辽宁省协作校2024届高三年级下册第一次模拟考试 数学 含解析

2023-2024学年度下学期高三第一次模拟考试试题

数学

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

已知集合{L2,3,4},且AB=A则集合g可以是（）

1.t

{小

A.{1,2,3}B.2>1C.|x|log2x>0}D.

2.已知Q,beR,a-3i=(b-i)i(i为虚数单位)，贝!j()

A.〃=1,b=—3B.a=—1,b=3

C.Q=—1,b=—3D.a=l,b=3

（2b

3.已知。力eR.贝广a>0且〃>0"是“一+—22”的（)

ba

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2

4.已知双曲线C：?-必=1下焦点和上焦点分别为耳，F2,直线y=x+m与C交于A,8两点，若

鸟面积是；6A3面积的4倍，则〃?=（）

10-10

A.3B.-3C.—D.—

33

5.猜灯谜是中国元宵节特色活动之一.已知甲、乙、丙三人每人写一个灯谜，分别放入三个完全相同小

球，三人约定每人随机选一个球（不放回），猜出自己所选球内的灯谜者获胜.若他们每人必能猜对自己

写的灯谜，并有5的概率猜对其他人写的灯谜，则甲独自获胜的概率为（）

1111

A—B.—C.—D.-

2418126

6.若函数〃龙）使得数列4=/（〃），〃eN*为递减数列，则称函数7（%）为“数列保减函数”，已知函

数〃x）=lnx—依为“数列保减函数”，则。的取值范围（）

A.[in3,+oo)B.(In2,+ao)c.[1,+co)D.(0,+oo)

「什，c42+2cos26r-3sin26r/

7.若tan2a=—,则----------------=()

31—cos2a

A.-工或21

B.—2或gC.2D.——

22

8.已知函数〃x）=log2（4，+16）-x-2,若“a—l）N/（2a+l）成立，则实数a的取值范围为（）

A.(f-2]B.(—00?—2]l[0,4-oo)

4

D.(-oo,-2]—,+00

3

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

9.下图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是（）

O1.52^3.54.55.56.57.5O2,53.54.55.56.57.58.5

甲乙

A.样本乙的极差一定大于样本甲的极差

B.样本乙的众数一定大于样本甲的众数

C.样本甲的方差一定大于样本乙的方差

D.样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数

IJIJI\[71\

10.已知函数"x）=sin（2九+。）一彳＜。＜彳，则/（九）在区间二二上为减函数的充分条件是

)

TT

A.（p=——B.）⑴的图象关于直线％二—对称

36

C./（X）是奇函数D."X）的图象关于点对称

11.已知不相等的实数。，力满足而＞0,则下列四个数。，b,q芋，J瓶经过适当排序后（）

A.可能等差数列B.不可能是等差数列

C.可能是等比数列D.不可能是等比数列

12.设直线系尤cos*+ysin"9=l（其中0,加，〃均为参数，0＜夕＜2兀，m,Tie{1,2}）,则下列命

题中是真命题的是（）

A.当根=1,〃=1时，存在一个圆与直线系M中所有直线都相切

B.存在"z,〃，使直线系M中所有直线恒过定点，且不过第三象限

C.当机="时，坐标原点到直线系M中所有直线的距离最大值为1,最小值为巫

2

D.当m=2,〃=1时，若存在一点A（a,O）,使其到直线系M中所有直线的距离不小于1,则aWO

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.抛物线V=以口/0）上的一点P（-1,4）到其准线的距离为.

14.己知函数/（%）=%3+依2+陵+〃在］=_］处有极值g,则/⑴等于.

15.杭州第19届亚运会是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格

的国际综合性体育赛事.本届亚运会徽宝由上下两方玉玺组成（如图一），上方以杭州城市文化代表（钱

塘潮和杭州奥体中心体育场）为主体元素（如图二），，若将徽宝上方看成一个圆台与两个圆柱的组合体，

其轴截面如图三所示，其中两个圆柱的底面直径均为10,高分别为2和6；圆台的上、下底面直径分别为

8和10,高为2.则该组合体的体积为.

uU/工叫1U111L

16.已知弓名是空间单位向量，=105。，若空间向量q满足eq=1,a-e2=42,且对于任意

ifirir।.riitr।II

x,yeR,都有卜一（和+四2）月。一（%4+%02）尸（其中知%eR）,则眄=.

四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.在A5C中，内角A5C所对的边分别为。，4c,满足6（b+a）=c2.

（1）求证：C=2B-

（2）若.ABC为锐角三角形，求2sinC+cos3-sinB的最大值.

18.已知5〃为数列｛q｝的前〃项和，满足+J%-l（〃eN*）,且%,。2，%，。4，。5成等比数列，当

”之5时，an>0.

（1）求证：当”之5时，｛6J成等差数列；

（2）求｛4｝的前"项和S”.

19.某教育教研机构为了研究学生理科思维和文科思维的差异情况，对某班级35名同学的数学成绩和语文

成绩进行了统计并整理成如下2X2列联表(单位：人):

数学成绩良好数学成绩不够良好

语文成绩良好1210

语文成绩不够良好85

(1)能否有95%的把握认为该班数学成绩与语文成绩有关？(计算结果精确到0.001)

(2)从该班的学生中任选一人，A表示事件“选到的学生数学成绩良好”，B表示事件“选到的学生语文

成绩良好”，隅今与短卷的比值是文、理科思维差异化的一项度量指标，记该指标为凡

P(3|A)P(耳IZ)

⑴证明:

P(B|A)P(B|A)

(ii)利用该表中数据，给出P(@A),P(同Z)的估计值，并利用⑴的结果给出R的估计值.

附：—n{ad-bc^----

(a+))(c+d)(a+c)(6+d)

P(K2>k)0.0500.0100001

k3.8416.63510.828

20.如图，在四棱锥P—ABC。中，底面ABCD是正方形，侧面侧面？AB,歹为8。中点，E

是上的点，PA=PD=2,PALPD.

(1)求证：平面上4D_L平面ABCD；

(2)若二面角石―。尸—A的余弦值为生叵，求石到平面尸的距离

11

22

21.已知圆G：/+,2=1和椭圆c,：=+A=i(a〉6〉o),椭圆的四个顶点为4&Bt,B2,如

ab

图.

(1)圆6：必+丁2=1与平行四边形A层44内切，求6+4片的最小值；

(2)已知椭圆的内接平行四边形的中心与椭圆的中心重合.当°,b满足什么条件时，对。2上任意一点

P,均存在以尸为顶点与C1外切，与。2内接的平行四边形？并证明你的结论.

22.己知函数/(x)=/?lnx,g(x)=x2+ax(其中a,b为实数，且6>0)

(1)当°=一1时，/(X)Wg(x)恒成立，求6；

(2)当〃=2时，函数G(x)=/(x)—g(x)有两个不同的零点，求a的最大整数值.(参考数据：

In-«0.223)

4

2023-2024学年度下学期高三第一次模拟考试试题

数学

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.已知集合”={12*4},且A3=A,则集合B可以是（）

2

A,{1,2,3}B.|x|x>1|C.|x|log2x>0}D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据AB=A可得出AoB,显然A错误，并且可求出瓦的集合，然后即可得出正确的

选项.

【详解】QAIB=A,:.A^B,且4={1,2,3,4},故选项A错误；

W炉>1}={削x<—1或x>l},故选项B错误；

{x|log2x>0}={x|x>l},故选项C错误；

{%|2*>1}={刀|%>0},故选项D正确.

故选：D.

2.已知a,AeR,。-3i=（A—i）i（i为虚数单位），贝|（）

A.a=l,b=—3B.a=—1,b=3

C.a=—l,b=—3D.a=l,b—3

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数相等与复数乘法运算可解.

【详解】因为a—3i=S—i）i=l+历,

所以a=l,b=-3.

故选：A

ab

3.已知。力eR.贝!|“a>0且6>0”是“一+—22”的()

ba

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求出结果.

【详解】当。>0且〃>0时，->0,->0,所以巴+2N2，F=2,当且仅当q=即时取等

babaaba

号

Z7h

所以由a>0且6>0可以得出一+—22,

ba

nh

显然，当Q=/?=-2,有一+—22成立，但得不出〃>0且〃>0,

ba

ab

所以“〃>0且人>0”是“一+—22”的充分而不必要条件，

ba

故选：A.

2

4.已知双曲线c：《-必=1的下焦点和上焦点分别为耳，F],直线y=x+m与C交于A,8两点，若

月A3面积是6A3面积的4倍，则机=()

c1010

A.3B.—3C.—D.——

33

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角形面积比转化为焦点到直线A3的距离之比即可得解.

2

【详解】由C:g—/=1可知,可(0,—2),每(0,2),

、^-x2=l_

联立<3，消兀得：2d—2nu+3—根2=o,

y=x+m

则△=4根2—8(3—根2)>o,即加2>2，

由.aA3面积是：面积的4倍可知，工到直线AB的距离是月到直线AB距离的4倍，即

\2-m\_\2+m\

化简可得15m2+68m+60=0，即（3加+10）（5m+6）=0,

解得〃2=-3或加=—1（舍去），

35

故选：D

5.猜灯谜是中国元宵节特色活动之一.已知甲、乙、丙三人每人写一个灯谜，分别放入三个完全相同的小

球，三人约定每人随机选一个球（不放回），猜出自己所选球内的灯谜者获胜.若他们每人必能猜对自己

写的灯谜，并有［的概率猜对其他人写的灯谜，则甲独自获胜的概率为（）

1111

A.——B.——C.—D.-

2418126

【答案】C

【解析】

【分析】根据条件，利用古典概率、互斥事件和相互独立事件的概率公式，即可求出结果.

【详解】记事件A：甲独自获胜,

因为每人随机选一个球（不放回），用（x,y,z）表示甲、乙、丙选到谁写的灯谜，有（甲，乙，丙），（甲,

丙，乙）,

（乙，丙，甲），（乙，甲，丙），（丙，乙，甲），（丙，甲，乙），共有6种选法,

又因为每人必能猜对自己写的灯谜，并有4的概率猜对其他人写的灯谜,

2

当甲选到自己写的灯谜，乙、丙选到对方写的灯谜时，甲独自获胜的概率为

o2224

当甲选到乙写的灯谜，乙选到丙写的灯谜，丙选到甲写的灯谜时，甲独自获胜的概率为

n11,,1、八1、1

Pj=-X—x（l——）x（1——）=——，

2622248

当甲选到丙写的灯谜，乙选到甲写的灯谜，丙选到乙写的灯谜时，甲独自获胜的概率为

n11

P-.=-x—乂(1--)x(1--)=—

3622248

1111

所以P（A）--1---1--=-

24484812'

故选：C.

6.若函数八％）使得数列4=/5）,〃eN*为递减数列，则称函数八％）为"数列保减函数”，已知函

数〃x）=lnx—依为“数列保减函数”，则。的取值范围（）

A.[ln3,+<x>)B.(in2,+oo)C.[1,+<»)D.(0,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】易知/(n+1)</(")对任意的“eN*恒成立，参变分离即可求解.

【详解】由题可知/(n+1)</(〃)对任意的〃eN*恒成立，

即a〉In11+，)对任意的“eN*恒成立，

因为t=\-\—在“21时单调递减，y=In?在r>0时单调递增,

n

二.y=In]Id—j在时单调递减,

「In1+：在

n=\时取最大值，且最大值为In2,

:.a>ln2.

故选：B.

一H八4।2+2cos2a—3sin2a/、

7.若tan2a=—,则------------------=()

31-cos2a

1„i1

A.一一或2B.—2或7C.2D.一一

222

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知条件，利用正切的二倍角公式求出tana,再利用正余弦二倍角公式和同角三角函数的商数

关系化简要求值的式子，带值计算即可得到答案.

力.入42tana4

【详解】tan2a=-n-------^―=—ntana=一或一2,

31-tanor32

2+2cos2a-3sin2a

1-cos2a

2+2(2cos2a-l)-6sinacosa

l-(l-2sin2a)

4cos2。一6sinacos。

2sin2a

2-Stance

一

tan2a

代入tana求得值均为：2.

故选：C.

8.已知函数〃x)=log2(4，+16)-x-2,若/(a—l)2/(2a+l)成立，则实数a的取值范围为()

A.(-oo,-2]B.(-OO,-2]U[0,H^O)

4

D.(-co,-2]—,+00

-苗3

【答案】C

【解析】

【分析】构造函数g(%)=/(%+2),判断g(x)的奇偶性，再利用导数讨论其单调性，然后根据单调性将

不等式去掉函数符号即可求解.

【详解】记g(x)=/(x+2)=log2(4'+2+16)—x—4,xwR,

x+2

4ln414%+2一16

令g'(x)==0,解得％=0,

(4r+2+16)ln2-4,+2+16

当x>0时，g'(x)>0,g(x)单调递增,

当x<0时，g'(%)<0,g(x)单调递减.

因为g(-%)=log2(4-*+2+i6)+x—4=log2―L——\+x-4

A+2

=log2(4+16)-x-4=g(x),

所以g(x)为偶函数.

所以/(a-l)>/(2a+l)<t>/(a-3+2)>/(2a-l+2)<t>g(a-3)>g(2a-l),

又g(x)在(O,+“)上单调递增，

所以|a—31212a—1|,即3a2+2a—8<0,解得—

故选：C

【点睛】方法点睛：抽象函数不等式问题主要利用单调性求解，本题需结合奇偶性，并利用导数研究单调

性进行求解.

二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

9.下图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是（）

A.样本乙的极差一定大于样本甲的极差

B.样本乙的众数一定大于样本甲的众数

C.样本甲的方差一定大于样本乙的方差

D.样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数

【答案】BD

【解析】

【分析】根据数据分布的最小值和最大值可判断极差，从而判断A；根据众数、方差、中位数的概念，并结

合图象可判断BCD.

【详解】对于选项A：

甲的数据介于［1.5,7.5］之间，极差小于或等于6；乙的数据分布于［2.5,8.5］,极差小于或等于6；从而甲和乙

的极差可能相等，故A错误；

对于选项B：

根据频率分布直方图可知，甲的众数介于［2.5,5.5）之间，乙的众数介于（5.5,6.5］,故乙的众数大于甲的众

数，B正确；

对于选项C：

甲的数据平局分布，乙的数据分布波动较大，故甲的方差小于乙的方差，故C错误；

对于选项D：

对于甲，各组频率依次为：0.15,0.20,0.20,0.20,0.15,0.10,因为前两组频率之和

0.15+0.20=0.35<0.5,前三组频率之和0.15+0.20+0.20=0.55>0.5，故中位数位于［3.5,4.5）之间;

同理，对于乙，各组频率依次为：0.05,0.10,0.15,0.50,0.20,0.15,前三组频率之和

0.05+0.10+0.15=0.3<0.5,前四组频率之和0.05+0.10+0.15+0.50=0.8>0.5,故中位数位于

[5.5,6.5)之间，所以乙的中位数大于甲的中位数.故D正确.

故选：BD.

/JIJIAn7i

10.已知函数/(x)=sin(2x+。)[一»＜。＜耳)，则/(＞)在区间上为减函数的充分条件是

()

71TT

A.(D=------B.fW的图象关于直线x=—对称

36

fM的图象关于点,0)对称

C.7(x)是奇函数D.

【答案】BD

【解析】

【分析】根据条件，利用正弦函数的性质得到函数了(幻,再利用正弦函数的单调性判断.

TTJI71717C[7n1\

【详解】A.当夕=一3时，/(x)=sin(2x——),由xe,得2%—€I0,—I,因为y=sin%在

333

0,。上递增，故错误;

TTTTTC7T

B.若〃尤)的图象关于直线％二一对称，则2x—+0=左》+—,左wZ,解得夕=左"+—取

6626

TCitt0/、./cTC、

夕=一，则/(x)=sin(2x+—),

66

兀n71715万715〃

由xe,得2%H--E，因为y=sinx在上递减，故正确;

6万'不2,~6

7171

C.若/(x)是奇函数，则0=左不左eZ,取夕=0,则/(x)=sin2x,由xe，得

兀2〃712万

2xe，因为y=sinx在不单调，故错误;

3丁

5万5乃

D.若/(x)的图象关于点对称，则2、不+夕=左》,左eZ,解得0=k%—可，keZ,取

63

JITT

0=W，则/(X)=sin(2x+-),

7127r因为y=sinx在万）上递减，故正确;

由xe得2x+]d3K

故选：BD

11.已知不相等的实数。，b满足而>0,则下列四个数口，b,gLJ法经过适当排序后（）

A.可能是等差数列B.不可能是等差数列

C.可能是等比数列D.不可能是等比数列

【答案】AD

【解析】

【分析】根据基本不等式的性质，结合等差数列、等比数列的性质进行判断即可.

【详解】不相等的实数a,b满足必>0,不妨设

当a>6>0时，显然有。>巴心>J法>人，要想构成等差数列，则有：

2

a+b=-+yfab=>a+^=y/aba=b,这与矛盾，因此不能构成等差数列，

22

若能构成等比数列，则有ab="2.踊=竺2=M=a=b,这与矛盾，因此不能构成等比

22

数列，

当0>a>b时，^/ab>a>>b,

2

要想构成等差数列，则有：a+^=4ab+b^b=9a^b=a（舍去），

2

要想成等比数列，则有：因为J法>0,a,"2力<0这是不可能的，因此不能构成等比数列，

2

故选：AD

12.设直线系尤cos"'，+ysin"，=l（其中0,〃均为参数，0<6><2兀，m,/ie{l,2}）,则下列命

题中是真命题的是（）

A.当加=1,”=1时，存在一个圆与直线系加中所有直线都相切

B.存在小使直线系M中所有直线恒过定点，且不过第三象限

C.当机=〃时，坐标原点到直线系M中所有直线的距离最大值为1,最小值为正

2

D.当m=2,〃=1时，若存在一点A（a,0）,使其到直线系〃中所有直线的距离不小于1,则aWO

【答案】ABD

【解析】

【分析】A选项，设x2+y2=i,圆心（0,0）到直线“：xcose+ysin6=l的距离等于1,故满足要求；B

选项，直线〃：xcose+ysin6=l恒过（1,1）,结合直线的斜率存在和不存在两种情况，得到直线

M:尤cos2e+ysin26=1不过第三象限；C选项，得到加=72=1和巾=〃=2,得到原点到直线距离的范

围；D选项，由题意得到不等式，得至乂4―l）cos26»2a—1,分4_1=0,4―1>。和片一1<0三

种情况，得到不等式，求出答案.

【详解】A选项，当根=1,〃=1时，M:xcos0+ysin0=l,

设圆为x2+V=i,则圆心（（J,。）到直线M：xcos6+ysin，=l的距离d=，=M^==l,故

Vcos2e+sin?0

2

M:xcos0+ysin6=l与Y+-y=1总相切，A正确；

B选项，当机=〃=2时，M:xcos2+ysin23=1,

由于cos20+sin2，=1，故直线M:xcos2夕+ysii？8=1恒过(1,1),

若sin6=0时，直线为=

若Sin。W0时，直线无cosZO+ysin?*：!的斜率为一笑二40,

sin0

故直线M:xcos20+ysin20=1不过第三象限，

所以存在徵，n,使直线系M中所有直线恒过定点，且不过第三象限，B正确;

C选项，当加=〃=1时，M'.xms0+ysmO=l,

111

坐标原点到直线系M的距离为4=,"==1,

Vcos26>+sin26(

当当机=〃=2时，M:xcos20+ysin20-1,

111

坐标原点到直线系M的距离为4=/J=

Vcos8+sin0

其中cos46+sin46=cos20cos20+sin28sin26Vcos20+sin26=1，

111

故豆二I~~jl-'IC错误.

Vcos40+sin40

D选项，当根=2,〃=1时，M:xcos2^+ysin^=l,

/、Leos2^-11

点A(〃,0)到直线系M中所有直线的距离4=J」>1，

Vcos4+sin20

化简得(a2—l)cos2922a—1恒成立，

由于cos?[0,1],

若"_1=0，解得〃=±1,

当々=1时，021,不合要求，舍去，

当。=一1时，0之一1,满足要求，

若/_1>0，即或a<—1,此时(a2—l)cos2。的最小值为0,

则022。一1,解得故此时。<一1,

2

若/_1<0，即此时(/T)cos261的最小值为片一1，

则"一122々一1，解得或aWO,故此时一l<a<0,

综上，a<0,D正确.

故选：ABD

【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法，使不等式

一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条

件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两

个函数图像确定条件.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.抛物线/=以(。wo)上的一点网―1,4)到其准线的距离为.

【答案】5

【解析】

【分析】根据点P在抛物线上求出。，再根据抛物线的性质求出其准线方程，从而可求尸到准线的距离.

【详解】1,4)在y=中上,

a=16,即a=-16,

•••抛物线为必=—I6x,其准线为尤=4,

则P(—1,4)到准线的距离为4—(—1)=5.

故答案为：5.

14.已知函数/(X)=三+依2+法+/在产_]处有极值g,则/⑴等于.

【答案】-4

【解析】

【分析】求导，即可由/(—1)=8且/'(—1)=0求解a］，进而代入验证是否满足极值点即可.

【详解】(x)=3x2+lax,+b,

若函数/(%)在x=—1处有极值8,则/(T)=8,/'(—l)=。,即=8,

解得：〃=3*=3或〃=-2,b=-7,

当。=3乃=3时，/'(耳=3%2+61+3=3。+1)220,此时％=—1不是极值点，故舍去；当a=—2/=—7

时，/'(%)=3*-4%-7=(3x-7)(x+l),

77

当或％<—1时，r(%)>0,当—l<x<§,/'(x)<0,故x=—1是极值点，

故a=—23=-7符合题意，

故/(%)=兀3-2/-7x+4,

故/⑴=4

故答案为：—4.

15.杭州第19届亚运会是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格

的国际综合性体育赛事.本届亚运会徽宝由上下两方玉玺组成(如图一)，上方以杭州城市文化代表(钱

塘潮和杭州奥体中心体育场)为主体元素(如图二)，，若将徽宝上方看成一个圆台与两个圆柱的组合体，

其轴截面如图三所示，其中两个圆柱的底面直径均为10,高分别为2和6；圆台的上、下底面直径分别为

8和10,高为2.则该组合体的体积为.

■

图1

.,722兀

【r答A案］二一

【解析】

【分析】根据条件，利用柱体和锥体的体积公式，即可求出结果.

【详解】因为两个圆柱的底面直径均为10,高分别为2和6,

所以两个圆柱的体积分别为X=S/z=7rx25x2=507r,V2=S/z=TTX25X6=150兀,

又圆台的上、下底面直径分别为8和10,高为2,

1JT122冗

所以圆台的体积为匕=§兀〃片+和+片)=§义2义(16+20+25)=下一，

所以该组合体的体积为V=50兀+150兀+--=-

UU/工叫Iu111L

16.已知色心2是空间单位向量，=105。，若空间向量a满足eq=1,a.4=正,且对于任思

ifITir।,rITtr।II

x,yeR,|a-(xet+ye2)|>|a-(xoet+y0e2)|=1(其中如%eR),则眄=.

【答案】^5

【解析】

【分析】首先分析题意，由〈华02〉=105°结合空间向量数量积定义求解e/02的值，进行下一步化简得

出则当x=x0,y=%时，,―(xG+ye?)]取得最小值，得到x=i—巫万^y，多次求解二次函数最值

可得答案.

【详解】因为〈9,02〉=105°且两者均为单位向量，所以q•02=同・k2]9059，02

oooOOOO

=cos105=cos(45+60)=cos45xcos60-sin45xsin60-4

又因为对于任意的X，yGR,都有a—(x,+ye2)>a-(^xoe1+yoe2^=1,

则当x=%,y=%时，,一(XG+ye2)|取得最小值，

则当[—(xq+yq)+yG)~2aixe1+ye2]

22?-A/6

=a+x+y+----------xy-2x-2y[2y，

2

令〃x)=f+y_2x+y1-lyfly,

由二次函数性质得当.1一丁三/一逑产y-L

4

令g(y)=^^y2-^^y-i，同理8。%丁-,即1m=-4,

故同2—4=1=＞同=也,

故答案为：7?

【点睛】关键点点睛：本题考查求空间向量，解题关键是找到方程，然后用主元法视为二次函数，多次求

最值即可.

四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.在中，内角所对的边分别为。，4c,满足b(b+a)=c2.

(1)求证：C=2B；

(2)若ABC为锐角三角形，求2sinC+cos5-sinB的最大值.

【答案】(1)证明见解析

⑵U

8

【解析】

【分析】(1)根据条件及余弦定理得到b=a-2bcosC,再利用正弦定理边转角得到

sin8=sinA—2sin8cosc，借助三角恒等变换公式化简即可得出结果；

(2)利用一ABC为锐角三角形，得到四＜8＜乌，再令f=0sin(£-3),将问题转化成求

644

y=一2"；)+］在fe(0,与当上的最值，即可求出结果.

小问1详解】

因为/?("+〃)=(?,gpc2=b2+ab^由余弦定理02=廿十02_2abeosC，

得到"=a?—2abcosC»即b=Q—2Z?cosC,

所以sinjB=sinA-2sin5cosC,

又sinA=sin(7i-B-C)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以sin3=sinBcosC+cosBsinC-2sinBcosC=cosBsinC-sinBcosC=sin(C-B),

又5Ce(0,7i),得到3=C—3或5+C—5=兀(舍)，所以C=25,命题得证.

【小问2详解】

由(1)知C=23,所以2sinC+cos3-sin3=2sin25+cos5-sin5,

令方=cosB—sinB=夜sin(工-B),

7C

0<C=2B<-

2

JIJIJT

又因为—ABC为锐角三角形，所以0<C<—，得到一<B<一,

264

兀

0<A=n-3B<-

[2

济I、1兀R/—(C\兀、▽,兀•,兀兀、・兀兀71-71\/2

加以二一6e(U,—),Xsm-=sm(-----)=sin—coscos—sin—=--------，

412123434344

所以/e(0,号」)，又sin2B=l-(cosB-sinB)2=l-r,

117

所以2sinC+cosB—sinB=2(l-产)+，=-2/+r+2=-2(f--)2+—,

48

117

所以当/=—时，2sinC+cos3—sin8取到最大值为一.

48

18.已知S”为数列｛qj的前〃项和，满足S“+；%-l(”eN*),且％,。2，。3，。4，。5成等比数列，当

”25时，«„>0.

(1)求证：当”之5时，｛%,｝成等差数列；

(2)求｛%,｝的前〃项和Sn.

【答案】(1)证明见解析；

"l-(-l)n,l<«<4,zieN*

⑵S”=<1,5*.

—712—n+2,n>5,neN

122

【解析】

【分析】⑴利用4+i=S〃+i—S”得到a,和%的关系即可证明；

⑵结合(1)中结论得4+1+%=0(nK5),求出外和公比，得到｛%｝通项公式，从而根据等差和等比数列前

”项和公式即可求解.

【小问1详