数学必修4-第二章-平面向量知识点

数学必修4第二章平面向量知识点

2.1平面向量的实际背景及根本概念

1.向量：既有大小又有方向的量。

2.向量的模：向量的大小即向量的模（长度〕，如的模分别记作和|。|。

注：向量不能比拟大小，但向量的模可以比拟大小。

3.几类特殊向量

⑴零向量：长度为0的向量，记为0,其方向是任意的，。与任意向量平行，

零向量5=0oIaI=0o由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关

向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别〕

⑵单位向量：模为1个单位长度的向量，向量说为单位向量U"ol=l。将一个向量除以它

_a

的模即得到单位向量，如。的单位向量为：”而

⑶平行向量（共线向量〕：方向相同或相反的非零向量，称为平行向量.记作途。

规定：°与任何向量平等，

任意一组平行向量都可以移到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移（即自由向

量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在

必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中

的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。

14〕相反向量：与N长度相等、方向相反的向量，叫做g的相反向量。记作-a。

关于相反向量有：①零向量的相反向量仍是零向量，②-（-0）=,；③。+（-。）=0；

④假设,、B是互为相反向量，那么B=-乙G+B=0。

（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量。记为彳=石。相等向量经过平移后总可以重

合。

ba-b

AaR

2.2平面向量的线性运算

1.向量加法

11〕定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法。

^AB=a,BC=b,+b=AB+BC=AC0

规定：0+a=a+0=a；

(2)向量加法的法那么一"三角形法那么”与“平行四边形法那么”

①用平行四边形法那么时，两个向量是要共始点的，和向量是

始点与向量的始点重合的那条对角线。

②三角形法那么的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指

向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和。

注：当两个向量的起点公共时，用平行四边形法那么；当两

向量是首尾连接时，用三角形法那么。

向量加法的三角形法那么可推广至多个向量相加：

AB+BC+CD++PQ+QR=AR,但这时必须“首尾相连”。

(3〕向量加法的运算律：

①交换律：a+b=b+a②结合律：(a+»+c=a+(a+c)

2.法向量的减

(1)定义：假设a+x=匕那么向量了叫做a与b的差，记为b-a。求两个向量差的

运算，叫做向量的减法。

(2)向量减法的法那么一"三角形法那么”与“平行四边形法

那么“b

①三角形法那么：当a,〃有共同起点时，a-b表示为从减向量彼的

终点指向被减向量3的终点的向量。

②平行四边形法那么：两个向量是要共始点的，差向量是如下图的对角线。设

3.实数与向量的积

(1)定义：实数人与向量G的积是一个向量，记作4a,它的长度与方向规定如下:

①I羽=4卜同；

②当几>0时，的方向与云的方向相同；当2<0时，X。的方向与行的方向相反；当

2=0时，Aa=Q,方向是任意的。

(2)数乘向量的运算律

①2(〃a)=(2〃)a；(2)(2+ji/)a=Aa+pia；(3)A(a+b)=Aa+2bo

2.3平面向量的根本定理及坐标表示

1.平面向量根本定理：如果I，l是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量

有且只有一对实数入2使

注意：(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

2.向量的夹角：两个非零向量G作OX=G,OB=b,那么NA0B=8,叫向量M、B的夹角，

当8=0。，a>B同向，当6=180。，a>B反向，当8=90。，万与B垂直，记作NJ_B。

3.平面向量的坐标表示:在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量

作为基底，由平面向量的根本定理知，该平面内的任一向量a可表示成a=刀+力，由于a

与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y),其中x叫作a

的横坐标，y叫做作纵坐标。

规定：

①z=(l,0),j=(0,l)

②相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；

③向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位

置有关

4.平面向量的坐标运算:

①假设a=(%,％))=(%2，%)，那么a土匕=(石±刈,％士%);

②假设4m,%),夙了2，%)，那么45=(无2-石，%-%)；

③假设a=(x,y),那么Xa=(4x,2y)；

④彳段设a=(%,%),/?=(9,%)，那么a〃人_X2%=0；。,6;千々+%%

⑤假设a=(%,%),/?=(/,%)，那么。=〃=芯=x2,y1=y2

附：向量的表示方法：

1.几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如懑，注意起点在前，终点在后；

4.2.符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如Zb,展等；

5.3.坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量1,

)为基底，那么平面内的任一向量。可表示为a=x『+y/=(x,y),称(x,y)为向量a的坐

标，a=(x,y)叫做向量。的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量

的终点坐标相同。

运算向量形式坐标形式：a=(%1,)；

b=(x2,乃)

加法<1>平行四边形法那么：起点相同，

。+/?=(%+%2，%+%)

对角线为和向量。

<2>三角形加法法那么：首尾相连。

记：AB+BC=AC

减法起点相同的两个向量的差，(箭头

。一万=(药_%2，芳一%)

指向被减向量)

记：OA-OB=BA

AB-AC=CB

数乘

而是一个向量，|/La=|X||a|Aa-(招,办)

方向：2>0时，与Q同向；2<0时，

与「反向；4=0时，Aa=0

数量积

d-b二|a||b|cos9d-b=xlx2+y1y2

运算性①交换律：a+b=b+a；②结合律：d+b^+c=a+b+c^；③

质

。+0=0+〃=〃o

加法:

a+i=AB+BC=AC

减法

c

b

A

AC-eB。

a5

2.4平面向量的数量积

(1)平面向量的数量积的定义

①向量［3,的夹角：两个非零向量［3,过0点作了=7OB=b,那么NAOB=0(0°

W9W180°)叫做向量［3,的夹角。当且仅当两个非零向量［3同方向时，9=0°,

当且仅当覆3反方向时。=180°,同时。与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。

②法防垂直；如果23的夹角为90°那么称3与9垂直，记作［，九

③a与。的数量积：两个非零向量〃,b,它们的夹角为。，那么〃•〃,cose叫做称a与3的数

bb

e0

p

opa0a

量积（或内积），记作。•/?,即〃・〃二。•b-cos。，规定0・〃二0非零向量法拓当

当aJJ?时,0=90°,这时a•/?=()。

④3在之方向上的投影：OP=|&|cos6>(=^)eR(注意|0日是射影〕所以，鼠1的几何意

a

义：鼠Z等于〉的长度与右在々方向上的投影的乘积。

(2)平面向量数量积的性质

设是两个非零向量，e是单位向量，于是有：①e-a=a-e=p|cos^；②a_l_B0a£=0；

―►—*—►--►—*—►―—►—-►—►­►-►>■I-►12

③当a与。同向时，a-b=a-b；当a与。反向时，a-b=-a-b,特别地，a-a=a2=a

@cos0=T^~⑤)a-bWa-b

a-b\

⑶平面向量数量积的运算律

①交换律成立：=Va②对实数的结合律成立：“4'5=41£)=。-(，仍卜6尺)

③分配律成立：(a+l)j-c=a-c+b-c=c-(a+b^

特别注意：(1)结合律不成立：•勾•<:；(2)消去律不成立=a-c不

能得到B=c-(3〕a-b=Q不能得到a=6或2=0

「7卜一、-2-2-2-2

④但是乘法公式成立：\a-\-bj'\a-bj-a-b=a-b

Af\2-2一--2|f|2一一-2

(Q土以=a±2〃./?+/?=a±2a-b+b

(3)平面向量数量积的坐标表示

①假设a=(xi,y),3=(x2,yz)那么a•3=XiX2+yiy2

②假设a=(x,y),那么\a\2=a.a=x2+y2,a=卜+/

③假设A(xi,yi),B(x2,y2),那么|AB|=｛七一xj?+(为一%\

④假设a=(xbyi),b=(x2,y2)那么OA1x^2+必为=°(注意与a1/b时条件区别，

allb=xxy2-x2yr=0)

a=(x“),b=(x,y)cos

彳段设yi22那么。=,斗0+^1=

4+才心+4

2.5平面向量应用列举

1、线段的定比分点

(1)定义：设P1,P2是直线L上的两点，点P是L上不同于匕尸2的任意一点，那么存在一

个实数4,使P1P=，2

叫做点P分有向线段