2024届高考数学专项数列不等式放缩题型分类含答案

2024届高考数学专项数列不等式放缩题

型分类含答案

数列不等式放缩题蛰分类

(考意今析】

由函数不等式化为数列不等式的方法

力一1>Inx=>ln(l+/)<力,(x>—1)

取：=工则:工>⑺取：①=一

rrIn+"1则:

nnnn+1n+1n

题型一:指对数不等式化为数列不等式

【精选例题】

皿_建筑师高迪曾经说:直线属于人类，而曲线属于上帝，一切灵感来源于自然和幻想，灵活生动的曲线

和简洁干练的直线，在生活中处处体现了几何艺术美感,我们可以利用曲线和直线写出很多不等关

系，如由夕=Inrc在点(0,1)处的切线0=多一1写出不等式Inrr<rr—1,进而用“十1替换力得到一

n

系列不等式，叠加后有E(九+1)<1+4+]+…+!.这些不等式同样体现数学之美.运用类似

23n

方法推导，下面的不等式正确的有()

A.n!<eB.H-----1--<Inn

23n

c(i+4)(i+3)…(1+勺)<1

\n)'n7'n7D•(如(部…($ru

2已知函数/(①)=Inx—ax1,其中aRR

(1)若函数/(乃的图象恒不在x轴上方,求实数a的取值范围；

⑵证明：1+/+T-----F^->ln(n+1),其中九eN*.

网］3已知函数/（劣）=ex-^-ax2-x.

（1）若/Q）在NGR上单调递增，求。的值;

⑵证明：(1+1)(1+…(1+<e2(nGN*且rz>2).

4已知函数/（力）=-^-x2—x'lnx+t（tGR）.

（l）g（c）是fQ）的导函数，求g（N）的最小值；

（2）证明:对任意正整数九（九＞2）,都有（1+』）・（1+1）・（1+士）…（1+《）Ve（其中e为自然

对数的底数）

0]5已知函数/(c)=~~alnx(aGR).

(1)当a=-L时，试确定函数/(t)在其定义域内的单调性;

(2)求函数/(t)在(O,e]上的最小值；

(3)试证明：(1+e(e=2718…；nCN*).

题6已知函数/(乃=ln(x+1)-

~X-]-l

(1)求/(力)的极值；

(2)对任意的nEN*,求证：一-\---7--H----

n+1n+22n

而17已知函数/Q)=Imr—匹了.

⑴证明：/(乃＞0；

⑵证明网(1+5)(1+金)(1+金)…—*，八CM.

题8已知函数/Q)=aln/'a-l.

(1)若xf(x)&r一1恒成立，求Q的取值范围；

⑵当a=l时，证明：?+?+…+3+上万一贵.

23n22n+224

【跟踪训练】

/目1禾U用“In/<T-1”可得到许多与卅">2且nCN*)有关的结论①ln(n+l)<l+^-+4+---

+'②1rm号+/+…③(1+材1+a)…(l+4)>e，④©)”+(灯+…+%)”<

:，则结论正确的有()

e—1

A.1个B.2个C.3个D.4个

题目已知函数/(t)—ax—21n①+2(1—a)+—~—(a>0).

(1)若f(x)>0在［1,+oo)上恒成立,求实数a的取值范围；

⑵证明：1+。+春+……+与\>-1ln(2n+1)+/匕(九CN*).

352n—122n+1

题目已知/(/)=ln(l+x)—x.

⑴证明：/(为40；

⑵证明：心2时，1丽＜/+*+1+…+—

题目已知函数/(T)=x—1—alna;,aER.

(1)若/Q)存在极值，求a的取值范围；

(2)若/Q)＞0,求a的值；

(3)对于任意正整数是否存在整数小，使得不等式(1+*)(1+/卜”(1+/)＜小成立？若存

在,请求出力的最小值;若不存在,请说明理由.

题目IH2)已知函数/(①)=xlnx—m(x—1)，且/Q)>0.

(1)求实数m的取值范围；

(2)设k为整数,且对任意正整数n,不等式(1+y)(l+^)---(l+^)<fc恒成立,求k的最小值；

023

(3初足证日明日：(由20茨23)产24<臣1<(/20福23V)•

题目JR)设函数/(rr)=d+ln(c+1).

⑴求曲线y=/3)在(0,0)处的切线方程；

(2)证明：当，>0时，d+inQ+1)>♦恒成立;

⑶证明：当"CN*且">2时，ln(n+l)>…+皂”

x

题目IIO已知函数/(力)=In(劣+1)—axef0<a<1

(1)判断函数/(力)的零点个数；

(2)证明：当九CN,n>1时，证明：Inl+ln2+ln3+……+lnn<旦二f

题目⑸已知函数/(⑼=ln(x+1)--*+1.

(1)求函数/Q)的极值；

(2)(i)当力>0时，/(力)>0恒成立，求正整数k的最大值;

(ii)证明：(1+1X2)(1+2X3)•••[1+n(n+1)]>

题型二:三角函数不等式化为数列不等式

【精选例题】

___2

］已知函数/⑺=sinx—C2（。VnV1），g（力）—cos力—1+勺.

（1）证明：当c>0时，g{x）>0；

（2）若/（力）>0,求Q的取值范围；

（3）证明：—2<之sin|~——~~-1<1.

32n+3念l_k（k+l）」

2已知函数/（力）=xlnx—a（x—1）.

（1）若/（0>0,求实数a的值；

（2）已知九GN*且?1>2,求证：sin《+sin《H---l-sin—<Inn.

23Th

3已知函数/(力)=tanx+ln(l—x),xC(-多1).

(1)求/(力)的极值;

(2)求证：In71,1<tanJ+tan；H---Ftan—<lnn(n2,nEN*).

/43TV

【跟踪训练】

题目已知函数/(力)=ln(l+x),g(x)=ax2+x.

(1)当x>—1时,/(rc)<gQ),求实数a的取值范围；

(2)已知九GN*,证明：sin—二-+sin—^――H---Hsin［一<ln2.

n+1n+22n

题目|~2^)已知函数/(6)=sinx—x+0cJ

(1)证明:对Va?E[0,+8),/(力)>0恒成立；

(2)是否存在GN*,使得ln2<sin1―+sin，H---Hsin-―-<-y成立？请说明理由.

1XJ2X4n(n+2)4

数列不等式放缩题蛰分类

(有点台新)

由函数不等式化为数列不等式的姆

力一1>Inx=>ln(l+/)<力,(x>—1)

取:2=!则：」>ln生土”取”』吗

nnnn+1n

题型一:指对数不等式化为数列不等式

【精选例题】

吼上建筑师高迪曾经说:直线属于人类，而曲线属于上帝,一切灵感来源于自然和幻想，灵活生动的曲线

和简洁干练的直线，在生活中处处体现了几何艺术美感,我们可以利用曲线和直线写出很多不等关

系’如由"=在点(0,1)处的切线"=z一1写出不等式lnx<x—1,进而用巨了替换刀得到一

系列不等式，叠加后有E(%+1)<1+4+]+…+!.这些不等式同样体现数学之美.运用类似

2io7Tz

方法推导，下面的不等式正确的有()

B.H---1--<Inn

23n

c(i+4)(i+3)…(1+勺)<1D•(扪(部…($FU

\n)'n7、n7

【答案】BC

【详解】令/(力)=x—l—Inc,则/'(力)=1——=———,当/>1时，/'(1)>0,当0V力VI时，f(x)

<0,

故/(力)=x—l—\nx在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，故/(1)—x—1—Inx在力=1处

取得极小值，也是最小值，/Q)min=0,故In力Wc—1,当且仅当力=1时等号成立，A选项：九=1时不

等式左右两端相等，故A错误；B选项：将Inx^x—1中的力替换为1—劣，可得ln(l—2)41—力一

1——x,x<Z1,当且仅当力=0时等号成立，

令力=工彳0,可得Inf1——}<—~所以Inn—ln(n—1)>工，故ln2—Ini+ln3—ln2H---Finn

nvn7nn

—ln(n—1)>J+H---1-工，其中ln2—Ini+ln3—ln2H---Finn—ln(n—1)=Inn—Ini=Inn,

/O77z

所以lrm>《+《+…+工，8正确；。选项：将1中的力替换为1+4,显然1+々£1,

23nn2n2

故ln(l+t)+ln(l+2)+…+当九>2时，^+日，

'/)'招)\")2n22n222n4

故(1H—(1H—4)…(1+?■)Ve4成立；当72=1时，2=164V(e3)4：z=e4显然成立，故

\?2八n7'n7

(1+±)(1+义)…(1+勺)V/,C正确；O选项：将Inx&c-1中的力替换为四二上,其中，ne

'代)\代)'")n

N*且n>2,则hi北二^<-—,则加n皂二^<-1,故(小二！『<—,则(4y+(?y+•■•(―^『+1

nnn'n)ev27'3，vn+17

<生，又(]丫+(春丫>]><0错误.故选：BC.

ev27v372e

2已知函数/(尤)=Inc—acc+L其中aCR

(1)若函数/Q)的图象恒不在立轴上方,求实数a的取值范围；

(2)证明：1+4+]+…+工>lnS+l),其中4CN*.

【答案】⑴[1,+8)；(2)证明见解析

【详解】(1)解：由函数/(力)的图象恒不在x轴上方，且/(2)=Inrr—ax+1,即/(2)=\nx—ac+14

。恒成立，即0.I”7+1在(0,+8)上恒成立，令gQ)=ln"+1,Q>o),可得/(6)=_ll竽.，当x

/x

G(0,1)时，g'O)>0;当±e(1,+ao)时，g'(cc)<0,所以g(c)在(0,1)上单调递增，在(l,+oo)上单调

递减，所以gQ)1mx=g(l)=1,所以a>l,

即实数a的取值范围为[1,+8).

⑵解：由⑴知，当a=1时，/(x)=lnt-cc+lWO,即力一Inc,当且仅当cc=1时取等号，令2

="+1(neN*)，可得上>In"'1，所以1+11H---1-->In?+ln-|-+ln-^H---Fin止也

nnn23n123n

=ln(^-xxx---x71+】=ln(n+1),即当九GN*时，1+4+《H---F—>ln(n+1).

123n23n

网]3已知函数/㈤=ex―^-ax2-x.

(1)若/Q)在力eR上单调递增，求Q的值；

⑵证明：(1+1)(1+…(1+v/(rieN*且7i>2).

【答案】(1)1;(2)证明见解析.

xx

【详解】(1)函数/(劣)=e―求导得/㈤=e—ax—1,由于函数/(力)在R上单调递增，则f

xxx

(6)=e—ax—1>0恒成立，令九(1)=e—ax—1,则K(x)—e—a,当Q=0时，f⑸=e“一1，当eV

。时,『⑺V0,不满足条件；当0<0时，矶力)>0,月0)在斤上单调递增，又从!)=/—0・十一1

=e,一2V0,即/'(工)V0,不满足条件；当a>0时，令〃(%)=0,得力=Ina,则当力VIna时，

<0,h(x)单调递减，当x>lna时，h\x)>0,h[x)单调递增，于是当x=lna时，h(x)取得最小值

九(Ina)=elna—alna—l=a—alna—1,

于是Zi(lna))0,即a—1—alna=0,令u{a)=a—1—alna,则u(a)=—lna,当0VaV1时，M

(a)>0,u(a)单调递增；Q>1时，M(Q)<0,u(a)单调递减,则u(a)max="⑴=0,由于a—1—

alna>0恒成立，因此Q—1—alna=0,则有a=1,所以/(出)单调递增时，Q的值为1.

(2)由(1)知，当a=l时，^一/一1>0,即有+当且仅当力=0时取等号，即当力>0时，

ln(x+1)<Lx,

因此当nGN*且几>2时，ln[(l+1)(1+…(1+4)]=ln(l+1)+ln(l++•••

+心力7<1十+-4十---十1--—/

而当八>2时，」7——='v—工，所以1+5+…+」7<1+

rin(n—1)n—1n4n2

1-+X_1+・・•+1X=1+1-—<2,

423n—1nn

则】n[(l+D(l+]>”(1+十)]<2,所以,(l+D(l+1>“(1+,<e2.

Ml4已知函数/(力)=-^-x2—x].nx+t(tER).

(l)g(rc)是/(N)的导函数，求g(力)的最小值;

⑵证明:对任意正整数n(n^2)，都有(1+七),(1+,(1+W…(1+Ve(其中e为自然

对数的底数)

【答案】(1)0;(2)证明见解析.

【详解】(1)由题意，f(x)=-^-x2—x\nx+t,g(x)=f⑸=x—Inx—1,力>0,g(x)=1——=

*J,令/(力)=0,解得力=1,又出G(0,1)时，g'Q)<0,力E(l,+oo)时，g\x)>0,所以g(i)在

(0,1)上单调递减，在(l,+oo)单调递增，・・.gQ)>g⑴=0,即gQ)的最小值为0.

(2)证明：由(1)得，g(/)=x—l—Inx>0,可知名—lnxf当且仅当力=1时等号成立，令力=1+

]

41,则_X__X>A:=2)3,4-,n..-,ln(l+^)+ln(l+^)+

fc(fc-l)

帅+今卜…+2+十)

〈(lO+OtHKO+…=即岫+9)+如(1+0)+

ln(l++…+ln(l+EVI,

'47'n7

也即+++…所以+++…

(l+」y)<e,故对任意正整数外⑺>2),都有(1+•(1+与)…(l+4)<e.

TLZD41ib

0］5已知函数/（c）~~~alnx（a€H）.

（1）当a=—1时，试确定函数/3）在其定义域内的单调性；

（2）求函数/（①）在（0,e］上的最小值；

（3）试证明：（1+—）"+1>e（e=2718•••；n€2V*）.

【答案】（1）单调递减区间（0,1）,单调递增区间（1,+8）;（2）答案见解析；（3）证明见解析.

【详解】⑴当a=-1时，/（T）=工+In必定义域为（0,+8）,求导得（⑸=-^~+—=三工

xXXX

当力e（0,1）时JO）vo,当力e（i,+oo）时，/（2）>o,即/（/）在（0,1）上递减，在（i,+oo）递增,

所以函数/（力）的单调递减区间为（0,1）,单调递增区间为（l,+oo）.

（2）/6（0,e］,f（x）=——aln/,求导得/（i）=--1——=一些。工，当0时，/（i）V0恒成立，

xxxx

即函数/（力）在（0,e］上单调递减，因此/Q）min=/（e）=-1~—Q；当QV0时，由/'（力）=0,得力=—，

当一~^>e,即——<a<0时，/'（力）V0,函数/（力）在（0,e］上单调递减，因此/（劣）mm=/（e）=——

aee

Q;当0V―；即a<―；时，由f（x）V0,得cG（°「十），由f'（x）>。,得％G（一，即函数

在（。，―十）上单调递减，在（-pe）上单调递增，

因此/（c）min=/（—~—）=—a—aln（—,所以当aE［一~^~,+8）时，/Q）min=工一Q,当aG

CLCLee

（_oo,一~1~）时,/（7）min=_Q_Qln（_?）.

（3）由（1）知，当a=—1时，/（劣）=—+\nx在力=1处取得最小值/（l）=1,即工+Inx>1,于是In%

xx

>l-^（x>0）,

GN*,令2=1+工，则有ln（l+—）>1---^――=一^―,因此（九+l）ln（l+—）>1,即

n'n71+工n+1\n7

n

/1\n+l.,/1\n+l

In1+—）>1,所以（1+上）>e.

\n,vn7

晒6已知函数/(力)=ln(/+1)----y-

T-4-

⑴求/Q）的极值；

（2）对任意的GN*，求证：一H---H-------F*—＜ln2.

n+1n+22n

【答案】（1）极小值0,无极大值；（2）证明见解析

【详解】（1）因为于⑸=ln（®+1）------=ln（a;+1）+一1,则f'（x）=---=

x+1x+1x+1（x+1）

,*、,，当，e（—i,o）时，/3）＜o,2e（o,+8）时，/Q）＞o,故f@）在（—1,o）上单调递减，在

3+1）2

（o,+8）上单调递增，故/3）在/=o处取得极小值/（o）=o,无极大值.

(2)由⑴知/㈤在(0,+8)上单调递增，故/G(o,+oo)Ht,f(x)>f(o)=o^p:ln(T+1)>

x+1

1

令力=工得，ln(l+L)>1r，化简得：In(乌士■，于是有：In(乌士])>，•，

n'n71+工、n)n+1\n'n-\-1

n

ln(n十2>]

n+1n+2

累加得：ln（2士L）+>------1-------------

n+1n+22n

In型=In(但(———)>---1---------1---即---1---1---1--1--—<

n\n乂吊）<2n—n+1n+22n'n+1n+22n

ln2.

幽7已知函数/（力）=Inc—2—

⑴证明：/Q）＞0；

⑵证明+++点）…（1+点）］＞1—*,九CN+.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【详解】⑴证明：f（x）=——1=021（名＞0），令/'（"）=。恒成立，解得力=1,当f'（R）＞0时，解

xxx

得力＞1,当/⑺VO,解得OVcVI,此时/⑺在（0,1）上单调递减，在（1,+8）上单调递增；所以

/0）在力=1取得最小值，/（力）min=/（l）=0,/（力）＞/（1）恒成立，即/（力）＞。成立.

⑵证明：由（1）可知，/（名）在（i,+oo）上单调递增，且/（1）=0,所以/（力）＞。在/e（i,+co）恒成立，

即\nx————＞0,Inx＞———，当nGN+时，令rc=1+3G（1,+oo），贝|工=——=1—

22

Xxnxn+l

22

n+l'xxn+l'

所以】n（l+十）士]xSp所以ln(l+F>l—/,ln(l+!)

n(n+1)n

>4一1，所以ln(l+9)+1n(T)+…+ln(l+±)>l-

3nn+1\nf

11

।x_=1—

万十万_口十…+十五一n+1n+1

1

即ln1+1+1+i+>1-,nETV卡.得证.

[(^)(i)(^)-(Ann+1

（18已知函数/Q）a\nx+a—1

x

⑴若时（力）<力一1恒成立，求Q的取值范围；

（2）当a=l时,证明：+—卜‘⑺’<弓+119

23n2271+224

【答案】（1）[0,1];（2）证明见解析

【详解】（1）过（％）=alnx+a-1—1,可得2—alnc—Q>0.令无（①）=N—QIUN—Q,其中x>0,

则h'（x）=1——=———.①当a=0时，h（x）=x>0,合乎题意;②当a<0时，由基本不等式可得

xx

1

a+十二-(-a)+4一2/(一a)・1=—2,当且仅当a=—1时，等号成立，a2+a+1

(一a)-(一a)

a+工

G+■，当且仅当a——时，等号成立,所以，h1—a=ea

ia

—(a2+a+1)Ve-2--=J—1-V0,

所以，h{x}>0不恒成立，不合乎题意;③当a>0时，H（x）=1——=———,当0V力VQ时，h!（X）

V0,此时函数九（①）单调递减，当力>.时,K（X）>0,此时函数无（力）单调递增，所以,八（G）min=八（Q）

—a—alna—a=—alna>0,可得InaW0,解得0Va&1.综上所述，实数a的取值范围是[0,1];

（2）当a=l时，/（c）=上些，所以/(n)Inn由（1）知：xf（x）《力一1,即Inc4力一1,所以I0*W

Xnn2x

1-X

X

令t=/，得哗&1—劣，即2z/wi—七，所以里1—5)■当n=2时，与1=野

nnnnn2

则尹1193，显然呼〈;<■|■，结论成立；当心3时，^^+且）+…

2?i+224844823n

ln2.In3..Inn71占+…々

----------------------------r***।------------&-1—e+l—+1—

2232n2

22232n2

11+上+…+11

+H-----1---------------

222323x44x5nx(n+1)

—1——1—I,——1——1—,...—।,—1—171

3445nn+1212n+1)]=

1n+119119

2n+1122n+224'

/(2),*3)^/(n)1

结论成立.因此，当口）2时,-生■成立

2n+224双

【跟踪训练】

/目1禾U用“In/<T-1”可得到许多与卅">2且nCN*)有关的结论①ln(n+l)<l+^-+4+---

+'②1rm号+/+…③(1+材1+a)…(l+4)>e，④©)”+(灯+…+%)”<

:，则结论正确的有()

e—1

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】。

【详解】令/(c)=/一1—In/,则/'(力)=1——=———当力>1时，/'(2)>0,当0V/V1时，/'(%)

<0,

故/(2)=x—l—Inx在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，故/(2)=x—l—Inx在力=1处取

得极小值，也时最小值，/Q)min=0,故Inx&力一1,当且仅当力=1时，等号成立，对于①，令2=1+

:W1,所以ln(l++1=：，故ln(l++)+ln(l+H---Fln(l+<1+-yH-

+工，其中ln(l++ln(l+H----Fln(l+工)=ln2—Ini+ln3—ln2H---Fln(n+1)—Inn=

ln(n+1)—Ini=ln(n+1),

所以ln(7i+1)V1+H---1■工，故①正确；对于②，将Incw/一1中的力替换为1—力，可得

ln(l—力)41—2—1=—xx<l,当且仅当x=Q时等号成立，令力=工W0,可得ln(l——)<——,

n、n)n

所以Inn—ln(n—1)>—,

n

故ln2—Ini+ln3—ln2H---Finn—ln(n—1)>+1H---1--,其中ln2—Ini+ln3—ln2H—

23n

+lnn—ln(n—1)=Inn—Ini=Inn,所以lnn>《H----F工，故②正确；

23n

对于③，将1中的力替换为l+±,显然1+Cwi，则InQ+Jr)Vl+占—1=C，

22222

故ln(l+4)+ln(l+1)+---+ln(l+—<^-+=―^=1一工<1,故

v2>\22'V2"222T1_X2n

12

(1+1)(1+占)…(1+—")Ve,故③错误;对于④，将Inc&rc-1中的力替换为W,其中ieN*,九

GN*,则-1,

nn

则就1114一九，故当且仅当i二九时，等号成立，则(工/+(2/+…+(2Lyveif+e2f

1

+…+e"f=£：([-e：)=e-e^<,故④正确.故选：。

1—ee—1e—1

题目已知函数/（/）—ax—21n6+2（1—a）+———（a>0）.

（1）若/（力）>0在［1,+8）上恒成立,求实数a的取值范围；

（2）证明：1+-1_+?+.......+11>41n（2?i+1）+21（九GN*）・

352n—122n+1

【解析】解：（1）/（名）的定义域为（0,+8）,〃（/）=Q—2—="2-22—a=

XX2X2

.」一0（力一专区）

.

①当OVaVl时，———>1,若1V力V———,则于'（x）<0,/（re）在（1,——曳）上是减函数，所以n

aa'Q/

e（1,毛包）时，f⑺</（1）=0,即/㈤>0在［1,+8）上不恒成立.

②当a>l时，当力>1时，/（⑼>0,/（力）在［,1+8）上是增函数，又/（1）=0,所以/（I）

a

>0.

综上所述，所求Q的取值范围是［1,+00）.

（2）由（1）知当a）1时，/（力）>0在［1,+8）上恒成立.取a=1得力一21nx—^->0,所以2——

xx

21nrr.

2n+l2n-l

令力=2n+l,n£N*,得>2In｝，即1+-----------1-------------

2n-l2n-l2n+l2n—12n-l12n+l

21n-,所以

-^>iln2-±l+X(—五匕），上式中户1,2,3,然后几个不等式相加，得

2n-l22n-l2V2n-1

到：

1+……3+1)+号他**).

题目|"3^|已知/（%）=ln（l+x）—x.

⑴证明：/（力）40；

（2）证明：2时，lnn<+!+4-----匕11.

2342n-1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【详解】（1）由题意知，/（1）的定义域为（―l,+oo）,/（x）=—7------1=1「，令f（①）>0,解得一1V

力V0:令/（力）V0,解得力>0.所以/（I）在（―1,0）上单调递增，在（0,+8）上单调递减，所以/（I）的

最大值为/（0）=0,

所以/（力）40.

（2）由（1）知ln（l+1）41,当且仅当力=0时等号成立，

所以ln(l+y)+ln(l+y)+ln(l+j)+-+ln(l+=呜x1x^X-X^^

题目已知函数/（c）=x—l—a\nx,aER.

（1）若/Q）存在极值，求Q的取值范围；

（2）若f（①）>0,求a的值；

（3）对于任意正整数71,是否存在整数m,使得不等式（1+^-）（1+（1+〈山成立？若存

在,请求出山的最小值;若不存在,请说明理由.

【答案】（1）（0,+8）;（2）a=l;（3）3

【详解】（1）函数/（力）=x—1—alnx的定义域为（0,+oo）厅（x）=1——=———,当a40时"（力）

>0恒成立，此时f（x）在（0,+OO）上单调递增，无极值；当Q>0时，令/（力）=0得N=Q,/e（0,Q）时,

f'（x）<0,xE（Q,+oo）时，/'（力）>0,所以/（力）在（O,a）上单调递减，在（a,+oo）上单调递增，此时

/（力）有极小值为了（Q）,无极大值.

综上所述，若/（力）存在极值，则Q的取值范围是（0,+8）.

（2）/（1）=0,由⑴可知，当a40时JQ）>0恒成立,此时/（%）在（0,+oo）上单调递增,与广⑺>0

恒成立矛盾；当Q>0时，由⑴可知，/（力）在（0,a）上单调递减，在（Q,+8）上单调递增，所以/QOmin

=/（Q）,则需/（a）>0,若a=1,则/（a）=f（l）=0，符合题意；若。VQV1,则f（a）<f（l）=0,不合题

意舍去；

若a>1,则f（a）</（1）=0,不合题意舍去.综上所述，a=1.

（3）由（2）可知当Q=1时f（x）=x—l—\nx>0,即In/W/一1,所以ln（x+1）恒成立，当且仅当

力=0时取等号，所以ln(l+一方面,ln(l++ln(l+J)+…ln(l+))<

4H—H---1———1---V1,

2222nT

即(1+9)(1+J)…(1+专)Ve,另一方面’(1+2)(1+(1+!)>

135、°

64'

从而当n>3时，++（1+^r）G（2,e）,因为m为正整数，且对于任意正整数ri,

（1+…（1+J7）Vm,恒成立，故m的最小值为3.

222

题目1~^1已知函数/（力）=xlnx—m（x—1），且/（力）>0.

(1)求实数巾的取值范围;

⑵设k为整数，且对任意正整数期不等式(1+^-)(1+^)••-(1+J)Vk恒成立，求％的最小值;

(2023yo241/2023\2023

(3)证明:

V2024/eV2024/1

【答案】(1)馆=1;(2)2;(3)证明见解析

【详解】(1)法一：=x(^lnx—m+5)>0在(0,+8)上恒成立/.Inrr—m+—>0在(0,+oo)

上恒成立

设gQ)=\nx—m+也,g'(x)=——吟———尹，①当0时，g'Q)>。恒成立•'.gQ)在

xxx2x2

(0,+oo)上单调递增，且g⑴=0工vC(0,1)时,g⑸<0不符合题意，舍去，②当m>0时，令g'(优)

>0,则2>771；令9'(力)V0,则0VcVm.

g(x)在(0,m)上单调递减，在(m,+oo)上单调递增9(rr)min=g(m)=Inm—m+l>0.设以力)=

\nx—x+=-——生，令"(i)>0,则0V/V1;令〃(N)V0,则x>l.：.h(x)在(0,1)上单调递

增，在(1,+8)上单调递减%(n)max=〃l)=。，即当h(m)>0时，恒=1；.馆的取值范围是：m=l.

法二：:"(I)=0,/(力)>0在(0,+8)上恒成立，是/(力)上最小值，也是极小值,."'(力)=Inx

+1—771=1—771=0,即7n=1,当7n=1时，f(x)=xlnx—力+l,/(rc)=\nx

令FQ)>0网力>1;令fQ)VO,贝U0V/V1,