2023-2024学年重庆市北碚区高一年级下册3月月考联考质量检测数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年重庆市北倍区高一下学期3月月考联考质量检测数学

模拟试题

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；

4.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

2

1.复数l+3i的虚部为（）

3

A.5B.5C.5D.5

2.已知两点，（4」>8（7，-3）,则与向量次同向的单位向量是

()

A.〈IOB.HlcHD.修同

3.如图，在正方形/BCD中，下列命题中正确的是（）

凶

口困=|叫

A.AB=BCB.AB=CDc.~AC=42AB

三-上=1,

4.已知复数z满足Ji1+i,贝厂=（）

A.-2+iB.-2-iC.2+iD.2-i

AA=——.

5.在边长为1的菱形/BCD中，3,若点P,。满足8尸=aBC,DQ=/3DC,其中

a,〃>°且"+4=1,则而的最大值为（）

2127

A.2B.3C.8D.4

6.在“Be中，C=90。，点。在上，AD=3DB,\CB\=\则而•丽=（）

A.8B.10C.12D.16.

7.在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点.点户从原点出发，在坐标平面内跳跃行

进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处.则点尸到达点2（33,33）所跳跃次数的最小值是（）

A.9B.10

C.11D.12

8.已知平面内一正三角形N3C的外接圆半径为％在三角形/3C中心为圆心为半径

的圆上有一个动贝小I最大值为（）

A.13B.屈C.5而D.而+6

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复平面内表示复数：z=7〃+l+（7"-l）i（7〃eR）的点为“，则下列结论中正确的为（）

A.若zeR,则切*1B.若知在直线、=2x上，则加=3

C.若z为纯虚数，贝旷”=-1D.若河在第四象限，则T〈戒1

10.已知复数4=2-i,z?=2i,贝（）

A.Z2是纯虚数B.4-Z2对应的点位于第二象限

Q_|+z21=5D.|平2|=27^

11.已知“3C中，/5=1,/C=4,2C=VH,D在8c上，NO为/3/C的角平分线，E为

NC中点，下列结论正确的是（）

A.BE=C

B.03c的面积为百

s4收

AD=----

C.5

D.尸在一瓦?的外接圆上，则依+2尸E的最大值为2疗

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量1=⑶有，则与a同向的单位向量为.

cosAcosBsinCsinC

----1----=---------

13.在中，内角/、B、C的对边分别为a、b、c,满足°bc,则sin/sinB

14.在中，角48,C的对边分别为已知a=2,bcosC-ccosB=4,4--3,

则tan/的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在锐角08C中，已知6=2G,2a-c=2bcosC

⑴求8；

⑵求3。+2c的取值范围.

16.在复平面内复数4/2所对应的点为Z”Zz,o为坐标原点，i是虚数单位.

⑴生=1+2i,药=3-4i,计算平2与OZJOZJ；

⑵设4=a+历，Z2=c+di(a,b,c,dGR)求证1°Z"Z2kHz并指出向量。4，%满足什么

条件时该不等式取等号.

17.设0BC的外接圆半径是5'4c均为锐角，且附=网2+忸

⑴证明："3C不是锐角三角形；

(2)证明：在03C的外接圆上存在唯一的一点。，满足对平面上任意一点尸，有

|p5|2-|函2=阿『_|pc|2

18.记03C的内角4民。的对边分别为应a0,已知acosC+6“sinC-6-c=0.

(1)若a=3,28O=皮，求工。的取值范围；

⑵若6=6,点43,C分别在等边S斯的边。瓦跖,尸口上(不含端点).若S跖面积的最大

值为76，求生

19.复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等

人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.形如z="+/eR)的数称为复数，其中。称为实部，

6称为虚部，i称为虚数单位，?=-1.当6=°时，z为实数；当6#0且时，z为纯虚数.其中

,叫做复数z的模.设4=a+6i,Z2=c+"i,a,b,c,deR

\a=c

,="如图，点Z（°/）,复数z=a+历可用点ZQb）表示，这个建立了直角坐标系来

表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，了轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了

原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点

和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数

\a=rcos6

z=a+〃都可以表示成«cose+ism。）的形式，即［hrsin。，其中厂为复数z的模，夕叫做复

数z的辐角，我们规定°W8<2万范围内的辐角夕的值为辐角的主值，记作argz.

厂（cos8+1sin叫做复数z=.+&的三角形式.

zi

⑴设复数vMcosa+isina),z2=(cos^+isin/?)；求句,、z?的三角形式;

其中(肛2%),求argzs+argz%

（2）设复数Z3=1-cos6+isin6=l+cos6+isine

（3）在“8C中，已知。、b、c为三个内角48,C的对应边借助平面直角坐标系及阅读材料中所

给复数相关内容，证明：

a_b_c

Q)sinAsinBsinC.

②a=6cosC+ccos5,b=acosC+ccosAfc=acosB+bcosA

注意：使用复数以外的方法证明不给分.

1.D

【分析】利用复数的除法运算法则即可求解.

【详解】由已知得

22（l-3i）2-6i13.

l+3i-（l+3i）（l-3i）-10-551

]__3.3

则复数5三的虚部为5,

故选：D.

2.C

【分析】

由平面向量的坐标表示与单位向量的概念求解,

【详解】

由4（4,1）,3（7,-3）得刀=（3,-4）（则|画=5,

与向量与同向的单位向量为

故选：C

3.D

【分析】根据正方形，利用平面向量的概念及几何意义求解.

【详解】由图可知：

A.AB^-BC,故错误；

B.AB=-CD,故错误;

C.就，方不共线，故错误；

D.I4叫故正确.

故选：D

【点睛】本题主要考查平面向量的概念及几何意义，属于基础题.

4.D

【分析】

直接将z解出来再化解即可.

【详解】

z(3+1)(1)2i

0-0=

1-il+i1-i1+i1+io+oo-o-一

故选：D

5.C

［分析］由方二圆正可得方=a而,由而=〃比可得加=£方，又a+0=l,所以

DQ=(l-a)-AB

—►—►I13

化简力•而，并根据""""一5得到万5•而一2"°a)+2,利用基本不等式得出结论.

---*,----1-TC1

4B・AD=lxlxcos—=—

【详解】由题意可得32

由BP=ccBC可得BP=ccAD,

由而=/?皮可得加=鹿

又&+£=1,所以。0=(l-a)-/B

则善.而:伊+丽)回+丽)

二(AB+aADy[/D+(]_[).4可=AB-AD+a(l-a)AD-AB+(1-6/)|^|+6ZpD|

=-+—a(l-a}+l-a+a

22v)

|2313

1“、31\a+\-a+

=/(1-6Z)+—<—I2"I"

22

当且仅当―即"3时取等号，此时

故选：C.

【点睛】如何选择“合适”的基底：题目中是否有两个向量模长已知且数量积可求，常见的可以边

所成向量作基底的图形有：等边三角形，已知两边的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等.

6.C

【分析】用刀，而表示出函，从而根据数量积的定义及题中条件C=90。和IC砌=4可求出

瓦♦丽的值.

【详解】在A/BC中，因为40=308,

---►---►----*----$.---*§----►---»I---»5---*

CD=CA+AD=CA+-AB=CA+-(AC+CB)=~CA+-CB

所以4444,

CB-CD=CB(-CA+-CB)=-CA-CB+-CB2=O+-\CBf=12

所以44444l।

故选：C.

7.B

【分析】根据题意，结合向量分析运算，列出方程求解，即可得到结果.

【详解】每次跳跃的路径对应的向量为

umuiuLUuuuu

“1=(3,4),4=(4,3),(?!=(5,0),%二(0,5),〃2=(-3,-4),打=(-4,-3),c2=(-5,0),<72=(0,-5)

UUIUIU

因为求跳跃次数的最小值，则只取为=(3,4),可=(4,3),q=(5,0)，4=(0,5),

设对应的跳跃次数分别为。，8Gd,其中a,b,c,deN,

ULHUUUIUIU

可得O0=Q"i+bl\+ccl+dd]=(3a+46+5c,4a+36+51)=(33,33)

(3a-I-4b+5c=33

则14a+3b+5d=33,两式相加可得7(a+b)+5(c+d)=66,

[a+b=8[a+b=3

因为a+6,c+deN,则[c+d=2或[c+d=9,

[a+b=8

当[c+d=2时，则次数为8+2=10；

fa+b=3

当[c+d=9,则次数为3+9=12；

综上所述：次数最小值为10.

故选：B.

8.A

【分析】建立直角坐标系，可以表示出4瓦0的坐标，再设点cos6/sin6),即可用厂与

。表示出师+标+3国

即可求出答案.

【详解】建立如图所示坐标系,

则点/(-2,26),8(-2,-26),C(4,0),

设点M(rcosO/sin。)，且04。<2万，

贝/疝+而+3国

=J(8-5rcos6)2+25/sin20

=A/64+25r2-80rcos0

„_in_—\MA+MB+3Afc|„....

故当r-l,0-万时，|।有最大值为13

故选：A.

9.CD

【分析】

根据复数的基本概念直接判断选项即可.

【详解】对于A,若zeR,则加一1=°,得加=1,故A错误；

对于B,因为"(s+l,mT)在直线V=2x上，所以机-1=2(切+1),则加=-3,故B错误；

对于C,若z为纯虚数，则切+1=0,即帆=7,此时虚部不为0,故C正确；

Jm+1>0

对于D,若"(加+L机T)在第四象限，则解得TV戒1,故D正确.

故选：CD

10.AD

【分析】对于/选项利用复数的相关概念可判断；对于8选项结合复数的减法运算以及复数的

几何意义即可判断；对于C选项结合复数的加法运算以及复数的模长公式即可判断；对于。选

项结合复数的乘法运算以及复数的模长公式即可判断.

【详解】对于/选项,利用复数的相关概念可判断Z正确；

对于8选项，4-22=2-31对应的点位于第四象限，故8错；

对于C选项，4+Z2=2+i,则归+Z2|=VF：F=石，故c错;

对于。选项，-=(2-i)-2i=2+4i,则匕目=万百=2石，故°正确.

故选：AD.

11.ABD

【分析】利用余弦定理计算N2/C=60°,利用余弦定理计算BE,判断A；根据面积公式计算三

角形/BC的面积，判断B；利用正弦定理计算判断C；设“BE=a,用々表示出心,

PE,得出尸3+2尸E关于&的三角函数，从而得到P8+2PE的最大值，判断D.

AB2+AC2-BC21+16-131

cosABAC=

【详解】在三角形N8C中，由余弦定理2ABAC2x1x4-2,

故义=—xABxACxsin60°=—xlx4x——=

...NBAC=60°222,故B正确;

BE2=AB2+AE2-2AB-AE-cosZBAC=\+4-2x\x2x-=3

在中，由余弦定理得：2

'BE=C,故A正确;

「13+16-17..「J3

cosC=-----------^==—-^=..sinC=—-^=

由余弦定理可知：2X4X&52V13,2V13

..•/D平分/B/C,:.ZDAC=30°,

.•/e--mo\百g715

sin/41D1rCt=sin(C+30)=—1—x-----1----^=-x-=—,—

2V1322V1322V13,

ADAC

在三角形/CO中，由正弦定理可得：smC~sinZADC,

4x-i-

ACsinC2V134G

AU=-------------=------------=------

sinZADC55

故2岳,故C不正确；

BE=./l+4-2xlx2x—=^3

•••AB=1,AE=2,ZBAE=60o,V2

AB1BE,

为“BE的外接圆的直径，故A/射的外接圆的半径为1,

显然当尸2+2尸£取得最大值时，尸在优弧诩E上.

故NBPE=NBAE=60",设NPBE=a,则NPE8=120°-a,0°<a<120°,

PBPE、

----------------=-------=2

•sin(120°-a)sina

二.PB=2sin(120°-a)=V3cosa+sina,PE=2sina,

5

i~i~sin0=———COS0=­-f=

PB+2PE=V3coscr+5sin6z=2<7sin(a+^)苴中24，2A/7,

g_^_

，当a“+一5时，尸8+2PE取得最大值2々，故D正确.

故选：ABD.

12.Gt

【分析】先根据题意设出与Z同向的单位向量3=彳°(彳>°)的坐标，再根据单位向量的定义列出

关于4的方程，解出彳即可得到答案

【详解】设与£同向的单位向量*=苏（式＞°）

又5=(3,4)/.b=—(32,42)

又加为单位向量，第=1,即/(3»+(44=1,解得'一反

55

故答案为：W'R

13.1

【分析】

解法1,先用正弦定理边角互化，再用和差和诱导公式求解即可；

解法2：先用射影定理化简，用正弦定理边角互化即可求解.

_c_os_A_I__c_os_5—_s_in_C_—Sc_o_s_A_|_c_o_s_B_—_s_in_C_--«]

【详解】解法1：abcsinAsin5sinC,

cosA+cos8_cosAsinB+cosBsinA_sin(4+8)_sin(^-C)_sinC

而sinZsin5sinAsinBsinAsinBsinAsinBsinAsinB,

sinC1

-------------=1

sinZsin5.

_co_s_A__|__c_o_s_5__b__co_s_A__+_a_c_o_s_B____c

解法2:由射影定理，ababab,

cosZcos8sinCcsinCc2.「sin2C.「

-----1-----=-----——=----——=sinC-----------=sinC

又由题意，abc,abc,故ab,sin/sinB,

sinC1

.-----------=1

0<C<乃,.・.sinC>0,故sin4sinB.

故答案为：1

J_

14.2##0.5

cosB——<0

【分析】由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得C,得角

cosC_3

3为钝角，角A为锐角，所以要tan/取最大值，只要仇c取最小值，由已知条件可得一马,

£<<£

由了一c一了可得台的范围，结合余弦定理可得。的范围，从而由余弦定理可求得答案

【详解】在“8C中，因为a=2,6cosc-ccos8=4,

所以bcosC-ccosB=4=2Q,

所以sin5cosC-sinCcos8=2sin4

所以sin5cosC-sinCcosB=2sin(5+C),

所以sin8cosC-sinCcosB=2sin5cosC+2cosSsinC,

所以sin5cosC+3cosBsinC=0?

(sinBcosC+cosBsinC)+2cosSsinC=0

所以

所以sin(5+C)+2cos5sinC=0

所以sin/+2cos8sinC=0,

所以由正弦定理得〃+2CCOSB=0,

cosB=-—<0

所以c,

所以角B为钝角，角A为锐角，

所以要tan”取最大值，则A取最大值，8，C取最小值，从而6，0取最小值.

bcosC=ccosB+4=cx(——)+4=3,，cosC=—

又cb,

兀/o兀1”“收

—<C<——<cosC<——<——

由43,得22262,

372<6<6,

cosB---------------——,/=8,/.s/10«c«2-\/7,tanA

由2acc取最大值时,b=3A/2,C=V10

62+C2-218+10-42港

cosA=

此时由余弦定理可得2bc2x3>/2xVw-5

tanA=./----：-----1=-J_

从而求得,cosN2,即tanA最大值为2.

故答案为：2

7T

15.(I)3

⑵(14,4呵

【分析】

(1)利用正弦定理边化角，再借助三角函数和差角公式化简可解；

(2)利用正弦定理边化角，再借助辅助角公式化简求范围.

【详解】(1)由题意，2"c=26cosC,根据正弦定理可得，2sitU-sinC=2sinficosC.

则2sin(5+C)-sin。=2sin8cosC,展开可得2cosBsinC-sinC=0,

Ce(0,3，sinC主0,:.cos3=；=~

a_c_b_2A/3_彳

sinAsinCsinB百

(2)由正弦定理2,

3a+2c=12siih4+8sinC=4(3siib4+2sinC)=43siih4+2sin|—K-74|

则L13力

/、V34<71}

=4依3+氐海)=4加皿/+°),其中‘I吁后，3。=强”［叼

71/7171/71

•一<z<_—+(p<A+(p<—+(p

・••A/8C是锐角三角形，一6262

.(兀、.兀兀.7

vsml—+^z?I=sm—cos^?+cos—sm^?=-^=

74_K

显然乖<逅，当"+联5时，(3。+2加=4加

3Q+2C£(14,4^19^

16(])z/2=1l+2iOZX-OZ2=-5

(2)证明见解析，°4〃%

【分析】

（1）利用复数的乘法运算可得z必2=H+2i,再由复数的几何意义可得°乙=（1,2）,OZ2=（3,-4）,

即可计算出04OZ?=-5

OZ“zJ,|z/21的平方,利用作差法可得.oz2k31,此

（2）利用复数运算规律分别求出

时需满足

【详解】⑴根据句=1+2诏=3-有可得,

2

Z1z2=(l+2i)(3-4i)=3-4i+6i-8i=ll+2i

且=(1,2)访=(3,-4),所以西•区=lx3+2x(-4)=-5

(2)因为4=°+历/2=c+di(a,6,c,deR)

2

所以ZjZ2=ac+adi+bci+bdi=(ac-bd)+(ad+6c)i

2

可得|z,z2|=(ac-bdy+(ad+bc^

因为OZ]=(a,b),OZ2=(c,d)

b…OZ]OZ=ac+bd.，防.超2=(ac+〃y

所以?

因止匕上仔?『一[OZ]-OZ|=(ac-bd7+(ad+bc^-(ac+bd7=(ad+bcy-4abed=(ad-bej

2>0

所以区•西斗R,

当且仅当〃=bc时取等号，此时向量°乙,。2满足°Z"°Z2

17.（1）证明见解析;

（2）证明见解析.

【分析】（1）由正弦定理，根据6=/+/,得到12sin5=sin2/+sin2。，进而得到

sin2C<1-sin2^4=cos2y4=sin2\A工,、.

1—­2人]由/(x)=sm2z的单调性证明；

(2)由sin%+si/CusinSNsi/B,得至ij/0,即万，设一8c外接圆圆心为0,

再利用向量运算证明.

【详解】（1）证明：记在05c中，4优0所对的边分别长度为a也c.

a=b=c2R

根据正弦定理，有si逋sinBsinC,所以a=siM4=sin5,c=sinC.

2222

根据b=c+a9有1NsinB=sin^+sinC,

sin2C<1-sin27l=cos2%=sin21--^4।

得到12人

71

r/\"2c〈___A

因为4c都是锐角，根据/（町二口上苫的（复合函数）单调性得到-2,

A+C<-B>-

所以2,所以2,所以AZBC不是锐角三角形；

（2）因为5也22+5诂2。=51115之51112_8,所以〃2+。2-〃20,

a2+c2-b1„n,兀n71

cosBn=--------->0B<—B=—

所以?ac，所以2,得到2,

设“Be外接圆圆心为°,则有

PA-PB=PD-PC=（尸O+CM）2—（PO+O5）2=（PO+OQ）2—（PO+OC）2,

得到”@一°8一℃+。。）=0对平面上所有?成立，必须有文而”+历=o,

根据B是直角和平面几何知识，得到D在08C外接圆上，并且根据平面向量基本定理得到。唯

此⑴GE］

（2）c=25/3

【分析】

（1）借助正弦定理及三角恒等变换公式可得A,借助余弦定理与正弦定理可将ND?表示为正弦

型函数，借助正弦型函数的性质即可得解；

（2）借助面积公式，可得。£的最大值，设ZACD=NBAE=a,结合正弦定理可将OE表示成

正弦型函数，借助正弦型函数的性质可得OE取得最大值时的J

［详解］（］）因为4cosc+6asinC-6_c=0,

所以由正弦定理得siMcosC+>/3sirt4sinC-sinB-sinC=0

因为2=兀-（/+。所以sin^cosC+V3siiL4sinC-sin（/+。）一sinC=0

gpsin^cosC+V3siiL4sinC-siib4cosC-cos^sinC-sinC=0

所以V3siiL4sinC-cos/sinC-sinC=0因为sinCwO,所以6si威-cos/=l

所以222I6j2,

工型/兀兀/兀

=—,/=一

因为I6）I66A——

，所以663

在AABD中，有AD23=AB2+BD2-2AB•BD•cosB

=(2V3sinC)2+1+2-2V3sinC-1-cos+c]

=6sin2C+V3sin2C+1=3(1-cos2C)+V3sin2C+1=2gsin(2C-gj+4

2

,°<C<371/°2e《,4+2行]右+1]

（2）由（1）可知'=3'"=",由于SEr面积的最大值为76,

则产sm§-73,得DE=2册,所以一的最大值为近

IT27r

ZCAB=-ZDAC+ZBAE=—

因为3,所以3,

ZDAC+ZACD=—

因为3,所以=

ZABE=--a

ZACD-ZBAE=a,贝ij3,

V3AD

AC=ADsin〃sina

在A/CD中，由正弦定理得sinDsin//C。所以3

AD=--------sma

.兀

sin-

得3,

ABAE

在4BE中，由正弦定理得sinEsin/ABE,

271.

ccos——sina

3

\2

sin(0+6)

V3

——c

tang=——2___

其中G+丁，所以当smQ+e)=l

时，取得最大值,

所以护+6。+3,所以c?+百c+3=21,

"+氐_18=0,所以(。.出入.⑸设

解得c=26或C=-36(舍去).

【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助正弦定理，将边转化为角后，将。E借助角表示

出来，从而化为正弦型函数，借助正弦函数的性质得到其取最值时对应的生

19⑴Z1.Z2=/[cos(a+/)+isin(a+/)],---[cos(a-/?)+1sm(a-

7兀

⑵2

(3)证明见解析

【分析】

(1)直接利用复数的乘除法计算即可；

(2)设argz3=©argz4=£,Z3的模为々，％的模为"a,尸«0,2兀)，通过题意可得

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