安徽省安庆市石化重点中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题(含解析)

石化重点中学初三年级12月数学随堂练习

一、选择题（本大题共10小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列四个图形中，为中心对称图形的是（

2.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点4B,C都在横线

上.若线段力8=3,则线段8C的长是（）

23

A.-B.1C.-D.2

32

3.当一2<xWl时，二次函数y=-（x-m>+«72+l有最大值%则实数机的值为（）

77

A.——B.或—C.2或一事D.2或一或一z

4.如图，小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形（阴影部分）与△NBC相似的是（）

5.一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图所示位置时，AB=2m.已知木箱高1m,斜面坡角为a度,

则木箱端点E距地面的高度（）

A.2tana+cosa（米）B.2tana+sina（米）

C.2sina+cosa（米）D.2sina+tana（米）

6.如图，在4X4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1,顶点为格点，若△ZBC的顶点均在格点上,

则COS/胡。的值是（）

yio

丁

7.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知£R=CD=4cm,则球的半径长

是（）

A.2cmB.2.5cmC.3cmD.4cm

8.函数N=ax2+6x+c（aH0）的图象与x轴交于点（2,0）,顶点坐标为（一1,〃），其中〃>0.以下结论正确

的是（）

①必c>0；

②函数歹=⑪2+云+°（。#0）在x=l和x=-2处的函数值相等；

③函数V=履+1的图象与V=ax2+6x+c（a*0）的函数图象总有两个不同交点；

④函数V=ax2+6x+c（a#0）在一3WxW3内既有最大值又有最小值.

A.①③B.①②③C.①@D.（2X§）@

9.如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点出在近岸取点8,C,D,使得4B工BC,

CD上BC,点E在BC上,并且点/,E,。在同一条直线上，若测得8E=30m,EC=15m,

CD=30m,则河的宽度长为（）

A.90mB.60mC.45mD.30m

10.如图，在正方形NBC。中，E为BC上一点、,过点E作既〃CO,交4D于F,交对角线8。于G.取

DG的中点、乩连结Z”,EH,FH.下列结论：①Z.EFH=45°;②△AHDmAEHF；③

2

BES

ZAEF+ZHAD=45°④若=2,产a=8.则其中结论正确的是（)

;~EC

△GFH

A.①②③④B.①②③C.①④D.②③④

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

1/?

11.如图，在△NBC中，sinfi=_,tanC=2L_,45=3,则4c的长为

2k

12.如图，已知第一象限内的点”在反比例函数歹=一的图象上，第二象限的点8在反比例函数歹=—的图

XX

象上，且tan/8/O=2,则％的值为.

13.如图，航拍无人机从4处测得一幢建筑物顶部8的仰角为45。，测得底部C的俯角为60。，此时航拍无

人机与该建筑物的水平距离工。为120m,那么该建筑物的高度6C约为m（结果保留整数，

V3«1.732),

3

14.如图，抛物线V=1X2-4与x轴交于/、8两点，P是以点。（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q

是线段尸/的中点，连结°。.则线段°。的最大值是.

三、计算题（本大题共2小题，共16分）

15.求下列各式的值；

（।）l-2sin30°cos30°；

（2）3tan30o-tan450+2sin60o.

16.如图，在△48C中，点。在N6边上，N4BC=ZACD,

（1）求证：AABCsAACD；

（2）若ZO=2,AB=5,求4C的长.

四、解答题（本大题共7小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题8分）

如图、在平面直角坐标系中，△48。的三个顶点的坐标分别为/（4,1）,5（2,3）,C（l,2）.

m画出与△/8C关于y轴对称的△/产£；

⑵以原点。为位似中心，在第三象限内画一个△望使它与△N8C的相似比为2:1,并写出点4

4

的坐标.

18.（本小题8分）

如图，在中，ZO=90°,以点。为圆心，为半径的圆交于点c,交。4于点D

（1）若4=25。，则弧8c的度数为.

（2）若08=3,04=4,求3C的长.

19.（本小题10分）

某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y

（个）与销售单价x（元）有如下关系：^=-2x+80（20<x<40）,设这种健身球每天的销售利润为w元

（1）如果销售单价定为25元，那名健身球每天的销售量是个；

（2）求w与x之间的函数关系式；

（3）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

20.（本小题10分）

某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至8层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与8层平行,

11

层高为9米，48间的距离为6米，ZJCD=20°.

底乂A卜-6米小心O人]

D

（1）请问身高1.9米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在8处会不会碰到头？请说明理由.

（2）若采取中段平台设计（如图虚线所示）.已知平台跖〃℃,且NE段和EC段的坡度i=l：2,求平

台EF的长度.

【参考数据：sin20°«0.34,cos20°«0.94,tan20°«0.36]

21.（本小题12分）

△Z8C中，4c6=90。，/C=8C=1,点£为6c边上一点，点。为NC延长线上一点，CE=CD,

连接60、AE,并延长ZE交6。于尸，设C£>=x.

5

(1)求证：/\ACEs/\BFE；

(2)若F恰好是8。中点.求X的值；

BF1

(3)设V=万",当》=不时，求y的值.

DD5

22.(本小题12分)

如图，点尸是正方形Z8CD边N6上一点.过尸作/G〃8c.交CD于G,连结尸C,，是/C的中点.过

H作EH人FC交BD于点、E.

(1)连接防，EA,求证：EF=AE.

BF,

⑵若西〃’

①若CZ)=2,左=；,求"E的长；

②连结CE,求tan/DCE的值.(用含大的代数式表示)

23.(本小题14分)

11

在平面直角坐标系中，直线V=,x-2与*轴交于点8,与y轴交于点C,二次函数丁=,X2+bx+c的图象

经过8,C两点，且与x轴的负半轴交于点4动点。在直线8C下方的二次函数图象上.

(1)求二次函数的表达式；

(2)如图1,连接℃,DB,设△3CQ的面积为s,求S的最大值；

(3)如图2,过点。作。W8C于点“，是否存在点。，使得中的某个角恰好等于NN8C的2

倍？若存在，直接写出点。的横坐标；若不存在，请说明理由.

6

答案和解析

1.【答案】B

2.【答案】C

3.解：二次函数对称轴为直线％=〃？，

①“＜一2时，x=-2取得最大值，_（—2_加＞+加2+1=4,解得加=_:,不合题意，舍去;

②一2《加41时，x=m取得最大值，加2+1=4,解得加=±J7,

•.•〃2=/不满足一24用41的范围，；.7«=—、仔；

③加＞1时，x=l取得最大值，一（1-加»+m2+1=4,解得"?=2.

综上所述，〃?=2或时，二次函数有最大值4.故选：C.

4.解：由题图可知，4。8=180。-45°=135°,A,C,。中的钝角都不等于135°,

由勾股定理得，BC=3,zc=2,8中与135°角相邻的边的长分别为1和嫄，

1J2

号,.1B中的三角形（阴影部分）与△/BC相似.故选B.

5.选：C.

6.如图，延长力。到。，连接3。,

•m=22+42=20,8/)2=12+22=5,462=32+42=25,

AD2+BD2^ABI,ZADB=90°,cosABA-故选c

AB7255.吼

7.解：EF的中点M,作〃于点用，取MV上的球心O,连接。尸，

四边形是矩形，NC==90。，四边形CQAW是矩形，.,.A/N=CD=4,

7

设。/=工，则ON=OF,OM-MN-ON=4-x,MF=2,

在直角三角形OME中，OM2+MF2=OFa,即（4—x}+22=x2,解得x=2.5,故选B.

8.解；依照题意，画出图形如下：

函数夕=ax2+bx+c（a*0）的图象与x轴交于点（2,0）,顶点坐标为（T"）,其中〃>0.

•,•«<0,c>0,对称轴为x=-：_=-l,.,.6=2a<0,.•.就c>0,故①正确，

2。

••,对称轴为x=-l,.,.x=l与”=-3的函数值是相等的，故②错误；

,二顶点为QL"）,,抛物线解析式为：y^a^x+1）2+n^ax2+2ax+a+n,

y=Ax+1

联立方程组可得：

y=ax2+2ax+a+〃

可得ax2+（2a-k）x+a+n-\-0,.1.A=（2a—左）一4o（a+〃-1）=%2-Aak+4a-4an,

'♦,无法判断△是否大于0,二无法判断函数丁=丘+1的图象与丁=。彳2+1+。570）的函数图象的交点个

数，故③错误；

当一3Wx43时，当x=-l时，y有最大值为〃，当X=3时，y有最小值为16a+”,故④正确，故选：C.

9,解：vABLBC,CD1BC,ZABE=ZDCE=90°,

又,；ZAEB=NDEC（对顶角相等），.•.△Z8£S/\£）CE,

ABBEAB30,八

；•亍彳7=KF,即fTrUTF，解得力8=60m.故选B.

DCCE3015

10.解：①在正方形中，ZADC=^C=90°,ZADB=45°,

EF〃CD,；.NEFD=90°四边形EFDC是矩形.

在Rt^FTJG中，ZFDG=45°,:.FD=FG,

是DG中点、，：.NEFH=；NEFD=45。,故①正确；

②••・四边形43环是矩形，力八旗，皿=90。,

•;BD平分NABC,AEBG=£EGB=45°,:.BE=GE,AF=EG.

在RtAFGD中，//是DG的中点，：.FH=GH,FH1BD,

ZAFH=Z.AFE+NGFH=90°+45°=135°,NEGH=180°-NEGB=180°-45°=135°,

8

ZAFH=Z.EGH,：.^AFH^^EGH（SAS）,EH=AH,

•：EF=AD,FH=DH,：.^EHF^^AHD（SSS）,故②正确:

③•.,△EHFmAAHD,NEHF=NAHD,：,ZAHE=NDHF=9QP,

•：AH=EH,ZAEH=45°,即NAEF+NHEF=45°,

•/ZHEF=AHAD,：.AAEF+AHAD-45°,故③正确；

④如图，过点“作MV-L于点/，与BC交于点、N,

设EC=FD=FG=x,则BE=AF=EG=2x,

BC=DC=AB=AD=3xHM=Lx,AM=-x,HN=­x,

222

,1,LBE-HN

lxI213CSo仆

・•.AH2=r+|/.y^REH=-------------=8,故④正确;

L/E^AH2

故选：A.

11.答案为jy.

12.解：作BC_Lx轴于c,"OU轴于"如图,则%8=92=1,

CR

在RtZ\/O8中，tanZBAO=——=2,

・・・4OQ+N8OC=90。，ZAOD+AOAD=90°,/.ZBOC=AOAD.

9

.•.R3/OZ)SR3O8C,;A。”=［黑j=4,

△JOD

.-.5=45=4,.」阳=4,

△OBC&AOD2

而左<0,.•.左=一8.

故答案为：一8.

BD=AD=l20(xn)

13.解：如图，:在RS'S。中，4。=120,ZBAD=45°

在Rt^ACD中，NCAD=60°,CD^AD-tan60°=120,3(m)

BC=BD+CD=1205/3+120«328(m)

答：该建筑物的高度BC约为328米.故答案为：328.

14.解：连接80，如图，

当y=0时，%2-4=0,解得x=4,x=-4,则4（-4,0）,5（4,0）,

12

•••。是线段尸”的中点，二0。为△ZBP的中位线，二0。=；8P

当8尸最大时，°。最大，

而8尸过圆心C时，尸8最大，如图，点尸运动到P'位置时，BP最大,

厂77

•••8C=j32+42=5,.•.8P=5+2=7,.•.线段OQ的最大值是'，故答案为

15.解：（1）原式=1-2X?X2^.=.2个；

(2)原式=3x乎—l+2x乎=0—1+/=23一1.

16.解：(1)vZABC=Z.ACD,AA-Z.A,:./\ABC^/\ACD；

AQAB

(2)由(1)知：△力3cs△/co,；.=,

ADAC

Ar5

vAD=2,AB^5,.•.亍=衣，；./。=炳.

10

17.解：（1）如图，3BC为所作；

।।1

（2）如图，△z,qc,为所作，点々的坐标为（一4,一6）；

（2）如图，作0H工BC于巴

在中，•.•408=90。，04=4,OB=3,:.AB=d（）B2+OA2=,32+42=5,

113x412

•••S=LOBOA=—ABOH,:.OH===",:.BH

△AOB2255

1o

•:OHLBC,BH=CH,:.BC=2BH=£.

•：OB=OC,Z5=AOCB=65°,ABOC=180P-65°-65°=5（T,

.•.弧8c的度数为50。，故答案为50。.

（2）见答案.

19.解：（1）30

11

（2）根据题意得：w=（x-20）（-2x+80）=-2x2+12（k-1600,

：.卬与x之间的函数关系式为w=-2x2+128—1600；

（3）W=-2X2+12Qr-1600=-2（x-30）2+200,

•••一2<0,.,.当x=30时，卬取最大值，最大值为200,

答：该种健身球销售单价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元.

20.解：（1）过点8作交4c于点G,

KK^I<-6朱f小心・头

DM

vZACD=20°,AB//CD,:.ZBAG=20°,

BG=tan20°x6=0.36x6=2.16>1.9，:.不会碰到头部;

过点尸作垂足为点/，过点、E作ENA.4D,垂足为点N,

设FA/=x,则=

:NE段和尸。段的坡度i=1：2,二CM=2x,NE=2（9-x）=18-2x,

:.CM+NE^2x+lS-2x=\8,:.EF=CD-（CM-NE）x25-18=7（米）.

AC=BC

21.解：⑴证明：在△ZCE和△8C。中，,ZACE=/BCD,

CE=CD

ACE^/\BCD（SAS）,NCAE=NCBD,

ZAEC=NBEF,:./\ACE^/\BFE.

（2）CD=CE=x,则为。=/C+CD=1+x,

ZACB=90°,AC=BC=l,:.AB=3,

•••△ACEs^BFE,:.NBFE=NACE=90°,AFLBD,

・•./恰好是8。中点，，//垂直平分8。，，48=/。，

即l+x=/，/.'二艰-1；

/厂厂入厂厂4cAE__ACBE

（3）•.•△AACEs/\ABFE,:___=-----,/.BF-------------

BFBEAE

12

BFACBE1-x

•••△ACE学ABCD,/.AE=BD,y=___==

BDAE2l+%2

133

当》=可时，V=

5

22.解：（1）,；HE垂直平分FC,：.CE=FE.

又，,,正方形4BCD关于BD鞋对称，：.CE=4E,EF=AE

（2）'8=2,篝=1"T，FC二手

过点E作的垂线交N8于点/，由（1）知跖=4£\

在RIA.EFM中,FE=yjFM2+ME2

'•,点H是口。的中点，，切=半^

在Rt^EFH中，HE=y/EF2-FH2=*.

②证明：设N5=2a.

BF

•「---=k,BF-2ak,FM-MA=a-kaBM=a+ka=ME

BA9

由（2）知NFEM=NMEA=ZEAD,易证AADE出“DE（SSS）,

ZDCE=NDAE=NFEM,.-.tanZDCE=tanZFEM="=

ME\+k

23.ft?：⑴把x=0代y=；x-2得y=-2,.,.C（0,—2）.

把y=0代y=Jx_2得x=4,.,.B（4,0）.

13

设抛物线的解析式为y=:(x—4)(》一机)，

将。(0,-2)代入得：2m=-2,解得：m=-\,

113

:•抛物线的解析式为N=,(x—4)(x—m),即y=]X2-1X—2.

(2)如图所示：过点。作£>E_Lx轴，垂足为E,交BC与点、F.

设£)[,]丫2_?x_2),则尸卜gx_2),DE==-；x2+2x.

S=—OBDF=2.x4x|-£x2+2xj=-X2+4x=-G2-4x+4-4)=-(x-2)2+4

△BCD22\2)

.•.当x=2时，S有最大值，最大值为4.

(3)如图所示：过点。作。火1丁垂足为火，直线0H交直线6c与点G.

-1,0),5(4,0)