2024年高考数学模拟卷(新高考Ⅰ卷专用)含解析

【赢在高考・黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考I卷专用）

黄金卷（答案在最后）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.设集合/=卜/+3》-10<0},2={乂一3cx<3},贝！］/口8=（）

A.{x\-3<x<2}B.{x|-5<x<2}

C.{x|-3<x<3}D.{x|-5<x<3}

【答案】A

2

【详解】因为”X+3X-10<01={X|-5<X<2},

所以/c5={x|-3<x<2}.

故选：A.

2.若i（l-R）=3,则|z-斗=（）

A.6iB.-6iC.2D.6

【答案】D

3

【详解】由题设可得1—7===—篁，则z=l+3i，则z=l—3i,

i

故z—N=—6i,故=6,

故选：D

3.如图，在四边形中，DC=2AB,BE=2ECf设诙=M,DA=b9则诙等于（）

2]_

B._@+_5

32

51一21T

C._G+_bD._方r+—b

6333

【答案】C

【详解】因为。C=2N8,8E=2EC,

所以诙=前+屈=前+：丽=或+；._配）=前+；件+刀_友）

2__.1—.1—.2__.1-.1__.51-

=-DC+_DA+-AB=_DC+_DA+-DC=_a+-b.

33333663

故选：C

4.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、

四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，它

的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知正四棱锥的底面边长为3。米，侧棱长为5米，则其体积

为（）立方米.

A.240B.24C.7272D.72

【答案】B

【详解】如图所示，在正四棱锥尸-/BCD中，连接/Cl。于O,则。为正方形/BCD的中心,

1c

连接OP,则底面边长/8=30,对角线8。=嫄48=6，BO=-BD=^>.

又BP=5,故高OP=qBP?-BO?=4.

5.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数

可以表示为两个素数的和“，如20=3+17.在不超过15的素数（素数是指在大于1的自然数中，除了1和自

身外没有其他因数的自然数）中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是（）

1421

A.一B.一C.一D.—

10151511

【答案】C

【详解】不超过15的素数有2,3,5,7,11,13,随机取两个不同取法有q=15种，

其中和等于16的情况有3,13或5,11两种情况，

2

所以随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是正.

故选：C

6.将函数/（x）=cos（x+§f|图象上所有点的横坐标变为原来的，®>0）,纵坐标不变，所得图象在区间

2兀7171

0,行上恰有两个零点，且在-1rli上单调递减，则①的取值范围为（）

A.「-9,3JB,「49,4八）C,「—11,4JD.［f彳ll,6J

【答案】C

【详解】依题意可得y=cos（sx+gl）,

八，，2匚二|、［2兀2兀2①2兀

因为0《》<寸_兀，所以r-VsX+kVkTt+k，

33333

因为〉=cos产+下在0,_恰有2个零点，且cos蒙+钊=0,k、wZ,

5兀2G2兀7兀1117

所以丁《-^-兀+丁<亍，解得彳《①〈牙，

_,2兀_,j„2:12匕兀71%c兀7r

令2&7兀43X+—4兀+242兀，,得__-+——<X<一+」_,左2一,

-3、3G）①3①①

,八（2兀）「2兀兀一

令0=0,得用叼小丁）在卜旃，前上单调递减，

__兀兀2兀71

所以『场'豆］［［一福'丽J'

’2兀71

—__<___

所以43°3—12，又3>0,解得0<344.

71兀

一>——

13（0-12

11ri2,4

综上所述，<®<4,故①的取值范围是-

T4_,

故选：C.

7-已知*直,H汩［c=&［,“

ia,b,c的大小关系为（）

A.a<c<bB.b<a<cC.b<c<aD.a<b<c

【答案】D

令+,>Q,则ln/(x)=xln(l+1],

XX>Q

令g(x)=xln(l+:J,x>o,

则g'(x)=ln(l+?+x-/

X

x

令"㈤=ln(l+x)一4,x>0,

11X

则"z(无)=OT]E=g>。在(0,小)上恒成立，

x

故〃(x)=ln(l+^)—j—在(0,转)上单调递增，

1+X

JQ

又〃(0)=0,故为(x)=O(l+x)一干>0在(0,一)上恒成立,

1

将〃(x)=ln(l+x)_1匚>0中x换为1可得，ln|1+-|-^->0,

1+XXIXJ-t

I+--

X

即ln(l+I]_」_>0,故g<x)>0在(0,小)上恒成立，

所以g(x)=xlnp+：j在(0,小)上单调递增，

由复合函数单调性可知/(x)=1l+j在(0,”)上单调递增，

故1+++即0<b<c.

故选：D

8.已知等腰直角A48C中，NC为直角,边NC=4，P,。分别为/C,48上的动点(尸与C不重合)，将

△^尸。沿P。折起，使点/到达点H的位置，且平面4尸。，平面8c尸。若点/，，B,C,P,0均在球。的

球面上，则球。表面积的最小值为()

A.8TIB.4兀C.8*口D.—

33

【答案】A

【详解】显然尸不与N重合，由点H,5,C,P,Q均在球。的球面上，得8,C,尸，。共圆，则NC+4PQB=兀,

又“3C为等腰直角三角形，为斜边，即有PQ'NB,

将△/尸。翻折后，尸。，HQ,PQ^BQ,又平面HP。，平面8CP。,

平面HP0口平面BCPQ=PQ,

/'Qu平面HPQ,J8。u平面BCP。，于是40，平面3CP。，30，平面HPQ,

显然4P,5P的中点。，E分别为A4'PQ,四边形8c尸。外接圆圆心，

则平面HPQ,£。，平面2。。，因此。。〃8。，EOHA'Q,

取尸。的中点尸，连接。尸木石则有£///8。//。。，DFIIA'QIIEO,

四边形EEDO为矩形，设HQ=x且o<x<2&,DO=EF=；BQ三,A，P="x,

2(2

设球O的半径A,有笛=〃。2+]9]=|x2-7^+3=lx-^-j+2，

当户孥时，(炉L=2,所以球O表面积的最小值为4M霜%「8兀.

故选：A.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.如图，正方体45co-4404的棱长为1,则下列四个命题正确的是（）

A.正方体N3CD-4494的内切球的半径为手

.兀

B.两条异面直线和8G所成的角为不

兀

C.直线8c与平面所成的角等于4

D.点。到面NCR的距离为孚

【答案】BC

【分析】根据正方体和内切球的几何结构特征，可判定A错误；连接/C，CR，把异面直线2c和所成

的角的大小即为直线2c和/口所成的角，△/CR为正三角形，可判定B正确；证得qc，平面/5£已，

进而求得直线8c与平面/8£口所成的角，可判定C正确；结合等体积法，得到七一/卬=。“8,进而可

判定D错误.

【详解】对于A中，正方体43CD-44£4的内切球的半径即为正方体的棱长的一半，

所以内切球的半径R=3,所以A错误•

对于B中，如图所示，连接/C,CD|,

因为N8//GB且=则四边形4302为平行四边形，所以BCJ/N2,

所以异面直线℃和BCX所成的角的大小即为直线2c和/2所成的角/好的大小，

又因为NC=/A=r>C=J2,则为正三角形，即=所以B正确；

对于c中，如图所示，连接4C,在正方形gqcc中，BCJBC

因为平面4Cu平面B4GC,所以43,4c.

又因为48Ig=3,/8匚平面/264,BC|U平面NBCQi,

兀

所以qc，平面ABCA,所以直线3c与平面4BCR所成的角为/C3CI=_,

所以C正确；

对于D中，如图所示，设点。到面/C。的距离为人因为△/CA为正三角形,

所以Su6=gx/Cx/O|Sin'=乎，

又因为SVS=:X/Z）XCD=!，根据等体积转换可知：VD_ACD}=VD[_ACD,

即卜"LCRq'加09，即:x〃xf=」xlx）解得仁平，所以D错误.

故选：BC.

10.已知函数/（x）=；/-X?+x,则（）

A.“X）为奇函数B.x=l不是函数/⑴的极值点

C./（x）在[T,+°°）上单调递增D./（X）存在两个零点

【答案】BC

【分析】根据奇函数的定义判断A,求导得函数的单调性判断BC,根据零点存在性定理和单调性判断D.

【详解】函数/（x）=—+x的定义域为R,又/（_龙）=_；炉---工，-/（X）=-AX3+X2-X,

则〃-x）H-/（x）,所以〃x）不是奇函数，故选项A错误；

因为/（工）=--2》+1=*-1）220,所以/（x）在R上单调递增，所以函数/⑴不存在极值点，故选项B与C

正确；

因为/⑴=；」+1>0,/（-1）=-1-1+1<0,又/（x）在R上单调递增，且/（0）=0,

所以"X）仅有一个零点0,故选项D错误.

故选：BC

11.已知抛物线C:俨=6x的焦点为尸，过点尸的直线交C于M,N两个不同点，则下列结论正确的是（）

A•可|的最小值是6B.若点噌,2）则+的最小值是4

11「

C.陛「3D-若|MF「pVF|=18,则直线ACV的斜率为±1

【答案】ABD

【分析】A,根据也W1=X|+Xz+p结合基本不等式即可判断；B,由抛物线定义知当尸，可，/三点共线时

+C,D,设直线方程，联立抛物线，应用韦达定理即可求解.

【详解】对A,设加（演,乂）,阳号%），（%,马>0）,

因为这些MV倾斜角不为0,

3

则设直线MN的方程为x=0+1，联立抛物线得y2-6ky-9=0,

则%+为=6h％，=-9,

3k99

所以；•%+%=4（乂+%）+3=61+3,%％=左4乂+彳（乂+%）+耳=4，

则|跖V|=Xi+%+3=642+626（当且仅当左=0时等号成立），A正确；

对B,如图抛物线准线，悭?|+悭9=|九『+|〃P|要使其最小，

即尸,三点共线时取得最小值，

53

^^MF^\MP\=\MA^+\MP\=\PA\=^_.=4,B正确；

11_\NF\+\MF\玉+4+3_2

对C,由亚或IWS=丫-3/一丫一9二，C错误；

对D,产|•叫=(玉+j)•(x2+1)=再芍+.(再+无2)+,

93993

=_+_(6r+3)+_=_+_(6r+3)=18,解得左=±1,D正确

故选：ABD.

12.已知函数/(x)及其导函数/'(X)的定义域均为R,记g(x)=/'(x).若-2x],g(2+x)均为偶函数，

则()

A./(-1)=/(4)B.8臼=。C./(0)=1D.g(-l)=-g⑵

【答案】ABD

3

【分析】由题意分析得到/(X)关于直线X=2对称，函数g(x)关于直线X=2对称及周期为2,逐项求解即可.

【详解】因为/(弓-2X)为偶函数,所以/(>2x)=/(；+2x),所以〃；r)=/G+x),

353535

所以/(X)关于直线x=1对称，令》=彳得/勺-2、)=/勺+2*4),即〃-1)="4),故A正确；

因为/《-%)=/(；+》)，所以+即g@+x)=_gjj_x],

所以g(2+x)=-g(l-x),因为g(2+x)为偶函数，所以g(2+x)=g(2-x),

所以g(2-x)=-g(l-^),即g(x+l)=-g(x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),

33

则g(x)的一个周期为2.因为/(X)关于直线X=2对称，所以X=1是函数/(幻的一个极值点,

所以==所以g1_；)=g[j)=O,故B正确；

因为g(x+l)=-g(x),所以g(2)=g(0)=-g(-l),所以g(T)=-g(2),故D正确；

设〃(x)=/(x)+c(,为常数)，定义域为R,贝P'(x)=/'(x)=g(x),h[l+x\^f[L+x\+c,

显然"(x)=/(x)+c也满足题设，即/(x)上下平移均满足题设，显然1(0)的值不确定，故C错误.

故选：ABD

第II卷(非选择题)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.+(2x+5)展开式中含/项的系数是.

【答案】120

【详解】+(2X+5)=2X[X+：〔+5]X+|J,

因为的展开式的通项公式为=5.C；.2W"不可能出现含的项，

所以展开式中含/的项为2X.C〉X41B=120/,即含好项的系数是120.

故答案为：120.

14.写出与圆(》-1)2+3-2)2=1和圆々+1)2+3+2)=1都相切的一条直线的方程.

【答案】x=0或4y-3尤=0或2工_>±而=0(答案不唯一)

【详解】由题设知，圆(x-l)2+0-2)2=l的圆心为“(1,2),半径为11,

圆(x+iy+(>+2j=i的圆心为N(-l,-2),半径为々=1,

所以叫=J(2+2j+(+l)2=20>(+々=2,即两圆外离，故共有4条公切线；

又易知M,N关于原点对称，且两圆半径相等，则有过原点的两条公切线和与血W平行的两条公切线.

设过原点的公切线为卬，则=即3/一4y0,解得f=0或2，

VW3

所以公切线为尤=0或4y-3x=°；

设与九W平行的公切线为了=2x+6,且M,N与公切线距离都为1,

贝U曹〒=1，即6=±b，

V4+1

所以公切线为2x-y土质=0.

故答案为：x=0或4)-3x=0或2尤7±百=0

14

15.若函数/(》)=2/+4分与gG)=5aTiw-e»,a>0有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则6的

最小值为.

5

【答案】一］

5〃2

【详解】/''(x)=x+4a,g,(x)=__.

设曲线了=/(x)与了=g(x)(x>0)的公共点为(%,%),两者在公共点处的切线方程相同,

5。2

因此％+4〃=-----,即％：+4办0-54=0,解得％=。或一5a.

%

因为〃〉0,所以舍去％=-5。.

又:片。442〃59

+4"=5«2lnx-e^bBPe^b=5a2]na_a2]na2a2.

09222

令函数人()=:ln/_|y,则〃Q)=jln/—2.

44

令/⑺<0,解得0</<屋，令”C)>0,解得/>砥，

/4\/4\

所以,O在0,6上单调递减，在9,+8上单调递增，

V7\)

,4、5，4c-45

贝e3=--e3,即一e一解得吐-丁

5

则6的最小值为-2.

一，5

故答案为：

22

16.已知椭圆C:二+与=1,F「"分别是其左，右焦点，尸为椭圆C上非长轴端点的任意一点，。是x

1612

S2sp.

轴上一点，使得PD平分4".过点。作尸片、桃的垂线，垂足分别为4A则T空+不二A」的最小

/\PFXF2

值是.

521

【答案】-70-

【详解】如图,

兀

由椭圆的性质可知，点尸位于短轴的端点时，/月尸片最大，由。=4*=2/可知最大值为百•

设/彳”=2。（0<0弋），因为PD平分/甲线，所以D4=DB,设D4=DB=m,

已知椭圆c：女+F=1，所以。=4,6=2JJ,C=2.

1612

从而工噂=〃tanO=12tane,

S,PFFZ=；〃|Py+gM|PK|=：%(|S|+|PK|)=7"a=4"?’

所以12tan。=4m,解得加=3tan。.

M22

S.DAB=-sinZ_ADB=1加？sin(兀_2。)=1加2sjn29=9tan0sin0cos0二,‘也°

△22v72cos0

9sin30

所以S-DAB_cose_3An20,

s.pg12tane4

S2S32

,DAB^_sinfi+_____

S.PFES.DAB43HF0

△ix|X9△LJ/iD

八兀•c。g，

因为o<e〈G，所以smeE

°4，

设sir?。=te

s2s„2S

△DAB_j_dPGBF38rli△+PPP、318x4521

DAB

所以■Q+R=/+豆在°，4上单调递减，所以=—x—+------=.

△DAB44348

APF'GADABAPF'F?,Jmin

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

17.已知公差不为零的等差数列包｝的前〃项和为S“,4=3,且4，%，%成等比数列.

⑴求｛%｝的通项公式;

13

⑵若4=1r_0数列也｝的前〃项和为力证明：T.

nn''

【答案】⑴与二〃+1

(2)证明见解析

【详解】(1)设/｝的公差为d(dwO),因为4，％，％成等比数列，所以片二%•%，

即(4+23)2=4(4+64),因为dwO,所以q=27,

又。2=3,所以q+d=2d+d=3,

所以d=l,%=2,

所以%=4=2+〃-1=〃+1.

〃(2+〃+1)n2+3w

(2)由(1)得，Sf

所以'=2s_%+1=〃(〃+2)

li〃+2

所以］=2

n〃+2

〃+1〃+2

18.在中,内角4S。所对的边分别为。也c,满足Z?=Q-2ZJCOSC

(1)求证：C=2B；

(2)若“为锐角三角形，求2sinC+cos5-si"的最大值.

【答案】(1)证明见解析

(2)11

-8

【详解】(1)由题b=。一26cosc,

=

由正弦定理：sinB=sin4-2sinBcosCsin(5+C)-2sin5cosCf

所以sin8=sinBcosC+cos5sinC-2sinBcosC，

整理sin5=sinCcosB-cosCsinB,

所以sinB=sin(C-S),

:.B=C-B或B+C-B=TI(舍)，

:.C=2B.

(2)•••△49。为锐角三角形,

兀

0<7i-35<_

2

,vo<8弓，解得:白y,所以o<x

0<2B<l

2

.71.，兀兀、.兀兀71.71J6-J2

日sin_=sin___=sin-cos-cos__sm_=25___2L_

121^34J34344

由(1)问，C=2B,:.2sinC+cosB-sinB=2sin2B+cos5-sin5,

则sin2B=l—gos5—sin5)2,

(］、2*

所以2sinC+cosB_sin5=21一产>，=_2,2+，+2=_2/__+

因为“卜,与I),

1,17

.,.当f=_时，所求2sinC+cosS-sin8的最大值为--

48

19.如图，在三棱柱ABC-中，NC=2,尸分别为4c,台4的中点，且所，平面MCiC,

(1)求棱3C的长度：

(2)若明工44,且△4尸C的面积s=#,求平面44尸与平面4尸C的夹角的余弦值.

【答案】(1)。

⑵芈

【详解】(1)取NC的中点。，连接8Am,

在三棱柱/8C-44G中，可得DE//叫//叫,且。£==

••・四边形。E必为平行四边形，则EF//DB,

又跖_L平面...02,平面Z&CC,

；/Cu平面

DBYAC,

又。为NC的中点，

.•.“8C为等腰三角形，

VAC=2,AB=*,则8C=/8=J2；

222

（2）由（1）知，AB+BC=AC,AB1BC,EF=BD=11

4°u平面/&qc,所以E尸，&c,

故与4FC=.E尸=/n&C=20,

由（1）知，平面N4£C,/4u平面44GC,

则DB工,

又三棱柱中AAJIBB、，：.DB1BB、

又AB±BB1,

•:又4BCDB=B,AB、O2u平面/8C,

平面NBC,

•・・三棱柱ABC~44cl为直三棱柱，

.•.△zqc为直角三角形，可得4幺=4,

又在三棱柱NBC-44G中，ABLBC,1BiCi,

以4为坐标原点，4G，44,45所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则q（0,0,0）4（0,0,0）0S，0,0）,c9,0,4）,q0,0,今,[o,o。,

乖=@，3,2）语=/34）,

设平面4FC的一个法向量为n=（x,y,z）

n.4尸=-yfly+2z=0

则为.豕=30+42=0'令z=l'则户口x=-*，

：.平面4尸c的一个法向量为〃=Q*JI』）,

易得平面44尸的一个法向量为w=（i,o,o）

设平面44尸与平面4尸c的夹角为0，

\m.n\

•COS0=J____!________

\m\-\n\/xl5

平面44尸与平面4FC的夹角的余弦值为乎.

20.为了解学生中午的用餐方式（在食堂就餐或点外卖）与最近食堂间的距离的关系，某大学于某日中午

随机调查了2000名学生，获得了如下频率分布表（不完整）:

学生与最近食堂间的距离d（m）(0,200](200,400](400,600](600,800](800,+oo)合计

在食堂就餐0.150.100.000.50

点外卖0.200.000.50

合计0.200.150.001.00

并且由该频率分布表，可估计学生与最近食堂间的平均距离为370m（同一组数据以该组数据所在区间的中

点值作为代表）.

(1)补全频率分布表，并根据小概率值a=0.0001的独立性检验，能否认为学生中午的用餐方式与学生距最近

食堂的远近有关(当学生与最近食堂间的距离不超过400m时，认为较近，否则认为较远)：

(2)已知该校李明同学的附近有两家学生食堂甲和乙，且他每天中午都选择食堂甲或乙就餐.

(i)一般情况下，学生更愿意去饭菜更美味的食堂就餐.某日中午，李明准备去食堂就餐.此时，记他选择去

甲食堂就餐为事件A,他认为甲食堂的饭菜比乙食堂的美味为事件。，且。、A均为随机事件，证明：

P(D\AyP(D^

(ii)为迎接为期7天的校庆，甲食堂推出了如下两种优惠活动方案，顾客可任选其一.

①传统型优惠方案：校庆期间，顾客任意一天中午去甲食堂就餐均可获得。元优惠；

②“饥饿型”优惠方案：校庆期间，对于顾客去甲食堂就餐的若干天(不必连续)中午，第一天中午不优惠(即

“饥饿”一天)，第二天中午获得加元优惠，以后每天中午均获得6元优惠(其中。，6为已知数且6>a>0).

校庆期间，已知李明每天中午去甲食堂就餐的概率均为P且是否去甲食堂就餐相互独立.又知

李明是一名“激进型”消费者，如果两种方案获得的优惠期望不一样，他倾向于选择能获得优惠期望更大的方

案，如果两种方案获得的优惠期望一样，他倾向于选择获得的优惠更分散的方案.请你据此帮他作出选择，

并说明理由.

nfad-bc^

附：1其中

a0.100.0100.001

X

a2.7066.63510.828

【答案】(1)频率分布表见解析，根据小概率值a=0.0001的独立性检验，可以认为学生中午的用餐方式与学

生距最近食堂的远近有关

(2)(i)证明见解析；(ii)当0<p<p°时，选择传统型优惠方案；当p°Vp<l时，选择“饥饿型”优惠方案,

理由见解析

【详解】(1)(I)设de(200,400］组的频率为贝I］】e(4°0,6°0］组的频率为i-0.20-0.15-/=0.65-l,

估计学生与最近食堂间的平均距离7=100x0.20+300f+5000.65Ty700x0.15=450-200/=370,解得

t=0.40,

故可补全频率分布表如下:

学生与最近食堂间的距离或加）(0,200](200,400](400,600](600,800](800,+co)合计

在食堂就餐0.150.200.100.050.000.50

点外卖0.050.200.150.100.000.50

合计0.200.400.250.150.001.00

据此结合样本容量为2000可列出2x2列联表如下:

学生距最近食堂较近学生距最近食较堂远合计

在食堂就餐7003001000

点外卖5005001000

合计12008002000

零假设4:学生中午的用餐情况与学生距最近食堂的远近无关.

注意至U=2000x(700x500一300x500)2—500

10.828=x

1000x1000x1200x8000.001

据小概率值a=0.001的独立性检验，推断用不成立,

即可以认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关.

（2）⑴证法一：由题意得尸（小。）＞尸0⑷），

结合尸(曰£>)+P(平)=P(N[Z))+P(13=1,P(A\D)>0.5>P(A\D).

P(AD\P(AD'\p(A\-P(AD\

结合条件概率公式知4r万，>-^=2=、)，即PQD)>P⑷P(D).

,、P(AD\尸包))

尸(°9-尸(°>尸基-鬲

P(^D)[1_尸(N)]-[尸(D)-P(AD^《今P("P(A)P(D)

尸(/)][祖1-4勾]，

即/（。/）＞/®/）成立.

证法二：由题意得尸00）＞尸。⑷），«㈤。）＞尸［卬）,

所以丹尸（/£＞）＞尸同理尸@）＞尸0》）

P（D）

于是尸°。）尸（ID）＞尸卬y«万）

故"（。⑴“（。口）=琳-瑞

P（AD^P^D^+P^D^-P0r＞^|P（AD＞尸«Zr）

-，⑷呵

P（AD}P（XD\-P（2Dy（A'D}

P（^P0）＞0；即P（O/）"（°N）成立•

（ii）设李明在校庆期间去食堂甲就餐的次数为1，

若选择传统型优惠方案获得的优惠为X元，若选择“饥饿型”优惠方案获得的优惠为y元,

‘尸4=0）+尸（&=1）#=0

则自〜5（7,2），X=a&,对0〈人（7,有尸（丫=左6）=＜0,左=1

P七=k）,24kq7

■^E（X）=E（a^）=aE（t,）=7pa,

77r7

£y=kbpYkbkp（一不

（）kE=2（=）=k=2^=9=4[_k=E0阻&=今」）

=P（&=1）]=7P如-（1-p）6],

令£（x）=£（y）,结合a＜b得P=1一正J,记为局.

若P°＜"1,贝IJE（Y）-E（X）=7p{〃q-（l-p）6]-a}＞0,E（y）＞E（X）,

此时李明应选择“饥饿型，，优惠方案；

若0＜。＜为，则E（y）-E（x）=7p{岫-（L-p）6]_a}＜0,E（Y）＜E（X）,

此时李明应选择传统型优惠方案.

若P=p。，则（l-P）6=l-《，E（X）=E（y）.

注意到。（、）=。（度）=/。位）=7。/（1-。），

7

2

叩）=%2）-[叩）『=£（町尸。=kb）-p（X）]

7

=b2P=k)_49P2a2-49p2a2

k=2

卜叫Eg2ApG=lj|-49律储=於｛回（&y+。（目一尸（卜i）｝_切2,

=〃[49p2+7p(l_p)_7o(l一p)(49P2〃=7p叫6p+l_pJ]-7pa2}.

因此D(Y)-Q(X)=7p&[6,+l-(1-p)6]-7川2_(1_0〃2}

=7p^6pb2+ab-(6p+lya2}=7p(6_a)[6p(6+a)+a]>0,

即。（y）>o（x）.

此时李明选择获得的优惠更分散的方案，即获得的优惠方差更大的方案，即“饥饿型”优惠方案.

综上所述，当°<P<Po时，李明应选择传统型优惠方案;

当R）WP<1时，李明应选择“饥饿型”优惠方案.

21.已知双曲线C二X2•-£2=1（。>0/>0）上的一点到两条渐近线的距离之积为2且双曲线C的离心率为

£

（1）求双曲线C的方程；

⑵已知M是直线x=Mo<，<a）上一点，直线晒交双曲线c于/（/在第一象限），8两点，。为坐标原

点，过点"作直线CM的平行线/,/与直线。交于点尸，与x轴交于点。，若尸为线段加。的中点，求实

数t的值.

【答案】⑴k-丁=1

03

（2*=2

【详解】（1）双曲线的渐近线方程为桁士即=0,设双曲线上一点0（%,稣），

2%-。％].|姐+明|=阶0-。丹|砥0用0I/看一"2引

又因为。（%，九）在双曲线上，所以、"_=1,即〃只，

代入可得竺-=2,又因为e=E=2^,c2=a2+b2>代入可得Z>2=3,a2=6>

ca2

所以双曲线方程为k-亍=1;

63

（2）由（1）如图所示,

若直线"右斜率为0,此时点A不在第一象限，矛盾，故叫斜率不为0,

t_3

设直线外的方程为了=町+3,4（x“|）,B（x,y）,则M卜,

22m

x=my+3

联立'x2y2］，化简可得(/-2)产+6叼+3=0,

63

冽2一200mw±

则A=36"_12(/_2)>0'可得24(加2+i)>o

-6m

乂+为

则

3

又因为〃/O4,所以勺=%=--y,§,

人1"少1+J%my2+3

t-3x/、V,

所以直线/的方程为G」），直线。的方程为^=而壬尤,

町+3

t-3

y-——二(x-t)

m町+3町外+（3-少2

联立,解得y=

y-y2X加0f）

my2+3

my^+Ci-tSy

即P的纵坐标为4=——37J—

-6m3

又由上可知乂+%=E'乂%,两式相除,

得myxy2=+%)，