高考数学复习 等比数列及其前n项和6种常见考法归类（原卷版）

等比数列及其前n项和6种常见考法归类

»思维导图

*核心考点聚焦

考点一、等比数列及其前〃项和基本量的运算

考点二、等比数列的性质及其应用

（一）等比中项的应用

（二）利用等比数列的性质计算

（三）等比数列的单调性和最值

考点三、等比数列前"项和性质的应用

（一）等比数列的片段和性质的应用

（二）等比数列奇偶项和的性质

（三）等比数列前〃项和其他性质

考点四、等比数列的证明

考点五、等比数列中an与Sn的关系

考点六、等比数列的简单应用

知识点1等比数列有关概念

1.等比数列定义

一般地，如果一个数列从第三项举，每一项与它的前一项的比等于同一个箪黎，那么这个数列就叫做等比

数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母4表示（4，0）,即：&旦=4（4力0）.

an

CLn1

注：（1）定义的符号表示：募;=q（wGN*且”22）或K=g（〃eN*）；（2）定义强调“从第2项起”，因为第一

项没有前一项；（3）比必须是同一个常数；（4）等比数列中任意一项都不能为0；（5）公比可以为正数、负数，

但不能为0.

n

2.等比数列通项公式为：an=ax-q-\ax（斯=&何「1些%=。“矿-叱,通项公式还可以写成

an=%q",它与指数函数丁=就有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列.

q

注：（1）等比数列通项公式的推导

设一个等比数列的首项是可，公比是q,则由定义可知a=q（〃GN*且〃22）.

〃〃一1

n

方法—an=XX…X-X—Xai=qXciX•••XqXqXa\=a\q,

an-\an-2a2a\

当〃=1时，上式也成立.

方法—。2=a1q，

〃3=。24=(〃iq)q=〃iq2,

。4=。3夕=(〃iq2)q=Q]q3,

由此可得斯=。应"一I当〃=1时，上式也成立.

(2)由等比数列的通项公式可以知道：当公比d=l时该数列既是等比数列也是等差数列；

(3)等比数列的通项公式知：若｛4｝为等比数列，则&=

%

3.等比中项

如果在a与6中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列，那么G叫做。与6的等比中项，即G是。与

b的等比中项G,b成等比数列今G2=a4

注：①只有当两个数同号时，这两数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数.

②在等比数列｛4｝中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项；

③与等比数列中的任一项“等距离''的两项之积等于该项的平方，即在等比数列｛4｝中，a；=a,1k.a“+k'

④等比中项与等差中项的异同，对比如下表：

对比项等差中项等比中项

若a,A,b成等差数列，则A若a,G,b成差比数列，则G

定义

叫做a与b的等差中项叫做a与匕的等比中项

Gb_

定义式A—a=b-A=

a-G

a+b

公式G=±\[ab

2

。与6的等比中项有两个，且互

个数a与b的等差中项唯一

为相反数

只有当。6>0时，a与b才有等

备注任意两个数a与6都有等差中项

比中项

知识点2等比数列的通项公式与指数型函数的关系

1.当q>0且时，等比数列｛。“｝的第w项斯是指数型函数/(无尸矍小上即当苫/时的函数值，即％

q

=/〃).

2.任意指数型函数兀0=上a”,。是常数，kWO,。>0且aWl),

则式1)=人，fi2)=k^,八")=妨"，…构成一个等比数列｛垢"｝,其首项为版，公比为

注意点：(l)ai>0,歪1时，数列｛如｝为正项的递增等比数列；(2)的>0,0<如1时，数列｛斯｝为正项的递减等比

数列；(3)ai<0,g>l时,数列｛四｝为负项的递减等比数列；(4)ai<0,0<g<l时,数列｛斯｝为负项的递增等比数

列；(5)q=l时，数列｛斯｝为常数列；(6%<0时，数列｛斯｝为摆动数列；奇数项符号相同，偶数项符号相同.

知识点3等比数列的判定与证明

证明等比数列的方法

1.定义法：W=4(〃eN*且”22,q为不为0的常数)；

2.等比中项法：居="皿且九22)；

n

3.通项公式法：an=aiq~\

注：用定义法证明时，a和誓中的〃的范围不同

知识点4等比数列的性质

(1)在等比数列｛4｝中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列，如：％,%，%，％，……；生，

〃8，。13，“18，....；

注：若加，P，〃成等差数列，则即“出，斯成等比数歹U.

nm

(2)在等比数列｛«„｝中,对任意m,neN+,an=amq^-

(3)在等比数列｛a“｝中，若加，n,p,4€、且“+〃=2+4，贝!|“.”-特殊地，2m/>•(/

时，则U'="•"，‘J是〃的等比中项.也就是：ai-an=a2'=a3-an_2=....,如图所示：

aVan

人

，、

“1，”2，“3，2，〃几-1，

K,__________v________J•

。2%-1

注：(1)性质的推广：若》i+"+p=x+y+z,有a,“。“的=0亚以z；

(2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同；

(3)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即ais=a2ST=….

(4)等比数列下标为奇数的项正负相同，下标为偶数的项正负相同；

(4)若｛%｝,出｝(项数相同)是等比数列，贝弘痴QQWO),｛屈｝，｛斯•｝,博%乃是等比数列.

(5)在等比数列｛厮｝中按序号从小到大取出若干项：气，气，气，…,”，…，若任，左2,⑸…，乂，…成等

差数列，那么%气％…,％…是等比数列.

(6)公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即为-%,4，

…成等比数列，且公比为幺二五二(4—a】)4：。.

a?-q〃2-%

(7)等比数列的单调性

a.>0fa<Qfa>0[a,<0

当i或1।]时，｛4｝为递增数列，当i或时,｛4｝为递减数列.

q>\[O<^<1[0<q<l[>1

知识点5等差数列与等比数列的区分与联系

(1)如果数列｛4｝成等差数列，那么数列｛A。”｝(A%总有意义)必成等比数列.

⑵如果数列｛4｝成等比数列，且4>0,那么数列｛log04｝(。>0,且必成等差数列.

(3)如果数列｛4｝既成等差数列又成等比数列，那么数列｛4｝是非零常数数列.数列｛4｝是常数数列仅是

数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.

(4)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行

讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列.

知识点6等比数列的前n项和公式

已知量首项Qi,项数〃与公比q首项末项〃〃与公比q

TlCli,Q~1,nu\,q=1,

公式=<=<

Sn的(1一q"),.Sn

1,q手1i,qW1

lLqli—q

注：(1)等比数列前〃项和公式的推导

若等比数列｛诙｝的首项是S，公比是q,如何求该等比数列的前w项的和？

思路一：因为工=。1+〃2+。3H----F1+即，

=2n2nl

所以Sna\+aiq+a\q-\---\-aiq~+a\q~,

13

上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn=a\q-\-a\q+a\q-\---^的/一i+aq",

发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn—qS〃=ai—aiq〃,

即(1—q)S“=ai(l—q")，当qWl时，有S〃=；_，而当4=1时，&="的.上述等比数列求前〃项和的方

1q

法，我们称为“错位相减法”.

思路二：当产1时,由等比数列的定义得：能少…=念=。，

02+43+…+斯S—a\

根据等比数列的性质，有n

2H-----\~an-\Sn~Cln

Sn~Cll

=4=(1-q)S〃=-ClnQj

SnCln

所以当时，应，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质,

推导出了公式，通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列的前〃项和的两种形式，而这两种形式可以

利用斯1相互转化.

思路二：5八=〃1+〃2+〃3+~+斯=〃1+4(〃1+。2+~+斯-1)，

所以有Sn的+qS〃—“1+q(Sncin)(1q)S〃cinq，

所以当时，吆或S"=叫1二©，显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力，在已

1~q1~q

知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，又能使问题得到解决.

(2)在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：ai,n,q,an,S〃.知道其中任意三个，可求其余两

个.(%,/〃,5“和各已知三个可求第四个

(3)注意求和公式中是q”,通项公式中是不要混淆;

(4)应用求和公式时qwl,必要时应讨论q=l的情况.在应用公式求和时，应注意到S尸及丁)的使用

条件为而当q=l时应按常数列求和，即

(5)等比数列前〃项和公式的函数特征

当公比qWl时，设A=V、，等比数列的前〃项和公式是S〃=A(q〃-1).即是九的指数型函数.

q—1

(s〃=为”+为,设A-告，则if)

i—q

当公比q=l时，因为ai#O,所以S”=wi,S”是w的正比例函数.

知识点7等比数列前n项和的性质

1.数列｛诙｝为公比不为一1的等比数歹U(或公比为一1,且W不是偶数)，S”为其前〃项和，则s”s2n-sn,

舐二馥仍构成等比数列.

注意点：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即s“wo.

注：Sn,S2„-S„,S3”一S2,…仍成等比数列，证明如下：

思路一：当q=l时，结论显然成立；

.«1(1~qn)ai(l—q2n)ai(l—03n)

当qWl时，S„=-^jS2n=:3\

1—q1~q1~q

„_S(1一"”)m(l—q")

M品一\-q1-q~l~q，

ai(l—产)aiq2”(l-q")

3n―^2n-i-i-i，

、l~qLqLg

「41/(1—q")~|〃i(l—q")aiq2n(l-qn)

而(S2〃一S〃)2=<勺2,Sn(S3n~Sn)=-\_X>

q」2iqiq

故有(S2n~Sn)2=Sn(S3n-Sin)，

所以S〃，S2n~SnfS3〃-512〃成等比数列.

思路二：由性质Si=S冽可知S2〃=S〃+q$,故有S2LS〃=q0,

2n

S3n=S2n+qSn，故有83〃—氏=/5，故有(S2LS〃)2=S〃(S3〃—S2〃)，

所以S〃，82〃一S〃，83〃-82〃成等比数列.

2.｛如｝为等比数列，若・…・斯=4，则G，号,£，…成等比数歹U.

Sn+m-Sn

3.若｛斯｝是公比为q的等比数列，贝IS〃+m=Sz+q"S"〃，m^N^n=匕为公比).

HIQ=mmm

注：/里、路一：S/+〃=4+2H------\~am~\~citn+\-\-am+2~\------cim+nSm-\-aiq-\-a2q-------\~anq

m

=Sm-\-qSn.

=〃

思路二：Sm+ncii+2H---------\-an-\-an+i~\~an+2~\--------1-斯+冽

nn

=Sn+aiq+。2夕"H--------bamq

n

=S〃+0Sm.

4.若｛④｝是公比为q的等比数列，S偶,S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，贝h

(1)在其前2〃项中，U=q;

J奇

।__41+〃2〃+14+42〃+2/,

(2)在其前2九十1项中,S奇—S偶=。1一Z+的一。4H—一。2〃十。2〃+1=]_（_夕）=—]+.-（q子一1）•

S奇=〃i+qS偶.

注：若等比数列｛斯｝的项数有2〃项，则

其偶数项和为S偶=〃2+〃4H

其奇数项和为S奇=〃I+Q3H----容易发现两列式子中对应项之间存在联系，即S偶-----------H

S偶

a2n-iq=qS奇，所以有屏'=/

若等比数列｛斯｝的项数有2〃+1项，则其偶数项和为S偶=奥+。4+…+侬，其奇数项和为S奇=〃1+的+…+

〃，〃

1+2什1从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇一〃1=3H---------\-a2n-\+a2n+i=a2q+

〃4夕++〃2〃q=qS偶，艮PS奇=〃i+qS偶.

知识点8等比数列前n项和的实际应用

1.解应用问题的核心是建立数学模型.

2.一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型.

3.注意问题是求什么("，an,S„).

注：(1)解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答.

(2)在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确.

(3)在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系.

(4)在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求.

1、等比数列基本量运算的解题策略

(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量q,an,q,n,Sn,已知其中三个就能求另外两

个(简称“知三求二”),通过列方程(组)便可迎刃而解；

(2)运用方程思想解答等比数列的基本运算问题是高考常见题型，要抓住基本量可、q,掌握好设未知数、

列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.

(3)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整

体代换，如qn,~都可看作一^个整体.

1-q

(4)等比数列的前几项和公式涉及对公比9的分类讨论，首先要对公比9=1或9W1进行判断，若两种情况

都有可能，则要分类讨论.当q=l时，｛%｝的前w项和S,=〃ai;当qWl时，｛诙｝的前w项和为="，1''

1q

=干等，当夕>1时，用公式5=言(/一1)代入计算，当了1时，用公式S“=告(1—q")代入计算，可

避免出现符号错误.

(5)特殊设法:三个数成等比数列，一般设为四个数成等比数列，一般设为.

qqq

这对已知几数之积，求数列各项，运算很方便.

2、等比中项要注意的问题

两个同号的实数a,6才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±7^)，而不是一个(屈)，这是容易

忽视的地方.

3、等比数列的证明方法

若；1—q(4为非零常数，〃WN*)或—q(q为非零常数且〃GN*),

斯

定义法CLn-\

则｛&｝是等比数列

中项

若数列｛斯｝中，斯W0且尾+I=a,•斯+2(WGN*),则｛斯｝是等比数列

公式法

通项若数列｛斯｝的通项公式可写成斯=。4"一i(c,q均为非零常数，"GN*),贝!)｛斯｝

公式法是等比数列

前n项和若数列｛为｝的前〃项和a=七q'—网左为非零常数*q#O,l),则｛诙｝是等比

公式法数列

4、等比数列项的性质应用

(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m+n=P+q,则

砺S=即他"，可以减少运算量，提高解题速度.

(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.止匕外，解题时注意设而

不求思想的运用.

5、判断等比数列的单调性的方法

⑴当q>l,ai>0或0<q<l,ai<0时，｛斯｝是递增数列.

(2)当q>l,的<0或0<q<l,句>0时，｛斯｝是递减数列.

⑶当q=l时，｛斯｝是常数列；当g<0时，｛斯｝是摆动数列.

6、处理等比数列前w项和有关问题的常用方法

(1)充分利用Sm+"=Sm+d"S"和S",S2"-S",S3"—S2"…(n为偶数且q=-1除外)仍成等比数列这一重要性质，

能有效减少运算.

（2）运用等比数列的前w项和公式，要注意公比4=1和4W1两种情形，在解有关的方程（组）时，通常用约分

或两式相除的方法进行消元.

7、处理等比数列奇偶项和有关问题的常用方法

等比数列｛斯｝共有2n项，要抓住和S假+S+=S2“这一隐含特点；若等比数列｛呢｝共有2«+1项，要

3奇

抓住S奇=。1+赘偶和S偶+S奇=S2〃+1这一隐含特点.要注意公比q=l和两种情形，在解有关的方程（组）

时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.

A考点剖析

考点一、等比数列及其前〃项和基本量的运算

1.在等比数列｛〃“｝中，若〃3=2,a3+a5=10f则%=.

2.在等比数列｛4｝中，4=1，a5-a9=16,则%=.

3.在等比数列｛。〃｝中，%+〃9=3,a9+an=12,贝巾4+小=（）

A.12B.24C.48D.96

4.已知｛。〃｝为等比数列，公比9>0,%+。3=12吗・。5=81,则。5=（）

A.81B.27C.32D.16

5.已知等比数列｛%｝的前"项和为S“，且公比q>0,邑=『S4r2=弓，则4=（）

2o

A.1B.1C.-D.-

48

S-S

6.已知等比数列｛%｝的前n项和为S“，%_4，q_8,则/_()

A.16B.8C.6D.2

7.已知三个数成等比数列，它们的和等于14,积等于64,则这个等比数列的公比是（）

A.2或3B.2或一;C.—2或gD.-2或-万

考点二、等比数列的性质及其应用

（―）等比中项的应用

8.若。，b,。均为实数，试从①"=改；领=&;③中选出“。，6,c成等比数歹广的必要条件的

bc

序号.

9.已知2a+3,a,2a-3是正项等比数列中的连续三项，则公比4=.

10.已知。是2和4的等差中项，正数b是-2和-8的等比中项，则仍等于.

11.已知等差数列｛4｝的公差为2,若外,%，%成等比数列，则。2=（）

A.-10B.-6C.4D.-4

12.已知等差数歹I]｛4｝前3项和邑=12,6-1,%-1，%+3成等比数列，则数列｛%｝的公差”=

(-)利用等比数列的性质计算

13.已知等比数列｛%｝中，出=4,%='，贝！|%R+%%的值是.

14.已知数列｛4｝为各项均为正数的等比数列，若44+2/。5+44=25,则生+生=()

A.5B.-5C.±5D.无法确定

,、1111

15.已知等比数列｛%｝满足：%+“4+&+4=2。，a2-as=2,则一+—+—+—的值为.

^^2^^4^^6^^8

16.在正项等比数列｛4｝中，若4，%是关于尤的方程/-〃吠+4=0的两实根，贝I

log,q+log2%+log,a,++log2oQ=()

A.8B.9C.16D.18

17.等比数列｛a“｝满足：弓AO,“〉。,"%为为为=32,则？+%的最小值为.

18.在9与1之间插入5个数，使这7个数成等比数列，则插入的5个数的乘积为.

(三)等比数列的单调性和最值

19.已知｛%｝是公比为q的等比数列，贝广4>0'’是"｛%｝为递增数列'’的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

20.数列｛4｝是等比数列，首项为外,公比为q,则4(4-1)<。是“数列｛4,｝递减”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

21.在等比数列｛4｝中，4+%=9,。2a6=8,且。"<。用，则％3=.

22.设等比数列｛%｝满足q+%=1。，4+4=5,贝!]叫?%的最大值为()

A.32B.16C.128D.64

23.试写出一个无穷等比数列｛4,｝,同时满足①%=1；②数列｛|。」｝单调递减；③数列｛%｝不具有单调性，则

a

当〃eN*时，n=•

24.已知等比数列｛4｝的前5项积为32,1<4<2,则生+当+件的取值范围为

考点三、等比数列前"项和性质的应用

(-)等比数列的片段和性质的应用

25.已知等比数列｛。"｝中，前”项和为S“，且兀=10,邑。=50.求％.

26.已知数列｛%｝是等比数列，S,是其前〃项和，且既=15,几=195,贝应4=.

27.已知S“为等比数列｛4｝的前w项和，且S3=8,56=7,贝(]%+%+…+%=.

28.设正项等比数列｛4｝的前“项和为S"，若邑=10邑，则法的值为.

d2

29.设等比数列｛4｝的前”项和是S".已知邑=30,$6=120,贝.

d3

30.设S“是等比数列｛%｝的前"项和，若称=:,则不%=___.

'J十^12

31.记S,为等比数列｛4｝的前"项和，已知$3=1,$6=5,贝=.

%一>3

（-）等比数列奇偶项和的性质

32.已知等比数列｛%｝的公比q=；,且q+%+%+L+颊=90,贝I]%+%+a3+L+al00=.

33.已知一个项数为偶数的等比数列｛4｝,所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64,则4=

（）

A.1B.4

C.12D.36

34.已知正项等比数列｛q｝共有2〃项，它的所有项的和是奇数项的和的3倍，则公比0=.

35.已知等比数列｛%｝的前10项中，所有奇数项的和为85；,所有偶数项的和为170^,则S=/+4+%+%2

的值为.

36.已知一个项数为偶数的等比数列｛4｝,所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64,则q=

（）

A.1B.4

C.12D.36

（三）等比数列前n项和其他性质

37.已知｛%｝为等比数列，｛%｝的前w项和为S,,前"项积为则下列选项中正确的是（）

A.若S的>5m一则数列他”｝单调递增

B.若%>7”则数列｛%｝单调递增

C.若数列｛S“｝单调递增，则。2022上。2021

D.若数列｛4｝单调递增，则的）222的⑼

38.设等比数列｛七｝的公比为4,其前〃项和为臬，前“项积为1,并且满足条件％>1,4%>1，工<°，

则下列结论正确的是（）

A.a6as>1B.0<q<lC.5"的最大值为跖D.（的最大值为心

39.设等比数列｛%｝的公比为q,前”项和为冬，前〃项积为1,并满足条件q>L的必。侬〉]，

(生必-1)-(%)22—1)<0,则下列结论中不正确的有()

A.q>l

B.S2022>B021

C.02021•02023<1

D.4m是数列⑵｝中的最大项

40.若等比数列｛4｝的公比为q,其前几项和为s“，前〃项积为月，并且则下列正确的是()

A.4>1B.0<Oj<1

C.S,的最大值为$8D.1的最大值为京

考点四、等比数列的证明

41.已知数列｛”“｝满足4=1,加?“+1=2(力+1)%,设a=?.

⑴判断数列｛〃｝是否为等比数列，并说明理由；

(2)求｛%｝的通项公式.

42.在数列｛a“｝(q产0)和｛〃,｝中，q=1,a=2,且。计也,是和。也包的等差中项.

b

⑴设C”=H,求证：数列仁-1｝为等比数列；

an

⑵若勿=言，｛g｝的前W项和为s“，求证：s“<3.

43.数列｛4｝中，4=2,«„+1=2o„-l.

⑴求证：数列｛氏-1｝是等比数列；

⑵若bn=an+n,求数列也｝的前〃项和T„.

2

44.己的数列｛%｝的首项4=§,anan+l=2an-an+l,neN+.

⑴求证：数列］J等比数列；

⑵记<=,+'+…+」~,若(<7,求〃的最大值.

a｛a2an

q3+

45.已知数列｛4｝满足4=g,«„+i=j^(«eN)

24%

⑴求证：是等比数列；

ZX111

(2)设…%=d(〃wN),求和:-+—+—

02%

考点五、等比数列中an与Sn的关系

46.已知数列｛an｝的前“项和S“=3"+1,求｛%｝的通项公式________.

47.若等比数列｛%｝的前"项和S“=5+a-6"+1，贝。.

48.设数列｛4｝的前〃项和为S“，若4=2,S„+1=2S„+1,则S“=.

49.设数列｛a,｝的前n项和为Sn,且4s“+2a„=3,则数列｛4｝的通项公式为册=.

考点六、等比数列的简单应用

50.《庄子・天下》中讲到：“三尺之梗，日取其半，万世不竭.”这其实是一个以1为公比的等比数列问题.有

一个类似的问题如下：有一根一米长的木头，第2天截去它的;，第3天截去第2天剩下的《，…，第”

天截去第n-l天剩下的则到第2022天截完以后，这段木头还剩下原来的（）

n

A.-^―B.-^―C.—D.----

2021202240424044

5L朱载埴（1536~1611）,是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制

成了最早的“十二平均律".十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，

各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称"十二等程律"，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之

比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设前三个音的频率总和为A，前六个音的频率总和为4,

则今=（）

A

A-1+2ZB-1+25C-1_2«D'1-215

52.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足"中有一道两鼠穿墙问题："今有垣厚五尺，两鼠对穿，大

鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”描述的问题是：有五尺厚的墙，两只老

鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则（）天

后两鼠相遇.

A.1B.2C.3D.4

53.某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位:

万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2023年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计

划该公司从2023年到2032年该产品的销售总额约为（参考数据：13°。13.79）（）

A.3937万元B.3837万元

C.3737万元D.3637万元

54.2018年，某地区甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和25a,甲林场木材存量每年比上一年递增25%

而乙林场木材存量每年比上一年递减20%.

（1）经过几年两林场木材的总存量相等？

（2）两林场木材的总量到2022年能否翻一番？并说明理由.

»过关检测

一、单选题

1.（2023上•新疆伊犁•高二校考期末）在等比数列｛%｝中，%+的=3,%+4=12,则％]+&=)

A.12B.24C.48D.96

2.（2023•四川成者R•校联考一模）在等比数列｛q｝中，出,〃6是方程％?—8%+根=0两根，若〃3。5=3。4,则

加的值为（）

A.3B.9C.-9D.-3

7

3.（2023上•甘肃陇南•高二校考期末）两个正数6的等差中项是：，等比中项是2石，且。＞人，则椭圆

22

A+与"=1的禺心率为（）

ab

A.-B.叵C.立D.立

3443

4.（2023上•江苏淮安•高三校联考期中）设数列｛%｝是公比为4的等比数列，贝是“存在"eN*满足

。“+2＜4＜见+1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.（2023上•甘肃白银•高二甘肃学校考期末）己知正项等比数列｛%｝的前〃项和为S”4=2,

且§4=3(4+%),则％=()

_n+l

〃

A.2+iB.2号C.2"D.22

6.（2023•陕西宝鸡•校联考模拟预测）等比数列｛4｝的各项均为正数，且2%+3%=1,4=9廿6.设

b,=log3q+log3a2+........+log3a,,则数列)

2nAn

A.—2nB.

n+l

7.（2023上•江苏南通・高二统考期末）己知数列｛%｝为等比数列,4=1。。，公比"=若1是数列｛%｝的

前”项积，则T,取得最大值时〃的值为（）

A.6B.7C.8D.9

8.（2023上•新疆伊犁・高二校考期末）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题“三百七十

八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大

意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走

了6天后到达目的地，问此人前4天共走了（）

A.189里B.288里C.336里D.360里

9.（2023上•甘肃天水•高二天水市第一中学校考期末）已知正项等比数列｛%｝满足:$3=2%+3%,若存在两

iQ

项品,4,使得。筋“=4。；，则一+一的最小值为（）

mn

28

A.yB.5C.4D.不存在

10.（2023・全国•模拟预测）已知等比数列｛q｝的前〃项和为S.,%=9,4=243,若关于w的不等式

3a"-2s2“-73。W0恒成立，则实数2的取值范围为（）

A.（-co,27]B.（YO,54]

C.（-oo,27）D.（-oo,54）

二、多选题

11.（2023下•山东东营•高二统考期末）己知数列｛凡｝的首项4=1,且。1=2%+1,满足下列结论正确的

是（）

A.数列｛4｝是等比数列

B.数列｛%+1｝是等比数列

C.«„=2--1

D.数列｛4｝的前"项的和S“=2"-〃

12.（2023上•广东深圳•高三深圳市宝安中学（集团）校考阶段练习）设公比为4的等比数列｛〃“｝的前〃项和