2024年广东省中山一中教育集团中考数学二模试卷

第1页（共1页）2024年广东省中山一中教育集团中考数学二模试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）﹣2024的倒数是（）A．﹣2024 B．2024 C． D．2．（3分）2023年我国经济持续发展，国内生产总值达到126万亿元，同比增长5.2%．其中126万亿用科学记数法可表示为（）A．1.26×1012 B．1.26×1013 C．1.26×1014 D．1.26×10153．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．4．（3分）如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（）A． B． C． D．5．（3分）不透明的盒子放有三张大小、形状及质地相同的卡片，卡片上分别写有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荆门送别》和王维《寄荆州张丞相》三首诗，卡片上诗的作者都是李白的概率是（）A． B． C． D．6．（3分）把二次函数y＝（x﹣3）2+6的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的二次函数为（）A．y＝（x﹣4）2+4 B．y＝（x﹣2）2+4 C．y＝（x﹣2）2+8 D．y＝（x﹣4）2+87．（3分）如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝36°（）A．36° B．45° C．54° D．72°8．（3分）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（）A．＝ B．＝﹣12 C．240（x﹣12）＝150x D．240x＝150（x+12）9．（3分）一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个正多边形的每个外角为（）A．50° B．60° C．45° D．120°10．（3分）如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A（k＞0，x＞0）图象上．若直线BC的函数表达式为y＝x﹣4（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝二、填空题（共6小题，每小题3分，7共18分）11．（3分）分解因式：m2﹣6m+9＝．12．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为．13．（3分）若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则b﹣3a的值为．14．（3分）圆锥侧面展开图的半径为6cm，圆心角为120°，则该圆锥的底面半径长为．15．（3分）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处，尚美楼顶部F的俯角为30°，已知博雅楼高度CE为15米米．（结果保留根号）16．（3分）如图，在正方形ABCD中，，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N．连接NC交BD于点G．若BG：MG＝3：5．三、解答题（一）（共4小题，每小题6分，共24分）17．（6分）计算：．18．（6分）先化简，再求值：，其中x＝4．19．（6分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形．（1）请用尺规作图法，作菱形ABMN，分别交BC、AD于点M、N（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若AB＝6，求菱形ABMN的面积．20．（6分）某校七、八年级开展了“感受数学魅力，提升数学素养”为主题的趣味数学知识竞赛，现随机抽取七、八年级各15名同学的测试成绩进行整理分析收集数据七年级15名学生测试成绩分别为：78，83，89、97，85，100，87，90，92，99，100．八年级15名学生测试成绩分别为：81，82，83，87，96，92，94，87，93，96，97．分析数据年级平均数众数中位数方差七年级9294a40.9八年级90b9229.7应用数据（1）根据以上信息，a＝，b＝；（2）由方差可以推断：七、八年级中，学生测试成绩较稳定的是；（3）甲同学说：“这次测试我得了93分，位于年级中等偏上水平”，你认为甲同学更可能来自七年级还是八年级四、解答题（二）（共3小题，每小题8分，共24分）21．（8分）习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划在4月23日世界读书日之前，同时购进甲、乙两类图书，探索完成任务：如何设计采购方案素材一：甲乙总费用（元）购进数量（本）34288购进数量（本）52270素材二：该书店计划用4500元全部购进甲、乙两类图书，购进数量及售价如下：甲乙购进数量（本）xy售价（元/本）3850问题解决任务一：请尝试求出甲、乙两类图书每本的进价．任务二：①写出y关于x的关系式；②采购时，甲类图书的购进数量不少于60本，若该书店全部售完购进的甲、乙两类图书可获利w元元．22．（8分）如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AB＝10，tanB＝，求⊙O的半径．23．（8分）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与反比例函数y＝（x＞0），C，与x轴交于点B，D，连接AC．点A，2，直尺的宽度BD为2，OB＝2（1）请结合图象直接写出不等式kx+b＞的解集；（2）求直线AC的解析式；（3）平行于y轴的直线x＝n（2＜n＜4）与AC交于点E，与反比例函数图象交于点F，线段EF的长为，求n的值．五、解答题（三）（共2小题，每小题12分，共24分）24．（12分）已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，且AB＝AC，AD＝AE，总保持∠ADE＝∠B，连接CE（1）①如图1，当点D为BC边中点时，则的值为；②如图2，当点D不为BC边中点时，求证：CE＝BD；（2）如图3，当点D在BC边上运动中恰好使得AE∥BC时，若AB＝5，求DF的长．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．（1）求抛物线的解析式；（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；（3）如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断+是否存在最大值．若存在，求出最大值，请说明理由．

2024年广东省中山一中教育集团中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）﹣2024的倒数是（）A．﹣2024 B．2024 C． D．【解答】解：∵，故选：C．2．（3分）2023年我国经济持续发展，国内生产总值达到126万亿元，同比增长5.2%．其中126万亿用科学记数法可表示为（）A．1.26×1012 B．1.26×1013 C．1.26×1014 D．1.26×1015【解答】解：126万亿＝126000000000000＝1.26×1014，故选：C．3．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：在中，由x﹣1＜2得：x＜1，由x+1≥2得：x≥﹣1，则不等式组的解集为﹣1≤x＜6．故选：A．4．（3分）如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（）A． B． C． D．【解答】解：从左边看，是一个矩形．故选：B．5．（3分）不透明的盒子放有三张大小、形状及质地相同的卡片，卡片上分别写有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荆门送别》和王维《寄荆州张丞相》三首诗，卡片上诗的作者都是李白的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：把分别写有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荆门送别》和王维《寄荆州张丞相》三首诗的卡片分别记为A、B、C，画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中卡片上诗的作者都是李白的结果有2种、BA，∴卡片上诗的作者都是李白的概率是＝，故选：A．6．（3分）把二次函数y＝（x﹣3）2+6的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的二次函数为（）A．y＝（x﹣4）2+4 B．y＝（x﹣2）2+4 C．y＝（x﹣2）2+8 D．y＝（x﹣4）2+8【解答】解：二次函数y＝（x﹣3）2+6的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的二次函数为y＝（x﹣8+1）2+5﹣2＝（x﹣2）3+4，故选：B．7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝36°（）A．36° B．45° C．54° D．72°【解答】解：如图，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝54°，∴∠ADC＝∠ABC＝54°，故选：C．8．（3分）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（）A．＝ B．＝﹣12 C．240（x﹣12）＝150x D．240x＝150（x+12）【解答】解：∵慢马先行12天，快马x天可追上慢马，∴快马追上慢马时，慢马行了（x+12）天．根据题意得：240x＝150（x+12）．故选：D．9．（3分）一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个正多边形的每个外角为（）A．50° B．60° C．45° D．120°【解答】解：设多边形的边数为n．因为正多边形内角和为（n﹣2）•180°，正多边形外角和为360°，根据题意得：（n﹣2）•180°＝360°×8，解得：n＝6．∴这个正多边形的每个外角＝＝60°，故选：B．10．（3分）如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A（k＞0，x＞0）图象上．若直线BC的函数表达式为y＝x﹣4（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝【解答】解：在y＝x﹣6中，则x＝8，令x＝0，则y＝﹣4，∴B（8，0），﹣6），∴OB＝8，OG＝4，过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠EAB+∠ABE＝∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠EAB＝∠CBF，在△AEB与△BFC中，，∴△AEB≌△BFC（AAS），∴AE＝BF，BE＝CF，∵∠BOG＝∠BFC＝90°，∠OBG＝∠CBF，∴△OBG∽△FBC，∴＝，∴设CF＝a，BF＝2a，∴AE＝8a，BE＝a，∴A（8﹣a，2a），a），∵点A，点C在反比例函数y＝，x＞4）图象上，∴2a（8﹣a）＝a（5+2a），∴a＝2，a＝8（不合题意舍去），∴A（6，4），∴k＝8×6＝24，∴反比例函数表达式为y＝，故选：D．二、填空题（共6小题，每小题3分，7共18分）11．（3分）分解因式：m2﹣6m+9＝（m﹣3）2．【解答】解：m2﹣6m+3＝（m﹣3）2，故答案为：（m﹣2）2．12．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为x≥3．【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴x﹣3≥2，解得x≥3．故答案为：x≥3．13．（3分）若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则b﹣3a的值为﹣2．【解答】解：∵x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝4的解，∴a×32﹣8b＝6，化简，得：3a﹣b＝4，∴b﹣3a＝﹣2．故答案为：﹣7．14．（3分）圆锥侧面展开图的半径为6cm，圆心角为120°，则该圆锥的底面半径长为2cm．【解答】解：设这个圆锥的底面半径为rcm，根据题意得：，解得：r＝4，∴这个圆锥的底面半径长为2cm．故答案为：2cm．15．（3分）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处，尚美楼顶部F的俯角为30°，已知博雅楼高度CE为15米（30﹣）米．（结果保留根号）【解答】解：如图，过点E作EM⊥过点B的水平线于M，由题意可知CM＝DN＝AB＝30米，又∵CE＝15米，∴EM＝15米，在Rt△EBM中，∠EBM＝45°，∴BM＝EM＝15米，又∵A是CD的中点，∴BN＝AD＝AC＝BM＝15米，在Rt△BFN中，tan∠FBN＝，∵∠FBN＝30°，BN＝15米，∴，∴FN＝米，∴DF＝（30﹣）米．故答案为：（30﹣）．16．（3分）如图，在正方形ABCD中，，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N．连接NC交BD于点G．若BG：MG＝3：515．【解答】解：如图，把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，∵△DMC≌△BHC，∠BCD＝90°，∴MC＝HC，DM＝BH，∠DCM＝∠BCH，∴∠MBH＝90°，∠MCH＝90°，∵∠CMN＝∠CBN＝90°，∴M、N、B、C四点共圆，∴∠MCN＝45°，∴∠NCH＝45°，∴△MCG≌△HCG（SAS），∴MG＝HG，∵BG：MG＝3：5，设BG＝5a，则MG＝GH＝5a，在Rt△BGH中，BH＝4a，∵正方形ABCD的边长为，∴BD＝12，∴DM+MG+BG＝12a＝12，∴a＝1，∴BG＝5，MG＝5，∵∠MGC＝∠NGB，∠MNG＝∠GBC＝45°，∴△MGN∽△CGB，∴，∴CG•NG＝BG•MG＝15．故答案为：15．三、解答题（一）（共4小题，每小题6分，共24分）17．（6分）计算：．【解答】解：＝2+1﹣4×+﹣1＝2+8﹣+﹣8＝2．18．（6分）先化简，再求值：，其中x＝4．【解答】解：÷＝•＝，当x＝8时，原式＝＝2．19．（6分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形．（1）请用尺规作图法，作菱形ABMN，分别交BC、AD于点M、N（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若AB＝6，求菱形ABMN的面积．【解答】解：（1）如图，菱形ABMN为所求；（2）过A作AH⊥BC于点H，如图，∵四边形ABMN为菱形，∴AB＝BM＝6，在Rt△ABH，∵∠B＝60°，∴BH＝AB＝3，∴AH＝BH＝8，∴菱形ABMN的面积＝6×4＝18．20．（6分）某校七、八年级开展了“感受数学魅力，提升数学素养”为主题的趣味数学知识竞赛，现随机抽取七、八年级各15名同学的测试成绩进行整理分析收集数据七年级15名学生测试成绩分别为：78，83，89、97，85，100，87，90，92，99，100．八年级15名学生测试成绩分别为：81，82，83，87，96，92，94，87，93，96，97．分析数据年级平均数众数中位数方差七年级9294a40.9八年级90b9229.7应用数据（1）根据以上信息，a＝94，b＝87；（2）由方差可以推断：七、八年级中，学生测试成绩较稳定的是八年级；（3）甲同学说：“这次测试我得了93分，位于年级中等偏上水平”，你认为甲同学更可能来自七年级还是八年级【解答】解：（1）把七年级15名学生的测试成绩排好顺序为：78，83，87、90，94，94，98，100，根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为a＝94，八年级15名学生测试成绩分别为：81，82，85，87，92，94，95，96．八年级8名学生的成绩中87分的最多有3人，所以众数b＝87，故答案为：94，87；（2）八年级．∵把年级的方差小于七年级的方差，∴学生测试成绩较稳定的是八年级．故答案为：八年级；（3）八年级．∵七年级的中位数为94，八年级的中位数为92，位于年级中等偏上水平，∴甲同学在八年级．四、解答题（二）（共3小题，每小题8分，共24分）21．（8分）习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划在4月23日世界读书日之前，同时购进甲、乙两类图书，探索完成任务：如何设计采购方案素材一：甲乙总费用（元）购进数量（本）34288购进数量（本）52270素材二：该书店计划用4500元全部购进甲、乙两类图书，购进数量及售价如下：甲乙购进数量（本）xy售价（元/本）3850问题解决任务一：请尝试求出甲、乙两类图书每本的进价．任务二：①写出y关于x的关系式；②采购时，甲类图书的购进数量不少于60本，若该书店全部售完购进的甲、乙两类图书可获利w元380元．【解答】解：任务一：设甲类图书每本的进价是m元，乙类图书每本的进价是n元，根据题意得：，解得：．答：甲类图书每本的进价是36元，乙类图书每本的进价是45元；任务二：①根据题意得：36x+45y＝4500，∴y＝﹣x+100；②根据题意得：w＝（38﹣36）x+（50﹣45）（﹣x+100），即w＝﹣2x+500，∵﹣2＜0，∴w随m的增大而减小，∴当x＝60时，w取得最大值．故答案为：380．22．（8分）如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AB＝10，tanB＝，求⊙O的半径．【解答】解：（1）连接OD，在△AOC和△AOD中，，∴△AOC≌△AOD（SSS），∴∠ACO＝∠ADO，又∵AD是⊙O的切线，点D是切点，∴OD⊥AD，即∠ADO＝90°＝∠ACO，∵OC是半径，∴AC是⊙O的切线；（2）在Rt△ABC中，∵AB＝10，tanB＝，∴AC＝2＝AD，BC＝8，在Rt△BOD中，BD＝10﹣6＝7，即＝，∴OD＝，即⊙O的半径为．23．（8分）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与反比例函数y＝（x＞0），C，与x轴交于点B，D，连接AC．点A，2，直尺的宽度BD为2，OB＝2（1）请结合图象直接写出不等式kx+b＞的解集；（2）求直线AC的解析式；（3）平行于y轴的直线x＝n（2＜n＜4）与AC交于点E，与反比例函数图象交于点F，线段EF的长为，求n的值．【解答】解：（1）根据图象可知：不等式kx+b＞的解集为：2＜x＜4；（2）将A点坐标（4，3）代入y＝，得：m＝xy＝2×5＝6，∴y＝；又OD＝5，∴C（4，1.8），将A（2，3）和C（6，得，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+；（3）当x＝n时，点E的纵坐标为﹣，点F的纵坐标为，依题意，得：﹣n+﹣＝，解得n＝或n＝3．五、解答题（三）（共2小题，每小题12分，共24分）24．（12分）已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，且AB＝AC，AD＝AE，总保持∠ADE＝∠B，连接CE（1）①如图1，当点D为BC边中点时，则的值为；②如图2，当点D不为BC边中点时，求证：CE＝BD；（2）如图3，当点D在BC边上运动中恰好使得AE∥BC时，若AB＝5，求DF的长．【解答】（1）①解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠BCA．∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED．又∵∠ADE＝∠B，∴∠B＝∠BCA＝∠ADE＝∠AED，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE．∵AB＝AC，点D为BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD．∴∠CAD＝∠CAE．又∵AD＝AE，∴AC垂直平分DE，∴CE＝CD．∵点D为BC的中点，∴BC＝2CD．∴．故答案为：；②证明：由①知，∠BAD＝∠CAE．在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CA