2023-2024学年威海市中考数学五模试卷含解析

2023-2024学年威海市中考数学五模试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动.如图所示是一个陀螺的立体结构图.已知底面圆的直径AB=8cm,圆柱的

高BC=6cm,圆锥的高CD=3cm,则这个陀螺的表面积是（）

A.687tcmB.74ncmC.847rcmD.IOOTTcm:

2.某校对初中学生开展的四项课外活动进行了一次抽样调查（每人只参加其中的一项活动），调查结果如图所示，根据图

形所提供的样本数据，可得学生参加科技活动的频率是（）

*候修・

A.0.15B.0.2C.0.25D.0.3

3.下列计算中，正确的是（）

A.（2«）3=2«3B.a3+a2=a5C.as^a4=a2D.（a2）3=«6

4.如图，△ABC中，ZC=90°,D、E是AB、BC上两点，将△ABC沿DE折叠，使点B落在AC边上点F处，并

且DF〃BC,若CF=3,BC=9,则AB的长是（）

5.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E,D两点，EC=4,△ABC的周长为23,则△ABD的

周长为（）

D.19

D.0.3156

8.下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（

9.下列各数中，比-1大1的是（）

A.0B.1C.2D.-3

10.已知抛物线c：y=x2+2x-3,将抛物线c平移得到抛物线c。如果两条抛物线，关于直线x=l对称，那么下列说

法正确的是（）

A.将抛物线c沿x轴向右平移*个单位得到抛物线c，B.将抛物线c沿x轴向右平移4个单位得到抛物线c，

2

7

C.将抛物线c沿x轴向右平移一个单位得到抛物线c，D.将抛物线c沿x轴向右平移6个单位得到抛物线c，

2

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.如图，在网格中，小正方形的边长均为1,点A、B、O都在格点上，则NOAB的正弦值是.

12.计算：舛-|-2|+（1）一1=.

13.若一个等腰三角形的周长为26,一边长为6,则它的腰长为

14.如图,在四边形ABCD中,AC、BD是对角线，AC=AD,BOAB,AB〃CD,AB=4,BD=2、7ptan/BAC=3、f

则线段BC的长是

15.如图，在矩形ABCD中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形EFGH.若AB=8,AD=6,则四边形EFGH的周

长等于.

16.关于x的一元二次方程（k-1）x2+6x+k2-k=0的一个根是0,则k的值是.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）某文具店购进A,B两种钢笔，若购进A种钢笔2支，B种钢笔3支，共需90元；购进A种钢笔3支，

B种钢笔5支，共需145元.

（1）求A、B两种钢笔每支各多少元？

（2）若该文具店要购进A,B两种钢笔共90支，总费用不超过1588元，并且A种钢笔的数量少于B种钢笔的数量,

那么该文具店有哪几种购买方案？

（3）文具店以每支30元的价格销售B种钢笔，很快销售一空，于是，文具店决定在进价不变的基础上再购进一批B

种钢笔，涨价卖出，经统计，B种钢笔售价为30元时，每月可卖68支；每涨价1元，每月将少卖4支，设文具店将

新购进的B种钢笔每支涨价a元（a为正整数），销售这批钢笔每月获利W元，试求W与a之间的函数关系式，并且

求出B种铅笔销售单价定为多少元时，每月获利最大？最大利润是多少元？

18.（8分）校园空地上有一面墙，长度为20m,用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示.能围成

面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由.若篱笆再增加4m,围成的矩形花圃面积能

达到170m2吗？请说明理由.

墙

RC

19.（8分）阅读与应用：

阅读1：。、万为实数，且a>0,Z>>0,因为（&一>0,所以+AWa+b>2-Jab（当a=b

时取等号）.

阅读2：函数y=x+生（常数机>0,x>0）,由阅读1结论可知：x+->2.=2诟，所以当x='即x=而

XX\XX

时，函数y=x+二的最小值为2标.

X

阅读理解上述内容，解答下列问题：

问题1：已知一个矩形的面积为4,其中一边长为X,则另一边长为周长为+求当x=时，

周长的最小值为.

问题2：已知函数yi=x+l(x>-l)与函数”=/+2》+17(%>—1),当》=时，&的最小值为.

问题3：某民办学习每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资6400元；二是学生生活费每人10元；三

是其他费用.其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系数为0」.当学校学生人数为多少时，该校每天生均投

入最低？最低费用是多少元？(生均投入=支出总费用+学生人数)

20.(8分)经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同，现有两

辆汽车经过这个十字路口.

⑴试用树形图或列表法中的一种列举出这两辆汽车行驶方向所有可能的结果；并计算两辆汽车都不直行的概率.

⑵求至少有一辆汽车向左转的概率.

21.(8分)已知关于比的一元二次方程，+(2/71+3)*+»/2=1有两根%p求的取值范围；若a+p+ap=l.求，”的值.

22.(10分)我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索

子却量竿，却比竿子短一托”其大意为：现有一根竿和一根绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折

后再去量竿，就比竿短5尺.求绳索长和竿长.

23.(12分)如图，在航线1的两侧分别有观测点A和B,点A到航线/的距离为2km,点B位于点A北偏东60。方

向且与A相距10km.现有一艘轮船从位于点B南偏西76。方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5分钟后该轮船

行至点A的正北方向的D处.

(1)求观测点B到航线/的距离；

(2)求该轮船航行的速度(结果精确到O.lkm/h).

(参考数据：A/3~1.73,sin76°~0.97,cos76°~0.24,tan76°=4.01)

24.已知如图，在AABC中，ZB=45°,点。是3c边的中点，OE,5c于点O,交A8于点E,连接CE.

(1)求NAEC的度数；

(2)请你判断AE、BE、AC三条线段之间的等量关系，并证明你的结论.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、C

【解析】

试题分析：,底面圆的直径为8cm,高为3cm,.•.母线长为5cm,.,.其表面积=/4、5+42兀+8型6=8471«112,故选C.

考点：圆锥的计算；几何体的表面积.

2、B

【解析】

读图可知：参加课外活动的人数共有(15+30+20+35)=100人，

20

其中参加科技活动的有20人，所以参加科技活动的频率是工=0.2,

100

故选B.

3、D

【解析】

根据积的乘方、合并同类项、同底数塞的除法以及塞的乘方进行计算即可.

【详解】

A、(2a)3=8a3,故本选项错误；

B、a3+a2不能合并，故本选项错误；

C、a%4=a4,故本选项错误；

D>(a2)3=a6,故本选项正确；

故选D.

【点睛】

本题考查了积的乘方、合并同类项、同底数嘉的除法以及塞的乘方，掌握运算法则是解题的关键.

4、C

【解析】

由折叠得至（IEB=EF,NB=NDFE,根据CE+EB=9,得至I]CE+EF=9,设EF=x,得至!JCE=9-x,在直角三角形CEF中,

利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出EF与CE的长，由FD与BC平行，得到一对内

错角相等，等量代换得到一对同位角相等，进而确定出EF与AB平行，由平行得比例，即可求出AB的长.

【详解】

由折叠得至（IEB=EF,ZB=ZDFE,

在RtAECF中，设EF=EB=x,得至!]CE=BC-EB=9-x,

根据勾股定理得：EF2=FC2+EC2,即x2=32+（9-x）2,

解得：x=5,

，EF=EB=5,CE=4,

；FD〃BC,

/.ZDFE=ZFEC,

.\ZFEC=ZB,

；.EF〃AB,

.EF_CE

••—f

ABBC

故选C.

【点睛】

此题考查了翻折变换（折叠问题），涉及的知识有：勾股定理，平行线的判定与性质，平行线分线段成比例，熟练掌握

折叠的性质是解本题的关键.

5、B

【解析】

VDE垂直平分AC,

.\AD=CD,AC=2EC=8,

,:CAABC=AC+BC+AB=23,

.,.AB+BC=23-8=15,

:.CAABD=AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=15.

故选B.

6,B

【解析】

根据无理数的定义解答即可.

【详解】

选项4、；是分数，是有理数；

选项3、0是无理数；

选项C、-5为有理数；

选项。、0.3156是有理数；

故选及

【点睛】

本题考查了无理数的判定，熟知无理数是无限不循环小数是解决问题的关键.

7、C

【解析】

试题解析：A、的主视图是矩形，故A不符合题意；

B、的主视图是正方形，故B不符合题意；

C、的主视图是圆，故C符合题意；

D、的主视图是三角形，故D不符合题意；

故选C.

考点：简单几何体的三视图.

8、D

【解析】

试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念，可知：

A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不正确；

B不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不正确；

C是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不正确；

D即是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确.

故选D.

考点：轴对称图形和中心对称图形识别

9、A

【解析】

用-1加上1,求出比-1大1的是多少即可.

【详解】

V-l+l=l,

...比-1大1的是L

故选：A.

【点睛】

本题考查了有理数加法的运算，解题的关键是要熟练掌握：“先符号，后绝对值”.

10、B

【解析】

:抛物线C:y=x2+2x-3=(x+1)2-4,

二抛物线对称轴为x=-1.

二抛物线与y轴的交点为A(0,-3).

则与A点以对称轴对称的点是B(2,-3).

若将抛物线C平移到C，，并且C,。关于直线x=l对称，就是要将B点平移后以对称轴x=l与A点对称.

则B点平移后坐标应为(4,-3),

因此将抛物线C向右平移4个单位.

故选B.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、6

5

【解析】

如图，过点O作OCLAB的延长线于点C,

贝！JAC=4,OC=2,

在RtAACO中，AO=7AC2+OC2=742+22=2非，

..,OC2加

・・sinNOAB=----=—尸——.

0A2后5

故答案为好.

5

12、-1

【解析】

根据立方根、绝对值及负整数指数塞等知识点解答即可.

【详解】

原式=-2-2+3=-1

【点睛】

本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则及运算顺序.

13、1

【解析】

题中给出了周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，则应该分两种情况进行分析求解.

【详解】

①当6为腰长时，则腰长为6,底边=26-6-6=14,因为14>6+6,所以不能构成三角形；

②当6为底边时，则腰长=(26-6)+2=1,因为6-6V1V6+6,所以能构成三角形；

故腰长为1.

故答案为：L

【点睛】

此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，关键是利用三角形三边关系进行检验.

14、6

【解析】

作DE±AB,交BA的延长线于E,作CF±AB,可得DE=CF,且AC=AD,可证RtAADE^RtAAFC,可得AE=AF,

ZDAE=ZBAC,根据tan/BAC=NDAE=,可设DE=3-a,AE=a,根据勾股定理可求a的值，由此可得

9r：V-

55=

BF,CF的值.再根据勾股定理求BC的长.

【详解】

如图：

作DE_LAB,交BA的延长线于E,作CF_LAB,

VAB/7CD,DE±AB±,CF±AB

Z.CF=DE,AC=AD

ARtAADE^RtAAFC

AAE=AF,ZDAE=ZBAC

VtanZBAC=3二

tanZDAE=3二

.•.设AE=a,DE=3ya

在RtABDE中，BD2=DE2+BE2

•*.52=(4+a)2+27a2

解得ai=La2=-(不合题意舍去)

，AE=1=AF,DE=37=CF

x-

/.BF=AB-AF=3

在RtABFC中，BC=、——_=6

【点睛】

本题是解直角三角形问题，恰当地构建辅助线是本题的关键，利用三角形全等证明边相等，并借助同角的三角函数值

求线段的长，与勾股定理相结合，依次求出各边的长即可.

15、20.

【解析】

分析：连接AC,BD,根据勾股定理求出BD,根据三角形中位线定理，菱形的判定定理得到四边形EHGF为菱形，根据

菱形的性质计算.

解答:连接AC,BD在RtAABD中，BD=7AB2+AD2=10,:四边形ABCD是矩形，.•.AC=BD=10,：E、H分别是

AB、AD的中点，...EH〃BD,EF=；BD=5,同理，FG〃BD,

FG=-BD=5,GH//AC,GH=-AC=5,/.四边形EHGF为菱形，四边形EFGH的周长=5x4=20,故答案为20.

22

点睛：本题考查了中点四边形，掌握三角形的中位线定理、菱形的判定定理是解答本题的关键.

16、2.

【解析】

试题解析：由于关于X的一元二次方程(左—l)f+6x+左2—左=0的一个根是2,把x=2代入方程，得左2—左=0,

解得，fo=2,左2=2

当仁2时，由于二次项系数左-2=2,方程(左—l)f+6x+左2—左=。不是关于x的二次方程，故原2.

所以改的值是2.故答案为2.

三、解答题(共8题，共72分)

17.(1)A种钢笔每只15元B种钢笔每只20元；

(2)方案有两种，一方案为：购进A种钢笔43支，购进B种钢笔为47支方案二：购进A种钢笔44支，购进B种

钢笔46支;

(3)定价为33元或34元，最大利润是728元.

【解析】

(1)设A种钢笔每只x元，B种钢笔每支y元,

2x+3y=90

由题意得<

3x+5y=145

%=15

解得：<

、y=20

答：A种钢笔每只15元，B种钢笔每支20元;

(2)设购进A种钢笔z支,

,15z+20(90-z)<1588

由题意得:

z<90-z

.\42.4<z<45,

；z是整数

z=43,44,

.\90-Z=47,或46；

.••共有两种方案：方案一：购进A种钢笔43支，购进B种钢笔47支,

方案二：购进A种钢笔44只，购进B种钢笔46只；

7

(3)W=(30-20+a)(68-4a)=-4a2+28a+680=-4(a--)2+729,

；.W有最大值，；a为正整数,

.,.当a=3,或a=4时，W最大，

7

，W最大==-4x(3-—产+729=728,30+a=33,或34；

2

答：B种铅笔销售单价定为33元或34元时，每月获利最大，最大利润是728元.

18、(1)长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；(1)若篱笆再增加4m,围成的矩形花圃面积不能达到172ml.

【解析】

(1)假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为(31-lx)米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.

(1)假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为(36-ly)米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即

假设不成立.

【详解】

(1)假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为(31-lx)米，

根据题意得：x(31-lx)=116,

解得：xi=7,xi=9,

.*.31-lx=18或31-lx=14,

,假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米.

(1)假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为(36-ly)米，

根据题意得：y(36-ly)=172,

整理得:y1-18y+85=2.

V△=(-18)1-4x1x85=-16<2,

•••该方程无解，

二假设不成立，即若篱笆再增加4m,围成的矩形花圃面积不能达到172mL

19、问题1：28问题2：38问题3：设学校学生人数为x人，生均投入为y元，依题意得：

6400+10x+0.01x2x6400

y=-------------------=—+-----+10,因为x>0,所CCI以U

x100x

x64001(6400002/,止640000„好

y-----1-------1-10=---x-\--------+10>-----V640000+10=16+10=26,当》=--------即x=800时，v

-100x100(x)100x

取最小值2.答：当学校学生人数为800人时，该校每天生均投入最低，最低费用是2元.

【解析】试题分析：

问题1：当x=?时，周长有最小值，求x的值和周长最小值；

X

问题2：变形及二r+2x+17=(X+1)+16=由当x+i='d时，乏的最小值，求出X值和匹

%x+1x+lx+lX+1%%

的最小值；

问题3：设学校学生人数为x人，生均投入为y元，根据生均投入=支出总费用+学生人数，列出关系式，根据前两题

解法，从而求解.

试题解析：

4

问题1：当x=—(x>0)时，周长有最小值，

X

/.x=2,

...当x=2时，，’有最小值为，JJ=3.即当x=2时，周长的最小值为2x3=8；

X

问题2：Vji=x+1(x>—1)与函数,2=》2+2了+17(x>—1),

.•.及=X2+2X+17=(X+1)2+16J£,

yxx+1x+1x+1

•.•当x+bM(亡>一1)时，匹的最小值，

x+1%

x=3,

/.x=3时，(x+1)+E有最小值为3+3=8,即当x=3时，匹的最小值为8；

x+1X

问题3：设学校学生人数为x人，则生均投入y元，依题意得

6400+10x+0.01x2x6400

y=-----------------=—+-----+10,因为x>0,所CC以IU

x100x

x64001(6400002/,止640000„好

y=-----1------1-10=---XH-------+10>----V640000+10=16+10=26,当》=-------即x=800时，v

-100x100(x)100x

取最小值2.

答：当学校学生人数为800时，该校每天生均投入最低，最低费用是2元.

45

20、(1)§；⑵

【解析】

(1)可以采用列表法或树状图求解.可以得到一共有9种情况，从中找到两辆汽车都不直行的结果数，根据概率公式

计算可得；

(2)根据树状图得出至少有一辆汽车向左转的结果数，根据概率公式可得答案.

【详解】

⑴画“树形图”列举这两辆汽车行驶方向所有可能的结果如图所示：

开始

•••这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，其中两辆汽车都不直行的有4种结果，

4

所以两辆汽车都不直行的概率为§；

⑵由⑴中“树形图”知，至少有一辆汽车向左转的结果有5种，且所有结果的可能性相等

AP(至少有一辆汽车向左转)=|.

【点睛】

此题考查了树状图法求概率.解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率=所求情况数与总情况数之比求解.

21、(l)m>-；(2)m的值为2.

m

A

【解析】

(1)根据方程有两个相等的实数根可知△>1,求出m的取值范围即可；

(2)根据根与系数的关系得出a+0与ap的值，代入代数式进行计算即可.

【详解】

(1)由题意知，(2",+2)2-4、卜„/221,

解得：论-;

3

4

(2)由根与系数的关系得：a+p=-(2/w+2),ap=in2,

,:a+p+«p=l,

:.-(2m+2)+m2=l,

解得：如=-1,mi=2f

由(1)知m>-9

所以曲=-1应舍去，

机的值为2.

【点睛】

本题考查的是根与系数的关系，熟知Xi,X2是一元二次方程〃/+取+。=1(a#l)的两根时，Xl+X2=-X1X2=_是解

答此题的关键.

22、绳索长为20尺，竿长为15尺.

【解析】

设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二

元一次方程组，解之即可得出结论.

【详解】

设绳索长、竿长分别为x尺，y尺，

x=y+5

依题意得：,尤

解得：x=20,y-15.

答：绳索长为20尺，竿长为15尺.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量