2024届高考数学二轮复习模块精练-平面向量【新教材新高考】

专题四平面向量——2024届高考数学二轮复习模块精练【新教材新

高考】

一、选择题

1.已知向量a=(x,l),b=(2,y),c=(%,y).若(a+办)_L(a-办),且a//A,贝1J|c|=()

A.A/2B.A/3C.A/5D.A/6

答案：C

解析：因为。=(x,l),b=(2,y),由(〃+》)_L(a-㈤可得，(a+力)­(a-8)=/一/=。，

即+1)—(4+丁)=0,整理得£—y2=3.又因为Q/力，所以孙=2,联立[=，

解得F=2或9=一2,故|止白了=6故选C.

ly=i[y=T

2.在平行四边形A3CD中，AC为一条对角线.若4)=(2,4),AC=(1,3),则3。=()

A.(-2,4)B.(-3,-5)C.(3,5)D.(-3,-7)

答案：C

解析：在平行四边形ABC。中，AD=(2,4),AC=(1,3),

所以A3=AC—AD=(—1,—1),

所以3。=A£>—AB=(2,4)—(—1,—1)=(3,5).

故选：C.

3.如图，在△ABC中，E是AB的中点，BD=2DC,/《=’4”跖与AD交于点

3

M,则AM=()

33339834

A.-AB+-ACB.—AB+—ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

答案：A

解析：在△ABC中，^AM=AAD,AeR,由8£>=2£>C,可得

.1212

AD=-AB+-AC,=AAD=-AAB+-AAC.

3333

又E是AB的中点，FC=-AF,所以A5=2AE,AC=-AF,所以

33

2Q

AM=AAD=-AAE+-AAF.

39

由点E,M,R三点共线，可得丝+阴=1,解得几=2,

3914

__3_3一

^AM=-AB+-AC.

147

故选：A.

4.如图，在正方形A3CD中,M是的中点.若AC=/lAAf则2+〃的值为()

答案：B

解析：以A为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为1,则

40=(1,1),4"=11,£],3—,故1=2_〃,1=；4+〃,解得/1=：,〃=；,所以

4+〃弓故选B.

5.已知向量a=(1,2)2=(3,则向量0+2b与2a-b的夹角的余弦值为()

A至B.姮C2A/65D.叵

IT65工

答案：D

解析：

a=(1,2),匕=(3,1),a+23=(7,4),2a-6=(-1,3)，

(a+2Z?)(2a-Z?)=7x(-l)+4x3=5|a+2/?|=V72+42=^65,

.=1(-1)2+32=而

(

(a+2Z?).2a-Z?)5_5V26

cos(a+2b,2a-b)=

|a+2Z?||2tz-/?|A/65XV10-5726~16

故选：D.

2-.

6.在平行四边形A3CD中，AB=4,AD=3,cosABAD=-,CM=3MD,则

3

AMMB=()

A.2B.-2C.4D.-4

答案：B

2

AB=4,AD=3,cosZBAD=-,

3

AB-AD=4x3x—=8,

3

AM-MB=^AD+^AB^-^AB-AD^

1.23-213

=-ABAD-AD+—AB=-x8-9+—x42=-2.

216216

故选：B.

7.在ZVIBC中,AB=l，AC=2,Nfi4c=135。，3£)=480若ADJ.AC，则2=()

A2忘-1B20+1c2应+1D2应T

'-5-5-7-7

答案：D

解析：AD=AB+BD=AB+ABC=AB+A(AC-AB)=(1-2)AB+AAC

AD±AC,：.AD1ACAD-AC=0^

A

2

1

BDC

贝1[(1-2)AB+2AC]AC=O,

(I-2)AB-AC+I|AC|2=0,

2

(1-2)|AB|-|AC|COSZJBAC+2|AC|=0,

(1-2)x1x2xcos135°+222=0,

(1-X)xlx2x(+22?=0，

—yf2(l—A)+4/1=0,

(亚+4)X=A/L

:母6(4-叵)=40-2即2A/2-1

-V2+4-(V2+4)(4-V2)-14，­—7—

故选：D.

J

8.在平面四边形ABC。中，AD=BC，-^-+^-=-AC>64AD=2•若E、F为

\AB\\AD\2

边区□上的动点，且则A£.A分的取值范围为（）

A.D.

4

答案：A

解析：如图，设AC,3。交于。.不妨设E点到3点距离大于R点到3点的距离.

由AD=可知AD=BC且AD//BC所以平面四边形ABCD是平行四边形.

设网卜1叫="因为端+禺=；2

所以四+处」=++

ab22、>22

所以a=b=2,所以平面四边形A3CD是菱形.

又因为5A-AD=2，即34AD=WA,AD[COS(兀—/34£>)=—2x2cosN3AD=2,

所以cos/BAD=——，因为0。</54£><180。，所以NBAD=120。，

2

所以ZADB=ZABD=NCDB=NCBD=30。，

BD^2OD=2AD-cos30°^2x2x—=2y/3>

2

因为1所1=6，所以|。石+忸石卜百.

所以AE•AF=(AB+3E)•(AD+£>尸)

^ABAD+ABDF+BEAD+BEDF

=|AB|-|A£>|COS120°+1AB,COS30°+|BE|-|AD|COS30°+|BE|-|DF|COS1800

=-2x2x1+2|DF|-^+2|5E|-^-|BE|-|JDF|

=-2+A/3(|DF|+|BE|)-|5E|-|DF|

=-2+V3-^/3-|JBE|-|DF|

=I-|JBE|-|DF|

当忸石,。1=0,即E点在3处或E点在D处时，AE2E有最大值1，

因为1—J_LJ_।=1-L=—,

2

IJ。4

当且仅当阳=1M=#时等号成立，所以AE..有最小值;.

所以AE-AF的取值范围为

故选：A

二、多项选择题

9.已知向量。=(1,—2),b=(_l,m),则()

A.若a_L力，则相=一1B.若a〃A,则〃・5=-5

C.若加=1,则|。—万|=Ji?D.若加=—2,则〃与办的夹角为60。

答案：BC

解析：A项，若〃_Lb,贝!Ja=lx(-l)+(-2)xm=0,即机=一,，故A项错误；B

2

项，若〃〃办，则lx根=-1x(-2),即加=2,a-b=lx(-l)+(-2)xm=-l-2m=-5,故

B项正确；C项，若加=1,则a—8=(2,—3),所以|a—〃|=,22+(—3)2=布,故C项

正确；D项，m=-2,则a•)=1x(-1)+(-2)xm=-l-2m=3,\a\=y/5,\b\=45,

COs(a,b)=-^-=-^-,所以a与方的夹角不是60。，故D项错误.故选BC.

\a\-\b\52

10.在△ABC中，已知3C=6,且8£>=£>七=£104£).4£1=8，则()

1121-

A.AD=-AB+-AEB.AE=-AB+-AC

2233

CAB2+AC=36DAB±AC

答案：ACD

解析：因为BD二DE二EC，所以D,E是线段BC的三等分点，且B,D两点相邻,

由平面向量的加法的几何意义可知：">=L45+工4£,故选项A正确；

22

AE=-AD+-AC=-(-AB+-AE)+-AC=-AB+-AE+i-AC,^^t

222222442

AE='AB+2AC,故选项B不正确；

33

____1_1___11122—]

因止匕AP=—AB+—AE=—AB+—(―AB+—AC)=—AB+—AC,

22223333

1921

而4£).4石=8，所以(§43+§4。(346+§4?)=8，化筒得：

店+94。45+4。2=36,因为6。=6，

2

所以由余弦定理可知：36=AB2+AC2-2|AC|-|AB|COSA=AB2+AC-2ACAB,

口口一25--2-2-2

即AB+-ACAB+AC=AB+AC-2ACABAC-AB=0,

2

所以AB，AC，进而AB2+AC=36，因此选项CD都正确,

故选：ACD.

三、填空题

11.已知向量。=(-4,附，5=(1,—2),且(。―26)，万，则帆=.

答案：-7

解析：a—(^4,ni),b-(1,-2),:.a-2b-(^,m)-(2,-A}—(-6,m+4).

(a-2b)±b,:.(a-2b)b=0,6xl+(〃?+4)x(—2)=0,解得加=-7.

12.已知向量a=(1,3)2=(3,4),若(ma-可〃(a+B),则实数m=.

答案：-1

解析：由题意得。+人=(4,7),"以一6=(加一3,3加一4)

因为(nza-b)〃(a+b),所以4(3w—4)=7(m—3)，解得m--l-

故答案为：-L

13.在中，ZACB=90°,1曲/4^。=2.设54+8。=28£>,且

BP=2PD(2eR),则当(CP+BP)-AP取最小值时，2=.

答案：7

解析：由已知，得点。是AC的中点.设BC=1,则由tan/ABC=2知C4=2.以C为原

点，分别以底，CA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图，

则C(0,0),B(l,0),A(0,2),0(0,1),所以直线3。的方程为x+y—1=0.易知点P在

直线5。上运动.设P(x,l-%),则CP=(x,l—x),BP=(x-l,l-x),AP=(x,-l-x),

所以CP+3P=(2x—1,2—2x),所以

(CP+3P).AP=(2x—l)x+2(x—l)(x+l)=4——x—2.故当％=工时，(CP+3P>AP取得

8

最小值，止匕时则5P=由=得2=7.

14.如图,在平行四边形ABCD中,NABC=4,E为CD的中点,P为线段AE上一点，且满足

3

2

BP=mBA+-BC,^]m=若，ABCD的面积为26,则忖尸|的最小值为

3

答案：二拽

33

解析:由题意，设”=左4£,左目0,1],

则3P=3A+AP=5A+左AE=3A+左（DE—DA）=[1—g左]3A+左3C,

zxl--k=m

所以1—4人54+左3C=〃J9A+23C,所以，2，所以m=2；

I2J3,2