湖南省部分学校2023-2024学年高二年级上册期末联合考试数学试题（含答案解析）

湖南省部分学校2023-2024学年高二上学期期末联合考试数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.某物体运动左后，其位移(单位：m)为产+》.在这段时间里，该

物体的平均速度为()

A.5m/sB.6m/sC.8m/sD.10m/s

2.直线/:岳+岳一1=0的倾斜角为()

A.45°B.60°C.120°D.135°

什1

3.在数列｛“〃｝中，已知4—1,。〃++"，右4=,，则冽二()

A.2B.3C.4D.5

4.在三棱锥P-力5C中，M为力。的中点，则两=()

1—1―►一

B.-BA+-BC-BP

22

1—1—►1—1—1—►1—

C.-BA+-BC——BPD.-BA+-BC+-BP

222222

5.过抛物线。:/=2»(2>0)的焦点的直线与抛物线。相交于45两点，若线段

中点的坐标为(4,2行)，则P=()

A.4B.3C.2D.1

6.若三条不同的直线4：ax+y+2=O,4：x+yT=。，/3：工->+3=0不能围成一个三

角形，则。的取值集合为()

A.{-1,1}B.{4,1}C1-万」：D-{4,-1/}

7.如图，三角形蜘蛛网是由一些正三角形环绕而成的图形，每个正三角形的顶点都是

其外接正三角形各边的中点.现有17米长的铁丝材料用来制作一个网格数最多的三角

形蜘蛛网，若该三角形蜘蛛网中最大的正三角形的边长为3米，则最小的正三角形的边

长为()

试卷第1页，共4页

3333

A.一米B.■^米C.—米D.—米

481632

8.已知双曲线Cf-「=1的左、右焦点分别为耳，F2,直线/：>=2X-根与。相

交于4,3两点，若AG/3的面积是△鸟48面积的3倍，则机=（）

A.V2B.472C.血或4啦D.血或20

二、多选题

9.等差数列缶“｝的前〃项和为S”，若%=9,$4=3%,贝U（）

A.｛%,｝的公差为1B.｛%,｝的公差为2

C.邑=18D.出023=2025

10.下列结论正确的是（）

A.^^=sinx-2x,则y'=-cosx-2B,若y=（x+l）lnx,则y'=lnx+L+l

x

C.若了=贝!|y'=（2尤一3）e'J3xD.若>则/

eex

11.在棱长为2的正方体N8CD-4片GA中，£,£分别为棱的中点，G为线

段3。上的一个动点，则（）

A.三棱锥。-EFG的体积为定值

B.存在点G,使得平面EFG//平面48Q]

C.当历西时，直线EG与8G所成角的余弦值为正

320

D.当G为与。的中点时，三棱锥4-£FG的外接球的表面积为22专兀

22

12.已知尸是椭圆C:=+与=1（。>6>0）的右焦点，直线>=丘与椭圆。交于N,B

ab

两点，M,N分别为4尸，3尸的中点，。为坐标原点，若/MGW=60。，则椭圆C的离

心率可能为（）

试卷第2页，共4页

三、填空题

13.已知点才是点4-2,1,2)在坐标平面Oxy内的射影，则|两卜.

14.已知/'(X)是函数“X)的导函数，且((%)=3,则

lim4/一叔)一/(4+2A-

——0Ax

15.若直线x+3y-l=0是圆/+/一2办一8=0的一条对称轴，则点尸(2,6)与该圆上

任意一点的距离的最小值为.

n

16.在数列｛%｝中，％=1,a„+an+l=e,其中e是自然对数的底数，令

「(l+e)S-/?e

,则ln^—」一

S=Q]H---4--2〃3-----

nee'

四、解答题

17.已知数列｛%｝满足q=4,且对于任意相，〃eN*,都有%A=4“+".

(1)证明｛%｝为等比数列，并求｛%｝的通项公式；

⑵若bn=J一,求数列也力用｝的前”项和S..

18.已知四边形/BCD的三个顶点4L0),8(3,-2),C(4,-l).

(1)求过/,B,C三点的圆的方程.

(2)设线段上靠近点N的三等分点为£,过E的直线/平分四边形/BCD的面积.若

四边形/BCD为平行四边形，求直线/的方程.

19.已知函数〃乃=/+"2+桁的图象经过点且在点4处的切线与直线

I:x+y=0W.

(1)求a,6的值；

⑵求经过点(2,4)且与曲线y=/(x)相切的切线方程.

20.如图，在三棱锥尸-/3C中，P4_L平面/BC,AB1BC,4c=2BC=4,F是PC

的中点，且4F_LPB.

试卷第3页，共4页

n

(1)求AP的长；

(2)求二面角B-AF-C的正弦值.

21.已知己次是首项为1的等差数列,｛4｝是公比为2的等比数列,且4=%，8=%.

⑴求也,｝和也｝的通项公式；

⑵在｛a,,｝中，对每个正整数k,在ak和ak+l之间插入左个4,得到一个新数列｛c„｝,设(

是数列｛c„｝的前n项和，比较盛与20000的大小关系.

Y2I72V2T；2

22.已知椭圆G：F+彳=1(〃>6>0)与双曲线。2：=-4=1(。>6>0)的焦距之比为

abab

j_

(1)求椭圆C］和双曲线C2的离心率；

(2)设双曲线的右焦点为尸，过尸作轴交双曲线于点P(尸在第一象限)，A,

3分别为椭圆。的左、右顶点，/尸与椭圆G交于另一点。，。为坐标原点，证明：

^BP•k°p—kOQ4-kOP.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.A

【分析】根据平均速度的含义，进行计算即可求得答案.

【详解】当f=2时，位移为gx22+2x2=6,

当/=4时，位移为，X42+2X4=16,

2

在2VV4这段时间里，该物体的平均速度为：UT=5m/s.

4-2

故选：A.

2.D

【分析】根据直线方程求斜率，进而可得倾斜角.

【详解】设/的倾斜角为则0。4。＜180。，

由题可知I的斜率为左=tana=-l,所以/的倾斜角为135。.

故选：D.

3.C

【分析】通过取倒数的方法,证得数列｛'｝是等差数列，求得，=2«-1,进而求出an=,

anan2«-1

解决问题即可.

a11

【详解】由。用=/=，%=1,取倒数得：一=一+2,

1+2%%an

则｛-U是以工=1为首项，2为公差的等差数列.

所以，=l+("-l)x2=2--l,所以q,=—!—；

an2n-\

1

由于4“=故冽=4.

2m-17

故选：C.

4.B

【分析】连接攻，根据空间向量的运算法则，准确化简，即可求解.

【详解】连接四，根据向量的运算法则，可得由=嬴-丽=!强+,就-丽.

22

故选：B.

答案第1页，共15页

【分析】利用点差法及中点与焦点坐标分别表示直线N8的斜率，可建立关于。的方程，求

解可得.

)>i=20再,

【详解】设出演,九）,3（X2，%）,则

yl=2px2,

两式作差得，乂2->；=81+%）&1-％）=2。（占一马）,

当西=超时，则N8中点坐标为焦点厂（々,0；不满足题意;

当x尸马时，得九'

设线段中点M,因为M坐标（4,2后），且过焦点下，

所以必+%=4A/2,

,,2P2>/2-0

则AB的斜率以B--市-p,

4---

2

解得2=4.

故选：A.

6.D

【分析】分线线平行和三线共点讨论即可.

答案第2页，共15页

【详解】若4〃4,贝1]一。=-1，解得。=1.若〃〃3,则一。=1，解得。=一1.

fx+y-1—0[x=-1

若4，4，4交于一点，联立方程组‘,八，解得得.，

[x-y+3=0口=2

代入办+了+2=0,得一°+2+2=0,解得“=4,故a的取值集合为{4,-1,1}.

故选：D.

7.B

【分析】根据题意，构造正三角形周长满足的等比数列，结合等比数列前〃项和公式及指数

不等式进行求解.

【详解】由题可知，该三角形蜘蛛网中三角形的周长从大到小是以9为首项，g为公比的等

比数列.

设最小的正三角形的边长为3x米,

则[(2川贝||_1]>X,即2"418,得“44,

1-l/18

1——

2

故最小的正三角形的边长为3x米.

故选：B.

8.B

【分析】设与到直线的距离为4，鸟到直线的距离为刈，根据题意得到4=3功,

列出方程求得加，结合A〉0,即可求解.

【详解】依题意，双曲线c：f一1的左、右焦点分别为片卜亚,0),乙(亚,0),

设耳到直线AB的距离为4,鸟到直线AB的距离为由，

E|-2A/2-mlI2V2-ml

因为的面积是面积的3倍，所以4=34,

即|-272-m|=3|2^-m|,解得加=虚或48,

答案第3页，共15页

\y=2x-m,

联立方程组，2।，整理得3/一4蛆+/+1=0,

〔尤一了=1

则A=16疗72(川+1)＞0,解得小＞3,所以机=4后.

故选：B.

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将面积比转化为距离的比，从而得解.

9.ACD

【分析】列出方程组，求出等差数列的公差和首项，判断A,B；根据等差数列通项公式以

及前〃项和公式即可判断C,D.

[a,+6d=9

【详解】设｛%｝的公差为d,由%=9,邑=3%，得彳「。皿，

[46+64=3a1+9a

解得It：3,故A正确,B错误；

\a=1

84=44+62=18,%023="1+2022d=2025,C,D正确.

故选：ACD

10.BCD

【分析】由导数的四则运算和复合函数的导数公式计算.

【详解】对A,若y=sinx—2x,则j/=(sinx)-(2v)=cosx-2,A选项不正确;

,i

对B,若＞=(x+l)lnx,贝！Jj/=(x+l)'lnx+(x+l)(lnx)=Inx+—+1,B选项正确；

对C,若了=13，则;/=(一-3。/3=(2》一3)/3,c选项正确.

对D,若＞=则夕'=^——一以2=上」，D选项正确.

e(ex)e

故选：BCD

11.ABD

【分析】对于A项，由等体积法七一EFG=%“EF即可判断，对于B项，运用空间向量坐标法

计算两个平面法向量平行求解即可，对于C项，运用空间向量坐标公式计算异面直线所成

角余弦值即可，对于D项，由|。4月。£1=1。尸目。6|列方程求解即可.

【详解】对于A项,

答案第4页，共15页

因为平面BCG4〃平面DEF,BtCu平面BCCiBl,

所以4c//平面DEF,所以点G到平面DEF的距离h为定值,

又VD-EFG=VG-DEF=3SAD£F.h，AD£F的面积为定值,

所以三棱锥。-EFG的体积为定值，故A项正确；

建立如图1所示的空间直角坐标系，则4(2,0,0),0(0,0,2),

4（2,0,2）,C（0,2,0）,E（l,0,0）,尸（0,0,1）再（2,2,2）,3（2,2,0）,G（0,2,2）,

对于B项，福=（0,2,2）,西=（一2,0,2）,西=（2,0,2）,彷=（-1,0,1）,就=2,0）,

设历=/西=（么02）,0.41,则函=反+历=（%-1,2,2）.

设平面EFG的法向量为为=(%,必,zj,

n-EF=_西+Z]=0

由，令西=2,可得元=(2,1-轨2).

n-EG\+2耳+26=0

设平面4BQ1的法向量为加=6,%/2),

m-AB,=2y+2z=0一,、

由一」99，令々=1，可得冽=（1,—1,1）.

m•ADX=-2X2+2Z2=0

21-4/23

若平面即G〃平面442,则：=—1二；，解得t=；,故B项正确;

1-114

答案第5页，共15页

对于C项，建立如图1所示的空间直角坐标系，当函=；砾=(：,0,：1时,

EG=(-1,2,0)+f|,0,|W-1,2,|W=(-2,0,2).

\EG-BC\3A/82

设直线EG与8G所成的角为。，则82，

即直线EG与BG所成角的余弦值为返，故C项错误;

82

对于D项，如下图，当G为2。的中点时，4⑵0,2),£。,0,0),尸(0,0,1),G0,2,1).

设三棱锥4-EFG的外接球的球心为O(x/,z),半径为r,

7

x=—

6

r2=(X-2)2+/+(Z-2)22

y=—

r2=(x-1)2+y2+z23

则,解得

r2=x2+y2+(z-lf7

z=—

r2=(x-l)2+(y-2)2+(z-l)26

r2=一11

6

所以三棱锥4-EFG的外接球的表面积为4口2=手，故D项正确.

故选：ABD.

12.BD

【分析】根据题意，先画出图象，然后判断四边形尸为平行四边形，由/MCW=60。可

得/取片=120。，进而结合椭圆的定义与基本不等式可得有关。,c的不等式，解不等式得到

离心率的取值范围，从而逐项判断四个选项即可得到答案.

【详解】根据题意，图象如图所示：

答案第6页，共15页

设月为椭圆。的左焦点，因为直线了=息与椭圆。交于/,8两点,

所以由椭圆的对称性得=\OB\,又。叫=。耳|,

于是四边形/£8万为平行四边形.

因为"，N分别为4尸，5尸的中点，O是大厂中点,

所以/耳〃。河，BFJ/ON,

平行四边力片AF中/AF、B=AMON=60°,/FAF、=120°,

在“FF中，1GM2=胤2+,刊2一2恒司MTcosZ1201

7

=（所+/）2-">昨（^的>（My=邓y

因为直线、=息斜率存在，所以a8两点不在夕轴上，即|/耳国/目,

22

又在C:=+4=l（稣6>0）中，4周+1/F卜=2a,1M|=2C,

ab

所以，山川1（l/用;14『，即4c223/,

又a>c，所以3<;<i,即@<e〈l.

4a22

综上所述，ee券」；

故A,C错误;

答案第7页，共15页

故选：BD.

13.亚

【分析】根据给定条件，求出点4的坐标，再利用向量模的坐标表示即得.

【详解】由点H是点月(-2,1,2)在坐标平面。中内的射影,得4(-2,1,0),即两=(-2,1,0),

所以国卜氐

故答案为：V5

14.-9

【分析】根据题意结合导数的定义运算求解.

【详解】由题意可得：

lim/&©)一仆0+2以)=gHm/(x°-©)-/(%+2Ax)=gf

-0A%--3\X•

故答案为：-9.

15.1

【分析】利用圆关于直线对称可知该直线过圆心(。，0),可得。=1,再利用定点到圆上点距

离的最值的求法即可求得结果.

【详解】由题可知，该圆的圆心为30),直线x+3k1=0过圆心，

贝!Ja—1=0,解得。=1,

则该圆的方程转化为(％-1)2+/=9,该圆圆心为(1,0),半径为3,

易知圆心与尸(2,6)的距离为“2-心+(也『=2,

故点P(2,>A)与该圆上任意一点的距离的最小值为3-2=1.

故答案为：1

16.1-n

【分析】根据题意，得至卜5,=能|+电+,%+-一+工%，两式相加，结合等比数列的求和

ee

公式和对数的运算法则，即可求解.

【详解】由=%+—。2+丁。3---------*■-^7%，得eS〃=e%+2+—。3■)^~~^2an>

eeeee

答案第8页，共15页

1%一1+。〃)+击4?

则〃+。2)+&(。2+。3)^-----

(1+e)S=e4+(%n—2

/、1(l+e]S-ne

则。+e)S“=ne+-^-an,故出-----------=\-n.

ean

故答案为：1-〃.

17.(1)证明见解析，an=4"

【分析】(1)取冽=1,得到%+1=4%,得到也J是4为公比的等比数列，求出通项公式;

(2)裂项相消得到"配,再进行求和即可.

【详解】(1)取加=1,则由4%=飙+〃，得%+1=4%.

因为q=4,所以％讨=4%,所以｛4｝是以4为首项，4为公比的等比数歹U,

故。〃="U〃T=4〃.

111

由(可矢口

(2)1)2=n

log2anlog242n'

1111

则他+i=

4n(n+l)4(〃n+1

故s〃=:11111n

1-—+—

223nn+1劭+4

18.(1)□一I]+卜+]=|

(2)x—5jv—5=0

【分析】(1)方法一：根据斜率分析可知4313C,结合直角三角形的外接圆的性质分析

求解；方法二：设圆的一般方程，代入aB,C三点运算求解即可；

(2)利用向量关系求得-11方法一：根据题意可知直线/过线段/C的中点

再利用直线的两点式方程运算求解；方法二：设/与C。相交于点尸(乙，%)，

uur1uuir<iniA

可知CF=-§DC,利用向量关系求得点尸再利用直线的两点式方程运算求解.

【详解】(1)方法一：因为41,0),3(3,-2),C(4,-l),

答案第9页，共15页

k^^=1,

贝［右B=2।=—1，BC

J—L4-3

由3B•心c=T，得4BJ.BC,

则过4B,。三点的圆的圆心为线段力。的中点；

半径r=T'O=；J(4-1)2+(-1-0)2='

所以过4,B,c三点的圆的方程为卜—+=

方法二：设过4,B,。三点的圆的方程为/+/+外+功+尸=o,

1+D+尸=0D=-5

则《13+30—2£+尸=0,解得土5=1

17+4。—£+尸=0［产=4

故过Z,B,C三点的圆的方程为f+j?一5工+》+4=0,即—+]>+；]=：.

(2)设£(石,必),

UUllULU-------►

由题意可得：DC=AB=(2,-2),4£=(七—1,%),

因为线段N8上靠近点/的三等分点为£,则次=；在=1|,-：

x「l=g

则

2

5_j_

方法一：直线/平分四边形/台。的面积，可知直线/过线段的中点

/CM2，-2

25

yH—x—

所以直线/的方程为一^=亍4,整理得x-5y-5=0；

2+32-3

方法二：设/与。相交于点尸(％，%)，贝！I赤=(9一4,%+1),

—1—22

由直线/平分四边形的面积，可得C尸

313

答案第10页，共15页

所以直线/的方程为一舌二诃言，整理得x-5y-5=0.

---1---------

3333

(2)2x—y=0或6x-y-8=0

【分析】(1)求导，根据题意结合导数的几何意义分析列式求解；

(2)设切点(%,君-2焉+2%),切线斜率后=/宙)=3君-4%+2,求直线方程并代入点

(2,4)运算求解即可.

【详解】(1)Etl/(x)=x3+ax2+bx,贝=3x?+2办+b,

因为/(x)的图象在点N(l,l)处的切线与直线/：x+y=0垂直,

/⑴=1+a+6=1a=-2

则,解得

/'(1)=3+24+6=1b=2

(2)由(1)可设切线与曲线y=〃x)相切于点(X°,x；-2x；+2x0),

则切线斜率后=/'(%)=34-4%+2,

则切线的方程为-2x1+2x0)=(3x；-4x0+2)(x-x0),

将点(2,4)代入方程整理得舅-4邸+4%=X0(%(1-2)2=0,解得%=0或々=2.

当天=0时，切线方程为2x-y=0.

当/=2时，切线方程为6x-y-8=0.

故经过点(2,4)且与曲线了=〃x)相切的切线方程为2x-y=0或6x7-8=0.

20.(1)"=2百

答案第11页，共15页

⑵w

4

【分析】（1）结合垂直关系，以2为坐标原点建立空间直角坐标系，利用N尸，P8计算出4P

的长度即可；

（2）利用向量法求出平面4BF的法向量与平面/尸C的法向量，进而求出二面角B-4F-C

的正弦值即可.

【详解】（1）因为尸平面NBC,AB1BC,故以2为坐标原点，建立如下图所示的空间

直角坐标系.

设/尸=。，由/C=28C=4,得2(0,0,0),/(0,26,0),P(0,2区a),C(2,0,0).

因为尸是尸C的中点，所以尸［1,行,名，则方=0,一百,义，丽=（0,2君,0）.

2

又AFLPB,所以酢.丽=-6+q-=0,

2

解得°=26，故/尸=2百.

(2)由(1)可知，FQ,区5,则方=(1,-6,6),A8=(0,-2A/3,0),就=(2,-26,0).

设平面尸的法向量为碗=（看,必，4）,

%,-V3yi+J3Z]=0_l

则厂，令4=1,得冽=(—百,0,1).

-243%=0

设平面力尸C的法向量为〃=(X2，%/2),

X、_+^^^2=0

则令%=1,得3=(6,1,0).

2X2-2>j3y2=0

丽.五3

所以cos〈而㈤=丽=一"

故二面角8-4F-C的正弦值为V7

4

答案第12页，共15页

21.(l)a„=w,bn=2"

⑵电<20000

【分析】（1）根据题意结合等差、等比数列的通项公式运算求解；

（2）根据题意分析可知几=（%+%+…+%）+（4+24+…+10瓦），利用分组求和法结合

等差、等比数列求和公式以及错位相减法运算求解.

【详解】（1）设数列｛%｝的公差为力

b=ab=\+dd=1

因为x2x,解得

b2=%2bl=l+3d仄=2

所以%=l+〃—l=〃，b“=2x21=2〃.

(2)因为1+2+3+…+a=M/+D,

2

当后=10时，处土D=55,

2

可知(6=(。1+。2■*--------)+31+2b2HF10Z)10),

口(1+11)x11“

H.Q]+“2+1-=-----------------------OO,

令卜也｝的前"项和为S",

贝1JS"=1x2+2x22+3x23+4x2,+…+〃x2",

pf^2S„=lx22+2x23+3x24+