间直角坐标系，

则，，，，，，对于选项A：可得，因为，且，可知，所以与不垂直，故A错误；因为，则，，可得，，对于选项B：设平面AEF法向量为，则，令，则，可得，设，可得，令，解得，可知：当时，∥平面AEF，B正确；对于选项C：当时，则，此时，因为，可知：当时，异面直线与EF所成角的余弦值为，故C错误；对于选项D：因为，，可得：点G到平面AEF的距离，点C到平面AEF的距离，所以点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍，故D正确．故选：BD．12．已知，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】先利用三角函数线得到，进而得到，作差法得到，得到；再构造函数，与，，证明出.【详解】设为锐角，作出单位圆，与轴交于点，则，过点作垂直于轴，交射线于点，连接，过点作⊥轴于点，由三角函数定义可知，，设扇形的面积为，则，即，故，所以，

，因为，所以，故，综上：，A正确，B错误；令，，则，当时，，故在上单调递增，所以，所以，令，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故，故，故，C正确，D错误；故选：AC【点睛】方法点睛：我们经常使用不等式放缩来比较大小或证明不等式，常用的不等式有，，，，等.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若随机变量，且，则．【答案】0.39/【分析】由正态分布函数的性质结合已知条件即可求解.【详解】因为，所以正态曲线的对称轴是直线，又因为，所以.故答案为：0.39.14．若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则.【答案】【分析】根据导数几何意义可分别用表示出切线方程，根据切线方程相同可构造方程组，化简得到，代入所求式子整理即可.【详解】，，切线斜率，切线方程可记为：或，，，则，易得，，.故答案为：.【点睛】思路点睛：本题考查导数中的公切线问题，求解此类问题的基本思路是假设切点坐标后，利用导数几何意义分别表示出两函数切点处的切线方程，由两方程形式一致可构造方程组来求解相关问题.15．已知直线与圆相切，且交椭圆于两点，若，则．【答案】/【分析】设直线，由题意可得，可求得，进而可求得.【详解】设直线，直线与圆相切，，将直线方程与椭圆方程联立，得，所以，因为，所以，由对称性，不妨取，故答案为：.

16．已知椭圆，的上顶点为A，两个焦点分别为，离心率为，过且斜率为的直线与交于两点，四边形的面积为，则四边形的周长是．【答案】14【分析】设椭圆半焦距为，由离心率可得椭圆，将直线DE方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合四边形的面积为，可得，后注意到点A，两点关于直线DE对称，后利用椭圆定义可得答案.【详解】设椭圆半焦距为，因椭圆离心率为，则，则椭圆.由题，设直线DE为，将其与椭圆方程联立，则.由题，联立方程判别式大于0，设，由韦达定理，有.则.又，则A到直线DE距离为，到DE距离为.因四边形的面积S为，则.因点A，到直线DE距离相等，且，则点A，两点关于直线DE对称.则四边形的周长为.注意到，，则，得四边形的周长为.故答案为：14

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。17．设正项数列的前项和为，若．(1)求数列的通项公式；(2)若不等式对任意正整数均成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）应用得出等差数列再求数列通项公式即可;（2）应用裂项相消求和结合不等式恒成立求解.【详解】（1）当时，，所以；当时，且，两式相减并整理可得．因为为正项数列，所以，所以．（2）有（1）可知，，，故，可化为，因为恒成立，所以．18．在中，内角，，的对边分别为，，，且.(1)求；(2)若内一点P满足，，，，记，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知，结合正余弦定理即可求；（2）在直角中用角表示，在中，由正弦定理得到与角之间的关系，中，余弦定理求出及角，代入上式即可求角.【详解】（1）因为，.由正弦定理得：，即，由余弦定理，，因为，所以.（2）因为，所以，在中，，在中，由正弦定理得，即，即，（*）又因为在中，，，从而，代入（*）式得，即，所以.19．气象部门定义：根据24小时内降水在平地单位面积上的积水深度来判断降雨强度．其中小雨，中雨，大雨，暴雨）．为了了解某地的降雨情况，气象部门统计了该地20个乡镇的降雨情况，得到当日24小时内降雨量的频率分布直方图如图．

(1)若以每组的中点代表该组数据值，求该日这20个乡镇的平均降雨量；(2)①根据图表，估计该日24小时内降雨强度为暴雨的乡镇的个数；②通过降雨强度按分层抽样抽取5个乡镇进行分析．据以往统计数据，降雨过后，降雨强度为大雨的乡镇不受损失的概率为，降雨强度为暴雨的乡镇不受损失的概率为，假设降雨强度相互独立，求在抽取的5个乡镇中，降雨过后恰有1个乡镇不受损失的概率．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根据频率分布直方图计算平均数公式计算即可；（2）根据频率分布直方图估计总体即可得①，根据分层抽样先判定抽中大雨和暴雨的乡镇数，再由独立事件的概率公式计算即可得②.【详解】（1）这五组数据对应的频率分别为：，故这20个乡镇的平均降雨量为．（2）①24小时降雨强度为暴雨的乡镇的频率为，故降雨强度为暴雨的乡镇的个数为个．②若按分层抽样抽取5个乡镇，故降雨强度为暴雨的有个乡镇，降雨强度为大雨的有2个乡镇，设事件表示“抽取的5个乡镇中，降雨过后恰有1个乡镇不受损失”．分两类情况，即不受损失的唯一乡镇为降雨强度为大雨或降雨强度为暴雨，所以，故抽取的5个乡镇中，降雨过后恰有1个乡镇不受损失的概率为．20．如图，在四棱锥中，，，M为棱AP的中点．(1)棱PB上是否存在点N，使平面PDC?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(2)若平面平面ABCD，，，求二面角的正弦值．【答案】(1)棱PB上存在点N，；(2)【分析】（1）作出辅助线，利用可证得平面PDC，再用相似三角形线段成比例即可求解.（2）设O为CD的中点，由面面垂直的性质定理可得平面ABCD，如图建立空间直角坐标系，用空间向量法即可求二面角的正弦值．【详解】（1）如图，分别延长BA与CD的延长线交于点E，连接PE，过点M在平面BEP内作直线，交BE于点F，BP于点N，因为，平面PDC，所以平面PDC，因为，，所以A，D分别为线段BE，CE的中点，又，M为AP的中点，所以F为线段AE的中点，所以．综上，棱PB上存在点N，使平面PDC，且．（2）设，又，，所以，，又，所以和为等边三角形，设O为CD的中点，连接OP，OB，则，，，又平面平面ABCD，平面平面，平面PDC，平面ABCD，又平面ABCD，，综上，OP，OB，OC两两垂直．以O为