2024年九年级中考数学复习：梯形问题综合训练 刷题练习题汇编（含答案）

2024年九年级中考数学复习：梯形问题综合训练刷题练习题汇编

1.已知，如图，在直角梯形COAB中，CBIIOA,以。为原点建立平面直角坐标系，A、

B、C的坐标分别为A(10,0)、B(4,8)、C(0,8),D为OA的中点，动点P自A

点出发沿A玲B玲C玲。的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时间记为t秒.

(1)求过点0、B、A三点的抛物线的解析式；

(2)求AB的长；若动点P在从A到B的移动过程中，设AAPD的面积为S,写出S与t

的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；

(3)动点P从A出发，几秒钟后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3两部分？求出此

时P点的坐标.

2.已知：如图，在直角梯形COAB中，OCIIAB,以。为原点建立平面直角坐标系，A,

B,C三点的坐标分别为A(8,0),B(8,10),C(0,4),点D为线段BC的中点，

动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t

秒.

(1)求直线BC的解析式；

(2)若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积

的N

7

(3)动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设AOPD的面积为S,请直

接写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；

(4)试探究：当动点P在线段AB上移动时，能否在线段OA上找到一点Q,使四边形

CQPD为矩形？并求出此时动点P的坐标.

3.如图，以RtAABO的直角顶点。为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y

轴，建立平面直角坐标系.己知OA=4,OB=3,一动点P从O出发沿OA方向，以每秒1

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个单位长度的速度向A点匀速运动，到达A点后立即以原速沿A0返回；点Q从A点出发

沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动.当Q到达B时，P、Q两点同时停止运

动，设P、Q运动的时间为t秒(t>0).

(1)试求出△APQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式；

(2)在某一时刻将△APQ沿着PQ翻折，使得点A恰好落在AB边的点D处，如图①.求

出此时AAPQ的面积.

(3)在点P从。向A运动的过程中，在y轴上是否存在着点E使得四边形PQBE为等腰

梯形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

(4)伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D,交折线QB-B0

-0P于点F.当DF经过原点。时，请直接写出t的值.

4.如图，在RSABO中，OB=8,tanNOBA=2若以O为坐标原点，OA所在直线为x

4

轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点C在x轴负半轴上，且OB=4OC.若抛物线

y=ax?+bx+c经过点A、B、C.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)设该二次函数的图象的顶点为P,求四边形OAPB的面积；

(3)有两动点M,N同时从点O出发，其中点M以每秒2个单位长度的速度沿折线OAB

按。玲A玲B的路线运动，点N以每秒4个单位长度的速度沿折线按O玲B玲A的路线运动，

当M、N两点相遇时，它们都停止运动.设M、N同时从点O出发t秒时，AOMN的面积

为S.

①请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

②判断在①的过程中，t为何值时，AOMN的面积最大？

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5.如图(1),以梯形OABC的顶点。为原点，底边OA所在的直线为轴建立直角坐标

系.梯形其它三个顶点坐标分别为：A(14,0),B(11,4),C(3,4),点E以每秒2

个单位的速度从O点出发沿射线OA向A点运动，同时点F以每秒3个单位的速度，从O

点出发沿折线OCB向B运动，设运动时间为t.

(1)当t=4秒时，判断四边形COEB是什么样的四边形？

(2)当t为何值时，四边形COEF是直角梯形？

(3)在运动过程中，四边形COEF能否成为一个菱形？若能，请求出t的值；若不能，请

简要说明理由，并改变E、F两点中任一个点的运动速度，使E、F运动到某时刻时，四边

形COEF是菱形，并写出改变后的速度及t的值

6.如图，己知在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,4),点C的坐标为

(12,0),点D的坐标为(8,4),动点E从点A出发，沿y轴正方向以每秒1个单位

的速度移动；同时动点F从点A出发，在线段AD上以每秒2个单位的速度向点D移动.当

点F与点D重合时，E、F两点同时停止移动.设点E移动时间为t秒.

(1)求当t为何值时，三点C、E、F在同一直线上；

(2)设顺次连接OCFE,设这个封闭图形的面积为S,求出S与t之间的函数关系及自变量

t的取值范围；

(3)求当t为何值时，以0、E、F为顶点的三角形是等腰三角形？

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7.如图，已知A,B两点坐标分别为(28,0)和(0,28),动点P从A开始在线段AO

上以每秒3个单位长度的速度向原点O运动.动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的

速度向上平行移动(即EFIIx轴)，并且分别与y轴、线段AB交于点E,F,连接FP,设

动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒.

(1)当t=l秒时，求梯形OPFE的面积；

(2)t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？

(3)当梯形OPFE的面积等于AAPF的面积时，求线段PF的长.

8.如图，在平面直角坐标系中，已知直线AB：y=-Vx+3分别与x轴、y轴分别交于点

4

A、点B.动点P、Q分别从0、A同时出发，其中点P以每秒1个点位长度的速度沿OA

方向向A点匀速运动，到达A点后立即以原速度沿AO返向；点Q以每秒1个单位长度的

速度从A点出发，沿A-B-0方向向O点匀速运动.当点Q到达点。时，P、Q两点同时

停止运动.设运动时间为t(秒).

(1)求点A与点B的坐标；

(2)如图1,在某一时刻将△APQ沿PQ翻折，使点A恰好落在AB边的点C处，求此时

AAPQ的面积；

(3)若D为y轴上一点，在点P从。向A运动的过程中，是否存在某一时刻，使得四边

形PQBD为等腰梯形？若存在，求出t的值与D点坐标；若不存在，请说明理由；

(4)如图2,在P、Q两点运动过程中，线段PQ的垂直平分线EF交PQ于点E,交折线

QB-BO-OPF.问：是否存在某一时刻t,使EF恰好经过原点0?若存在，请求出

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所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理

9.如图，在平面直角坐标系中，。是原点，A、B、C三点的坐标分别为A(30,0),B

(24,6),C(8,6).点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终

点A运动，速度为每秒3个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，速度为每秒2个单位.当

这两点有一点达到自己的终点时，另一点也停止运动.设运动时间为t(秒).

(1)当点Q在OC上运动时，试求点Q的坐标；(用t表示)

(2)当点Q在CB上运动时；

①当t为何值时，四边形OPQC为等腰梯形？

②是否存在实数t,使得四边形PABQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说

明理由.

10.如图，在平面直角坐标系中，直角梯形ABCD的顶点A、B分别在x、y轴的正半轴

上，顶点D在x轴的负半轴上.己知NC=NCDA=90。，AB=10,对角线BD平分NABC,

且tanZDBO=—

3

(1)求直线AB的解析式；

(2)若动点P从点A出发，以每秒5个单位长的速度沿着线段AB向终点B运动；同时动

点Q从点D出发，以每秒4个单位长的速度沿着线段DA终点A运动，过点Q作QHLAB,

垂足为点H,当一点到达终点时，另一的也随之停止运动.设线段朋的长度为y,点P运动

时间为t,求y与t的函数关系式；(请直接写出自变量t的取值范围)

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(3)在(2)的条件下，将△APQ沿直线PQ折叠后，AP对应线段为AT,当t为何值时,

ATIICD,并通过计算说明，此时以K为半径的0P与直线QH的位置关系.

7

11.如图1,在RSABC中，NA=90。，AB=AC,BC=4&,另有一等腰梯形DEFG

(GFIIDE)的底边DE与BC重合，两腰分另U落在AB,AC±,且G,F分别是AB,AC

(1)求等腰梯形DEFG的面积；

(2)操作：固定△ABC,将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，

直到点D与点C重合时停止.设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEFG(如图2).

探究1：在运动过程中，四边形BDGG能否是菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，

请说明理由；

探究2：设在运动过程中△ABC与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y,求y与x的函数关

系式.

12.如图，在等腰梯形ABCD中，ABIIDC,NDAB=45。，AB=10cm,CD=4cm.等腰直

角三角形PMN的斜边MN=10cm,A点与N点重合，MN和AB在一条直线上，设等腰梯

形ABCD不动，等腰直角三角形PMN沿AB所在直线以Icm/s的速度向右移动，直到点N

与点B重合为止.

(1)等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由—

形变化为形；

(2)设当等腰直角三角形PMN移动x(s)时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD

重叠部分的面积为y(cm2),求y与x之间的函数关系式；

(3)当①x=4(s),②x=8(s)时，求等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分

的面积.

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13.如图，在等腰梯形ABCD中，ABHCD,ZA=60°,AD=DC=CB=2,点P是AD上一动

点，点Q是线段AB上一动点且AP=AQ,在等腰梯形ABCD内以PQ为一边作矩形

PQMN,点N在CD上.设AQ=x,矩形PQMN的面积为y.

(1)求等腰梯形ABCD的面积；

(2)求y与x之间的函数关系式；

(3)当x为何值时，矩形PQMN是正方形；

(4)矩形PQMN面积最大时，将APQN沿NQ翻折，点P的对应点为点P,请判断此时

ABMP的形状.

14.如图，在直角坐标系内，已知等腰梯形ABCD,ADIIBCIIx轴，AB=CD,AD=2,

BC=8,AB=5,B点的坐标是(-1,5).

(1)直接写出下列各点坐标.A(,)C(,)D(,)；

(2)等腰梯形ABCD绕直线BC旋转一周形成的几何体的表面积(保留兀)；

(3)直接写出抛物线y=x2左右平移后，经过点A的函数关系式；

(4)若抛物线y=x2可以上下左右平移后，能否使得A,B,C,D四点都在抛物线上？若

能，请说理由；若不能，将"抛物线y=x2"改为"抛物线丫=稣2",试确定m的值，使得抛物

线y=mx2经过上下左右平移后能同时经过A,B,C,D四点.

15.如图，在平面直角坐标系中，A、C、D的坐标分别是(1,2加)、(4,0)、(3,

2证)，点M是AD的中点.

(1)求证：四边形AOCD是等腰梯形；

(2)动点P、Q分别在线段OC和MC上运动，且保持NMPQ=60。不变.设PC=x,MQ=y,

求y与x的函数关系式；

(3)在(2)中：试探究当点P从点O首次运动到点E(3,0)时，Q点运动的路径长.

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16.如图1,在等腰梯形ABCD中，ABHCO,E是AO的中点，过点E作EFIIOC交BC

于F,AO=4,OC=6,ZAOC=60°.现把梯形ABCO放置在平面直角坐标系中，使点。与

原点重合，OC在x轴正半轴上，点A、B在第一象限

（1）求点E的坐标；

（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PMLEF交0C于点M,过M作MNIIAO

交折线ABC于点N,连接PN.设PE=x.APMN的面积为S.

①求S关于x的函数关系式；

②△PMN的面积是否存在最大值，若不存在，请说明理由.若存在，求出面积的最大

值；

（3）另有一直角梯形EDGH（H在EF上，DG落在0C上，NEDG=90。，且DG=3,

HGIIBC）.现在开始操作：固定等腰梯形ABCO,将直角梯形EDGH以每秒1个单位的

速度沿0C方向向右移动，直到点D与点C重合时停止（如图2）.设运动时间为t秒，运

动后的直角梯形为E，DGH；探究：在运动过程中，等腰梯ABCO与直角梯形EDGH，重

合部分的面积y与时间t的函数关系式.

17.如图，R3AOB中，ZOAB=90°,以0为坐标原点，0A所在的直线为x轴建立平面

直角坐标系，将AOAB沿0B折叠后，点A落在第一象限的点C处，已知B点坐标是

（入行，2）；一个二次函数的图象经过0、C、A三个点.

（1）求此二次函数的解析式；

（2）直线0C上是否存在点Q,使得AAQB的周长最小？若存在请求出Q点的坐标，若不

存在请说明理由；

（3）若抛物线的对称轴交0B于点D,设P为线段DB上一点，过P点作PMIIy轴交抛物

线于点M,问：是否存在这样的点P,使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在请求出P点

坐标，若不存在请说明理由.

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18.如图1,等腰梯形ABCD中，ADIIBC,AB=CD=g｝，AD=5,BC=3.以AD所在的

直线为x轴，过点B且垂直于AD的直线为y轴建立平面直角坐标系.抛物线y=ax2+bx+c

经过0、C、D三点.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设（1）中的抛物线与BC交于点E,P是该抛物线对称轴上的一个动点（如图2）：

①若直线PC把四边形A0EB的面积分成相等的两部分，求直线PC的函数表达式；

②连接PB、PA,是否存在△PAB是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐

标，并直接写出相应的APAB的外接圆的面积；若不存在，请说明理由.

19.在等腰梯形ABCD中，已知AB=6,BC=2y，NA=45。，以AB所在直线为x轴，A

为坐标原点建立直角坐标系，将等腰梯形ABCD饶A点按逆时针方向旋转90。得到等腰梯

形OEFG（0、E、F,G分别是A、B、C、D旋转后的对应点）（图1）

（1）写出C、F两点的坐标；

（2）等腰梯形ABCD沿x轴的负半轴平行移动，设移动后的OA=x（图2）,等腰梯形ABCD

与等腰梯形OEFG重叠部分的面积为y,当点D移动到等腰梯形OEFG的内部时，求y与x

之间的关系式；

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20.如图，在平面直角坐标系中，点A(10,0),ZOBA=90°,BCIIOA,OB=8,点E从

点B出发，以每秒1个单位长度沿BC向点C运动，点F从点O出发，以每秒2个单位长

度沿OB向点B运动.现点E、F同时出发，当点F到达点B时，E、F两点同时停止运动.

(1)求梯形OABC的高BG的长；

(2)连接E、F并延长交OA于点D,当E点运动到几秒时，四边形ABED是等腰梯形；

(3)动点E、F是否会同时在某个反比例函数的图象上？如果会，请直接写出这时动点E、

F运动的时间t的值；如果不会，请说明理由.

21.如图，在直角梯形ABCD中，ADIIBC,ZB=90°,AD=13厘米，BC=16厘米，CD=5

厘米，AB为。。的直径，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1厘米/秒的速度运动，

动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2厘米/秒的速度运动，点P、Q分别从A、C两点

同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动.

(1)求。O的直径；

(2)求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时间t的函数关系式，并求当四边形PQCD

为等腰梯形时，四边形PQCD的面积；

(3)是否存在某一时刻t,使直线PQ与。O相切？若存在，求出t的值；若不存在，请说

明理由.

22.如图1,在等腰梯形ABCD中，BCIIAD,BC=8,AD=20,AB=DC=10,点P从A点

出发沿AD边向点D移动，点Q自A点出发沿A玲B玲C的路线移动，且PQIIDC,若

AP=x,梯形位于线段PQ右侧部分的面积为S.

(1)分别求出点Q位于AB、BC上时，S与x之间函数关系式，并写出自变量x的取值范

围；

(2)当线段PQ将梯形ABCD分成面积相等的两部分时，x的值是多少？

(3)在(2)的条件下，设线段PQ与梯形ABCD的中位线EF交于O点，那么OE与OF

的长度有什么关系？借助备用图2说明理由；并进一步探究：对任何一个梯形，当一直线1

经过梯形中位线的中点并满足什么条件时，其一定平分梯形的面积？(只要求说出条件，不

需证明)

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cBB

图1图2

23.现有边长为180厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能

通过的水的流量最大.

某校九年级（2）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截

面面积越大，则通过水槽的水的流量越大.为此，他们对水槽的横截面，进行了如下探

索：

（1）方案①：把它折成横截面为矩形的水槽，如图.

若NABC=90。，设BC=x厘米，该水槽的横截面面积为y厘米2,请你写出y关于x的函数

关系式（不必写出x的取值范围），并求出当x取何值时，y的值最大，最大值又是多少？

方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽，如图.

若NABC=120。，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的y的最大值比

较大小.

（2）假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供一种方案，使你所设计的水槽的横截面面

积更大.画出你设计的草图，标上必要的数据（不要求写出解答过程）.

24.某校数学研究性学习小组准备设计一种高为60cm的简易废纸箱.如图1,废纸箱的一

面利用墙，放置在地面上，利用地面作底，其它的面用一张边长为60cm的正方形硬纸板围

成.经研究发现：由于废纸箱的高是确定的，所以废纸箱的横截面图形面积越大，则它的

容积越大.

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///；/////////!//////////////////

L\60-6(ry

横截面图形xcm

-i匚xcm\________/

J与X的函

2

v=--X4-30Xy=小x，+30>/5X

数关系式▼2

J取最大值

时x(cm)3020

的值

武力)取

450300后

得的最大值

y取最大值////////1///////

时的设计示

意图

(1)该小组通过多次尝试，最终选定下表中的简便且易操作的三种横截面图形，如图2,

是根据这三种横截面图形的面积y(cm2)与x(cm)(见表中横截面图形所示)的函数关系

式而绘制出的图象.请你根据有信息，在表中空白处填上适当的数、式，并完成y取最大

值时的设计示意图；

xcm

(2)在研究性学习小组展示研究成果时，小华同学指出：图2中"底角为60。的等腰梯形"

的图象与其他两个图象比较，还缺少一部分，应该补画.你认为他的说法正确吗？请简要

说明理由.

底角为&r的等腰梯毯

X矩形

a直角三角形

0|101520~30~40~50~60~

图2

25.如图(1),四边形ABCD内部有一点P,使得SAAPD+SABPC=SAPAB+SAPCD,那么这

样的点P叫做四边形ABCD的等积点.

(1)如果四边形ABCD内部所有的点都是等积点，那么这样的四边形叫做等积四边形.

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①请写出你知道的等积四边形：，,,_

___________,(四例)

②如图(2),若四边形ABCD是平行四边形且SAABP=8,SAAPD=7,SABPC=15,贝|

SAPCD=.

(2)如图(3),等腰梯形ABCD,AD=4,BC=10,AB=5,直线1为等腰梯形的对称轴,

分别交AD于点E,交BC于点F.

①请在直线1上找到等腰梯形的等积点，并求出PE的长度.

②请找出等腰梯形ABCD内部所有的等积点，并画图表示.

26.如图，直角梯形ABCD和正方形EFGC的边BC、CG在同一条直线上，ADIIBC,

ABLBC于点B,AD=4,AB=6,BC=8,直角梯形ABCD的面积与正方形EFGC的面积相

等，将直角梯形ABCD沿BG向右平行移动，当点C与点G重合时停止移动.设梯形与正

方形重叠部分的面积为S.

(1)求正方形的边长；

(2)设直角梯形ABCD的顶点C向右移动的距离为x,求S与x的函数关系式；

(3)当直角梯形ABCD向右移动时，它与正方形EFGC的重叠部分面积S能否等于直角梯

形ABCD面积的一半？若能，请求出此时运动的距离x的值；若不能，请说明理由.

27.已知二次函数图象的顶点坐标为M(2,0),直线y=x+2与该二次函数的图象交于A、

B两点，其中点A在y轴上(如图示)

(1)求该二次函数的解析式；

(2)P为线段AB上一动点(A、B两端点除外)，过P作x轴的垂线与二次函数的图象交

于点Q,设线段PQ的长为1,点P的横坐标为x,求出1与x之间的函数关系式，并求出自

变量x的取值范围；

(3)在(2)的条件下，线段AB上是否存在一点P,使四边形PQMA为梯形？若存在，

求出点P的坐标，并求出梯形的面积；若不存在，请说明理由.

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28.如图1所示，直角梯形OABC的顶点C在x轴正半轴上，ABHOC,NABC为直角，

过点A、0作直线1,将直线1向右平移，设平移距离为t(仑0),直角梯形OABC被直线

1扫过的面积(图中阴影部分)为s,s关t的函数图象如图2所示，0M为线段，MN为抛

物线的一部分，NQ为射线.

(1)求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积；

(2)如图3,矩形ODEF的两边OD、OF分别落在坐标轴上，且0D=4,0F=3,将矩形

ODEF沿x轴的正半轴平行移动，设矩形ODEF的顶点0向右平移的距离为x(0<x<7),

求矩形ODEF与梯形OABC重叠部分面积S与x的函数关系式.

(3)当平移距离x=____________时，重叠部分面积S取最大值______________.

29.如图,在△ABC中，ZC=90°,BC=8,AC=6,另有一直角梯形DEFH(HFIIDE,

NHDE=90。)的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4,ZDEF=ZCBA,AH：

AC=2：3

(1)延长HF交AB于G,求AAHG的面积.

(2)操作：固定△ABC,将直角梯形DEFH以每秒1个单位的速度沿CB方向向右移动，

直到点D与点B重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯形为DEFH，(如图).

探究1：在运动中，四边形CDHH能否为正方形？若能，请求出此时t的值；若不能，请

说明理由.

探究2：在运动过程中，△ABC与直角梯形DEFH，重叠部分的面积为y,求y与t的函数关

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参考答案

1.已知，如图，在直角梯形COAB中，CBII0A,以。为原点建立平面直角坐标系，A、

B、C的坐标分别为A(10,0)、B(4,8)、C(0,8),D为OA的中点，动点P自A

点出发沿A玲B玲C玲O的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时间记为t秒.

(1)求过点0、B、A三点的抛物线的解析式；

(2)求AB的长；若动点P在从A到B的移动过程中，设AAPD的面积为S,写出S与t

的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；

(3)动点P从A出发，几秒钟后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3两部分？求出此

时P点的坐标.

解解：(1)设所求抛物线的解析式为y=ax?+bx+c(a*0)

答：fc=0

依题意，得h00a+10b=0，

16a+4b=8

2

故所求抛物线的解析式为y=-1X+M；

33

(2)作BE_LOA与E,OE=BC=4,

•••在RtAABE中，AE=OA-OE=6,BE=OC=8,

AB=VAE2+BE2=1°-

解法一：作OF_LAB于F,DH_LAB于H,

OA・BE=AB・OF,

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,

.OF=0ABE=8>DH=1OF=4,

AB2

S=lAP«DH=ltx4=2t(0<t<10)；

22

解法二：•;辽池二丝,SAABD=1AD»BE=1X5X8=20.

^AABD皿22

._S-t

"20To'

S=2t(0<t<10)；

(3)点P只能在AB或OC上才能满足题意，

S梯形COAB=2(BC+OA).OC=1X(4+10)x8=56,

22

(i)当点P在AB上时，设点P的坐标为(x,y),

由SAAPD=—S梯形COAB,

4

得。OD・y=」x56,解得y=_Z§,

245

由SAAPD=lAP«DH=ltx4=14,得t=7.

22

此时，作BG_LOA于G,由勾股定理得(AO-x)2+y2=AP2,即(10-x)2+(^)

5

2=72,

解得X=4,即在7秒时有点Pl(空，28)满足题意；

555

(ii)当点P在OC上时，设点P的坐标为(0,y).

由SAAPD=1S梯形COAB,得工AD・y=2x56,解得y=/，

4245

此时t=10+4+(8-圆)=16.?.即在t=162秒时，有点P2(0,满足题意；

5555

综上，在7秒时有点P1(2128),在162秒时有点P2(0,当)使PD将梯形COAB

5555

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2.已知：如图，在直角梯形COAB中，OCIIAB,以。为原点建立平面直角坐标系，A,

B,C三点的坐标分别为A(8,0),B(8,10),C(0,4),点D为线段BC的中点，

动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t

秒.

(1)求直线BC的解析式；

(2)若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积

(3)动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设AOPD的面积为S,请直

接写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；

(4)试探究：当动点P在线段AB上移动时，能否在线段OA上找到一点Q,使四边形

CQPD为矩形？并求出此时动点P的坐标.

解解：(1)设BC所在直线的解析式为y=kx+b,

答：因为直线BC过B(8,10),C(0,4)两点，可得:

(8k+b=10,

lb=4

解得k=2,b=4,

4

因此BC所在直线的解析式是y=^x+4；

4

(2)过D作DE_LOA,

则DE为梯形OABC的中位线，OC=4,AB=10,

则DE=7,又OA=8,得S梯形OABC=56,

则四边形OPDC的面积为16,SACOD=8,

「•SAPOD=8,

即Ltx7=8,

2

得t=16.

7

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(3)分三种情况

®0<t<8,(P在0A上)

7

S三角形OPD='t

2

②8ct418,(P在AB上)

S三角形OPD=S梯形OCBA-S三角形OCD-S三角形OAP-S三角形PBD

=56-8-4(t-8)-2(18-t)=44-2t

(此时AP=t-8,BP=18-t)

③过D点作DM垂直y轴与M点

/.CM=3,DM=4,CD=5,

ZBCH的正弦值为W

5

CP长为28-t

PH=22.4-0.8t

S三角形OPD二S三角形OPC-S三角形ODC

=1x4(22.4-0,8t)-8

2

55

(4)不能.理由如下：作CM_LAB交AB于M,

则CM=0A=8,AM=0C=4,

MB=6.

.,.在RtABCM中，BC=10,

CD=5,

若四边形CQPD为矩形，则PQ=CD=5,

且PQIICD,

RtAPAQsRtABDP,

设BP=x,则PA=10-x,

•.•.x-----5--,

510-x

化简得x?-10x+25=0,x=5,即PB=5,

PB=BD,这与△PBD是直角三角形不相符因此四边形CQPD不可能是矩形.

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3.如图，以R3ABO的直角顶点0为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y

轴，建立平面直角坐标系.己知OA=4,OB=3,一动点P从O出发沿OA方向，以每秒1

个单位长度的速度向A点匀速运动，到达A点后立即以原速沿AO返回；点Q从A点出发

沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动.当Q到达B时，P、Q两点同时停止运

动,设P、Q运动的时间为t秒(t>0).

(1)试求出△APQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式；

(2)在某一时刻将△APQ沿着PQ翻折，使得点A恰好落在AB边的点D处，如图①.求

出此时△APQ的面积.

(3)在点P从O向A运动的过程中，在y轴上是否存在着点E使得四边形PQBE为等腰

梯形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

(4)伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D,交折线QB-BO

-OP于点F.当DF经过原点O时，请直接写出t的值.

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B

解解：（1）在RSAOB中，OA=4,OB=3

答.J----------------

①P由O向A运动时，OP=AQ=t,AP=4-t

过Q作QHLAP于H点.

由QHIIBO,得

QH二OB得QH=1t

AQ^AB'5

1-I3

s△虻Q《AP・QH=5（4-t）--t

即S△"-右23

②当4＜长5时，即P由A向O运动时，AP=t-4AQ=t

sinZBA0=®g

t-5

QH="|t，

5

13

sAAPQ=-^（t-4）1t

zb

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综上所述，SAPQ=

ATj^rt2（4<t<5）

105

（2）由题意知，此时△APQV△DPQ,ZAQP=90°,

cosA=-^=—=—,

APAB5

当0<t<4:.t2即于1

4-t-5J9

当4<t<5时，—L_=W,t=-16（舍去）

t-45

•w-一当2£2.

"SAAPQ-TO1行>27’

（3）存在，有以下两种情况

①若PEIIBQ,则等腰梯形PQBE中PQ=BE

过E、P分分别作EM_LAB于M,PN_LAB于N.

则有BM=QN,由PEIIBQ,

得述0,

OB-OA

BM=1（3等）；

54

又「AP=4-1,

AN=—（4-t），

5

QN=^|（4-t）-t，

由BM=QN,得2（3-^t）（4-t）-t

545

.28

•,t=--9

27

•■•E（0,-J）；

9

②若PQIIBE,则等腰梯形PQBE中

BQ=EP且PQ_LOA于P点

由题意知AP^AQ=4t

55

OP+AP=OA,

t+-1t=4

.t_20

9

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OE=i,

3

二点E（0,-g）

3

由①②得E点坐标为（0,工）或（0,-i）.

一一93

（4）①当P由。向A运动时，OQ=OP=AQ=t.

可得NQOA=ZQAO/.ZQOB=ZQBO

OQ=BQ=t/.BQ=AQ=1AE

2

..;5.

2

②当P由A向O运动时，OQ=OP=8-t

BQ=5-1,（5-t）,0G=3-（5-t）

55

在RtAOGQ中，OQ2=QG2+OG2

即（8-t）2=R（5-t）]2+[3-^（5-t）]2

55

图②

4.如图，在RtAABO中，OB=8,tanNOBA=2若以O为坐标原点，OA所在直线为x

4

轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点C在x轴负半轴上，且OB=4OC.若抛物线

y=ax?+bx+c经过点A、B、C.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)设该二次函数的图象的顶点为P,求四边形OAPB的面积；

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（3）有两动点M,N同时从点0出发，其中点M以每秒2个单位长度的速度沿折线OAB

按。玲AfB的路线运动，点N以每秒4个单位长度的速度沿折线按O玲B玲A的路线运动，

当M、N两点相遇时，它们都停止运动.设M、N同时从点O出发t秒时，AOMN的面积

为S.

①请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

②判断在①的过程中，t为何值时，40MN的面积最大？

解：(1).；tanNOBA=P^=g,

OB4

二OA=OB・tanNOBA=8x±=6,则A的坐标是(6,0)

OB=4OC,

OC=1OB=2,贝ijC的坐标是(-2,0).

.•・抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C,

36a+6b+c=0

则<c=-8

4a_2b+c=0

解得：|c=-8,

?=-3

则抛物线的解析式是：y=-?x2-Jx-8；

33

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_8

(2)抛物线的顶点的横坐标x=——5=2,

2Xi

纵坐标是：y=2x22-Jx2-8m一丝

333

则P的坐标是：(2,-邃).

3

S四边形OAPB=S梯形ODPB+SAAPD=(8+—)xoxJ：+J：x(6-2)x迎

3223

=40；

(3)当0<tv2时，SAOMN=—x4tx2t=4t2；

2

当t=2时，S最大，最大值为16；

当2<t<3时，BN=4t-8,AN=10-(4t-8)=18-4t.

作NQLx轴于Q点，则蜒

ANAB105

第2